Báo cáo bài tập lớn giải tích 1 Đề tài 15 tính diện tích mặt tròn xoay

Điều này sẽ giúp chúng ta hiểu hơn về hình dạng của các đối tượng xung quanh và làm thé nao chúng ta có thê sử dụng toán học để giải quyết những vấn đề thực tế.. Mục 8.2 trong sách của J

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN:

Đào Huy Cường

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

Gia bai tap

2 | Nguyén Thi Minh Oanh 2312560 Ly thuyét

Gia bai tap

Gia bai tap

Gia bai tap

Gia bai tap

6 Nguyên Miên Phú 2312658 Gia bai tap Lý thuyết

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 0202202221 nh nh nh nh nh nà nh nn nr Hà Hà nà nh tt nà LỜI MỞ ĐẦU L2 022 202221221 n2 nh TH Hà nà TH nh HH tr nà Hà DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH 2.2 222022012 2n nh nh nh HH nà DANH MỤC BẢNG BIẾU 2.22 02222 nH nh nu e

1.1 Định nghĩa cẶc cà cọ cành n nh nh nhe nhà nà này

1.2 Ví dụ minh hoạ c.c cc c c on n nh n nen KT nen kn knxy 1.3 Diện tích mặt tròn xoay 2 22.00 c2 n2 niente vn ty viên

Bài ÍÄ uc 00c cán nnn ch nh hà nhn nàn kh kg n Tế kh Kg kg Tà kh kh tk kẻ

0 ce Erne rE EEE EEE En etn EE ten ete rte neta eres 2.3 Dang Toan nang cao

Bài 2 2 c nh nà nàn HH nà Hr nà Hà nà tt nn nà nà nà nà tàng Bài 2Ó uc n nh nh nh H nn nà nn Hà nà nà tr na Ha nà Hà nà so Bài 28 0 0 nh HH nh nà Han na Ha na Ha nà nà nà te

6= tu trevitvevutetersveterevevstves TÀI LIỆU THAM KHẢO cò cọ cọ 22 n1 Tnhh nh nh nà He tr này TÔNG KẾT 22.22022702 2022 nn nh nh nh TH TT Hy HH nh TH na

ALL IV Vil

.10 : 8 1= EEE DEE ED dE tne EE tet tne et ttt net tenes 12

LOI CAM ON Trai qua một kỉ học tập ở trường Đại học Bách Khoa TPHCM, chúng em xin gửi lời

cảm ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu, quý thầy cô trong trường đã tạo điều kiện và truyền đạt những kiến thức quý báu cho chúng em trong quá trình học tập

Đặc biệt ở bộ môn Giải tích l chúng em chân thành biết ơn thầy Đào Huy Cường đã

luôn dành thời gian, công sức giáng dạy chúng em tận tình, luôn hỗ trợ và hướng dẫn chúng em trong quá trình thực hiện bài báo cáo này Nhờ sự chỉ dẫn tận tâm của thầy, chúng em đã có sự hiểu biết sâu sắc hơn về đề tài mà chúng em nghiên cứu đồng thời cũng mở mang kiến thức, tư duy, phương pháp giải quyết van dé, phát triển kỹ năng nghiên cứu và phân tích của mỗi cá nhân Chúng em rất vui khi có cơ hội được học tập

dưới sự dẫn dắt của thầy

Một lần nữa, chúng em xin chân thành cảm ơn thầy vì sự hỗ trợ quý báu

LỜI MỞ ĐẦU

Thế giới toán học là một thế giới tràn đầy những hiếu kỳ cùng với những vẻ đẹp ấn sâu

mà ít ai khám phá được Cuốn sách “Calculus early transcendentals sixth edition” của James Stewart có thê được xem như là cánh cửa dẫn lối đến thế giới kỳ bí này Nơi đây

không chỉ là một loạt các số liệu và công thức mà đó là cơ hội dé chúng ta nhìn nhận toán học từ một góc độ hoàn toàn mới

Đã có bao giờ bạn đang ngắm nhìn một chiếc bánh xe lăn trên mặt đất Bạn lại tự hỏi

không biết làm thê nào đề có thê "đo" diện tích bề mặt của chiếc bánh xe đó không? Và

đó chính là câu hỏi mà chung ta sé cùng nhau khám phá và giải đáp

Không giống như việc đơn thuần nhìn vào các chữ số và biểu đồ, chúng ta sẽ cảm nhận

sự huyền bí và vẻ đẹp của tích phân và hình học Chúng ta sẽ không chỉ nhìn vào những con số phức tạp mà còn tìm hiểu cách áp dụng những ý tưởng này vào thực tế Điều này sẽ giúp chúng ta hiểu hơn về hình dạng của các đối tượng xung quanh và làm thé nao chúng ta có thê sử dụng toán học để giải quyết những vấn đề thực tế

Mục 8.2 trong sách của James Stewart sẽ là chiếc chìa khoá chính để giải đáp câu hỏi

về tính điện tích mặt tròn xoay mà chúng ta thắc mắc lâu nay Hãy cùng nhau mở cánh cửa cho cuộc hành trình này, để khám phá và đắm chìm trong thế giới tuyệt vời của tích phân và hình học, nơi mà chúng ta sẽ tìm thấy sự diệu kỳ của diện tích mặt tròn xoay

Hình ánh giải bài bằng matlab cò (2222 2c 22 c2 nà: Hình ảnh giải bài bằng WolữamAlpha c sò cóàằ Hình ánh giải bài bằng WolữamAlpha Hình ánh giải bài bằng WolữamAlpha Hình ánh giải bài bằng matlab cò (2222 2c 22 c2 nà: Hình ánh giải bài bằng WolữamAlpha Hình ánh giải bài bằng WolữamAlpha Hình ánh giải bài bằng WolữamAlpha Hình ánh giải bài bằng matlab cò (2222 2c 22 c2 nà: Hình 2.2.10 Hình ảnh giải bài bằng WolữamAlpha

Hình 2.2.11 Hình ảnh giải bài bằng WolữramAlpha Hinh 2.2.12 Hinh anh giai bài bằng WolframAlpha

Hình 2.2.14 Hình ảnh giải bai bang WolframAlpha

Hình 2.2.15 Hình ảnh giải bài bằng WolữamAlpha Hình 2.2.16 Hình ảnh giải bài bằng WolữamAlpha

Hình 2.2.17 Hình ảnh giải bài bằng matlab òẶ cà cà nà sàn nớ

Hình 2.2.18 Hình ảnh giải bài bằng WolữamAlpha

Hình 2.2.19 Hình ảnh giải bài bằng WolữamAlpha

Hình 2.2.20 Hình ảnh giải bài bằng WolữamAlpha

Hình 2.2.21 Hình ảnh giải bài bằng matlab cò cò ằ Hình 2.2.22 Hình ảnh giải bài bằng matlab òẶ cài cà óc co ằn

Hình 2.2.23 Hình ảnh minh hoa 2 2 2222 2n nh nh nàn Hình 2.2.24 Hình ảnh minh hoạ 2 2 22 222 2n nh nà nàn

.22

24 25 31

vi

DANH MỤC BẢNG BIÊU

Bảng 1.3.3 Tóm tắt các công thức các cà cà nàn nh nh KH nàn niên

vii

CHUONG 1: LY THUYET

1.1 Dinh nghia

Khi chúng ta xoay một đường cong quanh một trục, chúng ta sẽ tao ra một bề mặt xoay Đề định nghĩa diện tích của bề mặt xoay một cách đơn giản, có thể hiểu rằng giả

sử chúng ta cần trang trí một bình hoa bằng cách sơn lớp màu lên bề mặt xung quanh

nó, lượng sơn sẽ tương đương với việc sơn một khu vực phẳng có diện tích là A Một mặt tròn xoay được hình thành từ một đường cong quay quanh một trục

Đề tính diện tích của l mặt tròn xoay ta phải làm sao?

Đầu tiên ta hãy tính những diện tích của các hình mặt tròn xoay đơn giản Hãy cùng

nhin những ví dụ sau đây:

1.2 Vi du minh hoa

a) Hinh tru

Bắt đầu với hình trụ, gia sử bạn có một lon Coca hinh try Ban lột lớp vỏ lon và trải ra

thì nó sẽ là một hình chữ nhật với chiều rộng bằng chiều cao lon, chiều dài bằng chu vi

hình tròn của nắp lon khi nhìn từ trên cao xuống Và đó chính là diện tích mặt tròn

xoay của lon Coca

Ví dụ thực tế trên để bạn có thê dễ dàng hình dung và nắm bắt hơn, dưới đây sẽ là

những công thức toán học

Chiều dài hình chữ nhật là chu vi đường tròn đáy 27r

Vậy diện tích của hình chữ nhật cũng như mặt tròn xoay là S = 2zrh

b) Hinh nón

Hãy tưởng tượng bạn có một chiếc nón sinh nhật Khi bạn cắt nón thang một đường tử

vành nón đến đỉnh nón, sau đó mở nó ra, khi đó bạn sẽ thu được một tờ giấy hình quạt, Diện tích của tờ giây này chính là diện tích mặt tròn xoay của chiếc nón

Ví dụ thực tế trên để bạn có thê dễ dàng hình dung và nắm bắt hơn, dưới đây sẽ là

những công thức toán học

Hinh 1.2.3

Cắt dọc hình nón và trải ra thành một hình quạt

Hình 1.2.4

Ta biết rằng công thức tính diện tích hình quạt là S = 2 IR, theo hình:

- ] là độ đải cung tròn tương ứng là 27rr

- Rlà bán kính hình quạt tương ứng là Ì

Dựa vào đó ta tính được diện tích của hình quạt cũng như là hình nón S=z R

c) Hình nón cụt

Vậy hình khó hơn một xíu thì sẽ làm như thé nao? Ví dụ như hình nón cụt

Ta vẫn sẽ lấy minh hoạ trước đó là chiếc nón sinh nhật, nhưng lần này nó đã bị ai đó cắt ngang mắt phần đỉnh đầu Nếu như ta vẫn áp dụng cách cũ như trên thì có vẻ như sẽ khá khó để tính toán Nhưng nếu suy nghĩ thông minh hơn, ta sẽ biết được rằng mình

có thể dùng cách tính bù trừ đề giải quyết, lấy điện tích lúc chưa bị cắt trừ đi diện tích

phần đã bị cắt Sau khi trừ xong, đó chính là diện tích mặt tròn xoay của chiếc nón sinh nhật đó

Ví dụ thực tế trên để bạn có thê dễ dàng hình dung và năm bắt hơn, dưới đây sẽ là

những công thức toán học

Y tưởng sẽ là chia nhỏ hình nón cụt ra thành 2 phần:

- _ Hình nón lớn với bán kính đáy r„ và và chiều dai 1+1,

- _ Hình nón nhỏ với bán kính đáy là r, và chiều dai I,

Hinh 1.2.5

Diện tích hình nón cụt được tính bằng cách lây hiệu của diện tích hình nón lớn và nhỏ:

A=zr(,+l)-zrl =z[(f„r } #LJ() Theo tam giác đồng dạng ta có:

ry H

rọ = i+ S Tyh = n(h + 1) S HẦn — n) = rịi

Thay vào phương trình (L) ta được:

Vậy còn những hình phức tạp hơn thì sao?

Hãy tưởng tượng bạn có một đường cong và muốn tính diện tích bề mặt chính xác khi quay đường cong đó xung quanh một trục Thay vì xử lý trực tiếp hình dạng phức tạp này, ta sẽ sử dụng một cách thông minh khác bằng cách xấp xỉ đường cong ban đầu bằng một loạt các đoạn thắng, tạo thành một đa giác Khi chúng ta quay từng đoạn thẳng này quanh trục, nó tạo ra một hình dạng đơn giản hơn, và chúng ta có thé tính

diện tích dễ dang hon

Nói một cách đơn giản, chúng ta đang chia nhỏ vấn đề Thay vì xử lý toàn bộ đường cong, chúng ta xấp xi nó bằng các hình dạng đơn giản hơn, tính diện tích bề mặt của chúng, và sau đó cộng chúng lại Chúng ta càng sử dụng nhiều đoạn thăng đề xấp xỉ đường cong, kết quả ta tính sẽ càng gần với diện tích bề mặt thực tế hơn Đó là ý tưởng đằng sau việc tính điện tích bề mặt của các hình xoay phức tạp hơn

Theo cách tính trên ta áp dụng vao tính diện tích hình sau

Hình 1.3.1 Hình này được cấu tạo bởi một đường cong y =f( 3 với a 4 <xoay quanh trục

Ox Đề tính diện tích của nó, chung ta chia khoảng [a, b] thành n đoạn với các điểm

Ta lấy 2 điểm trên đường cong y =f( x la P( x, y), P(x, ¥,)

Đề tính diện tích mặt tròn xoay trên khoảng giữa x¿ và x,„;„ ta có thể xấp xi nó bằng một đoạn thăng nồi giữa P, với P_¡ và cho đoạn thắng đó quay quanh trục Ox Khi đó

ta nhận được một hình tương tự hình nón cụt Theo đó:

- Độ dài đường sinh của hình là khoảng cách của P, với H_¡: I= P_, P

- _ Bán kính 2 đáy lần lượt là Y,,Y„

Ta có thê tính diện tích như sau:

y_+y, S=2z 1 iP Fd)

Dựa theo công thức tính điện tích đường cong L = J v1 + ([f' (x) , ta cd:

P, P= 14[ f( x*PA :(2)

- X'€lx,x]

Nếu AXcàng nhỏ thì Yi = f(x) = (x) va Vi-1 =f(x.1) = f(x) Noi mot cach

dễ hiểu thì do khoảng cách quá nhỏ nên 2 điểm y¿ và y;_¡ gần nhau do đó xấp xỉ bằng f(x’) Do do tir (1) va (2) ta co:

Vậy diện tích của một mặt tròn xoay được tạo thành từ một đường cong y = f (x) xoay

quanh truc Ox voi f (x) dương và có đạo hàm liên tục trên khoảng [a, bị là:

S= anf (xi* V1 + [f(x Pax (3)

Theo kí hiệu đạo hàm của Leibmz, công thức (3) trở thành:

S = f?2myv1+ (} dx (4)

Nếu đường cong là x = ƒ () thì công thức (3) trở thành:

S= J°2mxV1 + (“) dy (5)

Ta co:

ds = v(ax)? + (dy)? =Vi+ (2) dx=V1+ (“) dy (6)

Néu quay quanh truc Ox, tir (4) va (6), ta co:

S = f 2nyds Néu quay quanh truc Oy, tir (5) và (6), ta có:

S = f 2nxds

1.4 Tóm tắt công thức

Duong cong y = f(z) quay quanh trục S= anf(x;")V4 + [F(x Pax

Duong cong y = f (x) quay quanh trục b J dy 2

Óx dưới kí hiệu đạo hàm của Leibnit S=f 2myV1+ ( i dx

Oy dưới kí hiệu đạo hàm của Leibnit S= J 2nxV1+ ( i dx

Oy duéi ki hiéu dao ham cua Leibnit S=f 2nxv1+ dy y

Bang 1.3.3

CHƯƠNG 2: BÀI TẬP

2.1 Bài giải mục 8.2 sach James Stewart

2.1.1 Tính diện tích mặt tròn xoay khi quay quanh trục Ôx Bài 5:

Bước I: Nhập công thức theo cú pháp:

Hình 2.2.2 Bước 2: Kết quả trả ra được là:

Hình 2.2.3

Bước 3: Hinh vẽ minh họa:

Hình 2.2.4

Bài 6: Giải

Phần mềm Matlab

Hình 2.2.5

Hình 2.2.8

Bài 7:

Giải

Phần mềm Matlab

Hình 2.2.9

Hình 2.2.12

2.1.2 Tính diện tích mặt tròn xoay khi quay quanh trục Ôy Bài 13:

® Giải

e Phan mém Matlab

Hinh 2.2.13

Hinh 2.2.16

Bài 14:

® Giải

e Phan mém Matlab

Hinh 2.2.17

Hình 2.2.20

20

2.1.3 Dạng toán nâng cao

Bài 25:

® Giải

Mặt khác

21

Suy ra phân kì (theo tiêu chuân so sánh)

Vậy diện tích bề mặt là vô hạn

e Phan mém Matlab

Hinh 2.2.21

22

Phần mềm Matlab

Hình 2.2.22

24

Bài 28:

« Giải

Ta có: y = ax?

Do đĩa có đường kính là I0ft nên bán kinh cua dia sé la 5ft

Đĩa có chiêu sâu tôi da 2ft

Chọn z > 0 nên 0 < y <2

Hình ảnh minh hoạ 2.2.23

Giả sử điểm A(5;2) thuộc đồ thị : y = ax2 nên

25

Vậy đường cong parabol cần tìm khi đĩa đạt độ sâu tôi đa 2ft là:

Ta có:

26

Dat u = b? sin( t);du = hb? cos( tat

Z” sung suy

0

30

Đôi với nửa hình tròn trên:

Đôi với nửa hình tròn dưới:

32

Tổng điện tích mặt tròn xoay:

33

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] James Stewart, Calculus Early Transcendentals, 6e, Thomson Brooks/Cole, 2008 [2] Phạm Thị Ngọc Yến, Lê Hữu Tình, “Cơ sở Matlab và ứng dụng”, NXB Khoa học

TỎNG KÉT

Nhóm chúng em đã hoàn thành bài tập lớn chủ dé “Tinh dién tich mat tron xoay” Kết

quả tính toán ở các bài tập dựa trên cơ sở lí thuyết đúng với tính toán trên các phần mêm khác

Tuy nhiên, vì chưa tìm hiệu được nhiều về các phần mềm như Matlab, Geogebra, WolữamAlpha nên vẫn còn vài bài tập không thê áp dụng để tính toán hay vẽ hình

Qua bài tập lớn, chúng em đã có thêm kinh nghiệm làm việc nhóm, rèn được kĩ năng

giao tiếp, kĩ năng lên kê hoạch và có cơ hội tìm hiệu về các phân mêm hồ trợ toán học

Chúng em đã cô găng hoàn thiện đề tài bài tập lớn này một cách hoàn chỉnh nhất

nhưng vẫn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Chúng em rất mong nhận được

sự quan tâm và đóng góp ý kiến từ thầy để hoàn thiện hơn đề tài này, đồng thời rút

kinh nghiệm cho những bài tập lần sau

35