(Luận văn thạc sĩ) một số tính chất hữu hạn của đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thanh Thảo MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thanh Thảo MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN Chuyên : Đại số lí thuyết số ngành Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu độc lập riêng tơi Mọi kế thừa phát huy kết nhà khoa học trích dẫn rõ ràng quy định Các kết nghiên cứu luận văn tơi tự tìm hiểu, phân tích cách trung thực, khách quan, phù hợp với nội dung yêu cầu đề tài cần nghiên cứu, chưa công bố nghiên cứu khác Học viên Trần Thị Thanh Thảo LỜI CẢM ƠN Để hồn thành chương trình cao học viết luận văn này, tơi nhận hướng dẫn nhiệt tình quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, động viên giúp đỡ từ gia đình bạn bè Trước hết, tơi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS TS Trần Tuấn Nam Thầy quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian công sức hướng dẫn để giúp hồn thành luận văn thạc sĩ Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô dạy bảo tơi suốt q trình học tập Xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi Xn Hải, thầy Nguyễn Tự Cường, Phạm Thị Thu Thủy, q thầy tận tình dạy bảo mở mang cho nhiều kiến thức Toán học, đặc biệt kiến thức chuyên ngành Đại số, làm tảng vững để học tập nghiên cứu Xin cảm ơn bạn học lớp Đại số Lí thuyết số Khóa 27 bạn bè người thân hết lịng động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tơi Gia đình tơi ln nguồn động viên tinh thần to lớn giúp tơi hồn thành khóa học luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2018 Trần Thị Thanh Thảo BẢNG KÍ HIỆU Spec  R SuppR M  Giá M M Ass Tập tất iđêan nguyên tố R Tập iđêan nguyên tố liên kết M R M Linh hóa tử M Ann R M  H i I M  H i I,J R R Tor i  I  I,J Môđun đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan Tích mở rộng n  chiều R i Ext Môđun đối đồng điều địa phương thứ i    Tích xoắn n  chiều R Hàm tử I  xoắn Hàm tử I , J   xoắn MỤC LỤC Trang LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức 1.2 Hàm tử đối đồng điều địa phương theo iđêan I 1.3 Hàm tử đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan I , J  11 1.4 Bao nội xạ 14 1.5 Dãy phổ - Dãy phổ Grothendieck 14 Chương Môđun Lasker yếu môđun I , J   Cofinite 18 2.1 Môđun Lasker yếu môđun I , J   cofinite yếu 18 Hom R / I ; H 2.2 Sự hữu hạn tập Ass H 2.3 Sự hữu hạn tập Ass 2.4 Tính cofinite yếu H s R I,J I,J M R s I ,J M  24 s M  .28  31 Chương Phạm trù Serre 34 3.1 Định nghĩa 34 3.2 Tính chất H i M  phạm trù Serre 34 I,J KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 MỞ ĐẦU Đối đồng điều địa phương chiếm vị trí quan trọng Đại số đại nói chung Đại số giao hốn Hình học đại số nói riêng, tiếp tục nghiên cứu mở rộng theo nhiều hướng khác Trong luận văn Ass R H này, ta nghiên cứu hữu hạn tập s s I,J M  R Ass   Hom R I,H I,J  M , vài tính chất môđun đối đồng điều địa phương H i  M I,J Serre theo quan điểm phạm trù Trong tồn luận văn này, ta ln giả thiết R vành Noether giao hoán I , J iđêan vành R Trong [1], nhà toán học Takahashi, Yoshino Yoshizawa giới thiệu khái niệm môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan I , J , mở rộng định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương theo iđêan I Grothendieck Cho M x  M I n x  Jx ,  I,J M  n    R mơđun, mơđun   mơđun I , J   xoắn M Vì tồn hàm tử hiệp biến I , J từ phạm trù R mơđun vào Hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp I,J i iđêan I , J , kí hiệu HI , J , hàm tử dẫn xuất phải thứ Nếu i i i J  H hàm tử đối đồng điều địa phương thông thường H I,J I Grothendieck Trong [2], Grothendieck đưa giả thuyết: Với iđêan vành R với R môđun hữu hạn sinh M , môđun Hom Ii RI,H I M hữu hạn sinh với i Một năm sau Hartshorne đưa phản ví dụ  cho giả thuyết Grothendieck Ơng định nghĩa mơđun I  cofinite đặt câu hỏi: “Với vành R iđêan I mơđun H Ii M  môđun I  cofinite với môđun hữu hạn sinh M ?” Vấn đề đặt tương tự i cho cặp iđêan I , J , môđun H I , J M  cho ta kết nào? Luận văn trình bày làm ba chương Chương trình bày mà khơng chứng minh số kiến thức đại số giao hoán đối đồng điều địa phương báo [1] Trọng tâm luận văn nằm chương hai chương ba trình bày lại cách rõ ràng chi tiết kết báo khoa học Some results on local cohomology modules with respect to a pair of ideals [3] PGS TS Trần Tuấn Nam Nguyễn Minh Trí Trong chương hai giới thiệu môđun Lasker yếu môđun I , J   cofinite yếu, từ rút số kết quan trọng đặc biệt tập iđêan nguyên tố s I,J M  HomR R I , H M , với s số nguyên không liên kết H Is, J âm cho trước Chương ba giới thiệu phạm trù Serre, cung cấp cho ta nhìn khác mơđun H i   M tính chất môđun I,J phạm trù xét Cụ thể sau: Phần (2.1.1) (2.1.2), ta tìm hiểu định nghĩa tính chất mơđun Lasker yếu dựa kết hai tác giả K Divaani- Aazar A Mafi báo [4] Dựa vào định nghĩa môđun I , J   cofinite (2.1.3) mà A Tehranian A Pour Eshmanan Talemi đề cập đến báo [5], kết hợp với định nghĩa môđun I  cofinite yếu K Divaani- Aazar A Mafi báo [6], ta định nghĩa hồn chỉnh số tính chất môđun I , J   cofinite yếu (2.1.4) (2.1.5) Tiếp đến phần (2.1.6) (2.1.7), ta thu kết tính Lasker yếu môđun Ext Ri âm cho trước R I,M  với i  s , s số nguyên không