Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 Đề tài 1 “Đạo hàm riêng và xấp xỉ tuyến tính”

Định nghĩa: Nói chung, nếu f là một hàm của hai biến x và y, giả sử chúng ta chỉ cho phép x thay đổi trong khi y giữ cố định, nói y=b là một hằng số.. Quy tắc Khi tính đạo hàm riêng của

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

-BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

MÔN GIẢI TÍCH 2

HKII 2021-2022

ĐỀ TÀI 1

“ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ XẤP XỈ TUYẾN TÍNH”

GVHD: Thầy: Lê Văn Lai

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI 1

“ĐẠO HÀM VÀ XẤP XỈ TUYẾN TÍNH”

GVHD: Thầy: Lê Văn Lai

Thầy: Đào Huy Cường Lớp: L34 Nhóm: 09

Tp Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2022

MỤC LỤ

LỜI CẢM ƠN 4

A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1

I Đạo hàm riêng 1

1 Định nghĩa: 1

2 Quy tắc 1

3 Ý nghĩa 1

4 Đạo hàm cấp cao 2

II Xấp xỉ tuyến tính 2

1 Định nghĩa 2

2 Hàm của ba biến trở lên 3

B - BÀI TẬP 3

LỜI CẢM ƠN

Nhóm chúng em xin cám ơn quý thầy cô đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức, hướng dẫn chúng em trong suốt quá trình học tập, cũng như đã giúp đỡ chúng em hoàn thành bài tập lớn này

Do chưa có nhiều kinh nghiệm cũng như còn có mặt hạn chế về kiến thức nên không thể tránh khỏi những sai sót trong bài làm Chúng em rất mong nhận được những ý kiến, đánh giá và góp ý của từ quý thầy cô để từ đó giúp chúng em hoàn thành tốt đề tài của mình

A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I Đạo hàm riêng

1 Định nghĩa:

Nói chung, nếu f là một hàm của hai biến x và y, giả sử chúng ta chỉ cho phép x thay đổi trong khi y giữ cố định, nói y=b là một hằng số Sau đó, xem xét một hàm với biến duy nhất là x, cụ thể là, g(x)= f(x,b) Nếu g có đạo hàm tại a, thì chúng ta gọi nó là đạo

fx(a,b)= g (a) với g(x)= f(x,b) (*)’

Theo định nghĩa của một đạo hàm, chúng ta có

G’(a)=

Phương trình (*) trở thành:

f (a,b)=x

bằng cách giữ x cố định (x=a) và tìm đạo hàm thông thường tại b của hàm G(y)=f(a,y):

f (a,b)=y

Định nghĩa đạo hàm riêng: Cho hàm 2 biến f(x,y), đạo hàm theo biến x của hàm f

tại điểm là giới hạn (nếu có)

2 Quy tắc

Khi tính đạo hàm riêng của hàm f(x,y) theo biến x, ta coi y là hằng số

3 Ý nghĩa

Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng của hàm f(x,y) tại (a,b)

Gọi S là mặt cong z=f(x,y), là giao của S và mặt phẳng y = b thì đạo hàm (a,b) là hệ

số góc của tiếp tuyến hay là hệ số góc của mặt S theo phương Ox tại P(a,b,c) Tương

tự, hệ số góc của tiếp tuyến tức là hệ số góc của mặt S theo phương Oy là (a,b)

4 Đạo hàm cấp cao

* Đạo hàm cấp 2 của hàm f(x,y) là đạo hàm của đạo hàm cấp 1

Đạo hàm cấp 2 theo x:

Đạo hàm cấp 2 theo y:

Đạo hàm cấp 2 hỗn hợp:

*Tương tự, ta có các đạo hàm riêng cấp (n+1) là đạo hàm của đạo hàm cấp n

Chú ý: Đạo hàm riêng cấp cao hỗn hợp bằng nhau nếu số lần lấy đạo hàm theo các biến bằng nhau (không kể đến thứ tự lấy đạo hàm theo từng biến)

Định lý Schwartz : Nếu hàm f(x,y) và các đạo hàm riêng tồn tại và liên tục trong

miền mở chứa () thì () = ()

II Xấp xỉ tuyến tính

1 Định nghĩa

Phương trình của mặt phẳng tiếp tuyến với đồ thị của một hàm f của hai biến tại điểm (a,b,f(a,b)) là:

Z=f(a,b) + f (a,b)(x-a) + fx y(a,b)(y-b)

1

Hàm tuyến tính có đồ thị là mặt phẳng tiếp tuyến này, cụ thể là

L(x,y) = f(a,b) + f (a,b)(x-a) + fx y(a,b)(y-b) được gọi là tuyến tính hóa của f tại (a,b) và xấp xỉ

f(x,y) f(a,b) + f (a,b)(x-a) + fx y(a,b)(y-b) được gọi là xấp xỉ tuyến tính hoặc xấp xỉ mặt phẳng tiếp tuyến của f tại (a,b)

2 Hàm của ba biến trở lên

Xấp xỉ tuyến tính của hàm ba biến trở lên phép gần đúng tuyến tính là:

F(x,y,z) f(a,b,c) + f (a,b,c)(x-a) + f (a,b,c)(y-b) + fx y z(a,b,c)(z-c)

và tuyến tính hóa L(x,y,z) là mặt phải của biểu thức này

Sự khác biệt dw được định nghĩa theo nghĩa của sự khác biệt dx, dy và dz của các biến độc lập bởi

dw =

B - BÀI TẬP

I Đạo hàm riêng

Bài 1: Cho hàm số Tìm ;

Giải:

Với hàm số này, ta không thể tìm hàm đạo hàm riêng , rồi suy ra giá trị đạo hàm riêng tại , vì hai hàm

;

chỉ xác định với mọi khác

Do đó, ta phải dùng định nghĩa để tính giá trị Ta có:

Tương tự, ta cũng nhận được

Bài 2: Từ hàm số f x y ( , ) ; anh, chị có nhận xét gì về giá trị của và

Giải:

 Với mọi (x,y)(0;0);

Ta có =>

Tại điểm (x,y) = (0;0) ta có

Vậy

=> (1)

 Với mọi (x,y)(0;0);

Ta có =>

Tại điểm (x,y) = (0;0) ta có

Vậy

=> (2)

Từ (1) và (2) Ta thấy => Không phải lúc nào 2 đạo hàm riêng hỗn hợp cũng bằng nhau

4

Ứng dụng thực tế đạo hàm riêng:

Bài 3: Một ngọn đồi có hình dạng bề mặt mô tả bởi hàm số z = 1000 – 0.005x – 0.01y2 2

, trong đó x, y được tính bằng mét Tính z (20, -10), z (20, -10) và cho biết sự ’

thay đổi chiều cao của ngọn đồi từ điểm (20, -10, 997) theo hướng trục Ox, Oy

Giải

z = -0.01 => z (20, –10) = -0.2’

z = -0.02y => z (20, –10) = 0.2 ’

Từ điểm (20, -10, 997) theo hướng trục Ox, chiều cao sẽ giảm 0.2 mét khi hoành độ tăng 1 mét

Từ điểm (20, -10, 997) theo hướng trục Oy, chiều cao sẽ tăng 0.2 mét khi tung độ tăng

đi 1 mét

Bài 4:Nhiệt độ tại điểm trên tấm kim loại trong mặt phẳng được xác định bởi hàm số Giả sử khoảng cách được đo bằng cen-ti-mét, hãy tìm tỉ lệ giữa nhiệt độ và sự thay đổi khoảng cách nếu bắt đầu từ điểm (1,2) và di chuyển:

a) Sang bên phải và song song với trục hoành

b) Hướng lên trên và song song với trục tung

Giải a)

b)

Bài 5: Công thức: cho biết diện tích S của cơ thể con người (trên ) phụ thuộc bởi khối

lượng (tính bằng kg) và chiều cao (tính bằng cm) Hãy tính và khi và

Giải

Bài 6: Nếu xét hàm sản xuất Q = f(L, K) thì các nhà kinh tế gọi lần lượt là giá trị

giá trị cận biên theo K tại (64, 27), theo L tại (64, 27) và nêu ý nghĩa kinh tế

Giải

6

+ Khi L = 64 thì Q(L, K) = Q(64, K) = 30 K 64 = 120 K nên (64,K)= 80K Vậy, (64, 27) = Điều này nghĩa là: Với L = 64 cố định, thì nếu tăng lượng lao động

từ 27 lên 28 đơn vị ta sẽ có sản lượng tăng 27 đơn vị

+ Khi K cố định, ta có (L,K)=10K2/3L-2/3

Vậy (64,27) =

Điều này nghĩa là với lượng vốn cố định là 27, nếu tăng lượng lao động từ 64 lên 65 thì sản lượng sẽ tăng 2 đơn vị

Bài 7: Một cuộn dây có điện trở R = 10Ω và điện cảm L = 0, 1(H) được đóng vào

điện cảm Giả thiết i (t)= 0 Tính giá trị của i(t) và u (t) tại các thời điểm t=1T, 2T, 3T,L L

Giải Phương trình đạo hàm riêng của mạch viết cho dòng điện i(t)

R i(t) + L = U Hay 10 i(t) + 0.1 = 1 (*) Phương trình đặc trưng của (*) là: R + PL=0

Suy ra 10+0.1P=0 có nghiệm là: P=

Hằng số thời gian của mạch điện là: T=

Dòng điện tự do có dạng: itd(t)=k

Dòng điện quá độ với điều kiện đầu: i(0)= + k=1+ k suy ra k= - =-1(A)

7

Vây: i(t)= (1-)=(1-)A

Điện áp quá độ trên điện cảm bằng:

Ul(t) = L

Kết luận:

*Hình(a) Hàm i(t) có giá trị biến đổi theo thời gian t tuân theo hàm mũ, thời gian t càng

tăng thì giá trị i(t) càng tiệm cận giá trị Ixl=1A

*Hình(b) Hàm u(t) cũng có giá trị biến đổi theo thời gian t theo hàm mũ

Ul(t) = L

thời gian càng tăng thì giá trị u(t) càng tiệm cận giá trị bằng 0

Bài 8: Doanh nghiệp Amazon trong năm 2015 đã sản xuất thêm 3 loại mặt hàng mới

gồm bàn nhựa (Q1), ghế nhựa (Q2) và bộ chén bát nhựa (Q3) Với tổng chi phí sản xuất trong quý đâu tiền được xác định theo dựa trên hàm Để đạt được lợi nhuận tối đa

K= 8 + 20 + 10 Vậy hàm lợi nhuận ta có là:

G= + 8 + 20 + 10

Ta có: M (30;5;13) 

Xét: ; ; = -10; = 4;

H =

Vậy M là cực đại duy nhất của G nên đó là kết hợp sản lượng cần tìm

Tức cần sản xuất: 30 bàn nhựa (Q1), 5 ghế nhựa (Q2) và 10 bộ chén bát nhựa (Q3) thì doanh nghiệp đạt tối đa lợi nhuận

II Xấp xỉ tuyến tính

Bài 1: Đưa ra hàm số f(x;y)= , gần đúng f(2.1;2.9) sử dụng điểm (x0,y0)=(2, 3) Gía trị gần đúng của f(2,1;2,9) đến bốn chữ số thập phân?

Giải

Để áp dụng phương trình trên, trước tiên chúng ta phải tính toán f(x0,y0), fx(x ,y0 0) và

f (x ,yy 0 0) sử dụng x =2 và y0 0=3:

f(x0,y0)=f(2;3)== = 4

f (x,y)= - vì thế fx x(x ,y0 0) = -

f (x,y)= - vì thế fy y(x ,y0 0) = -

Bây giờ chúng ta thay thế các giá trị này vào phương trình đầu:

9

L(x,y)=f(x ,y0 0) + fx(x ,y )(x-x0 0 0) + fy(x ,y )(y-y )0 0 0

= 4-2(x-2) - (y-3) =

Cuối cùng, thế x=2,1 và y= 2,9 vào trong L(x,y):

L(2,1;2,9)=

Gía trị gẩn đúng của f(2,1;2,9) đến bốn chữ số thập phân là

f(2,1;2,9)= 3,8665

Bài 2:Cho hàm số

a) Hãy tính

b) Hãy tính vi phân toàn phần của hàm số tại điểm

c) Hãy tính gần đúng bằng cách áp dụng công thức tính xấp xỉ:

Giải a) Có

b) Theo công thức vi phân ta có:

c)

Áp dụng công thức tính xấp xỉ:

Bài 3: Không sử dụng máy tính, trình bày cách tính A= arcsin (0,1) (có thể lấy giá trị



10



=>

Vậy với =>

Ứng dụng thực tế đạo hàm riêng:

Bài 4: Chiều cao sóng h trên biển phụ thuộc vào tốc độ gió v và khoảng thời gian t mà

gió đã thổi với tốc độ đó, giả sử biển bắt đầu lặn Các giá trị h= f(v,t) được cho trong bảng sau [ tốc độ gió v tính bằng hải lý, thời gian t tính bằng giờ và chiều cao sóng h tính bằng feet]

10 2 2 2 2 2 2 2

15 4 4 5 5 5 5 5

20 5 7 8 8 9 9 9

30 9 13 16 17 18 19 19

40 14 21 25 28 31 33 33

50 19 29 36 40 45 48 50

60 24 37 47 54 62 57 69 Một con gió 40 hải lý đã thổi trong 30 giờ, vì vậy những con sóng cao 31 feet Sau đó sức gió tăng lên 42 hải lý/ giờ Khoảng 1 giờ sau độ cao của sóng là bao nhiêu? Để chứng minh rằng f(42,31) là một câu trả lời hợp lí cho câu hỏi này Chúng ta có thể tính gần đúng sự thay đổi của f theo đạo hàm

f(42,31) – f(40,30)f’(40,30) Tất nhiên chúng ta phải tính gần đúng đạo hàm:

f (40,30)’

Vì vậy,

Và

Vì thế

f (40,30)

Từ đó,

f(42,31) – f(40,30) = Vậy,

Vậy sau 1 giờ nữa chiều cao sóng tăng lên thành 34 feet với v=42 hải lý và t=31 giờ

12

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Giáo trình Giải tích 2, Trường đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh

2 James Stewart, Calculus early transcendentals, Cengage Learning (2012)

3 Jon Rogawski, Calculus early transcendentals, W H Freeman and Company (2008)