TÍNH GIẢI ĐƯỢC CHO BÀI TOÁN (1.1), (1.2)
Các kết quả cơ bản cho bài toán (1.1), (1.2)
Hàm liên tục : ( , ) → (0, +∞) là hàm dưới (trên) của phương trình (1.1) nếu ∈ 1 (( , )\{ , ,…, }; (0, +∞)), < < < ⋯ < < , tồn
′ tại các giới hạn hữu hạn ( +), ( −), ′( +), ( −), =1, ,
Giả sử 1 và 2 lần lượt là hàm dưới và hàm trên của phương trình (1.1) và:
1 ( +) = 0, 1 ( −) = 0, 2 ( +) ≠ 0, 2 ( −) ≠ 0 (1.3) Giải sử thêm, với mỗi 0 < < min{ 2 ( ): ≤ ≤} tồn tại ∈ ( , ), , ∈ (( , ); ℝ + ) thỏa mãn:
Khi đó, bài toán (1.1), (1.2) có ít nhất một nghiệm thỏa mãn:
Cho là hàm không giảm theo biến thứ hai và tồn tại > 0 thỏa mãn:
Hơn nữa, trên ( , ) × (0, +∞) thỏa bất đẳng thức
∫ ( − )( − )| ( , )| < +∞ , ∈ (0, ] (1.9) là điều kiện cần và đủ để bài toán (1.1), (1.2) giải được.
Cho là hàm không giảm theo biến thứ hai và tồn tại > 0 thỏa thỏa điều kiện (1.7) Giả sử thêm, tồn tại ∈ ( , ) sao cho ánh xạ ( , ) → ( , ) ( − ) không giảm theo biến thứ hai, và:
Khi đó, (1.9) là điều kiện cần và đủ để bài toán (1.1), (1.2) giải được.
Các bổ đề bổ trợ
Phần này trình các bổ đề tiên nghiệm và bổ đề về tính có nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) trong trường hợp các hàm , ∈ (( , ) × ℝ; ℝ).
Các hàm ℎ 1 , ℎ 2 ∈ (( , ); ℝ + ) luôn thỏa điều kiện:
Cho 0 > 0, ℎ 1 , ℎ 2 ∈(( , ); ℝ + ) thỏa (1.10) Khi đó, tồn tại 0 > 0,
1 1 thỏa mãn các bất đẳng thức:
Giả sử ∈ 1 ([ , ]; ℝ) thỏa các điều kiện của Bổ đề 1.5.
Khi đó, là một nghiệm của phương trình:
Lấy ∈ ( , ) tùy ý và ′ ( ) ≠ 0 Khi đó:
Suy ra ( ) là nghiệm của phương trình:
Nhân hai vế của (1.14) với và lấy tích phân từ 0 đến 1 ta được:
Dùng phương pháp tích phân từng phần: Đặt:
Thế cận vào ta có:
Chuyển vế và để ý ′ ( 0 ) > 0 ta được: 0
Suy ra ( ) là nghiệm của phương trình: ′ 1
Nhân hai vế của (1.14) với và lấy tích phân từ 1 đến 0 ta được:
Dùng phương pháp tích phân từng phần: Đặt:
Thế cận vào ta có:
Chuyển vế và để ý ′ ( 0 ) < 0 ta được: 1
Chứng minh tương tự ta có:
Tiếp theo ta sẽ chứng minh (1.13) đúng, với
Giả sử 1 là nghiệm của bài toán
Giả sử (1.22) sai, khi đó tồn tại ∈ [ ,
≥ 0 ( )[ ′ ( ) − ′ ( )] = 0 ( ) ̃ ′ ( ), ∈ ( ∗ , ∗ ). Điều này mẫu thuẫn với (1.23) Do đó (1.22) đúng.
Từ đó suy ra bất đẳng thức thứ nhất của (1.13) đúng.
Chứng minh tương tự ta được:
( ) ≤ ( 1 ) + 2 ( ), 2 ( ) ≤ 2 ( ), ∈ [ + 2 , 1 ], với 2 là nghiệm của bài toán ′′ = 0 ( ) ′ − ℎ 1 ( ); ( + ) = 2 0 , ( 1 ) = 0.
Cho 0 > 0, ∈ ( , + 2 ) , ∈ ( + 2 , ) , ∈ ( , ), ℎ 1 , ℎ 2 ∈ (( , ); ℝ + ) thỏa (1.10) Khi đó, tồn tại hàm ∈ (( , ); ℝ + ), bị chặn trên ( , ) và với mọi∈ ( , ), ∈ ( , ), hàm ∈ 1 ([ , ]; ℝ) thỏa (1.11) và thỏa
1 1 1 1 mãn các bất đẳng thức:
Giả sử ∈ 1 ([ , ]; ℝ) thỏa các điều kiện của Bổ đề 1.6.
Theo (1.25), (1.11) và Bổ đề 1.5 ta có:
Giả sử (1.28) sai Khi đó, theo (1.27) và (1.29), tồn tại ∗ ∈ ( 1 , ) và
Khi đó theo bổ đề bất đẳng thức tích phân, từ (1.24) suy ra:
( − )( − ) Điều này mâu thuẫn với (1.30) Vậy (1.28) đúng.
Chứng minh tương tự ta có | ′ ( )| ≤ 1 ( ), ∈ [ , 1 ).
Suy ra bất đẳng thức (1.26) được thực hiện.
Dễ thấy bị chặn trên ( , ) và ∈ (( , ); ℝ + ).
Vậy, bổ đề được chứng minh.
Cho , ∈ (( , ) × ℝ; ℝ), 1 , 2 lần lượt là hàm dưới và hàm trên của phương trình (1.1) thỏa (1.3) Hơn nữa, giả sử tồn tại 0 , 0 ∈ (( , ); ℝ + ) thỏa mãn
(1.32) Khi đó, bài toán (1.1), (1.2) có ít nhất một nghiệm thỏa điều kiện (1.6).
Giả sử điều kiện (1.31) được thực hiện.
Khi đó, ∈ (( , ) × ℝ 2 ; ℝ) và với mỗi số tự nhiên tồn tại hàm
( 1 ) = 1 , ( 2 ) = 2 (1.40) có ít nhất một nghiệm (xem Bổ đề 2.1 trong [17]).
Giả sử trái lại, với mỗi ∈ ( , 2 ) thì ( ) > 0.
Vì ( ) = 0, = 1,2 nên tồn tại ∈ [ , ) và ∗ ∈ ( , ] thỏa mãn:
Vì ∈ 1 ([ ∗ , ∗ ]; ℝ) nên bất đẳng thức trên mâu thuẫn với điều kiện (1.42).
Chứng minh tương tự ta được: ( ) ≤ 2 ( ), ∈ [ 1 , 2 ] Do đó:
Tiếp theo ta kiểm rathỏa các điều kiện của Bổ đề 1.5 với 1 = 1 , 1 = 2 , ℎ 1 ( ) = 0 ( ), ℎ 2 ( ) = 0 ( ) hay ta kiểm tra thỏa mãn (1.11).
Như vậy thỏa các điều kiện của Bổ đề 1.5.
2 trong đó, 1 và 2 là các hàm như trong Bổ đề 1.5.
Vì (1.35) − (1.37) và (1.47) nên từ (1.46) suy ra:
Từ (1.45), (1.36) và (1.49) suy ra dãy ( ) +∞ =1 và ( ′ ) +∞ =1 bị chặn đều và đồng liên tục trên ( , ) Do đó, không mất tính tổng quát ta giả sử: lim ( ) = 0 ( ), lim ′ ( ) = ′ ( ) đều trên ( , ) 0
Như vậy 0 là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) và thỏa (1.6).
Nếu bất đẳng thức (1.32) đúng, ta chứng minh đề bài tương tự Sự khác biệt duy nhất là ta không lấy dãy (1/n) +∞ =1 , = 1,2 mà đặt ̃(1/n) = ̃ (1/n), n ∈ (0, 1), trong đó ̃ là hàm được cho trong Bổ đề 1.6.
Vậy, bổ đề được chứng minh.
′′ = ( ) + ( ) ′ ; , ∈ (( , ); ℝ) Định nghĩa: Phương trình (1.50) được gọi là dao động trên ( , ) nếu mỗi nghiệm không tầm thường có ít nhất một không điểm trên ( , ).
Giả sử ( ) ≤ 0, ∈ ( , ); ∫ | ( )| < +∞ , ∫ ( − )( − )| ( )| < +∞ và ∫ ( − ) 2 ( − ) 2 | ( )| ≥ ( − ) 3 [8 ∫ | ( )| ] Khi đó, phương trình (1.50) là dao động.
Khi đó, phương trình (1.50) có nghiệm 1 ( 2 ) thỏa mãn điều kiện:
Chứng minh các kết quả cơ bản
Kí hiệu 1 , 2 lần lượt là nghiệm của bài toán biên:
Khi đó tồn tại 1 ∈ ( , 0 ) và 1 ∈ ( 0 , ) thỏa mãn:
Chọn dãy { 1 } +∞ =1 và { 2 } +∞ =1 thỏa mãn:
Khi đó ∈ (( , ) × ℝ 2 ; ℝ), vì 1 và 2 lần lượt là hàm dưới và hàm trên của phương trình (1.1) nên ̃ 11 và ̃ 2 lần lượt là hàm dưới và hàm trên của phương trình (1.52 1 ). Áp dụng Bổ đề 1.7, bài toán (1.52 1 ), (1.53 1 ) có ít nhất một nghiệm 1 thỏa mãn: ̃ 11 ( ) ≤ 1 ( ) ≤ ̃ 2 ( ), ∈ [ , ].
Hơn nữa, ̃ 12 và 1 lần lượt là hàm dưới và hàm trên của phương trình (1.52 2 ) Do đó, theo Bổ đề 1.7 bài toán (1.52 2 ), (1.53 2 ) có ít nhất một nghiệm 2 thỏa mãn: ̃ 12 ( ) ≤ 2 ( ) ≤ 1 ( ), ∈ [ , ].
Tiếp tục quá trình trên ta có dãy hàm ( ) +∞ thỏa phương trình (1.52 ), điều
=1 kiện (1.53 ), và ̃ 1 +1 ( ) ≤ +1 ( ) ≤ ( ), ∈ [ , ], = 1,2, … (1.54) Áp dụng (1.51), (1.54) và Bổ đề 1.6 (với = ∗ ,=,=,
0 0 1 0 0 ra dãy ( ) +∞ và ( ′ ) +∞ bị chặn đều và đồng liên tục trên ( , ) Do đó,
=1 =1 không mất tính tổng quát ta giả sử: lim ( ) = ( ), lim ′ ( )= ′ ( ) đều trên ( , ).
Khi đó 0 là nghiệm của phương trình (1.1) và
Kết hợp với ( +) = 1 ( 1 ), ( −) = 1 ( 2 ) ta có:
Vậy, định lý được chứng minh.
Để chứng minh Hệ quả 1.3, đầu tiên cần chỉ ra tồn tại hàm dưới 1 và hàm trên 2 của phương trình (1.1) sao cho thỏa mãn điều kiện (1.3).
Lấy ∈ (0, ) đủ nhỏ để phương trình:
2 Áp dụng Bổ đề 1.8 cho phương trình (1.55) ta có:
Tương tự, áp dụng Bổ đề 1.8 cho phương trình (1.56) ta có:
Kí hiệu 1 , 2 lần lượt là nghiệm của phương trình (1.55) và (1.56) thỏa mãn điều kiện đầu:
(Điều kiện ∫ ( − )( − )| ( , )| < +∞ đảm bảo sự tồn tại hàm 1 , 2
(xem ví dụ trong [16],[17]) Khi đó tồn tại 1 ∈ ( , + 2 ) , 2 ∈ ( + 2 , ) thỏa mãn:
Ta kiểm tra 1 là hàm dưới của phương trình (1.1):
Tiếp theo ta sẽ chứng minh:
Vậy 1 là hàm dưới của phương trình (1.1).
Lấy ∈ (0, ) đủ nhỏ để phương trình:
1 )] − ∗ ( ) ′ có nghiệm lần lượt là 1 và 2 thỏa mãn điều kiện: −
2 ′ ( ) < 0, ∈ [ + 2 , ) , 2 ( −) = 1. Áp dụng Bổ đề 1.9 ta có:
Tiếp theo ta kiểm tra 2 là hàm trên của phương trình (1.1).
Suy ra 2 ( +), 2 ( −) hữu hạn và 2 ′ ( + 2 −) > 2 ′ ( + 2 +).
Do vậy 2 ′′ ( ) ≤ ( , 2 ( )) + ( , 2 ( )) 2 ′ ( ), ℎ ∈ ( , ) hay 2 là hàm trên của phương trình (1.1) Do đó bài toán (1.1), (1.2) có ít nhất một nghiệm.
Ta chứng minh điều kiện cần:
Giả sử là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2).
Vì bị chặn trên [ , 0 ] nên lim inf( − )| ′ ( )| = 0 (1.58)
Suy ra ( ) là nghiệm của phương trình:
Nhân hai vế (1.1) với ( ) và lấy tích phân từ đến 0 , với ∈ ( , ) ta có:
Dùng phương pháp tích phân từng phần: Đặt:
Thế cận vào và để ý ( ) = 0 ta được:
Vì ( , ( )) ≤ 0 nên từ (1.59) ta có:
Vì ( +) = 0 và lim inf( − )| ′ ( )| = 0 nên cho → + , suy ra:
Chứng minh tương tự ta có ∫ ( − )| ( , )| < +∞, ∈ ( , ).
Vậy, hệ quả được chứng minh.
Chứng minh Hệ quả 1.4: Đầu tiên ta chứng minh điều kiện đủ Theo Định lý 1.2 ta cần chỉ ra tồn tại hàm dưới 1 và hàm trên 2 của phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện (1.3) Theo Hệ quả 1.3 thì phương trình ′′ = ( , ) có nghiệm 1 và 2 thỏa mãn điều kiện:
Suy ra tồn tại 1 ∈ ( , ) và 2 ∈ ( , ) thỏa mãn:
Khi đó 1 là hàm dưới của phương trình (1.1).
Khi đó 2 là nghiệm của phương trình trên thỏa mãn điều kiện:
Do , là hàm đơn điệu nên 2 điều kiện (1.3) Vì vậy bài toán
Ta chứng minh điều kiện cần:
Giả sử là nghiệm của bài toán là hàm trên của phương trình (1.1) thỏa mãn (1.1), (1.2) có ít nhất một nghiệm.
Nhân hai vế của phương trình (1.1) với− và lấy tích phân từ đến 0 , với ∈ ( , 0 ) ta có:
= − ∫ 0 ( − ) ( , ( )) + ∫ 0 ( − ) ( , ( )) ′ ( ) Do , là hàm đơn điệu và từ (1.61), với ∈ ( , 0 ) ta có:
∫ 0 ( − )| ( , )| ≤ ( − ) ′ ( ) − ( 0 − ) ′ ( 0 ) + ( 0 ) − ( ) Từ (1.2), (1.58) suy ra (1.60) được thực hiện.
Chứng minh tương tự ta có ∫ ( − )| ( , )| < +∞, 0 ∈ ( , ).
Vậy, hệ quả được chứng minh.
TÍNH GIẢI ĐƯỢC CHO BÀI TOÁN (2.1), (2.2)
Các bổ đề bổ trợ
Để chứng minh định lý trên, trước hết ta xét các bổ đề đánh giá tiên nghiệm.
Khi đó, tồn tại hằng số ∗ > 0 sao cho với mọi [ , ] ⊂ ( , ) và mọi hàm
∈ 1 ([ , ]; ℝ), thỏa các bất đẳng thức:
Giả sử [ 1 , 2 ] ⊂ ( , ), ∈ 1 ([ 1 , 2 ]; ℝ) thỏa các điều kiện của Bổ đề 2.3. Đặt:
Lấy ∈ ( , ) tùy ý và cố định lại sao cho ′ ( ) ≠ 0 Khi đó:
Nếu ′ ( ) ≥ 0 thì 1 ( ) = ∫ (∫ ℎ 2 ( ) ) , ∈ [ 1 , 2 ], suy ra 1 là
1 nghiệm của phương trình 1 ′ ( ) = ℎ 2 ( ) 1 ( ) + 1 thỏa điều kiện 1 ( 1 ) = 0.
Nhân hai vế của (2.11) với 1 và lấy tích phân từ 1 đến 0 ta được:
Dùng phương pháp tích phân từng phần: Đặt ( ) = ( ), ( ) = ′ ( )
Thế cận vào và chuyển vế ta có:
Nếu ′ ( ) < 0 thì 1 ( ) = ∫ (∫ −ℎ 2 ( ) ) , ∈ [ 1 , 2 ], suy ra 1 là
1 nghiệm của phương trình ′ ( ) = −ℎ 2 ( ) ( ) + 1 thỏa điều kiện ( ) = 0.
Do đó, từ (2.11) ta có:
Dùng phương pháp tích phân từng phần:
Thế cận vào và chuyển vế ta có:
Như vậy trong cả hai trường hợp ′ ( ) ≥ 0 và ′ ( ) < 0 ta đều có:
Nếu ′ ( ) ≥ 0 thì 2 ( ) = −∫(∫ ℎ 2 ( ) ) , ∈ [ 1 , 2 ], suy ra 2 là
Dùng phương pháp tích phân từng phần: Đặt:
Thế cận vào và chuyển vế ta có:
2 là nghiệm của phương trình ′ ( ) = −ℎ
Dùng phương pháp tích phân từng phần: Đặt:
Thế cận vào và chuyển vế ta được:
Như vậy trong cả hai trường hợp ′ ( ) ≥ 0 và 0 ′ ( ) < 0 ta đều có:
Vì | ( )| ≤ 0, , ∈ [ 1 , 2 ] nên từ (2.18) ((2.19)) ta được:
Biến đổi tương tự với 2 ta được:
Nhân (2.20) với ( 2 − 0 ) và (2.21) với ( 0 − 1 ) ta được:
Vậy, bổ đề được chứng minh.
Cho ∈ ( , ), ∈ [0, − ), 1 > 0, ℎ 1 ∈ ([ , ]; ℝ + ),ℎ 0 ∈ (( , ); ℝ + ) thỏa (2.10) Khi đó, tồn tại hàm ∈ (( , ); ℝ + ) ∩ ([ , ]; ℝ + ) thỏa mãn bất đẳng thức:
| ′ ( )| ≤ ( ), ∈ [ 1 , 2 ], ∀ 1 ∈ ( , ), ∀ 2 ∈ ( , ). và hàm ∈ 1 ([ 1 , 2 ]; ℝ) thỏa mãn các bất đẳng thức:
Do ℎ khả tích với trọng số ( − )( − ) nên ∈ (( , ); ℝ + ) ∩ ([ , ]; ℝ + ).
Giả sử bổ đề sai, khi đó tồn tại ∈ ( , ), ∈ ( , ), ∈ 1 ([ , ];ℝ)
1 2 1 2 thỏa mãn (2.23), (2.24), và tồn tại 0 ∈ [ 1 , 2 ] thỏa mãn:
Nếu = thì theo giả thiết ta có ′ ( ) ≤ ( ): mâu thuẫn với (2.26) Suy
| ′ ( )| ′ ≤ ℎ 0 ( ) + ℎ 2 ( )| ′ ( )|, hkn ∈ ( 0 , ). Áp dụng bổ đề về bất đẳng thức vi phân và tích phân ta có:
Lấy tích phân hai vế ta được:
| ′ ( )| ′ ≤ ℎ 0 ( ) + ℎ 2 ( )| ′ ( )|, hkn ∈ ( , 0 ). Áp dụng bổ đề về bất đẳng thức vi phân và tích phân ta có:
Lấy tích phân hai vế ta được:
Mâu thuẫn với (2.26) Vậy, bổ đề được chứng minh.
Giả sử 1 và 2 lần lượt là hàm dưới và hàm trên của phương trình (2.3) thỏa
) có một nghiệm ∈ 1 (( , ); ℝ) thỏa mãn:
Cho 1 và 2 lần lượt là hàm dưới và hàm trên của phương trình (2.3) thỏa mãn
Khi đó, với mỗi 1 ∈ [ 1 ( +), 2 ( +)] và 2 ∈ [ 1 ( −), 2 ( −)] thì bài toán (2.3), (2 3 0 ) có một nghiệm thỏa (2.30).
Giả sử có hàm ∈ (( , ); ℝ + ) ∩ ([ , ]; ℝ + ) thỏa Bổ đề 2.4.
Sao cho: lim = , lim = , lim = ( = 1,2) (2.38)
Theo Bổ đề 2.5, với mỗi ∈ ℕ thì phương trình (2.35) có một nghiệm xác định trên [ 1 , 2 ] thỏa mãn:
Từ (2.32), (2.34), (2.35) và (2.40), với mỗi ∈ ℕ thì hàm ≡ thỏa mãn bất đẳng thức (2.11) và (2.12) với 1 = , 2 = Do đó theo Bổ đề 2.3 từ (2.34) ta có (2.23) đúng.
Do đó, mỗi là một nghiệm của bài toán (2.3) trên [ 1 , 2 ] Mặt khác, từ (2.41) với mỗi ∈ ℕ ta có:
Theo định lý Arzelà – Ascoli, từ (2.3), (2.40), (2.41), không mất tính tổng quát ta giả sử:
→+∞ lim = đều trên mỗi tập compact và là một nghiệm của phương trình (2.3) trên ( , ) Hơn nữa, từ (2.38) − (2.40) và (2.42) ta được (2 3 0 ) và
Vậy, bổ đề được chứng minh.
Cho , ∈ (( , ) × (0,1); ℝ), 1 và 2 lần lượt là hàm dưới và hàm trên của phương trình (2.1) thỏa (2.4) và
Giả sử thêm, với mỗi ∈ (0, 1⁄2) thì (2.6) đúng, trong đó ∈ ( , ),
1 , 2 như trong (2.8) Khi đó, với mỗi 0 ∈ ( , ), phương trình (2.1) có một nghiệm (xác định trên ( , 0 )) thỏa mãn:
Lấy 0 ∈ ( , ) tùy ý và cố định lại, 0 ∈ (0, 1⁄2) và 10 ∈ ( , ) thỏa mãn:
1 ( ) ≤ 1 ( 10 ), ∈ ( , 10 ), 1 ( 10 ) = 0 (2.47) Đặt ∈ 1 (( , ]; ℝ) là một nghiệm của bài toán:
Nghiệm tồn tại theo [9, Định lý 1.1] Hiển nhiên tồn tại 1 ∈ ( , 10 ) thỏa:
Hơn nữa, theo (2.46) ta có:
Do đó, từ (2.6), (2.47), và (2.48) − (2.51) ta có:
Ngoài ra, từ (2.48) và (2.50) ta có ′′ ( ) ≤ 0, hkn ∈ ( , ).
Vì vậy, từ (2.52) suy ra:
Khi đó, với mỗi ∈ ℕ, ̃ 1 ( ) là hàm dưới của phương trình:
′′ ( ) = ( , , ′ ) (2.54) và ̃ 21 ( ) là hàm trên của phương trình:
Khi đó, theo Bổ đề 2.6 tồn tại một nghiệm 1 của phương trình (2.55) xác định trên ( , 0 ) thỏa mãn: ̃ 11 ( ) ≤ 1 ( ) ≤ ̃ 21 ( ), ∈ ( , 0 ),
1 ( +) = 1 ( 11 ), 1 ( 0 −) = 2 ( 0 ). Đến đây, giả sử tồn tại nghiệm , ∈ ℕ của phương trình (2.54) với = trên ( , 0 ) có tính chất: ̃ 1 ( ) ≤ ( ) ≤ ̃ 2 ( ), ∈ ( , 0 ),
Ta định nghĩa hàm trên ̃ 2 +1 của phương trình (2.54) với = + 1 là: ̃ 2 +1 ( ) = ( ), ∈ ( , 0 ).
Khi đó, lại áp dụng Bổ đề 2.6 với = ( 0 − )⁄( − ),
ℎ( , , ) = ( , , ), hkn ∈ ( , 0 ), , ∈ ℝ, và , , ℎ 2 định nghĩa như (2.56), (2.57), tồn tại nghiệm +1 của (2.54) với = + 1 trên ( , 0 ) thỏa mãn:
Từ (2.54), (2.60) và Bổ đề 2.3,2.4 với = 0 thì dãy { } +∞ =1 và
{ ′ } +∞ =1 bị chặn đều và đồng liên tục trên mỗi tập compact của ( , 0 ) Do đó, tồn tại
= lim đều trên mỗi tập compact và là nghiệm của (2.1),
Vì 0 là nghiệm của phương trình (2.1) trên ( , 0 ) và hàm , thuộc lớp Carathéodory nên từ (2.62) và tính liên tục của 0 ′ trên ( , 0 ), suy ra 0 ′
Vậy, bổ đề được chứng minh.
Cho , ∈ (( , ) × (0,1); ℝ), 1 và 2 lần lượt là hàm dưới và hàm trên của (2.1) thỏa mãn (2.4) và:
Giả sử thêm, với mỗi ∈ (0, 1⁄2) thì (2.6) đúng, trong đó ∈ ( , ),
1 , 2 như trong (2.8) Khi đó, với mỗi 0 ∈ ( , ), phương trình (2.1) có một nghiệm (xác định trên ( 0 , )) thỏa mãn:
Chứng minh kết quả cơ bản
Nếu 2 ( +) > 0 và 1 ( −) < 1 thì theo Bổ đề 2.7 và 2.8 tồn tại và là nghiệm của phương trình (2.1) lần lượt xác định trên ( , 0 ) và ( 0 , ),trong đó:
Do đó, không mất tính tổng quát ta giả sử: Đặt:
Khi đó, tồn tại dãy { } +∞ =1 ⊂ (0, 1⁄2) thỏa mãn:
Do đó, với mỗi ∈ ℕ, từ bất phương trình (2.6) suy ra (2.31) và (2.32) đúng trên [ 1 , 2 ] Do đó, theo Bổ đề 2.6, với mỗi ∈ ℕ tồn tại là nghiệm của bài toán (2.1) xác định trên ( 1
Từ (2.6) và Bổ đề 2.3, 2.4, với mỗi tập compact [ 1 , 2 ] ⊂ ( , ) tồn tại
∈ ℕ sao cho dãy { } +∞ và { ′ } +∞ bị chặn đều và đồng liên tục trên
[ 1 , 2 ] Do đó, không mất tính tổng quát, ta giả sử tồn tại hàm
= lim đều trên mỗi tập compact và là nghiệm của (2.1),
Hơn nữa, từ (2.5), (2.66) và (2.67) suy ra thỏa (2.2) và (2.9).
Vậy, định lý được chứng minh.