Báo cáo bài tập lớn giải tích 1 tính diện tích hình phẳng

Tại Trường Đại học Bách Khoa TPHCM - Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh cũng vậy, các sinh viên của tất cả các ngành đều được tiếp cận bộ môn Giải tích một cách cụ thê và rõ ràng nhấ

se TRUONG DAI HOC BACH KHOA TP HCM -

DH QUOC GIA THANH PHO HO CHi MINH KHOA KHOA HOC & Ki THUAT MAY TINH

DE TAI 9

“ TINH DIEN TICH HINH PHANG ”

Giảng viên hướng dẫn: TS ĐÀO HUY CƯỜNG

Thành phố Hô Chỉ Minh, ngày 10 tháng 12 năm 2023

Biện luận bai tap 3, 4

Nguyễn Thành Minh Khôi 2311687

Thuyết trình Soạn nội dung và tong két

Giai bai tap 3, 4 Biện luận bài tập 44

Ứng dụng Matlab bài 33

Trần Minh Khôi 2311703

Giải bài tập 33 Biện luận bài tập 42, 43 Ứng dụng Matlab bài 3, 4

Võ Công Đăng Khôi 2311708

Thiết kế và trình bày báo cáo

Soạn cơ sở lý thuyết

Giải bài tập 40, 41 Biện luận bải tập 33

Ung dung Matlab bai 41, 44

Đài tập lớn Giải tích 1 Nhĩm 09— Lớp L2]

MỤC LỤC

9 I0i9)ic0i0i9 7.00 CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÍ THUYÊT : 222222 222221122221111222211112222111.211121111 111.06 CHƯƠNG III: BÀI TẬP VẬN DỤNG 2-2222: 2222222221112211122111.221221 xe

3.1 Bài 3, mục 6 sách James SteWarf Ặ - nQn TT S121 H ng 111k sa 3.2 Bài 4, mục 6.Í, sách James SteWarf - - Làn n TT 11211 HS 111kg 2 3.3 Bai 33, muc 6.1, sách James Stewạt QL T2 HH n ng 111gr na 3.4 Bài 40, mục 6 , sách James SteWaft - Q TT 2n nn ng 11kg ng nhe 3.5 Bài 4l, mục 6 l, sách James SteWart 1 nnn HS S212 1 nghe na 3.6 Bài 42, mục 6 l, sách James SteWart LH Hn HS S212 111 Hn ng nghe na 3.7 Bài 43, mục 6 l, sách James SteWart HH HS S22 11T HH nghe na 3.8 Bài 44, mục 6 l, sách James SteWart n HH S212 1 1n nen na 3.9 Bài 45, mục 6 l, sách James SteWart nnn HS S212 1 1n nghe na 3.10 Bài 46, mục 6.Il, sách James SteWart - LQn HH S211 nen nen na

TÀI LIỆU THAM KHẢO 5Á 22321 25151515511121151151152T155 15221125 E E21 nay

Tại Trường Đại học Bách Khoa TPHCM - Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh

cũng vậy, các sinh viên của tất cả các ngành đều được tiếp cận bộ môn Giải tích một cách cụ thê và rõ ràng nhất, từ đó các bạn có thể áp dụng vào chính các môn học chuyên ngành và nghề nghiệp trong tương lai Giải tích là một nhánh quan trọng của toán học nghiên cứu về các khái niệm và phương pháp liên quan đến biến đổi và tính

toán các hàm số Trong đó, dé tài “7ính điện tích hình phẳng” chắc hắn là một trong

những ứng dụng phô biến nhất của bộ môn Giải tích vào bên trong các lĩnh vực Từ

đó, sinh ra các khái niệm khác nhau trong các lĩnh vực khác nhau Vậy, diện tích hình

phẳng là gì ?

Ở các cấp tiêu học, trung học cơ sở hay trung học phô thông, chúng ta đều đã biết

đến khái niệm hình phăng là những hình chỉ tổn tại trên một mặt phắng, hay nói cách

khác là chúng tổn tại ở không gian hai chiều và những hình chúng ta gặp rất phô thông như hình chữ nhật, hình vuông, hình bình hành, hình thoi, Những loại hình này đều

có công thức tính diện tích cụ thể riêng mà từ bé chúng ta đã được bắt phải học thuộc Chăng hạn, diện tích của hình chữ nhật bằng tích của chiều đài và chiều rộng Đối với các đa giác lỗi bất kì, điện tích của chúng còn có thể được tính bằng cách chia nhỏ đa giác lồi đó thành các hình đã có công thức tính và tính tổng diện tích của chúng

Nhưng đối với các hình không ôn định (như cái hỗ, hình thang cong, .) thì điện tích

của những hình ấy tính như thế nào? 7ích phân và tổng Rieimamn là công cụ quan trọng trong việc tính toán diện tích hình phăng cho các hình có cầu trúc đơn giản nói riêng

và các hình có câu trúc phức tạp nói chung

Trong bài tập lớn này, nhóm chúng em sẽ sử đụng các bải tập mang tính lý thuyết xen lẫn với các bài mang tính thực tiễn để minh hoạ về cách tích phân hoạt động ở các lĩnh vực trong việc tính diện tích hình phẳng Trong quá trình giải các bài tập, nhóm 9 chúng em có sử dụng phần mém code Matlab cũng như một số phần mềm khác để

minh hoạ hình ảnh để có tính trực quan và đề đễ hình dung về hướng giải quyết cua dé

bài

Đài tập lớn Giải tích 1 Nhóm 09— Lớp L2]

CHƯƠNG II: CO SO Li THUYET

s* Xét miền phẳng S nằm giữa hai đường cong y = f(x) va y = g(x) và giữa hai đường

Hình 2.2 Một phân hoạch của ja, bị

Bước 2: Mỗi hình con S¡ được xấp xỉ bởi hình chữ nhật với chiều rộng là

Ax;=x¡—X¡_¡ và chiều dài là a x, g(x; với mỗi x," là một điểm mẫu tủy y trong mỗi đoạn con [%,_,: x,

nhật:

Diện tích” lfÍx/)~gix/lLAx,

i=0

Với n là số hình chữ nhật trong một phân hoạch Khi n — œ thì diện tích hình phăng 5

càng gân giá trị chính xác Ta định nghĩa điện tích hình phăng S là giới hạn của tông

Định lý: Diện tích hình phắng nằm giữa 2 đường cong liên tục y = f(x) va y = g(x)

và giữa 2 đường thăng đứng x = a và x = b là

Đài tập lớn Giải tích 1 Nhóm 09— Lớp L2]

Định lý: Nếu miền phăng được giới hạn bởi các đường x = Ñy), x = g(y), y = c và

y =d, trong đó f{y) và ø(y) là các hàm số liên tục trên [c, d] thi điện tích của nó là

s= lrlyl~gtyÌ dy

Đài tập lớn Giải tích 1 Nhóm 09— Lớp L2]

CHƯƠNG III: BÀI TẬP VẬN DỤNG

3.1 Bai 3, muc 6.1, sach James Stewart

Đặt ƒ Íy]=y°—2 vag lyÌ=e

« Diện tích của miên được tô là:

% Tìm giao điểm bảng cách giải phương trình f(y) = g(y)

intersection_points = fsolve(@(y) f(y) - g(y); [-1, 1]);

% Tính giá trị của đại lượng tích phân S

S = integral(@(y) abs(f(y) - g(y)), -1, 1);

fsolve completed because the vector of function values is near zero

as measured by the value of the function tolerance, and

the problem appears regular as measured by the gradient

<stopping criteria details>

Các điểm giao nhau:

-1.4916 -1.4916

Diện tich S dudi đường cong:

Đài tập lớn Giải tích 1 Nhóm 09— Lớp L2]

Hinh 3.2 Kiém tra bai 3 bang Matlab 3.2 Bai 4, muc 6.1, sach James Stewart

solve(x1-x2, y) XTìm giao điểm của hàm x1, x2

%Tính tích phân và in ra diện tích tính bằng tích phân

fprintf('Dien tịch bi gioi han boi 2 duong cong la S=%f', int( abs(x1-x2), ans(1), ans(2) ) )

midpoints = (delta_x / 2) + (@:delta_x:1-delta_x);

% Tính diện tích sử dụng Quy Tắc Trung Điểm

area_under_curve = delta_x * sum(arrayfun(@(x) abs(f(x)), midpoints));

Đài tập lớn Giải tích 1 Nhóm 09— Lớp L2]

2y=1-y = 2y—1)/y+1}=0= 21x

y=—1( loại do y>0)

% Tìm giao điểm của đường cong

y_intersection = solve(2*y*2 + y - 1 == 9, y);

% Lấy giá trị dương của y

y_intersection = double(y_intersection(y_intersection >= @));

% Tính diện tích sử dụng tích phân

area = 2 * int(abs((1 - y) - 2*y^2), y, 9, y_intersection);

% Hién thi két qua

disp(['Diện tích của khu vực là:

Diện tích của khu vực là: 7/12

Đài tập lớn Giải tích 1 Nhóm 09— Lớp L2] s% Chương trình matlab:

>> % Dữ liệu vận tốc cúa Chris và Kelly

T = 0:1:10; % Thdi gion theo h

ve = [8 29 32 46 54 62 69 75 81 86 9@]; % Vận tốc của Chris

vk = [@ 22 37 52 61 71 60 G6 93 98 102]; % Van téc cua Kelly

t=T/3600;% thdi gian theo s

% Số phân đoạn

n=5;

% Tính độ đài mỗi phân đoạn

delta_t = (max(t) - nin(t)) / nị

% Tính trung điển của các phân đoạn

t_midpoints = min(t) + delta_t/2: delta_t : max(t) - delta_t/2;

% Tính khoảng cách sử dụng Quy Tắc Trung Điển

distance = sum((interp1(t, vk, t midpoints)-interp1(t, vc, † midpoints))* delta t);

Chiều rộng (tính bằng mét) của hồ bơi hình quả thận được đo ở những khoảng cách

2 mét như trong hình Dùng Quy Tắc Trung Điểm để ước tính diện tích hồ bơi

Đài tập lớn Giải tích Ï Nhóm 09— Lớp L2] s% Chương trình matlab:

>> %Dữ liệu của hồ bơi

x= 0:2:16; %Chia chiều dài của hồ bơi thành 8 phần với khoảng cách 2 mét

h= [6.2, 7.2, 6.8, 5.6, 5.0, 4.8, 4.8]; %XChiều rộng của hồ bơi theo vị trí x mét

% Tính diện tích bằng cách sử dụng giá trị của hàm y tại các điểm chẵn

area = sum(y_values) * delta x;

% Hién thi két qua

disp(['Diện tích ước tính của hồ bơi là: ', num2str(area), ' m^2']);

Diện tích ước tính của hồ bơi là: 91.2 m^2|

23.8, 20.5, 15.1, 8.7 và 2.8 Dùng Quy Tắc Trung Điểm đê ước tính diện tích của

thiết điện của cánh

“ Bai giai:

» Goi x là chiêu rộng của cánh từ điểm tận cùng bên trái

« _ Gọi h(x) là chiêu cao của cánh, tính băng em, ở những khoảng cách x em

200—0

« - Ta dùng Quy Tắc Trung Điểm với n = 5 phân đoạn và Ax= =40 (cm)

» Ta có: xị= 20 cm, xạ = 60 cm, x; = LŨÔ em, x¿ = l40 em, x; = 180 cm

« — Ta ước tính diện tích diện tích của thiết diện của cánh như sau:

13

>> % Dữ liệu chiều cao của cánh

x = 0:20:200; XChia chiều dài của cánh thành 16 phần có khoảng cách bang 20 cm

h = [5.8, 20.3, 26.7, 29.0, 27.6, 27.3, 23.8, 20.5, 15.1, 8.7, 2.8]; XChiều cao của cánh theo vị trí x cm

% Số phân đoạn

n=5;

% Tính độ dài mỗi phân đoạn

delta_x = (max(x) - min(x)) / n;

% Tính trung điểm của các phân đoạn

x_midpoints = min(x) + delta x/2 : delta x : max(x) - delta_x/2;

% Tính khoảng cách sử dụng Quy Tắc Trung Điểm

distance = sum(interp1(x, h, x_midpoints) * delta_x);

% Hién thi két qua

fprintf('Diện tích tiết diện của cánh là: X.4f dặm^2\n', distance);

Diện tích tiết diện của cánh là: 4232.0999 dặm^2

»>

Hinh 3.9 Kiém tra bai 43 bang Matlab

3.8 Bai 44, muc 6.1, sach James Stewart

% Dé bai:

Nếu sinh suất (tốc độ sinh sản) là bị j=2200 e°°*' người mỗi năm và tử suất là

đ ÍtÌ=1460e°““người mỗi năm Tìm diện tích giữa các đường cong này với 0 <t<

10 Diện tích này biểu thị điều gì?

s% Bài giải:

« - Diện tích giữa các đường cong nảy là:

10 S= J |b|t)—d |¢|dx=8867,99~ 8868

0

* Ynghia: Trong khoang thoi gian 10 năm, dân số tăng khoảng 8868 người

Đài tập lớn Giải tích 1 Nhóm 09— Lớp L2] s% Chương trình matlab:

%Tính tích phân và in ra diện tích tính bảng tích phân

fprintf( ‘Dien tich giua cac duong cong nay la: S=Xf', int(b-d,t,0,19))

a Xe nào vươt trước sau một phút? Giải thích

bY nghia cua dién tich cua miền được tô là gì?

c Xe nao vuot trước sau hai phút? Giải thích

d Ước tính thời gian hai xe một lần nữa lại chạy cạnh nhau

Đài tập lớn Giải tích 1 Nhóm 09— Lớp L2]

khoảng thời gian từ a (phút) tới b (phút), ƒ vạÍt]dr=s„(t) Tương tự, diện tích

được giới hạn bởi đường cong vận tốc B, trục Ot và 2 đường thắng đứng t = c, t

= d biếu thị quãng đường đi được của xe B trong khoảng thời gian từ c (phút)

d

toi d (phut), fv, (t)dt=s,(t)

Xe A vượt trước xe B sau | phut Vi phan diện tích được giới hạn bởi đường cong vận tốc A, trục Ot và 2 đường thăng đứng t = 0, t= I lớn hơn phần diện tích được giới hạn bởi đường cong vận tốc B, trục Ot và 2 đường thắng đứng t

lớn hơn phần diện tích được giới hạn bởi 2 đường thăng đứng t =0, t= [, trục

Ot và đường cong vận tốc B nên xe A vẫn vượt trước xe B sau 2 phút từ khi

khởi hành

Từ đồ thị, đường như diện tích giữa đường cong A và B từ 0 đến I giây ( khi xe

A nhanh hơn), tương ứng với khoảng cách mà xe A ổi trước, là khoảng 3 6 vuông Do đó, ô tô sẽ chạy cạnh nhau tại thời điểm x Trong đó, diện tích giữa các đường cong khi 1<t<x (khi xe B nhanh hơn) bằng diện tích giữa các đường

cong khi 0<t<1 Từ đỗ thị, ta thấy x=2,25( phút) Vậy 2 xe một lần nữa lại chạy

cạnh nhau là tại thời điểm t=2,25{ phút)

Đài tập lớn Giải tích 1 Nhóm 09— Lớp L2]

3.10 Bai 46, muc 6.1, sach James Stewart

% Đề bài:

Hinh dưới cho thấy đồ thị của hàm số doanh thu cận biên R' và hàm số chỉ phí

cận biên C° của một công ty sản xuất [Nhớ là ở Bai 4.7 ta đã biết R(x) và C(x)

biểu thị doanh thu và chỉ phí khi x đơn vị được sản xuất R và C được tính bằng nghìn đôla] Ý nghĩa của diện tích của miền được tô là gì? Dùng Quy Tắc Trung Điểm đề ước tính giá trị của đại lượng nay

“ Bai giai:

+ Y nghia cua dién tich mién được tô là: Từ 50 đơn vị được sản xuât dén 100 don

vị được sản xuât, diện tích miễn được tô là lợi nhuận của công ty

TH |dvsx|

* Ta dung Quy Tac Trung Diém véi n = | phan doan và Ax=

* Tauéc tinh dién tich cha mién duoc t6 nhu sau:

S#Ax |R|75|—C |75)|#50.(2—1)=50(nghindé la)

Đài tập lớn Giải tích 1 Nhóm 09— Lớp L2]

CHUONG IV: TONG KET

4.1 Những điều đã đạt được

Qua bai tập lớn này, chúng em đã có cơ hội đề tìm hiểu rõ hơn về Tông Riemann

và Tính diện tích hình phẳng về ứng đụng của nó trong các bài toán hàn lâm cũng như

là toán thực tế Đây là những kiến thức có tính ứng dụng cao trong các lĩnh vực Khoa học, Kinh tế, nên chúng em sẽ có thêm một công cụ tính toán các đại lượng trong lĩnh vực của mỗi người Chúng em đã ứng đụng cả kiến thức này vào các ứng dụng, phần mềm tính toán như Geogebra, Matlab, WolfamAlpha và điều này đã trang bị cho chúng em khả năng có thê sử dụng chúng trong tương lai

Ngoài các kiến thức chuyên môn, chúng em còn có cơ hội đề có thê trau đồi và trang bị thêm các kỹ năng mềm trong quá trình làm bài báo cáo Kỹ năng làm việc nhóm là một trong các kĩ năng quan trọng mà các công ty, doanh nghiệp đòi hỏi ở các

cá nhân và bọn em đã được học hỏi cũng như ứng dụng trong bài tập này Ngoài ra, kỹ năng giao tiếp và quản lý thời gian là các kĩ năng chúng em đã sử dụng để bắt kịp tiến

độ công việc và làm cho bài báo cáo trở nên hiệu quả hơn

4.2 Những điều chưa đạt được

- _ Thứ nhất là tính chính xác của các bài toán Vì các phương pháp sử dụng đều có tính xấp xỉ nên những kết quả cũng chỉ mang tính chất tương đối và có thé chính xác hơn nữa với những cách giải khác

- Thứ hai là tiến độ làm việc không như dự đoán Vì tính chất địa lý nên việc họp

và tiến hành những buổi gặp mặt đề thuyết trình thử rất khó Điều này cũng

khiến cho công việc trở nên chậm trễ hơn

- _ Tuy vậy, nhóm chúng em đã có gắng hết sức khắc phục những điểm yếu bằng các điểm mạnh như thay thế tính sang tạo bằng sự chỉ tiết, tỉ mỉ và đa dạng hoá cách giải bài Đây cũng là lần đầu tiên nhóm chúng em làm bài tập lớn nên sai sót là điều không thể tránh khỏi Xin cảm ơn thầy Đào Huy Cường đã dành thời gian để lắng nghe, sửa lỗi và giúp chúng em tốt hơn