Trình bày cách giải quyết bài toán tính thông lượng của một trường vector qua một mặt cong dẫn đến khái niệm tích phân mặt loại 2.. 4 Bài làm4.1 Câu 1 Trình bày cách giải quyết bài toán
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN
GIẢI TÍCH 2 (MT1005)
Bài tập lớn (Học kỳ: 233)
“TÍCH PHÂN MẶT”
(Nhóm: 08)
GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: ThS Nguyễn Thị Xuân Anh
LỚP: DT01
Trang 21 Danh sách thành viên
Giảng viên hướng dẫn: ThS Nguyễn Thị Xuân Anh STT Họ và đệm Tên MSSV Ghi chú
1 Hồ Trọng Thể 1814114
2 Huỳnh Lâm Minh Đức 2010228
3 Đặng Xuân Huy 2211161
4 Phạm Bá Nhật Khang 2211460
5 Trương An Khang 2211476
6 Trần Quang Khải 2211559
7 Hoàng Đức Gia Thiện 2313229
2 Nội dung của nhóm DT01-08: Tích phân mặt
Câu 1.
Trình bày cách giải quyết bài toán tính thông lượng của một trường vector qua một mặt cong dẫn đến khái niệm tích phân mặt loại 2
Câu 2.
Biên dịch ví dụ sau:
EXAMPLE 6 The temperature u in a metal ball is proportional to the square of the distance from the center of the ball Find the rate of heat flow across a sphere S of radius
a with center at the center of the ball
SOLUTION Taking the center of the ball to be at the origin, we have
u(x, y, z) = C(x2+ y2+ z2) where C is the proportionality constant Then the heat flow is
F(x, y, z) = −K∇u = −KC(2xi + 2yj + 2zk) where K is the conductivity of the metal Instead of using the usual parametrization
of the sphere as in Example 4, we observe that the outward unit normal to the sphere
x2+ y2 + z2 = a2 at the point (x, y, z) is
n = 1
a(xi + yj + zk)
Trang 3and so
F · n = −2KC
a (x
2+ y2+ z2) But on S we have x2 + y2 + z2 = a2, so F · n = −2aKC Therefore the rate of heat flow across S is
Z Z S
F · dS =
Z Z S
F · n dS = −2aKC
Z Z S dS
= −2aKCA(S) = −2aKC(4πa2) = −8KCπa3
Câu 3.
Cho S là phần hữu hạn của mặt cong z = x − y2+ 2 bị cắt bởi mặt cong z = x2− 2y + 1 lấy phía trên (vector pháp cùng hướng với vector chỉ phương trục Oz) Tính thông lượng của trường vector F = (2y − z)i + (2z + x)j + (x − 2y)k qua mặt S
Câu 4.
Cho khối Ω giới hạn bởi 2 mặt cong z = x2− 4, z = 2 − y22 − x Gọi γ là giao tuyến của 2 mặt cong Thực hiện các yêu cầu dưới đây (các tính toán đều bỏ qua đơn vị tính):
a Dùng một phần mềm tùy ý vẽ hình khối Ω
b Tính khối lượng khối Ω biết hàm mật độ khối lượng tại điểm (x, y, z) ∈ Ω là ρ(x, y, z) = z + 4
c Viết phương trình tham số và tính độ dài đường cong γ
d Tính diện tích phần mặt cong z = 2 −y22 − x thuộc khối Ω
e Gọi S là phần mặt cong z = x2 − 4 thuộc khối Ω lấy phía trên (vector pháp cùng hướng với nửa dương trục Oz) Tính thông lượng của trường vector F = (y + 2z)i + (z − 3x)j − (2x + y)k qua mặt S
Trang 43 Nhận xét của GVHD
Trang 5MỤC LỤC
1 Danh sách thành viên 1
2 Nội dung của nhóm DT01-08: Tích phân mặt 1
3 Nhận xét của GVHD 3
4 Bài làm 5
4.1 Câu 1 5
4.2 Câu 2 7
4.3 Câu 3 8
4.4 Câu 4 10
Trang 64 Bài làm
4.1 Câu 1
Trình bày cách giải quyết bài toán tính thông lượng của một trường vector qua một mặt cong dẫn đến khái niệm tích phân mặt loại 2
Trình bày
Giả sử S là một mặt định hướng với vector pháp tuyến đơn vị n, và tưởng tượng có một chất lỏng với mật độ ρ(x, y, z) và trường vận tốc v(x, y, z) chảy qua S Khi đó, lưu lượng (khối lượng trên mỗi đơn vị thời gian) trên mỗi đơn vị diện tích là ρv Nếu chúng
ta chia S thành các mảnh nhỏ Sij thì Sij gần như là mặt phẳng và do đó, chúng ta có thể xấp xỉ khối lượng chất lỏng qua Sij theo hướng pháp tuyến n trên mỗi đơn vị thời gian bởi đại lượng
(ρv · n)A(Sij) trong đó, ρ, v, và n được đánh giá tại một điểm nào đó trên Sij Thành phần của vector ρv theo hướng của vector pháp tuyến đơn vị n là ρv · n Bằng cách tổng hợp các đại lượng này và lấy giới hạn, chúng ta có tích phân mặt của hàm ρv · n trên S:
Z Z S
ρv · n dS =
Z Z S ρ(x, y, z)v(x, y, z) · n(x, y, z) dS
và điều này được diễn giải về mặt vật lý là tốc độ dòng chảy qua S
Nếu chúng ta viết F = ρv, thì F cũng là một trường vector trên R3 và tích phân trong phương trình trên trở thành
Z Z S
F · n dS
Tích phân mặt dưới dạng này thường xuất hiện trong vật lý, ngay cả khi F ̸= ρv, và được gọi là tích phân mặt loại 2 (hoặc thông lượng) của F trên S
ĐỊNH NGHĨA Nếu F là một trường vector liên tục được xác định trên một mặt định hướng S với vector pháp tuyến đơn vị n, thì tích phân mặt của F trên S là
Z Z S
F · dS =
Z Z S
F · n dS
Tích phân này cũng được gọi là thông lượng của F qua S
Nói cách khác, Định nghĩa nói rằng tích phân mặt của một trường vector trên S bằng với tích phân mặt của thành phần pháp tuyến của nó trên S
Trang 7Giả sử rằng một mặt cong S có phương trình vector
r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k (u, v) ∈ D
ru = ∂r
∂u =
∂x
∂ui +
∂y
∂uj +
∂z
∂uk rv =
∂r
∂v =
∂x
∂vi +
∂y
∂vj +
∂z
∂vk với ru, rv là các vector tiếp tuyến tại S, và từ đó tính được diện tích bề mặt:
dS = |ru× rv| du dv Nếu S là bề mặt nhẵn định hướng được cho dưới dạng tham số bởi hàm vectơ r(u, v), thì sẽ có hướng của vectơ pháp tuyến đơn vị
n = ru × rv
|ru × rv|
Và từ đó ta có phương trình
Z Z S
F · dS =
Z Z S
F(r(u, v)) · ru× rv
|ru× rv|dS
=
Z Z D
F(r(u, v)) · ru× rv
|ru× rv|
|ru× rv| dA
trong đó D là miền tham số Do đó, chúng ta có
Z Z S
F · dS =
Z Z D
F · (ru× rv) dA
Trong trường hợp của một mặt S được cho bởi một đồ thị z = g(x, y), chúng ta có thể coi x và y là các tham số:
F · (rx× ry) = (P i + Qj + Rk) ·
−∂g
∂xi −
∂g
∂yj + k
Do đó Công thức trở thành
Z Z S
F · dS =
Z Z D
−P∂g
∂x − Q∂g
∂y + R
dA
Công thức này giả định phương hướng lên của S; đối với phương hướng xuống, chúng
ta nhân với −1 Các công thức tương tự có thể được tính nếu S được cho bởi y = h(x, z) hoặc x = k(y, z)
Trang 84.2 Câu 2
VÍ DỤ 6: Nhiệt độ u của quả bóng kim loại tỉ lệ với bình phương khoảng cách tính
từ tâm quả bóng Tìm thông lượng của dòng nhiệt qua mặt cầu S có bán kính a và tâm trùng với tâm của quả bóng
LỜI GIẢI: Đặt gốc tọa độ tại tâm của quả bóng, ta có:
u(x, y, z) = C(x2+ y2+ z2) Với C là hằng số tỉ lệ, khi đó ta có phương trình dòng nhiệt:
F(x, y, z) = −K∇u = −KC(2xi + 2yj + 2zk) Với K là hệ số dẫn nhiệt của kim loại Thay vì tham số hóa quả cầu như trong Ví dụ 4,
ta nhận thấy vector đơn vị hướng ra ngoài của quả cầu có phương trình x2+ y2+ z2 = a2 tại điểm (x, y, z) là:
n = 1
a(xi + yj + zk) vậy nên: F · n = −2KC
a (x
2+ y2+ z2) Tuy nhiên ta lại có x2 + y2 + z2 = a2, dẫn tới F · n = −2aKC Vì thế, ta có thông lượng của dòng nhiệt qua mặt cầu S là:
Z Z S
F · dS =
Z Z S
F · n dS = −2aKC
Z Z S dS
= −2aKC(S) = −2aKC(4πa2) = −8KCπa3
Trang 94.3 Câu 3
Cho S là phần hữu hạn của mặt cong z = x − y2+ 2 bị cắt bởi mặt cong z = x2− 2y + 1 lấy phía trên (vector pháp cùng hướng với vector chỉ phương trục Oz) Tính thông lượng của trường vector F = (2y − z)i + (2z + x)j + (x − 2y)k qua mặt S
Lời giải
Hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy là:
x − y2+ 2 = x2− 2y + 1
⇔ x2− x +1
4 + y
2− 2y + 1 = 9
4
⇔
x − 1 2
2 + (y − 1)2 = 9
4
⇔ y = 1 ±
s 9
4−
x − 1 2
2
Miền Dxy : →
z = x − y2+ 2
y = 1 ±
s 9
4−
x −1 2
2
−1 ≤ x ≤ 2 Mặt cong S là z = x − y2+ 2 viết lại dưới dạng F (x, y, z) = z − x + y2− 2(= 0)
⇒ ∇F = ∂F
∂x;
∂F
∂y;
∂F
∂z
= (−1, 2y, 1) Mặt S lấy phía trên tức là vecto pháp cùng hướng với vector chỉ phương trục Oz:
γ ≤ π
2, cosγ ≥ 0 Vậy ta lấy dấu + cho pháp vector
⃗
nS = + ∇F
|∇F| =
(−1, 2y, 1) p(−1)2+ (2y)2+ 12 = (−1, 2y, 1)
p4y2+ 2 Tính tích vô hướng của F · n:
F · n = (2y − z, 2z + z, x − 2y),(−1, 2y, 1)
p4y2+ 2
!
= (2y − z)(−1) + (2z + x)(2y) + (x − 2y)
p4y2+ 2
Trang 10Ta có z = z(x, y) = x2− 2y + 2 được tính:
dS =
s
1 + ∂z
∂x
2 + ∂z
∂y
2
dx dy
=p12+ (−2y)2+ 1 dx dy
=p4y2+ 2 dx dy
Φ =
Z Z
D xy
x − 4y + 2xy + z + 4yz
p4y2+ 2
p 4y2+ 2 dx dy
=
Z Z
D xy
(x − 4y + 2xy + z + 4yz) dx dy
=
Z Z
D xy
(x − 4y + 2xy + (x − y2+ 2) + 4y(x − y2+ 2)) dx dy
=
2 Z
−1 dx
Z 1+
v u t 9
4−
x−
1 2
2
1−
v u t 9
4−
x−
1 2
2 2 + 6xy − 4y3− y2+ 2x + 4y dy
= −16, 3461 Kết luận: Thông lượng của trường vector F qua mặt S là −16, 3461
Trang 114.4 Câu 4
Cho khối Ω giới hạn bởi 2 mặt cong z = x2− 4, z = 2 − y22 − x Gọi γ là giao tuyến của 2 mặt cong Thực hiện các yêu cầu dưới đây (các tính toán đều bỏ qua đơn vị tính):
a Vẽ hình khối Ω
Dùng phần mềm GeoGebra để vẽ khối Ω giới hạn bởi các mặt cong:
b Tính khối lượng khối Ω
Hình chiếu của khối Ω xuống mặt phẳng Oxy là:
x2 − 4 = 2 −y
2
2 − x
⇔ y2 = 12 − 2x − 2x2
⇔ y = ±√12 − 2x − 2x2
Điều kiện: 12 − 2x − 2x2 ≥ 0
=⇒
x2 − 4 ≤ z ≤ 2 − y
2
2 − x
−√−2x2− 2x + 12 ≤ y ≤√−2x2− 2x + 12
−3 ≤ x ≤ 2
Tính khối lượng M :
Trang 12c Viết phương trình tham số và tính độ dài đường cong γ
Đặt tham số γ
x = t
y = ±√
−2t2 − 2t + 12
z = t2− 4
⇒
dx
dt = 1 dy
dt = ±
(2t + 1)
√
−2t2− 2t + 12 dz
dt = 2t với t ∈ [−3; 2]
Độ dài đường cong là:
L = 2
2 Z
−3
s
1 +
2t + 1
√
−2t2− 2t + 12
2 + 4t2dt = 33.7125
d Tính diện tích phần mặt cong z = 2 −y
2
2 − x thuộc khối Ω Diện tích A của mặt cong z = 2 − y
2
2 − x thuộc khối Ω được tính:
A =
Z Z S dS
=
Z Z D
s
1 + ∂z
∂x
2 + ∂z
∂y
2
dx dy
=
Z Z D
q
1 + (−1)2+ (y)2dx dy
=
Z Z D
p
2 + y2dx dy
=
2 Z
−3 dx Z
√
−2t 2 −2t+12
−√−2t 2 −2t+12
p
2 + y2dy
= 60, 1968
e Tính thông lượng của trường vector F qua mặt S
Mặt cong S là z = x2− 4 viết lại dưới dạng F (x, y, z) = z − x2+ 4(= 0)
⇒ ∇F = ∂F
∂x;
∂F
∂y;
∂F
∂z
= (−2x, 0, 1) Mặt S lấy phía trên tức là vecto pháp cùng hướng hướng với nửa dương trục Oz:
γ ≤ π
2, cosγ ≥ 0.Do đó, vector pháp tuyến n:
⃗
nS = + ∇F
|∇F| =
(−2x, 0, 1) p(−2x)2+ 02+ 12 = (−2x, 0, 1)√
4x2 + 1
Trang 13Tính tích vô hướng của F · n:
F · n =
(y + 2z, z − 3x, −2x − y),(−2x, 0, 1)√
4x2+ 1
= (y + 2z)(−2x) + (z − 3x) · 0 + (−2x − y) · 1√
4x2+ 1
= −2xy − 4xz − 2x − y
√ 4x2+ 1
Ta có z = z(x, y) = x2− 4:
dS =
r
1 + ∂z∂x2+
∂z
∂y
2
dx dy
=p(2x)2+ 02+ 1 dx dy
=√ 4x2+ 1 dx dy Vậy thông lượng Φ là:
Φ =
Z Z D (−2xy − 4xz − 2x − y) dx dy
=
Z Z D
−2xy − 4(x2− 4) − 2x − y dx dy
=
Z Z D
−2xy − 4x3− 14x − y dx dy
=
2 Z
−3 dx Z
√ 12−2x−2x 2
−√12−2x−2x 2
−2xy − 4x3− 14x − y dy
= 468.59 Kết luận: Thông lượng của trường vector F qua mặt S là 468.59