Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 tìm hiểu về trường vector

Định nghĩa trường vector Trường vector trong không gian hai hoặc ba chiều là một hàm gán cho từng điểm x,y hoặc |x,y,z}¿ một vector hai hoặc ba chiều được cho bởi | x, y] hoặc Flx, y,z..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA DAI HOC QUOC GIA TP HO CHI MINH

BAO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 TÌM HIẾU VỀ TRƯỜNG VECTOR

GVHD: TRAN NGOC DIEM

NHOM:L17_23

TP.HCM, 5-2024

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA DAI HOC QUOC GIA TP HO CHI MINH

BK TP.HCM

BAO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 TIM HIEU VE TRUONG VECTOR GVHD: TRAN NGOC DIEM

LOP: L15 NHOM: 23

1 Trinh Duy Khang 2311480 Truong nhom

TP.HCM, 5-2023

BK

NHẬN XET VA CHAM DIEM CUA THAY/CO

Truong Dai Hoc Bach Khoa Tp.HCM 1

Mục Lục

L TÌM HIẾU VỀ TRƯỜNG VECTOR -.-S S21 211511111111111111111121212121111111111212xxe 4 IIL ĐỊNH NGHĨA GRADIENT CỦA HÀM NHIÊU BIỂN - 2222 S22E252525252525e2 7

Re 07 na ah a 7 1.1 Định nghĩa Q02 1020111201120 1121111211151 1111111111 111101111 k 1H11 1n k ke g ky 7 1.2 Ý nghĩa 5 scSs T1 11251211 1121121211211 1 11T tre 7

2.1 Toán tử Curl(XOáW) - 02000020 1110111101 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111 kg 7

2.2 Toán tử Div (Phân kÌ) - - s21 2E12E152121171121121 7121111171221 1011 grrea § IE2)hs00 @9)2-):462)/9 272 BB aa 10

TV GIGI THIBU oe ceccccccccccccccscccesecsessusecsussesessesecsessesscsesecesussissesussusessusecsnsensessnsetesenees 12

Truong Dai Hoc Bach Khoa Tp.HCM 2

Đầu tiên, chúng em xin cảm ơn trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM đã tạo điều kiện cho chúng em làm việc nhóm với nhau, có thể nói làm việc nhóm là một trong những yếu tố quan trọng sẽ hỗ trợ chúng em trên con đường sự nghiệp sắp tới Trong quá trình làm việc nhóm, chúng em đã được trao dồi thêm nhiều kỹ năng mềm như kỹ năng giao tiếp, kỹ năng phản biện Chúng em cũng xin cảm ơn trường đã đưa bộ môn Giải tích 2 vào chương trình giảng dạy, cung cấp cho chúng em nhiều kiến thức mới

Và đặt biệt, chúng em xin chân thành cảm ơn cô Trần Ngọc Diễm, là giảng viên giảng

dạy chính môn Giải tích 2 cho chúng em Cảm ơn cô đã truyện đạt những kiên thức quý báo, những kinh nghiệm giảng dạy của cô cho chúng em Trong quá trình học môn Giải tích 2 này, chúng em cảm thấy mình được trao dồi thêm nhiều kiến thức hay và

bồ ích, giúp chúng em có thê hoàn thành bài báo cáo này

Bộ môn Giải tích 2 là một bộ môn vô cùng hữu ích, môn học này đã dạy cho chúng em biết cách làm việc nhóm, biết cách viết báo cáo đúng cách, trao dồi cho chúng em kỹ năng thuyết trình và kỹ năng giao tiếp Tuy nhiên, với kiến thức còn hạn chế cũng như còn bỡ ngỡ nên mặc dù đã cô gắng hết sức cho bài báo cáo lần này nhưng vẫn không thê tránh khỏi những thiếu sót và những phần chưa chính xác Chúng em mong cô có thê xem xét và góp ý cho bài báo cáo của chúng em trở nên hoàn thiện hơn

Chúng em xin chân thành cảm ơn!

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.HCM 3

I TIMHIEU VE TRUONG VECTOR

1 Định nghĩa trường vector

Trường vector trong không gian hai (hoặc ba) chiều là một hàm gán cho từng điểm x,y) (hoặc |x,y,z}¿ một vector hai (hoặc ba) chiều được cho bởi | x, y] (hoặc Flx, y,z)) Nói đơn giản là trường vector là thứ ta nhận được sau khi liên kết mỗi điểm trong không g1an với một vector

Ky hiệu chuã n của ham F là:

xy

x,y,z|k

F x,y|=P x,y|i+Q

F x,y,zÌ=P x,y,z]i+QÌx,y,zlj+R

Vị dụ: Phác thảo các trường vector sau đây

a)F|x,yÌ=~2yi+x]

b)F

2 Cách vẽ tay trường vector

x,y,zÌ=2xi-2y]—2xk

Để vẽ trường vector ta cần chọn một vài giá trị của hàm Nghĩa là ta sẽ chọn các điểm (x, M )

(hoặc (x,y, Z)) và từ đó sẽ tìm được các vector tương ứng tại mỗi điểm đã chọn Sau đó ta vã

các vector đã chọn và sẽ có được hình phác họa của trường vector cân vẽ

a) F(x y) =— 2yỈ + xj

ta chọn các điểm và suy ra vector tai diém theo ham F,

£(1) =- 2Ì+j

F(1,-1) =2i+j

Ẻ(@,— 1) =2Ì+2)

Làm thêm với các điểm khác tương tự như trên

Sau đó vẽ các vector tương ứng với các điểm đã chọn lên hệ trục tọa độ ta sẽ được bản phác

thảo của trường vector

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.HCM 4

>

ae

4

`

=e

aad

aT "PS BÍ

SN P

ÿ

đề chính xác và cụ rõ ràng hơn thì tốt nhất ta nên sử dụng các công cụ vẽ đồ thị trên máy tính (ở đây nhóm em làm Œeogebra)

Đây là bản phác thảo trường vector duoc vé bang geogebra:

⁄ ⁄///⁄⁄/⁄Z/ 7k ¬a a+~—~=he>^ SN NNN \ / LV Liu Fie Ae ee RNIN NINN \ \

J / 4 PNR adie whe 2 os NA MA À \ \

††—†———— gong gn cg gyi

eto lth ee " 9 1 › PT T—Ï j

\ OY OM Aa at a te ata ee ƒ I

\ a N NIN NEN x > pe & 417 fi f / / /

N \ NNINNIN Sm Pee ZZ LZ Sf Z 7

Se he SS Se eee eee ies oe NAOKI AS ee ae er ele ate AS

Og a ea ee eee —

b)Flx,y,z)=2xi-2yj-2xk

Trong trường hợp trường vector ba chiều rất khó đề có thể vẽ băng tay vì vậy ta sẽ thường dùng các công cụ hỗ trợ trên máy tính

Tuy nhiên ta vẫn sẽ làm một số đánh giá về hàm F

F(1,1,1)=2i-2j-2k

Truong Dai Hoc Bach Khoa Tp.HCM 5

c3 1

F(1,-3,2)=2i+6 j -2k

Ta thây trường hợp này z chi ảnh hưởng về hướng chứ kh ảnh hưởng đên độ lớn vector Sau đây là bản phác thảo trường vector:

May

Vai trò trường vector trong thực tế

Trường vectơ có nhiều ứng dụng quan trọng, vì chúng có thê được sử dụng đề biểu diễn nhiều đại lượng vật lý: vectơ tại một điểm có thể biểu thị cường độ của một lực nảo đó (trọng lực, điện, từ trường) hoặc vận tốc (tốc độ gió hoặc vận tốc của một số chất lỏng khác)

3

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.HCM

II BINH NGHIA GRADIENT CUA HAM NHIEU BIEN

1 Gradient

1.1 Dinh nghia

-Néu fla ham theo hai bién x va y, thi gradient cua fla ham vector Vf duoc xac định boi

Of; oF,

Vi ;vÌÌE Ox dy

x YJ=(F XV) fy ix j

1.2 Ý nghĩa

-Gradient của một trường vô hướng là l trường vector có chiều hướng về phía mức độ tăng lớn nhất của trường vo hướng, và có độ lớn là mức độ thay đôi lớn nhất Giả sử: f là một hàm số từ R" đến R nghĩa là Í= f(x 1X al

theo dinh nghia, gradient cua ham số f là một vector cột mà thành phần là đạo hàm theo các biến của f

_|0f of |’

Ox,’ "Ox,

Ví dụ: Nếu ƒ Íx, y =sinx+e”

Vf x,yÌ=Íf,,ƒ,)= (cos xt ye”, xe”)

Va V f(0,1)=(2.0)

2 Toán tử CurÌ và toán tử Div

Ý nghĩa: là hai phép toán mà có thê tính được trên các trường vector và đóng vai trò thiết yếu trong các ứng dụng của giải tích vector vào dòng chất lưu, điện và từ tính Mỗi phép toán tương tự với phép vi phân, nhưng phép phép toán này tạo ra một trường vector còn phép toán kia tạo ra một trường vô hướng

2.1 Toán tử Curl(Xoây)

Định nghĩa:

-Néu F=P i+ Oj +Rk là một trường vector trong R” và các đạo hàm riêng P, Q và R đều tổn tại, thì toán tử curl của F( curl F) là trường vector trong R” được xác định bởi:

Hay

Dinh ly:

-Néu fla | ham ba bién có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục, thì curl( Vƒ)=0 Chứng minh: Ta có

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.HCM 7

i J k

g8 oO ở

curli VỆ=V x|VfÌ=lôx Oy Ôz

of of of

Ox 0y dz

Lee ff |, ff ),,| ef ef

Oyoz azdyl dz0x ôxôz]} Ox0y 0yôx

¿0i+0j+0k

Theo định lý Clairaut: vì trường vector bảo toàn mà F=V ƒ nên định lý có thé phat biéu lại

Nếu F bảo toản, thì curl F =0

-Nếu F là vector xác định trên toàn bộ R” mà các hàm thành phần của nó có các đạo hàm riêng liên tục và curl F = 0, thi F la trrong vector bảo toàn

Ví Dụ:

a, Tim curl F néu F(x, y,z|=xyi+xyj+xyz k

b, curl F(-1, 2, 1) la gi?

Giải

a, Theo định nghĩa,

i J k _|0@ 0 @ curl F=Vx Fo a a

xy xy xyz

Php tye] sl 2 low oth 2 tye] pal 2 2

¿lay Av 57 (xz) i x2 2c xzl|i*|axiwl” ay 0) k

¿xz2—x]i=yz?j+Ìz—xÌk

¿xlz°—1li— yzŸj+Ìz~— xÌk

b, curl F(-1, 2, 1)E(-1)(1*“1)i- (2X17¿J +[1—(-D]k

2.2 Toán tir Div (Phan ki)

Định nghĩa: Nếu F = 7i + ÓJ + Rk là một trường vector trong RỶvà —— 29 vàể dx’ dy và „ tồn

tại, thì toán tử divergence( điv) của F là hàm số ba biến được định nghĩa bởi phương

ipo ee, OQ, OR

Ox dy y Oz -Ta quan sat thay rang curl F là một trường vector nhưng đív F là một trường vô hướng Theo toán tử gradient V= | ml tay jt 2 kK, toan ttr divergence cua F(div F) có thể được viết như tích chấm của F va V

¿P=V-F

Dinh ly: Néu F = Pi + Oj + Rk 1a mot trường vector trong R?và ?, Ó và # có các đạo ham riêng bậc hai liên tục, thì

écurl F=0 Chứng minh: sử dụng các dinh nghia toan tir curl va div ta co

Truong Dai Hoc Bach Khoa Tp.HCM 8

écurl F=V-(V x F|

;ô |ôR _ôQ|, ô|ôP_ôR| ô Ha)

Ox\Oy Oz} Oy\dz Ox} 920x ay

öxöy Oxdz 0y0z 0yöx 0z0x ôz0y

=0

Bởi vì các số hạng triệt tiêu cặp theo định lý Clatraut

Ví dụ: Cho f là một hàm vô hướng và F là trường vector Nếu f và các thành phần của

F có đạo hàm riêng cấp một chứng minh:

¿|ƒF Ì=ƒ divF+EF - VỆ

Giai: Cho F =Pi+Qj+ Rk, trong dé P, O va R la các đạo hàm của z, y và z khi đó

fF=f |Pi+Qj+Rk|=fPi+fQj+fRk Khai trién vé trai ta co:

-ipp\—v lee) | Oia 8 jak) «| fia FON

oe |= eI Sin So Su] i fie AR)

Tan càng

OP, OF p 4p 9Q, Of 04, OR, Of

Pax tax? Tay ay el a2 a2

f{OP ,0Q OR |, Of pn, Of, OF

ef Ox dy mi ax! ay? cE]

¿ƒlV-F)]+(Vf)-F

¿ƒrF+EF-Vƒ

3

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.HCM 9

II ĐỊNH LÝ DIVERGENCE

Dinh ly divergence là một định lý trong toán học, chính xác hơn là trong lĩnh vực hình học và tính toán vector Nó liên quan đến tích phân của hàm vectơ trên một miền trong không gian ba chiều Định lý này cho phép tính toán tỷ lệ giữa lưu lượng của trường vector qua bề mặt đóng và tông các phân kỳ của trường vector trong khối đó Định lý divereenee còn có tên gọi khác là định lý Gauss hoặc định ly phan ky Nó là một trong những định lý quan trọng trong lý thuyết cơ học chất lỏng và cơ học chất rắn

Dinh ly divergence có dạng toán học như sau:

JJƒvv-dv =S(V-n)d§

Trong đó:

- V là một vector ñeld trong không gian ba chiều

- V- là toán tử divergence, được hiểu là tích phân của đạo hàm riêng theo các biến không øian

- dV là phần thê tích của vùng không gian cần tính tích phân

- S là bề mặt giới hạn của vùng không gian cần tính tích phân

- n là vector pháp tuyến của bề mặt S

- dS là phần diện tích của các phần tử điện bề mặt S

Dinh ly divergence thường được sử dụng trong các lĩnh vực như vật lý, điện tử và toán học ứng dụng Ví dụ, trong vật lý, định lý divergence giúp tính toán lưu lượng của một trường vector qua một vùng không gian xác định Nó cũng được sử dụng trong lý thuyết thông tin đề định lượng và mã hóa thông tin

Ý nghĩa định lý trong một bài toán Vật lý

Định luật Gauss về Điện trường

Dưới dạng tích phân, Mật độ Điện trường được viết như sau

¿° =EA =SE d4 =ro [[,df =OAro

Với

e ® là thông lượng điện,

® E là điện trường,

® dA là diện tích của một hình vuông vi phân trên mặt đóng S,

® QA là điện tích được bao bởi mặt đó,

® o là mật độ điện tích tại một điểm trong V

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.HCM 10

e £O là hằng số điện của không gian tự do

e ƒS là tích phân trên mặt S bao phủ thẻ tích V

Xem thêm thông tin và cách áp dụng định luat Gauss 6 mat Gaussian

Dưới dang vi phan, phương trình trở thành:

eV.D=o

Với

® V là toán tu div,

D là cảm ứng điện trường (đơn vị C/m?),

p là mật độ điện tích (đơn vị C/m?), không tính đến các điện tích lưỡng cực

biên giới trong vật chất Dạng vi phân được viết dưới dạng định lý Gauss

Đối với vật chất tuyến tính, phương trình trở thành:

ev E>

VỚI

£ là hằng số điện môi

Bài toán 30: Cho S là mặt biên phía trong của khối chóp đều có các đỉnh A(a, 0, 0), B(0, a, 0), C(—a, 0, 0), D(0, —a, 0) và S(0, 0, a)

OsxdItđ=+ 1 zđzdà

Tính LÝ

Giải:

Gọi © la khéi chop SABCD

Ap dung dinh li Gauss-Ostrogradsky, ta có:

[ fosxdvdz+ y°zdzdx=- [ fifsin vt+2yz)dxdvdz= [ Ị {in x- 2iz)dvdtd=

Ta co: Q là vật thê đôi xứng qua mặt phắng x=0, sinx là hàm lẻ đôi với biên x nên

Tương tự : Q la vat thê đối xứng qua mặt phăng y=0, 2yz là hàm lẻ đối với biến y nên

[ || zdxdyvdz=0 { (fin - 2yz)dxdydz=0 Vay ¬

Truong Dai Hoc Bach Khoa Tp.HCM 11

A +2

IV GIỚI THIỆU

Ứng dụng đề vẽ mà nhóm chúng em muốn giỏi thiệu là Geogebra Đây là một công cụ

hỗ trợ học toán thông minh cung cấp những bộ công cụ miên phí dé hoc tập và nghiên cứu Ngoài ra nó còn cung cấp cho chúng ta một số kiến thức mới và thú vị

Đây là công cụ chúng em dùng đề vẽ các trường vector trong bai cua nhóm mình, nó

có thê vẽ hâu hệt các trường vector, gradient, curl (not) m6t cach kha nhanh chong va

rõ ràng

Đầu tiên đề sử dụng chung ta truy cập vào ứng dụng øeogebra và tìm kiếm mục Vector field 2D và nhập các thông tin của hàm F :

Vx(x,y)=

xmin = -5

°

ymin = -5

xn=8

v=0.02

e

xmax = 5

ymax = 5

yn=8

©

vh =0.09

ứng dụng sẽ trả về kết quả là hình của trường vector cần vẽ

⁄⁄⁄⁄/⁄/z-~-=—+—=>=~ex~eểNN®SV

Z/V ~” ~®~— *~==N%N NNN

Z//⁄-+~-+~eRmeNNNNNN

1 /W dt v2 Crd its NY NÀN LLL DLT PERINAT Lib bbe ele dg win w VN UE Y [dil bee ete eda hk tit

PIN VI + ,.nt ft pet |

NI NÀY SSS carr VU ủi

Truong Dai Hoc Bach Khoa Tp.HCM