Báo cáo bài tập lớn giải tích 1 chủ Đề the second derivative test

TÓM TẮT BÀI BÁO CÁOới đề tài khảo sát đạo hàm cấp hai cũng như ứng dụng khai triển Taylor và khai triển Maclaurin đối với hàm số một biến số để xác định cực trị của hàm số nhóm chúng em

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1 CHỦ ĐỀ: THE SECOND DERIVATIVE TEST

GVHD: TS NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG LỚP: L25 NHÓM: 1 Danh sách thành viên:

1 Trương Minh Ngọc Quý MSSV: 2114608

3 Tăng Thị Mỹ Linh MSSV: 2111650

4 Nguyễn Lê Thanh Minh MSSV: 2114059

TÓM TẮT BÀI BÁO CÁO

ới đề tài khảo sát đạo hàm cấp hai cũng như ứng dụng khai triển Taylor và khai triển Maclaurin đối với hàm số một biến số để xác định cực trị của hàm số nhóm chúng em tiếp cận vấn đề bằng cách đưa ra cơ sở lý thuyết của bài toán rồi dùng các kiến thức đã học để xác định phương pháp giải bài và sau đó là thiết lập phương pháp tổng quát, xây dựng và giải quyết vấn đề ở nhiều khía cạnh Sau cùng là kết quả tổng hợp và tính ứng dụng của Khai triển Taylor cũng như Khai triển Maclaurin để giải quyết bài toán tìm cực trị cũng như giới hạn Nhờ đề tài này mà chúng em có thể hiểu rõ hơn

về bản chất của đạo hàm cấp hàm và tính ứng dụng tìm cực trị của Khai triển Maclau và có thể chia sẻ những hiểu biết của chúng em đến với thầy cô và các bạn

V

LỜI CẢM ƠN

rong suốt quá trình thực hiện tiểu luận nói trên, nhóm chúng tôi đã nhận được rất nhiều sự quan tâm và ủng hộ, giúp đỡ tận tình của thầy cô, anh chị em và bè bạn Ngoài ra, nhóm cũng xin gửi lời tri ân chân thành nhất đến thầy Nguyễn Đình Dương, là giảng viên hướng dẫn cho đề tài bài tập lớn này Nhờ có thầy hết lòng chỉ bảo mà nhóm đã hoàn thành tiểu luận đúng tiến độ và giải quyết tốt những vướng mắc gặp phải Sự hướng dẫn của thầy đã là kim chỉ nam cho mọi hành động của nhóm và phát huy tối

đa được mối quan hệ hỗ trợ giữa thầy và trò trong môi trường giáo dục Lời cuối, xin một lần nữa gửi lời biết ơn sâu sắc đến các cá nhân, các thầy cô đã dành thời gian chỉ dẫn cho nhóm Đây chính là niềm tin, nguồn động lực to lớn để nhóm có thể đạt được kết quả này

T

MỤC LỤC

PHẦN 0: BẢNG PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ VÀ TIẾN TRÌNH 1

PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2

1.1 Khai triển Taylor – Maclaurin 2

1.1.1 Khai triển Taylor cấp n: 2

1.1.2 Khai triển Maclaurin: 2

1.2 Khảo sát dấu đạo hàm cấp hai để xác định cực đại, cực tiểu: 2

PHẦN 2: NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ 2

2.1 Yêu cầu bài toán 2

2.2 Bài làm 2

PHẦN 3: MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG CHO CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ 5

3.1 Mở Rộng 5

3.2 Áp Dụng Giải Các Bài Toán Tương Tự 5

PHẦN 4: KẾT LUẬN 7

iii

PHẦN 0: BẢNG PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ VÀ TIẾN TRÌNH

Võ Gia Huy 2111368 Viết code, xây dựng Matlab 100%

Tăng Thị Mỹ Linh 2111650 Tìm kiếm tài liệu 100%

Nguyễn Lê Thanh

Trần Nghị 2111848 Powerpoint 100%

PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Khai triển Taylor – Maclaurin

1.1.1 Khai triển Taylor cấp n:

- Nếu hàm số có đạo hàm cấp n tại Khi đó ta có công thức khai triển Taylor:

1.1.2 Khai triển Maclaurin:

- Tại lân cận = 0 thì khai triển Taylor trở thành khai triển Maclaurin:

(

1 2 Khảo sát dấu đạo hàm cấp hai để xác định cực đại, cực tiểu:

- Trong giải tích hàm một biến, nếu một hàm liên tục có điểm cực trị tại do đó ()=0, người ta thường sử dụng đạo hàm cấp 2 để kiểm tra xem điểm giới hạn này là cực đại hay cực tiểu cục bộ

- Để hiểu điều này, ngta sử dụng Khai triển Taylor tại cho hàm số , với ()=0

Với là phần dư bậc

- Nếu =0 thì khai triển Taylor trở thành khai triển Maclaurin:

Khi dần tiến về 0 thì

Từ đây, ta thấy:

+ Nếu thì với mọi x tiến gần tới 0 Vậy là giá trị cực tiểu cục bộ

+ Nếu thì) với mọi x tiến gần tới 0 Vậy là giá trị cực đại cục bộ

2

+ Tuy nhiên, nếu thì khảo sát dấu đạo hàm cấp hai thất bại và chúng ta phải dùng nhiều hạng tử hơn nữa ở Khai triển Maclaurin để xác định xem hàm số có đạt cực trị tại , và nó là cực đại hay cực tiểu:

Khi dần tiến tới 0 thì

Tương tự nếu thì

TỔNG QUÁT:

- Khi khảo sát dấu đạo hàm cấp 2 thất bại (),với dần tới 0 ta có:

, với là thứ tự đầu tiên mà

+Đặt

Xét: chẵn

+ Nếu thì suy ra khi tiến gần tới 0 <=> là cực đại cục bộ

+ Nếu thì suy ra khi tiến gần tới 0 <=> là cực tiểu cục bộ

Xét: lẻ

Ta có: (là nghiệm bội chẵn) Từ đó suy ra, không là cực trị của hàm số

1 Một số khảo sát đựa vào khai triển với là số nguyên thì luôn dương với mọi giá

trị khác 0, nên 0 là giá trị cực tiểu

2 với là số nguyên thì luôn âm với mọi giá trị khác 0, nên 0 là giá trị cực đại

3 ± với là số nguyên thì dương với đủ gần và âm với phần còn lại, nên không có

cực trị

PHẦN 2: NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ

2.1 Yêu cầu bài toán

-Với mỗi hàm số dưới đây, đạo hàm cấp 2 của chúng không cung cấp bất cứ thông tin gì Hãy dùng khai triển Maclaurin để xác định các hàm sau có các điểm tới hạn hay không

2.2 Bài làm

1.

-Ta nhận dễ dàng nhận thấy rằng có giá trị nhỏ hơn đáng kể so với khi nhận giá trị lân cận gần với Nên ta có thể thay thế hàm bằng hàm

=> ~ khi x nhận giá trị lân cận x=0

-Mà đạt giá trị cực đại tại nên hàm cũng đạt cực đại tại Vậy có giá trị cực đại

2.

-Tương tự, ta có thể thay thế bằng .

=> ~ khi nhận giá trị lân cận

-Mà không đạt cực trị tại nên cũng không đạt cực trị tại

3.

-Tương tự như hai câu trên:

=> ~ khi x nhận giá trị lân cận

- Nhận thấy rằng có số mũ lẻ, nên hàm không là cực trị Vậy cũng không là cực trị của 0) 0)

hàm

4

=> ~ khi nhận giá trị lân cận 8

-Vì đạt cực tiểu nên cũng đạt cực tiểu.0) 0)

5

-Ở câu này, chúng ta sẽ sử dụng khai triển Maclaurin cho

=> =

-Chúng ta tiếp tục thay bằng =

=> ~ khi nhận giá trị lân cận =

-Vì đạt cực tiểu nên đạt cực tiểu.0) 0)

6.

Ta có: ~ = khi nhận giá trị lân cận

-Vì không xác định nên cũng không xác định Vậy không là cực trị.0) 0) 0)

7.

Ta có: ~ khi nhận giá trị lân cận

Ta lại có: ~ khi nhận giá trị lân cận

Và vì không là cực trị nên không là cực trị => cũng không là cực trị.0) 0) 0)

=> =

Và ~ khi nhận giá trị lân cận =

Vì có số mũ lẻ nên không là cực trị => không là cực trị.0) 0)

6

PHẦN 3: MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG CHO CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ

3.1 Mở Rộng

-Phần trên là bài giải các câu xác định một hàm có đạt cực trị tại hay không, nhưng chúng ta

có thể dễ dàng mở rộng vấn đề bằng cách thay giá trị bằng một giá trị mà 0 và.

-Sẽ có một số thay đổi về cách giải cho hàm khi ta đã thay giá trị bằng một giá trị khác :0 0

+Thay vì dùng khai triển Maclaurin cho , ta dùng khai triển Taylor mang tính tổng quát hơn khi

+ Chuyển hẳn sự chú ý từ các giá trị khi gần sang các giá trị khi gần c.

3.2 Áp Dụng Giải Các Bài Toán Tương Tự

-Chúng ta sẽ sử dụng một bài tập đã giải ở phần 2 bằng cách thay đổi giá trị từ gần 0 sang gần (với là điểm tới hạn của hàm và khác 0)

-Đầu tiên chúng ta sẽ tìm các điểm tới hạn khác 0 của hàm trên:

<=>

<=> (loại) , , -Khai triển Taylor đến cấp 2 cho tại

=>

-Ta được hàm

-Ta dễ dàng thấy gần như đạt cực trị tại mà cụ thể ở đây là gần như đạt cực tiểu

-Vậy ta có thể xem như chính là giá trị cực tiểu của hàm Và ta cũng có thế áp dụng tương tự )

với

8

PHẦN 4: KẾT LUẬN

-Với khai triển Taylor - Maclaurin thì ta có thể xác định được ( thuộc tập số thực) thì có là cực trị hay không Đồng thời khắc phục được những hạn chế của đạo hàm cấp hai khi và khi

nó không cung cấp bất cứ thông tin gì về điểm đó có là cực trị hay không