Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 Đề 5 tìm hiểu về trường vector

Định nghĩa, vai trò của trường vector trong thực tế: - Trường vector là một hàm gắn một vector với mỗi điểm trong vùng.. + Trong không gian 3 chiều: Trường vector trong không gian T là

DAI HOC QUOC GIA THANH PHO HO CHi MINH

TRUONG DAI HOC BACH KHOA

6 c2 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2

ĐÈ 5ã TÌM HIỂU VẺ TRUONG VECTOR

NHÓM

TP HCM, -2024

ĐỀ 5

Tìm hiểu về trường vector Tham khảo: Soo T Tan - Multivariable Calculus -Brooks Cole (2009),

phần 15.1,15.2

1 Tìm hiểu về trường vector: định nghĩa, cách vẽ tay, vai trò của

trường vector trong thực tế

2 Định nghĩa Gradient của hàm nhiều biến; Divergence, Curl/Rot của trường vetor Nêu ý nghĩa của các đại lượng này Trình bày một số tính chất của gradient, div, rot

3 Định lý Divergence: phát biểu định lý, nêu ý nghĩa của định lý trong một bài toán vật lý

4 Giới thiệu một ứng dụng để vẽ trường vector, gradient, curl

(rot)

Tất cả các phần đều phải có ví dụ minh họa

NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN

MỤC LỤC

ĐỀ TÀI VÀ DANH SÁCH THÀNH VIÊN - con rei 1

NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN LH He neeg 2 MỤC LỤC - TH TH HH HH HH HH Hy nh HH 3

CHUONG I TÌM HIỂU VỀ TRƯỜNG VECTOR - - 4

1 Định nghĩa, vai trò của trường vector trong thực tế: 4

2 Cách VỀ tay: nh nh nh nh HH Hang 4 CHƯƠNG II TÌM HIỂU VỀ GRADIENT CỦA HÀM NHIỀU BIẾN;

DIVERGENCE, CURL/ROT CA TRƯỜNG VECTOR 6

a) Gradient cua hàm nhiều biến: c 6

b) Divergence của trường VecCtOr: co ciccceằ 6 c) Curl/Rot của trường VeCtOF: nhi 7

"4 1n ă 8

3 Tính chất: ch HH nh nhe kkn 8 CHUONG III DINH LY DIVERGENCE ccccccccccsssssssssseeveeeeaees 11

2 Ý nghĩa: LH Tnnn ng kg kg kết 11 CHƯƠNG IV GIOI THIEU UNG DUNG VE TRUONG VECTOR,

GRADIENT, CURL (ROT) ch nh nh heo 18

1 Vẽ trường vector bằng matlab: ị 18

2 Vẽ Gradient bằng matlab: cccccccìecccc: 19

TỔNG KẾT L- Ln tntnEnE 2H11 11 1kg Hàn ng 20

TAI LIEU THAM KHẢO Tnhh nh nh nh Hy nàng nàn tện 21

CHUONG I TIM HIEU VE TRUONG VECTOR

1 Định nghĩa, vai trò của trường vector trong thực tế:

- Trường vector là một hàm gắn một vector với mỗi điểm trong vùng Việc nghiên cứu về trường vector được thực hiện thông qua nhiều trường vật lý như trường lực, trường vận tốc Trường hấp dẫn và điện trường là các ví dụ về trường lực; và dòng chảy của nước qua con kênh là ví dụ về trường vận tốc Việc tính toán trường vector cho phép ta tính toán nhiều đại lượng đáng chú ý liên quan đến các trường lực và trường vận tốc

+ Trong không gian 2 chiều: Trường vector trong mặt phẳng R

là hàm có giá trị vector F phụ thuộc vào mỗi điểm (x, y) trong R một

vector hai chiều có dạng

F(x, y) = P(x, y)Ï + Q(x, y)]

với P và Q là hàm hai biến xác định trên R

+ Trong không gian 3 chiều: Trường vector trong không gian T

là hàm có giá trị vector F liên kết với mỗi điểm (x, y, z) trong T một vector ba chiều có dạng

F(X, y, Z) = P(x, y, Z)Ï + Q(%x, y, Z)j + R(%x, y, Zz)k với P, Q, R là hàm nhiều biến xác định trên T

- Bản chất trường vector là mô tả và đo lường các đại lượng vector như vận tốc, lực, hoặc bất kì các vector nào khác mà thay đổi theo không gian và thời gian Do đó trường vector là một công cụ hữu ích trong việc mô tả các hiện tượng vật lý, toán học Ví dụ, trong cơ học lượng tử, trường vector có thể biểu diễn sức nặng hoặc trọng lượng của một vật thể và cung cấp thông tin về cường độ và hướng của vật tác động lên vật

2 Cách về tay:

Trong không gian hai chiều, trường vector có dạng F(x, y) = P(x, y)ï

+ Q(x, y)j

- Bước 1: chọn một điểm A với tọa độ x, y ngẫu nhiên

- Bước 2: thay các tọa độ của điểm A vào P(x, y) và Q(x, y) và

tính được các giá trị, tương ứng với giá trị a, b

- Bước 3: từ điểm A, vẽ một đoạn a song song với trục hoành

và đoạn b song song với trục tung

- Bước 4: vẽ vector hợp bởi a và b

- Bước 5: lặp lại bước 1 nhiều lần và ta sẽ có một vài vector

CHUONG II TIM HIEU VE GRADIENT CUA HAM NHIEU BIẾN;

DIVERGENCE, CURL/ROT CUA TRUONG VECTOR

1 Dinh nghia:

a) Gradient của hàm nhiều biến:

- Gradient là khái niệm rất gần với khái niệm đạo hàm mà chúng ta

đo học thời cấp 3, nó biểu điễn tốc độ thay đổi hàm Gradient là 1 vector trong khi đạo hàm là giá trị vô hướng

- Giả sử ƒ là một hàm số từ R' đếnhR nghĩa là ƒ=ƒ Íx 1, xn)

Theo định nghĩa, gradient của hàm số ƒ là một vector cột mà thành

- qng dụng trong thực tế:

+ VÍ dụ, nhiệt độ trong một căn phòng được cho bởi một trường vô hướng T, sao cho tại mỗi điểm (x, y, z) nhiệt độ là T (x, y, z) (giả thiết rsng nhiệt độ không thay đổi theo thời gian) Trong trường hợp này, tại mỗi điểm trong căn phòng, gradient của T tại

điểm đó cho biết hướng mà theo đó nhiệt độ tăng lên nhanh nhất

Độ lớn của gradient cho biết nhiệt độ thay đổi nhanh đến mức nào nếu ta đi theo hướng đó

+ Trong ví dụ khác, một ngọn đti có độ cao so với mức biển tại điểm (x, y) là H (x, y) Gradient của H tại mỗi điểm là một vector chp

6

theo hướng dốc nhất tại điểm đó Độ dốc của dốc này được cho biết bởi độ lớn của vector gradient

b) Divergence của trường vector:

- Trong giải tích vector, toán tử điv hay toán tử phân kỳ hay suất tiêu tán là l toán tử

đo mức dô - phát ra hay thu vào c.a trưởng vector tli mét-di2m cho trước, div c.a mô ‡ trư0ng vector là 1 hàm s4 thực có th2 âm hay dương

- Trong tọa dé Descartes, voi trưÔng vector được bi2u diễn a = (a„ ay, a;), toán tử này được viết:

, 1 cá ‘a

Va =(—+ + —+ +=)

- qng dụng trong thực tế: Ta xét xem không khí được hâm nóng hay làm nguội đi Trường vector trong ví dụ này là vận tốc của không khí

di chuyển tại từng điểm Nếu không khí được hâm nóng lên trong

một vùng nào đó nó sẽ nở ra trong tất cả mọi hướng do vậy các vector vận tốc sẽ chp hướng ra khỏi vùng đó Do đó suất tiêu tán trong vùng đó sẽ có giá trị dương, vì vùng đó là ngutn phát nhiệt Nếu như không khí lạnh đi và co lại, suất tiêu tán vùng đó sẽ có giá trị âm và vùng được gọi là ngutn thu nhiệt Một cách chính xác hơn, suất tiêu tán tượng trưng cho mật độ thể tích của một thông lượng đi

ra khỏi trường vector từ một thể tích rất nhỏ xung quanh một điểm cho trước

c) Curl/Rot của trường vector:

- Rot là môttoán tử vector mô tả đô -xoáy c.a môt-trưởng vector TI¡ bất kì di2m nao trên vector, rot được bi2u thi bHng | vector Cac thu@-tinh c.a vector nay (d6 - dài và hướng) nói lên bản chất c.a đô -xoay tli di2m do

- Khai tri2n trong toa d6 Cartesian Vx Fla, choi gồm ớ thành phân [ì ì„ ì;]:

~- ^ c ¬ "1ì

mà trong đó i, j, k là đơn vị của trục x-, y-, z Công thức này được

khai triển ra như sau:

OF, CF OF OF, \ Z\; OCF, OF XY)£

2 Ý nghĩa:

- Gradient: vector gradient tl¡ M là vector chỉ hướng tăng nhanh nhất c.a hàm f tli di2m M

- Divergence: néu i(x, y, z) la vận t4c c.a chất ITng (hoặc khí) thì div(i) th2 hiện t4c

độ thay đổi (theo th0i gian) c.a một kh4i lượng chất ITng (hoặc khí) sau di2m (x, y, z) trên một đơn vị th2 tích Nói cách khác, div ì(x, y, z) phản ánh xu hướng c.a chất ITng tach ra tir di2m (x, y, z) Nếu div (i) = 0 thi i được gọi là không nén được

- Rot/Curl: Néu i(x, y, z) la trưởng vận t4c trong chat 1Tng thi nhing ht gan (x, y, z)

có xu hướng quay quanh trPc và có chiều theo hướng c.a rot (i) và độ dai c.a vector rot cho biết t4c độ các hlt di chuy2n quanh trPc Néu rot (i) = 0 tli di2m P thi chat ITng thoát khTi sự quay từ P và ì dw0ng cong goi la kh6ng quay tli P Noi cach khác, không có xoáy hay xoắn tl¡ P Nếu rot ì = 0 thì cái guỗồng di chuy2n theo chất ITng nhưng không quay quanh trPe c.a nó Nếu rot ì Z 0 thì cái guồng quay quanh trPc c.a

Nói cách khác, néu f(x, y, z) bảo toàn thì rot(f)=0 (trưÔng vector bảo toàn)

- Nếu ì là trưởng véc tơ xác định trên l ớ, các hàm thành phần c.a nó có các đlo hàm riêng liên tPc vả rot ¡ = 0, thì ì là trưởng véc tơ bảo toàn

- Nếu ì = Pi ứ ởj ứ Rk là trưởng véc tơ trên Rớ và P, ở, R có các đlo hàm riêng cấp

2 liên tPc, thi div (rot ì) = 0

Chứng mình:

bb

, ð [ðR_ôQÌ, 2 (aP_aR), a/aQ_aP

Ox\Oy 0z) 0y\9z Ox} dz\ ax day

2 2 2 2 2

¿ a 2a , Oo ð „ ở _ ở _

Oxdy Oxdz Oydz 0yöx dAzOx Ôôzôy

(Từng đôi một triệt tiêu nhau theo dinh li Clairaut)

- Div c.a một vector là một s4

- Rot c.a một vector là một vector

- é(grad(f))=Af

- Rot | grad |f}|=0

¢ Trong toa do Descartes:

- iradient trong toa dé Descartes:

- Rot trong tọa độ Descartes:

` 1€0ŒF) 16F, OF_

- Rot trong toa d6 trP:

« Trong toa dé cau:

- iradient trong toa dé cau: a

- Rot trong tọa độ cầu:

CHUONG III DINH LY DIVERGENCE

1 Dinh ly:

- Định lý Divergence, hay còn gọi là định lý Gauss, là một khái niệm quan trọng trong giải tích vector và vật lý toán học Định lý này xác định mối liên hệ giữa lưu lượng của một trường vector qua một miền

và tích phân của sự chênh lệch giữa dòng chất lưu ra và vào miền đó qua bề mặt biên của nó Phát biểu chính xác của Định lý Divergence được trình bày như sau:

Cho V là một miền đóng và liên tục trong không gian ba chiều với bề mặt biên S và Z là một trường vector liên tục trên V Khi đó, tích phân của phần tử Divergence của F trên V bsng tích phân của F qua bề mặt biên S:

[[[(V-ridv=4$r-đs

V.FdV=̓ F-dS + Trong đó, V.r là phần tử divergence của Z, 2V là phần tử thể tích trong V, 4ý là phần tử diện tích trên bề mặt biên 5, và “.” biểu

thị tích vô hướng (dot product)

- Định lý Divergence cung cấp một công cụ quan trọng trong việc phân tích và hiểu sự phân phối của các trường vector trong không gian ba chiều, và có ứng dụng rộng roi trong nhiều lĩnh vực như vật

lý, kỹ thuật, và toán học ứng dụng

2 Ý nghĩa:

- Theo thuật ngữ vật lý, sự phân kỳ c.a trưởng vector là một khía clnh mà thông lượng trưởng vector holt động gi4ng như một nguồn tli một đi2m nhất định Nó là một thước đo cPc bộ về "tính phân kỳ " c.a trưởng vector - mức độ mà có bao nhiêu vector trưÔng thoát ra khi một vùng không gian so với vector trưởng nhập vảo nó Một đi2m mà tl¡ đó thông lượng đi ra có phần kỳ dương và thông thư0ng đó được gọi

là "nguồn" c.a trưởng Một đi2m mà tl¡ đó thông lượng hướng vào trong có phần kỳ

âm thưng được gọi là "phần chìm" c.a trưởng Thông lượng c.a trư0ng qua một bề mặt nhT bao quanh một đi2m nhất định càng lớn thì giá trị c.a phan ky tli di2m đó càng lớn Một đi2m mà tl¡ đó không có từ thông qua bề mặt bao quanh thì không có phần kỳ

- Sự phân kỳ c.a trưởng vector thư0ng được minh họa bHng cách sử dPng ví dP vé trư0ng vận tắc c.a chất lưu, chất ITng hoặc chất khí Một chất khí hoặc ITng chuy2n động có th2 van t4c va hung, tli mỗi đi2m có th2 được bi2u diễn bHng một vector, do

đó vận tác c.a chất khí tlo thành một vector Nếu một chất khí bị đát nóng, nó sẽ nở

ra, hoặc khi bơm không khí vào bong bóng, khí sẽ tTa ra theo mọi hướng, điều này sẽ gây ra chuy2n động c.a các phần tử khí ra ngoài theo mọi hướng Bắt kỳ bề mặt đóng

11

nào trong chất khí sẽ bao ph chất khí đang nở ra, cho nên trưởng vận tác sẽ có phân

kỳ dương mọi nơi

- Tương tự, nếu khí được làm llnh, nó sẽ co l1i Sẽ có nhiều chỗ hơn cho các phần tử khí ở bất kỳ th2 tích nào, đặc biệt khi áp suất bên ngoài c.a chất khí sẽ gây ra dòng chảy thuận c.a th2 tích khí vào bên trong qua bất kỳ bề mặt đóng nào Do vậy, trư0ng vận t4c có phân kỳ âm mọi nơi

Phân kỳ của trường véc-tơ Phân kỳ âm

(Divergence of a vector field)

- Ngược l1i, với chất khí không bị nung nóng có kh4i lượng riêng không đổi, chất khí

có th2 chuy2n động, nhưng tác độ c.a chất khí sẽ chảy vào bất kỳ bề mặt kín nào phải bHng tác độ th2 tích chảy ra, do đó thông lượng c.a chất khí qua bất kỳ bề mặt đóng nảo cũng bHng không Như vậy vận tác khí không có phân kỷ ở mọi nơi Suy ra trư0ng vận t4c lúc nay phan ky Zero (Zero divergence)

Ngoài ra định ly Divergence hay con goi la định lý phân kỳ là một công cP rất quan trọng trong toán học, đặc biệt trong lĩnh vực tính toán và vật lý Có nhiều Ứng dPng c.a định lý Divereence trong thực tế mà chúng ta có th2 k2 đến như sau:

I Trong vật lý lưu chất: Định lý Divergence được sử dPng đ2 tính lưu lượng khí

và chất ITng theo th0i _8lan c.a một vùng trong chất lưu Nó cũng được sử đPng đ2 tính toán lực hấp dẫn trong các bài toán về chất ITng

2 Trong vật ly điện: Định lý Divereence được sử dPng đ2 tính toán lượng điện tích chuy2n động qua một bề mặt đóng và tính đư0ng viền c.a lớp sức điện

ở Trong toán học và đl1 s4: Định lý Divergence được sử dPng đ2 tính toán các tích phân trên các vùng ớ chiều c.a một hàm vector

4 Trong hình ảnh và đồ họa: Định lý Divergence được sử đPng trong các bài toán

xử lý ảnh đ2 tính toán các dlo ham bac nhất và bậc hai c.a một hình ảnh

ự Trong khoa hoc may tinh: No cting duoc str dPng trong machine learning d2 tìm các cPm đữ liệu dựa trên phân tích dữ liệu c.a nhiều biến s4

Dinh ly Divergence duoc phat bi2u cho cac

vung ran đơn giản Nhưng nó có th2 được mở rộng đ2 4 bao g6m cac khu vue la cac liên minh hữu hln c.a

các vùng rứn đơn giản Ví đP, hãy đ2 T là vùng nHm ¬ |

giữa các bề mặt kín 5¡ và Š; với Š¡ nHm trongS; ~

Ranh giới c.a T là S=§,n Ss, như hình vẽ và "¡ và n; dD

duoc goi la vector phap tuyén c.a S, va S,, tương tự A

vi c.a trưởng vector đó bên trong mặt đó

Trong vật lý và giải tích toán học, định luật 1auss là một ứng dPng c.a định lý 1auss cho các trưởng vector tuân theo luật bình phương nghịch đảo với khoảng cách

13