truyền thông marketing tích hợp boo đề tài 6 xấp xĩ tuyến tính và vi phân

Lời cảm ơn Kính thưa quý thầy cô và các bạn, Chúng em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đã dành thời gian và công sức để hướng dẫn, đánh giá cũng như nhận xét bài tập lớn của chúng em..

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

🙞···☼···🙜

BÁO CÁO

BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

…

Giảng viên hướng dẫn: … Đào Huy Cường…

Sinh viên thực hiện

Phạm Trần Gia Huy Nguyễn Trần Nhất Huy Tiết Gia Khải

Nguyễn Phi Khải

Huỳnh Nguyễn Gia Khang Nguyễn Hiếu Khang

2

BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC

Họ và tên MSSV Phân chia công việc

II Giới thiệu đề tài 5

III Báo cáo 7

4

I Lời cảm ơn

Kính thưa quý thầy cô và các bạn,

Chúng em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đã dành thời gian và công sức để hướng dẫn, đánh giá cũng như nhận xét bài tập lớn của chúng em Chúng em cũng xin cảm ơn các bạn đã lắng nghe và góp ý Nhờ có sự hỗ trợ và khuyến khích của thầy và các bạn, chúng em đã hoàn thành bài thuyết trình một cách tốt nhất có thể

Chúng em rất trân trọng những kiến thức và kinh nghiệm quý giá mà chúng em đã học được từ thầy và các bạn Chúng em hy vọng sẽ có thêm nhiều cơ hội để học hỏi và trao đổi với quý thầy cô và các bạn sau này

Chúng em xin cảm ơn

5

II Giới thiệu đề tài

- Tìm hiểu nội dung và tóm tắt các công thức trong mục 3.10 "Linear approximations and differentials", sách James Stewart - Giải quyết các bài toán sau :

Bài 3 : Tìm hàm số tuyến tính hóa L(x) của hàm số tại a

f(x) = x4+ 3x2

Bài 5: Tìm xấp xỉ bậc nhất của hàm số f(x) = √1 − 𝑥 tại a =0 và dùng

nó để tính giá trị xấp xỉ của √0,9 và √0,99 Minh họa bằng cách vẽ đồ thị hàm số f và tiếp tuyến

Bài 6: Tìm xấp xỉ tuyến tính của hàm số g(x) = √1 + 𝑥3 tại a= 0 và dùng nó để tính giá trị xấp xỉ của √0,953 và √1,13 Minh họa bằng cách vẽ đồ thị hàm số g và tiếp tuyến

Bài 9: Kiểm nghiệm phép tính xấp xỉ bậc nhất cho trước

tại a = 0 Rồi xác định những giá trị của x sao cho phép tính xấp xỉ bậc nhất chính xác đến 0.1:

(1+2𝑥)4 ≈ 1 – 8x

Bài 15:(a) Tìm vi phân dy và (b) tính dy với những giá

trị cho trước của x và dx: y = 𝑒10𝑥, x = 0, dx = 0,1

Bài 19: Tính ∆ y và dy với những giá trị cho trước của x

và dx = ∆x Rồi phác họa giãn đồ như Hình 5 cho thấy các đoạn có độ dài dx, dy, và ∆y

y = 2x – x2, x = 2, ∆x = - 0,4

Bài 24: Dùng xấp xỉ tuyến tính( hoặc vi phân) để ước tính số cho

trước: 𝑒−0.015

6

Bài 35: Chu vi hình cầu đo được 84 cm với sai số có thể là

0,5 cm

(a) Dùng vi phân để ước tính sai số tối đa khi tính diện tích mặt cầu Tìm sai số tương đối

(b) Dùng vi phân để ước tính sai số tối đa khi tính thể tích Tìm sai số tương đối

Bài 43: Giả sử thông tin duy nhất mà ta có về hàm số f là f(1) = 5 và

đồ thị của đạo hàm của nó được cho trong

• Trước hết mình cùng tính một số phép tính căn bậc 2 với điều kiện chúng ta không được dùng máy tính xách tay ( CASIO )

• Ví dụ ta dễ dàng tính được: √9 = 3 ℎ𝑎𝑦 √16 = 4

• Còn những phép tính như √0,99 hay √1.01 thì sao ?

• Nhìn vào ta có thể ước lượng √0,99 = 0.99 hoặc √1,01 = 1.01

• Nhưng ước lượng như thế vẫn chưa đủ, vậy có cách nào ước lượng nó một cách chính xác khi không có máy tính xách tay Đây cũng chính là cái khó của những nhà toán học ngày xưa

• Bây giờ, hãy đặt thử bản thân vào những nhà toán học xưa - những người đi tìm cơ sở lý thuyết để chỉ cho máy tính

f(x)≈ f(x0) +f'(x0)(x – x0) ( khi x đủ gần x0)

∆x=x – x0

o(x) là vô cùng bé bậc cao hơn x khi x -> 0

8 cách tính xấp xỉ khi trong tay chỉ sử dụng những công cụ cộng, trừ, nhân chia số

Ta sẽ sử dụng xấp xỉ tuyến tính để giải ra kết quả của các bài toán như trên

b) Hướng giải quyết

• Để thực hiện được điều này, hãy phân tích hàm: có đồ thị như sau:

Nhiệm vụ của chúng ta bây giờ là tính ℎ(0.99) = √0.99

Ta nhận thấy tính trực tiếp sẽ khá khó Do vậy, ta chọn 1 giá trị gần với 0.99 là h(1) Ta gọi A1(1;1) thuộc h(x) và dựng một đường tiếp tuyến g(x) đi qua điểm trên như hình bên :

• Công dụng “thần kỳ” của đồ thị g(x) là gì? Câu trả lời sẽ có ngay sau đây

Khi phóng to gần điểm tiếp tuyến của đồ thị h(x), ta nhận thấy đồ thị rất giống tiếp tuyến của nó

10

3.10.1 ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ

VD: Trong quá trình suy ra được công thức T=2π√L/g với T là chu kì dao động của con lắc đơn được gắn vào sợi dây có chiều dài L,

Eugene Hecht (nhà Vật lí học người Mỹ) đã thu được phương trình

aT= -gsinθ

Biết aT là gia tốc tiếp tuyến của con lắc

Tác giả sau đó nhận định "Đối với các góc rất nhỏ, thì giá trị của θ (radian) rất gần với giá trị của sinθ, các giá trị đó chỉ chênh lệch khoảng 2% trong khoảng 20°"

chứng minh phép xấp xỉ tuyến tính

Để chứng minh phép xấp xỉ tuyến tính tại điểm x=0 đối với hàm sinx, sinx~x Ta sử dụng đồ thị để xác định giá trị của x sao cho sinx và x không lệch nhau quá 2% Sau đó ta sẽ chứng minh nhận định của Eugene Hetch bằng việc chuyển đơn vị radian sang độ

Xét hàm số y=sin(x) tại a=0 Để viết phương trình tiếp tuyến tại a=0, ta tìm f(0) và f'(0)

=> Vậy chúng ta đã chứng minh được sinx~x nếu x~0

Nếu ta muốn một xấp xỉ là 2%, thì độ chênh lệch giữa hai giá trị x và sinx phải nhỏ hơn 2% Một cách đơn giản nhất để điều kiện trên tồn tại là xét đồ thị của hàm số y=|𝑆𝑖𝑛(𝑥)−𝑥

11 Quan sát đồ thị, hai giá trị chênh lệch nhau khoảng 2% tại x=0,35 radians= 20,0535°

Vậy nhận định của Eugene Hetch về việc xấp xỉ sinθ~θ trong công thức gia tốc tiếp tuyến hoàn toàn đúng

3.10.2 VI PHÂN 1 Định nghĩa

• Ý tưởng đằng sau phép tính xấp xỉ tuyến tính đôi khi được công thức hóa dưới thuật ngữ và ký hiệu của vi phân

• Hàm f (x) được gọi là khả vi tại điểm x0 nếu tồn tại hằng số

12

2 Định lý( Liên hệ giữa đạo hàm và vi phân):

Hàm f(x0) khả vi tại x0 khi và chỉ khi hàm có đạo hàm tại x0

Khi đó: hằng số A = f’(x0) Tức là vi phân của hàm là

3 Ý nghĩa hình học

a) Khảo sát hình minh họa

• Cho P(x,f(x)) và Q(x + x, f(x + x)) là các điểm trên đồ thị của f và đặt dx= x Gia số tương ứng của y là

• f =f (x+x) – f (x)

• Độ dốc của tiếp tuyến PR là đạo hàm f’(x) Do đó khoảng cách đại số từ S đến R là f’(x)dx = dy dy biểu thị đại lượng mà tiếp tuyến đi lên hoặc xuống thấp (sự biến thiên tuyến tính), trong khi y biểu thị đại lượng mà đường cong y = f (x) đi lên hoặc xuống thấp khi x biến thiên một lượng dx

df(x0) = f’(x0). = f’(x0)dx

13

b) Giải thích chi tiết

• Gọi f (x) có đạo hàm tại điểm x0 thì trong 1 khoảng rất nhỏ xung quanh điểm này tồn tại 1 hàm số bậc nhất xấp xỉ hàm số y = f (x) Đó chính là hàm số biểu diễn cho tiếp tuyến của ĐTHS y =f (x) tại x0

• Nếu ta càng phóng to đồ thị của hàm số vào các khoảng càng gần điểm x0 ta sẽ thấy ĐTHS gần như trùng với đường tiếp tuyến

=> Khi cho x càng nhỏ thì số gia y của hàm số sẽ càng ngày càng gần với số gia dy của tiếp tuyến tại x0 chính là dy=tan.x

Ta biết rằng hệ số góctan tại x0 chính là đạo hàm của f (x) tại x0

14

SUY RA:

dy=f’(x0)x

• đây gọi là vi phân của f(x) tại điểm x0

Ngoài ra, ta cũng có thể ghi dy=f’(x0)dx

c) Ước lượng giá trị hàm số bằng vi phân

LƯU Ý: Lỗi Chọn dx không đủ nhỏ

LÀ LỖI SINH VIÊN RẤT HAY MẮC PHẢI

Trong khi giá trị thực tế: √𝟏𝟓 ≅ 𝟑, 𝟖𝟕𝟑

Mặc dù nhìn trực quan, ta thấy sai số chỉ là 0,002

Nhưng nếu so với sai số khi xấp xỉ √𝟏𝟓, 𝟗𝟗thì sai số khi xấp xỉ √𝟏𝟓 có sai số lớn hơn rất nhiều

• Như vậy, khi sử dụng công thức:

tại a =0 theo Geogebra

hàm số tuyến tính f(x) = cos 𝑥 tại a =/2 theo Geogebra

17

Bài 6

Tìm xấp xỉ tuyến tính của hàm số g(x) = 3√1 + 𝑥 tại a= 0 và dùng nó để tính giá trị xấp xỉ của √0.953 và √1.13 Minh họa bằng cách vẽ đồ thị

19

Bài 9

Kiểm nghiệm phép tính xấp xỉ bậc nhất cho trước

tại a = 0 Rồi xác định những giá trị của x sao cho phép

(a) Tìm vi phân dy và (b) tính dy với những giá trị cho trước của x và dx:

y = 𝑒10𝑥, x = 0, dx = 0,1

Giải

Ta có dy=f’(x).dx

Tính ∆y và dy với những giá trị cho trước của x và dx = ∆x Rồi phác họa giản đồ như bên cho thấy các đoạn có độ dài dx, dy, và

(a) Dùng vi phân để ước tính sai số tối đa khi tính diện tích mặt cầu Tìm sai số tương đối

(b) Dùng vi phân để ước tính sai số tối đa khi tính thể

Giả sử thông tin duy nhất mà ta có về hàm số f là f(1) = 5 và đồ thị của đạo hàm của nó được cho trong hình bên

24

IV Tài liệu tham khảo và tổng kết

1 Tài liệu tham khảo

1) Những gì đạt được sau khi hoàn thành bài tập lớn

- Cách làm việc nhóm hiệu quả

- Có thêm kiến thức về phần xấp xỉ tuyến tính và vi phân - Phương pháp giải các bài tập khác nhau

2) Những điều còn thiếu sót:

- Chưa thể thêm phần bài tập vào file PowerPoint như dự định ban đầu