(Luận văn thạc sĩ) một lớp bài toán biên hai điểm không chính quy cho phương trình vi phân cấp hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Văn An MỘT LỚP BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM KHƠNG CHÍNH QUY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Văn An MỘT LỚP BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM KHƠNG CHÍNH QUY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 84 601 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ Tốn học với đề tài “Một lớp toán biên hai điểm khơng quy cho phương trình vi phân cấp hai” thực với hướng dẫn PGS TS Nguyễn Anh Tuấn, không chép Nội dung luận văn tham khảo, trình bày lại kết nhà toán học: A.G Lomtatidze, Robert Hakl Manuel Zamora từ tài liệu liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng năm 2020 Học viên thực HUỲNH VĂN AN LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Phòng Sau đại học, Khoa Toán Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Thạc sĩ Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới giảng viên Trường nhiệt tình truyền đạt kiến thức quý báu, tạo điều kiện thuận lợi cho hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TS Nguyễn Anh Tuấn hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Thạc sĩ Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến cho tơi hồn thành luận văn cách hồn chỉnh Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè động viên, khuyến kích tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu GIỚI THIỆU Chương TÍNH GIẢI ĐƯỢC CHO BÀI TỐN (1.1), (1.2) 1.1 Các kết cho toán (1.1), (1.2) Định nghĩa 1.1 Định lý 1.2 Hệ 1.3 Hệ 1.4 1.2 Các bổ đề bổ trợ .5 Bổ đề 1.5 Bổ đề 1.6 11 Bổ đề 1.7 13 Bổ đề 1.8 18 Bổ đề 1.9 19 1.3 Chứng minh kết 19 Chứng minh Định lý 1.2: 19 Chứng minh Hệ 1.3: 22 Chứng minh Hệ 1.4: 29 Chương TÍNH GIẢI ĐƯỢC CHO BÀI TOÁN (2.1), (2.2) 32 2.1 Các kết cho toán (2.1), (2.2) 32 Định nghĩa 2.1 32 Định lý 2.2 32 2.2 Các bổ đề bổ trợ 33 Bổ đề 2.3 33 Bổ đề 2.4 39 Bổ đề 2.5 43 Bổ đề 2.6 43 Bổ đề 2.7 45 Bổ đề 2.8 49 2.3 Chứng minh kết 49 Chứng minh Định lý 2.2 49 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU ℕ tập số tự nhiên, ℝ tập số thực, ℝ+ = [0, +∞)  ([ , ]; ) với ⊆ ℝ tập hàm  (( , ); ) với ⊆ ℝ tập hàm    ∞ (( , ); ℝ+) tập hàm ([ , ]; ) với ⊆ ℝ tập hàm liên tục  ([ , ]; :[ , ]→ (( , ) × × ℝ; ℝ) với :( , )× : ( , ) → ℝ thỏa ∈ ([ , ]; ℝ) với [ , ] ⊂ ( , ) ) với ⊆ ℝ tập hàm : [ , ] → liên tục tuyệt đối đạo hàm cấp liên tục tuyệt đối  AC ( ; ) với ⊆ (  : ( , ) → thỏa ∈ ([ , ]; ) với [ , ] ⊂ ( , ) : ( , ) → ℝ+ bị chặn hoàn toàn đoạn chứa ( , ) (( , ); ℝ) tập hàm  : [ , ] → khả tích Lebesgue [ , ] , ), ⊆ ℝ tập hàm ⊆ ℝ lớp Carathéodory, nghĩa hàm × ℝ → ℝ thỏa sup{| (∙, , )|: ( , ) ∈ 0} ∈ ((  [ ]− = ( (| | − ), [ ]+ = (| | + ) +) ( −) giới hạn phải giới hạn trái hàm điểm ) với [ , ] ⊆ × ℝ → ℝ liên tục hầu khắp nơi ( ,∙,∙): (∙, , ): ( , ) → ℝ liên tục với ( , ) ∈ ∈ ( , ),  : → thỏa mãn ∈ ([ , ]; , × ℝ ); ℝ+) với tập compact 0⊂ ×ℝ GIỚI THIỆU Lý thuyết tốn biên cho phương trình vi phân thường đời từ kỉ 18, nhiên đến phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng khoa học kỹ thuật khác như: khí, điện tử, vật lý, sinh học, nơng nghiệp, ….[1], [3], [4], [6] – [8], [18] – [20] Một mục đích việc nghiên cứu tốn biên cho phương trình vi phân xem xét tồn nghiệm, tính chất nghiệm cho phương trình vi phân đối số chậm đối số lệch hay phương trình vi phân khơng quy Bài tốn biên cho phương trình vi phân khơng quy nghiên cứu nhiều nhà toán học đến từ Cộng hòa Grugia, Cộng hòa Séc,… I Kiguradze, A Lomtatidze, R Hakl Mục đích luận văn hệ thống trình bày lại cách chi tiết hai báo A Lomtatidze R Hakl 1) A Lomtatidze and P J Torres, On a two-point boundary value problem for second order singular equations, Czechoslovak Math J 53 (2003), 19 – 43 2) R Hakl and Manuel Zamora, Existence of a solution to the Dirichlet problem associated to a second-order differential equation with singularities: The method of lower and upper functions, Georgian Math J 20 (2013), 469 – 491 Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương Tính giải cho tốn (1.1), (1.2) Chương xây dựng điều kiện đủ số trường hợp điều kiện cần đủ cho tính giải toán giá trị biên: ′′ = ( , )+ ( , ) ′ ( +) = 0, ( −) = , ∈ Car (( , ) × (0, +∞); ℝ) Nghiệm toán (1.1), (1.2) ∈ AC1 (( , ); (0; +∞)) thỏa mãn phương trình (1.1) hầu khắp nơi ( , ) thỏa mãn điều kiện biên (1.2) hàm khơng bị chặn, Chương Tính giải cho toán (2.1), (2.2) Chương xây dựng điều kiện đủ cho tính giải tốn giá trị biên: ′′ = ( , )+ ( , ) ′ ( +) = 0, ( −) = , ∈ Car (( , ) × (0,1); ℝ) Nghiệm toán (2.1), (2.2) hàm bị chặn, ∈ AC (( , thỏa mãn điều kiện biên (2.2) ); ℝ), < ( ) < 1, ∈ ( , ) thỏa mãn phương trình (2.1) hầu khắp nơi ( , ) Chương TÍNH GIẢI ĐƯỢC CHO BÀI TỐN (1.1), (1.2) Trong chương này, ta xây dựng điều kiện đủ số trường hợp điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm khơng bị chặn tốn giá trị biên: ′′ = ( , )+ ( , ) ′ ( +) = 0, ( −) = Trong , (( , ) × (0, +∞); ℝ) ∈ Car 1.1 Các kết cho toán (1.1), (1.2) Định nghĩa 1.1 Hàm liên tục : ( , ) → (0, +∞) hàm (trên) phương trình (1.1) ∈1 (( , )\{ , ,…, }; (0, +∞)), < < ⋯ < < , tồn < ′ giới hạn hữu hạn ( +), ( −), ( −), =1, , ′( +), ( −) ′ hkn ′ < ′( +) ( ( −) > ′( +)), = 1, , ∈ ( , ) ta có: ′′ ′ ( ) ≥ ( , ( )) + ( , ( )) ( ) ( ′′( ) ≤ ( , ( )) + ( , ( )) ′( )) Định lý 1.2 1( Giả sử )≤ 2( hàm hàm phương trình (1.1) và: ), ∈ ( , ), 1( +) = 0, 1( −) = 0, 2( } tồn ∈ ( , ), , ∈ (( , ); ℝ+) thỏa mãn: +) ≠ 0, 2( −) ≠ (1.3) Giải sử thêm, với < < min{ 2( ): ≤ ≤