Kiến thức cơ sở
Iđêan nguyên tố liên kết
Trong toán học, cho R là một vành Noether và M là một R – mô đun, một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu nó thỏa một trong hai điều kiện tương đương sau.
(i) Tồn tại một phần tử x∈M sao cho Ann(x) = p.
(ii) M chứa một mô đun con đẳng cấu với R/ p.
Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu Ass R (M).
Tính chất 1.1.2 Cho R là vành, giả sử p là phần tử tối đại của {Ann(x) | x∈M, x ≠ 0} Thì p ∈AssR(M).
Hệ quả 1.1.4 Giả sử S là tập con nhân của R Đặt R ' = S −1 R , M ' = S −1 M Thì Ass R (M ') = f (Ass R ' (M ')) = Ass R (M) ∩ {p | p∩ S = ∅}
Trong đó f :Spec(R ') → Spec(R) là một đồng cấu. Đặc biệt, Ass R p ( M p ) = { qR p | q ∈ Ass R (M),q ⊆ p } Định lý 1.1.5 Cho R là vành Noether và M là một R – mô đun Thì Ass R (M)
⊆ Supp R (M), và với mọi phần tử tối tiểu của Supp R (M) đều nằm trong
Giả sử I là lý thuyết của vành R, thì iđêan nguyên tố liên kết tối thiểu của R-mô đun R/I sẽ là iđêan nguyên tố tối thiểu của I Định lý 1.1.7 chỉ ra rằng nếu R là vành Noether và M là mô đun hữu hạn sinh của R, thì các tính chất của iđêan và mô đun này có mối liên hệ chặt chẽ với nhau trong lý thuyết đại số.
M ≠ 0 Thì tồn tại dãy các mô đun con (0) = M 0 ⊂ ⊂ M n −1 ⊂ M n = M sao với mọi pi ∈Spec(R),1≤ i ≤ n.
0 → M' → M → M'' → 0 là một dãy khớp các R – mô đun thì khi đó Ass(M') ⊆ Ass(M) ⊆ Ass(M') ∪ Ass(M'')
Tính chất 1.1.9 Cho R là vành Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh.
Thì AssR(M) là một tập hợp hữu hạn Hơn nữa, AssR(M) nằm trong V(Ann(M)), và mọi phần tử tối tiểu của V(Ann(M)) đều thuộc AssR(M) Do đó, Ann(M) chính là giao của các lý thuyết nguyên tố liên kết của M.
Tính chất 1.1.10 Nếu N là R – mô đun con của M ThìAss R (N) ⊆ AssR (M) ⊆ AssR (M / N) ∪ AssR (N)
Độ cao của một iđêan
Trong lý thuyết vành, một chuỗi hữu hạn các iđêan nguyên tố p_0 ⊃ p_1 ⊃ ⊃ p_n được gọi là chuỗi nguyên tố có độ dài n, với n + 1 là số lượng iđêan trong chuỗi Nếu p thuộc Spec(A), thì cận trên của chuỗi nguyên tố với p = p_0 được định nghĩa là độ cao của p, ký hiệu là ht(p).
(i) Nếu ht( p) = 0 điều đó có nghĩa p là một iđêan nguyên tố tối tiểu của R.
(ii) Nếu I là một iđêan của R Độ cao của I là độ cao thấp nhất của iđêan nguyên tố chứa I Tức là: ht(I) = inf{ht(p)| p ⊇ I}
Chiều của một iđêan
M i −1 ≅ R p i Định nghĩa 1.3.1 Cho R là vành, chiều của R được định nghĩa là cận trên của độ cao của các iđêan nguyên tố trong R. dim(R) = sup{ht(p)| p∈Spec(R)}
Nếu dim(R) là hữu hạn thì nó chính là chiều dài của chuỗi nguyên tố dài nhất trong R.
(ii) Với mọi iđêan I của R ta có: dim(R
Tính chất 1.3.3 Giả sử M ≠ 0 là một R – mô đun khi đó số chiều của mô đun
M được định nghĩa là chiều của vành thương R
Ann(M) Tức là: dim(M) = dim R
Khi M = 0 ta qui ước dim(M) = -1.
Tính chất 1.3.4 Với R là vành Noether và M ≠ 0 là hữu hạn trên R thì ta có các điều kiện tương đương sau:
(i) M là một R – mô đun có chiều dài hữu hạn.
Độ sâu của mô đun
Định nghĩa 1.4.1 Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh khác 0 Dãy các phần tử a1, ,an ∈R được gọi là dãy M – chính quy nếu:
(a 1 , ,a n )M - chính quy, với mọi i =1, ,n Độ dài của M – dãy là số phần tử của dãy M – dãy không có phần tử nào gọi là M – dãy có độ dài 0.
(i) a ∈R là phần tử M – chính quy nếu a không là ước của 0 trong M.
(ii) a1, ,an ∈R được gọi là M – dãy chính quy khi và chỉ khi
M là một mô đun hữu hạn sinh khác 0 trên vành giao hoán Noether R, với a là một iđêan của R sao cho M ≠ aM Nếu a 1, , a n là một dãy chính quy tối đại trong a, thì không tồn tại phần tử a n +1 ∈ a sao cho dãy a 1, , a n, a n +1 là dãy chính quy có độ dài n + 1 Tất cả dãy chính quy của M trong a đều có thể mở rộng thành dãy chính quy tối đại, và các dãy tối đại này có cùng độ dài, được gọi là độ sâu của M trong a.
Nếu R là vành địa phương với iđêan tối đại m Khi đó mọi M – dãy chính quy a 1 , ,a n phải có các phần tử thuộc m , đơn giản vì
M ≠ (a1, , an)M và M ≠ mM theo bổ đề Nakayama Do đó, một dãy các phần tử của R được coi là M – dãy chính quy khi và chỉ khi nó cũng là M – dãy chính quy trong m Trong trường hợp này, độ sâu của M trong m được gọi là độ sâu của M.
M và kí hiệu là: depth(M).
Vành Cohen – Macaulay
Định nghĩa 1.5.1 Cho R là vành Noether địa phương và M là R – mô đun hữu hạn sinh M được gọi là Cohen – Macaulay (CM) nếu M ≠ 0 và depth(M)
Nếu R là R – mô đun Cohen – Macaulay, thì R được gọi là vành Cohen – Macaulay Định nghĩa 1.5.2 cho biết, với R là vành Noether, R được xem là vành CM nếu nó là vành CM địa phương với mọi lý thuyết tối đại m của R.
Tính chất 1.5.3 Cho R là vành Noether địa phương M là CM R – mô đun
(i) Với mọi p∈Ass(M) , depth M = dim R/p.
(ii) x = x1, x2,…xn là một M – dãy nếu và chỉ nếu dim M/xM = dim M – r.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét tính chất của vành Noether R và mô đun hữu hạn sinh M Cụ thể, nếu x là một M-dãy và M là mô đun Cohen-Macaulay (CM), thì thương mô đun M/xM cũng sẽ là CM Đặc biệt, trong trường hợp R là vành địa phương và M/xM là CM, điều này dẫn đến kết luận rằng M cũng là mô đun CM.
Tính chất 1.5.5 Cho M là CM và S là tập con nhân đóng trong R Thì S −1 M là CM S −1 R - mô đun Đặc biệt, Nếu p∈SuppM thì M p là CM R p - mô đun.
Tính chất 1.5.6 Cho R là vành Noether và M là CM R – mô đun hữu hạn sinh Thì dim M = dim M p + dim M / pM với mọi p∈Supp(M).
Vành phân bậc
Định nghĩa 1.6.1 Vành R được gọi là vành phân bậc nếu R có dạng:
R m là Định nghĩa 1.6.2 Một R - mô đun phân bậc là một R – mô đun M nếu M ⊕ Mn sao cho R n M m ⊆ M n +m n∈Z
Một đồng cấu của R – mô đun phân bậc là một đồng cấu f : M → N sao cho f (M n ) ⊆ N n với mọi n ≥ 0
Một mô đun con N của M được gọi là mô đun con phân bậc nếu N ⊕ (N ∩ Mn )
Nếu N là mô đun con phân bậc của M thì M
N cũng là R - mô đun phân bậc M
Nếu R là vành phân bậc thì R + = ⊕ R n là một iđêan của R. n >0
Tính chất 1.6.4 Cho R là vành phân bậc, các mệnh đề sau tương đương:
(ii) R 0 là vành Noether và R là R 0 – đại số hữu hạn sinh.
Cho R là một vành phân bậc R = ⊕ R n thì tồn tại các phần tử l1 ,l
Tính chất 1.6.6 Cho R là một vành Noether phân bậc và M là một R – mô đun phân bậc khi đó.
(i) Mọi iđêan nguyên tố liên kết p của M là iđêan phân bậc và tồn tại một phần tử thuần nhất x của M sao cho p = Ann(x).
(ii) Với mỗi p∈Ass(M) chúng ta có thể chọn một p – nguyên sơ phân bậc Q( p) sao cho (0) = Q( p) p∈Ass(M)
Hàm tử xoắn
Định nghĩa 1.7.1 Cho M là một R – mô đun, tập hợp Γ a (M) = (0:a n ) = {m∈ M | ∃n ∈ ,a n m = 0} là mô đun con của M. n∈N
Nếu f :M → N là đồng cấu các R - mô đun.
Thật vậy với mọi x ∈Γ a (M) ⇒ ∃n ∈: a n x 0 Khi đó a n f (x) = 0 ⇒ f (a n x) = 0
Ta định nghĩa ánh xạ Γ a (f ) = f |Γ a (M):Γ a (M) → Γ a (N)
Thì Γ a (−) là một hàm tử hiệp biến trong phạm trù các R – mô đun.
Ta gọi Γ a (−) là hàm tử a – xoắn.
Bổ đề 1.7.2 Cho a là một iđêan của vành Noether R Giả sử M là hữu hạn sinh Các phát biểu sau đây là đúng:
(i) Γ a (M) ≠ 0 nếu và chỉ nếu a ⊆ ZD(M)
Trong đó ZD(M) = {a ∈ R:∃0 ≠ m∈M sao cho a.m = 0}
(ii) Ass ( Γ a (M) ) = Ass(M) V(a) và Ass ( M / Γ a (M) ) = Ass(M) \ V(a)
Tính chất 1.7.3 Γ a ( −) bảo toàn tính khớp trái của dãy khớp ngắn.
Tác động Γ a (−) và ta được
Khi đó Γ a (f ) là đơn cấu Ta chứng minh kerΓ a (g) ⊇ ImΓ a (f )
Giả sử x ∈ ker Γ a (g) ⊆ kerg = Imf
Mô đun đối đồng điều địa phương
Định nghĩa 1.8.1 Cho M là R – mô đun và a là iđêan của R Cho giải nội xạ của M à 0 d 0 1 i d i
Tác động hàm tử a - xoắn Γ a (−) vào dãy khớp trên ta được phức.
Im(Γ a (d i −1 )) là mô đun đối đồng điều thứ i của phức và được gọi là mô đun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với iđêan a
(i) Nếu M là R – mô đun nội xạ thì H a i (M) = 0, ∀i > 0
(iii) Mọi phần tử của H a i (M) linh hóa bởi a n với n nào đó.
Tính chất 1.8.3 Cho R là vành Noether S là tập đóng nhân của R, M là R – mô đun, a là ideal của R Thì
R p (M p ) với mọi iđêan nguyên tố p của R.
Tính chất 1.8.4 Giả sử (R, m ) là vành địa phương, M là R – mô đun hữu hạn sinh Thì H i m (M) là mô đun Artin với mọi i.
Tính chất 1.8.5 Cho dãy khớp ngắn 0 → L → N → M → 0 khi đó với f g mỗi i∈ 0 Tồn tại một đồng cấu nối H a i (N) → H a i+1(L) và những đồng cấu nối tạo nên một dãy khớp dài
→ H a Định nghĩa 1.8.6 Cho R = ⊕ R n là vành Noether, R là – phân bậc, R 0 là n ≥0 vành Noether R + = ⊕ R n ⊆ R là một iđêan của R. n >0
Giả sử M = ⊕ M n là một R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh. n∈Z
Với i∈ ta có H i R + (M) là mô đun đối đồng điều địa phương của M đối với iđêan R +
Khi đó H i (M) là R - mô đun phân bậc và H i (M) = ⊕ H i (M)
Tính chất 1.8.7 Giả sử (R, m ) là vành địa phương và M là R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh Thì
(ii) H i m (M)n là R0 – mô đun Artin với mọi i, với mọi n.
Tính chất 1.8.9 Cho (R, m ) là vành Noether địa phương với số chiều d, a là một iđêan của R và M là R – mô đun hữu hạn sinh Thì
(ii) Ass R ( H a i (M) ) hữu hạn với i = 0,1.
(iii) Supp R ( H a i (M)) hữu hạn với mọi i nếu dim(R / a) ≤1.
Tính chất 1.8.10 Với mọi i ∈ thì R – mô đun H i R + (Γ m 0 R (M) là mô đun
Artin Định lý: Giả sử dim(R 0 ) ≤ 1, với mọi i ∈ thì Γ m 0 R ( H i R + M) và
H 1 m 0 R ( H i R + (M) là các R – mô đun Artin.
Tính chất 1.8.11 Cho R là vành địa phương và M là R – mô đun hữu hạn sinh với số chiều d ≤ 3 Thì Ass R ( H a i (M) ) hữu hạn với mọi iđêan a của
R Tính chất 1.8.12 Với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có p ∈ Ass ( H a i (M) ) ⇔ pR p ∈Ass ( H a i R p (M p ) )
Tính chất 1.8.13 Cho R = ⊕ R n là vành Noether, R là – phân bậc, R0 là n ≥0 vành Noether R + = ⊕ R n ⊆ R là một iđêan của R. n >0
Giả sử M = ⊕ Mn là một R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh Khi đó với mỗi n∈Z i∈ ta có:
Tính không xoắn của mô đun đối đồng điều địa phương
Định nghĩa 1.9.1 Cho M là R – mô đun Một phần tử x của M được gọi là phần tử xoắn khi nó có một phần tử linh hóa khác không.
Nếu R là miền nguyên, tập hợp các phần tử xoắn của M kí hiệu : T(M) là một R – mô đun xoắn con của M.
Khi T(M) = M thì M được gọi là mô đun xoắn.
Khi T(M) = 0, M được gọi là mô đun không xoắn Định nghĩa 1.9.2 nêu rằng, với R là một vành tùy ý, M là một R – mô đun, và S là tập con nhân của R, một phần tử m trong M được xem là phần tử S – xoắn nếu tồn tại s trong S sao cho linh hóa m Định lý 1.9.3 cho biết, với R0 là miền nguyên, nếu s thuộc R0 \{0} và i thuộc một tập hợp nào đó, thì
R s = (R0 ) s ⊗R 0 R và ( R s ) + = R + R s = ( R + ) s ta có các mệnh đề tương đương sau:
(i) H i R + (M)s là (R 0 ) s - mô đun không xoắn.
(ii) H i (R s ) + (M s ) là (R 0 ) s - mô đun không xoắn.
(iii) Nếu p∈Ass R (H i R + (M)) thì s∈p hoặc p∩ R 0 = 0
Bổ đề 1.9.4 Giả sử R0 là một miền nguyên vô hạn với trường các thương K. Nếu d = dim K ⊗ R 0 R(K⊗R M) ≥ 0 và x1 , x 2 , , x d là những phần tử bất kì.
Thì tồn tại phần tử t ∈R 0 \{0} và một đồng cấu:
Bổ đề 1.9.5 Giả sử R 0 là miền nguyên vô hạn với trường các thương K và d = dim K
Thì tồn tại t ∈R 0 \{0} sao cho H i (Mt) = 0, ∀i > d
Bổ đề 1.9.6 Giả sử R = R x = R x ,x , x là vành đa thức trên miền
Noether R 0 với trường các thương K và giả sử M là R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh Khi đó nếu K ⊗ M là
⊗ R = K x - mô đun tự do thì tồn tại
R 0 R 0 một phần tử s ∈R 0 \{0} sao cho:
Nếu i = d thì H i (R s )+ (M s ) là ( R 0 ) s - mô đun tự do.
(R s )+ Định lý 1.9.7 Giả sử R0 là một miền nguyên Thì tồn tại phần tử s ∈R 0 \{0} sao cho H i R+ (M)s là ( R 0 ) s - mô đun không xoắn ∀i ∈
Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương có đối chiều bé
Khái niệm về sự ổn định tiệm cận
Định nghĩa 2.1.1 Giả sử (Sn ) n∈Z là họ các tập hợp Ta nói Sn là ổn định tiệm cận khi n → −∞ nếu tồn tại n 0 ∈ sao cho Sn = S n 0 với mọi n ≤ n 0
Như vậy, tập hợp Ass R 0 (H i R + (M) n ) được gọi là ổn định tiệm cận khi n →
−∞ nếu tồn tại n 0 ∈ sao cho:
Sn được gọi là ổn định tiệm cận khi n tiến đến âm vô cùng, hay còn gọi là ổn định tiệm cận Theo định nghĩa 2.1.3, với (Sn) n∈Z là một họ các tập hợp, Sn được xem là thuần hóa nếu S n = 0 với n đủ nhỏ hoặc S n ≠ 0 với n đủ nhỏ.
Tập H i R + (M) được gọi là thuần hóa khi H i R + (M) n = 0 với n đủ nhỏ hoặc H i R + (M) n ≠ 0 với n đủ nhỏ.
Nếu Ass R 0 (H i R + (M) n ) ổn định tiệm cận thì H i R + (M) là thuần hóa.
Trước khi khám phá nội dung chính của luận văn, chúng ta nên xem xét một số kết quả đã được nghiên cứu về tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết trong mô đun đối đồng điều địa phương Các nhà toán học đã có những đóng góp quan trọng trong lĩnh vực này.
Sự ổn định tiệm cận của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương
Định lý 2.2.1 Cho R0 là vành địa phương và M là R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh Giả sử i∈ sao cho H R j + (M) là R – mô đun hữu hạn sinh với mọi j
< I thì Ass R 0 (H i R + (M) n ) ổn định tiệm cận. Định lý 2.2.2 Cho M là R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh Đặt f = f R + (M) = inf{i∈ | H i R + (M) khơng hữu hạn sinh}
Ass R 0 (H f R + (M) n ) ổn định tiệm cận khi R 0 là vành địa phương với số chiều dim(R 0 ) ≤ 1 Theo định lý 2.2.3, Ass R 0 (H i R + (M) n ) cũng ổn định tiệm cận với mọi i∈ Thêm vào đó, định lý 2.2.4 chỉ ra rằng nếu R là vành Cohen – Macaulay với dim(R 0 ) = 1, thì M cũng có những tính chất đặc biệt liên quan.
Cohen – Macaulay R – mô đun thì Ass R 0 (H i R + (M) n ) ổn định tiệm cận với mọi i∈
Trong phần mở rộng của luận văn, chúng ta sẽ khám phá cách bỏ qua tính địa phương của R0 và bổ sung một số điều kiện nhỏ cho R0 Đặc biệt, khi dim R0 = 1, chúng ta đạt được một kết quả hoàn chỉnh hơn liên quan đến sự mở rộng này.
Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc có đối chiều 1 21 2.4 Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc trong mô đun đối đồng điều nửa địa phương có số chiều 2
Giả sử i∈ ta kí hiệu Τ i = Τ i (M) = { p∈Ass R (H i R + (M)) | height( p∩ R) ≤1}
Với n ∈ ta kí hiệu Τ i n = Τ i n (M) = { p 0 ∈Ass R 0 (H i R + (M) n ) | height( p 0 ) ≤1}
Ta có Τ i n = ∅ với n đủ lớn Hơn thế nữa Τ i = { p 0 + R + | p 0 ∈ n∈Z T n i }
Bổ đề 2.3.2 Giả sử i∈ và S ⊆ Τ i Khi đó với mọi số nguyên n đặt
(ii) S là hữu hạn khi và chỉ khi Sn ổn định tiệm cận.
(ii) Cho S hữu hạn Đặt S = S ~ n thì S là tập hữu hạn ~ n∈Z
Giả sử p 0 ∈S thì ( R 0 ) p 0 là vành địa phương.
Theo định lý 2.2.3 thì Ass i
Nên hoặc p 0 ∈Ass R 0 ( H i R + (Mn )) với n đủ nhỏ hoặc p 0 ∉ Ass R 0 ( H i R +
(Mn )) với n đủ nhỏ. Điều đó có nghĩa p0 ∈S n với mọi n đủ nhỏ hoặc p0 ∉S n với mọi n đủ nhỏ.
Vì S hữu hạn nên Sn ổn định tiệm cận.
Cho Sn ổn định tiệm cận Nên Sn hữu hạn với mỗi n nguyên dương
Và Sn = 0 với mọi n đủ lớn suy ra S n hữu hạn. n∈Z
Tính chất 2.3.3 Giả sử R0 là mở rộng nguyên hữu hạn của miền nguyên A0 sao cho q0 ∩ A 0 = 0 với mỗi iđêan tối tiểu q 0 của R0 thì với mỗi i∈ ta có:
(ii) Tn i (M) ổn định tiệm cận.
Theo bổ đề 2.3.2 ta chỉ cần chứng minh (i) là đủ.
Gọi l 0 ,l 1 , l r ∈R 1 sao cho R = R 0 [l 0 ,l 1 , l r ] và đặt A := A 0 [l 0 ,l 1 , l r ].
Khi đó, A là một vành con Noether của R và A + R = R + như vậy R là mở rộng nguyên hữu hạn của A.
Trong trường hợp M là A – mô đun phân bậc hữu hạn sinh.
Ta có H i R + (M) ≅ H i A + (M) Theo định lý 1.9.7 và định lý 1.9.3 đối với M hữu hạn sinh ta có s ∈A 0 \{0} sao cho τ ∩ A 0 = 0 hoặc s ∈τ ∩ A0 với mỗi τ∈Ass A (H i R + (M))
Vì q0 ∩ R 0 = 0 với mọi q0 nguyên tố tối tiểu của R0 Ta có height(sR 0 ) ≥1.
Giả sử lấy p∈Τ i (M) Thì p∩ A ∈Ass A (H i R + (M)) và do đó p∩ A 0
Nếu p∩ A 0 = 0 thì p∩ R0 là một trong hữu hạn các iđêan nguyên tố tối tiểu của R 0
Nếu s ∈ p∩ A 0 thì height( p∩ R 0 ) ≤ 1 ≤ height(sR 0 ) do đó p∩ R 0 là một trong hữu hạn iđêan nguyên tố tối tiểu hữu hạn của sR 0
Vậy { p ∩ R 0 | p∈Τ i (M)} là hữu hạn nên Τ i (M) cũng là tập hữu hạn.
Hệ quả 2.3.4 Giả sử R0 là một miền nguyên thì với mỗi i∈ những kết luận trong tính chất trên vẫn đúng.
Bổ đề 2.3.5 Giả sử với i∈ , hữu hạn với mọi ideal tối tiểu hạn. Τ i (Γ q R ( M ) ) và Τ i M
0 Γ q0 của R 0 với q0 ⊇ (0 : M) Thì là những tập Τ i (M) là hữu
Giả sử q0 (1) ,q0 (2) , ,q0 (t) = q0 là những iđêan nguyên tố tối tiểu khác nhau của R0 chứa (0:R 0 M),(t ∈ 0 )
Với mỗi p∈Τ i (M) thì height( p∩ R 0 ) ≤1 và p∩ R 0 ⊇ (0:R 0 M). Đặt M := M Γ q 0 R (M) rõ ràng (0 :
Theo giả thiết Τ i (M) là hữu hạn Ta chỉ cần chứng minh Τ i (M) \ Τ i (M) hữu hạn là được.
Trong trường hợp đặc biệt, ta có p ∈ Supp(Γ q 0 R (M)) ⊆ Var(q0 R)và q0 ⊆ p0 t −1
Trường hợp q0 (j) ⊆ p0 Khi đó p0 phải là iđêan nguyên tố tối tiểu của j=1 t −1 iđêan q 0 (j) + p 0 j=1 Điều này khẳng định rằng ta chỉ có thể chọn hữu hạn các p0 và p = p0 + R+ t −1
Nếu (0 :R 0 M) ⊆ p 0, thì p0 chứa một iđêan nguyên tố tối tiểu τ 0 của (0 :R 0 M) Nếu τ 0 khác q 0 (j) với mọi j = 1, t −1 và τ 0 khác q0, điều này dẫn đến τ 0 không tối tiểu trong R0, từ đó suy ra τ 0 = p0 Lặp lại quá trình này, ta sẽ có hữu hạn p.
Nhưng p∈ Ass R (H i R + (Γ q 0 R (M))) và do đó p∈Τ i (Γ q 0 R (M )) hữu hạn. Định lý 2.3.6 Giả sử R0 là loại chủ yếu hữu hạn trong một trường thì với mỗi i∈ ta có:
(ii) T n i (M) ổn định tiệm cận.
Ta chỉ cần chứng minh (i) là đủ.
Tồn tại vành con A0 của R0 và tập nhân S0 của A0 sao cho A0 là hữu hạn trong một trường nào đó Và R 0 = S 0 −1 A 0
Giả sử l 0 ,l 1 , l r ∈R 1 sao cho R = R 0 [l 0 ,l 1 , l r ] và ta đặt A = A 0 [l
0 ,l 1 , l r ] khi đó A là vành con Noether của R sao cho R = S 0 −1 A s
Giả sử m1 ,m2, ms ∈M là những phần tử thuần nhất sao cho M = ∑Rmj và j=1 s ta đặt N = ∑ Am j khi đó N là A – mô đun hữu hạn sinh thỏa S 0 −1 N = M j=1
Nên Τ i (M) = {S 0 −1 q | q∈Τ i (N)} do đó ta chỉ cần chứng minh Τ i (N) hữu hạn Giả sử q 0 (1) ,q 0 (2) , ,q 0 (t) là những iđêan nguyên tố tối tiểu khác nhau của R 0 chứa
Nếu t = 0 ta có height(0:R 0 M) > 0 height( p∩ R 0 ) ≤1 và (0: R 0 M) ⊆ p∩ R 0 với mỗi p∈Τ i (M)
Thì Ass R (M) = Ass R (M) \ Var(q 0R), với q 0 (1), q 0 (2), , q 0 (t −1) là những iđêan nguyên tố tối tiểu khác nhau của R 0 chứa (0 : R 0 M) Do đó, T i (M) là hữu hạn Theo bổ đề 2.3.5, cần chứng minh rằng T i (Γ q 0 R (M)) cũng hữu hạn.
Do vậy ta thay thế M bằng Γ q 0 R (M).
Ta có tồn tại n ∈ N sao cho q 0 nM = 0 Do đó M trở thành mô đun phân bậc hữu hạn sinh trên R q 0 n R
Ta có H i R + (M) ≅ H i (M) Do đó ta thay thế R bởi R nR từ đó suy ra q 0
0 là iđêan nguyên tố tối tiểu của R 0
Theo bổ đề Noether R0 là mở rộng nguyên hữu hạn của miền Noether
A 0 ta có q 0 là iđêan nguyên tố tối tiểu duy nhất của R 0 và q 0 ∩ A 0 = 0
Theo tính chất trên thì Τ i (M) hữu hạn.
Giả sử R0 có chiều hữu hạn là d Với i∈ ta đặt
R 0 ) ≥ d −1} Hơn thế nữa với mọi n ∈ ta đặt
Rõ ràng với kí hiệu trên thì
S i ⊆ Τ i và S n i (M) = { p 0 ∈Τ i n | p 0 + R+ ∈S i } với mọi n nguyên Tính chất 2.3.8 Giả sử dim(R 0 ) < ∞ và R 0 là một mở rộng nguyên hữu hạn của một miền nguyên A0 thì với mỗi i∈ ta có:
(ii) S i n (M) ổn định tiệm cận.
Theo chú ý 2.3.7 và bổ đề 2.3.2 ta chỉ cần chứng minh (i) là đủ cách chứng minh giống như tính chất 2.3.3 Bằng cách thay bất đẳng thức dim R
0 ≤ dim(R 0 ) −1 cho height(sR 0 ) ≥1. sR0
Nếu dim(R0) ≤ 1 và R0 là vành nửa địa phương, mở rộng của một miền nguyên, hoặc là loại chủ yếu hữu hạn trên một trường, thì với mỗi i ∈, có những hệ quả quan trọng được xác định.
(ii) Ass R (H i R + ( M ) n ) ổn định tiệm cận.
Khi dim(R 0 ) ≤1 thì Ass R (H i R + (M)) = S i (M) = T i (M) và Ass R (H i R + (M) n ) = S n i (M) = T n i (M)
Nếu R0 là vành địa phương ta sử dụng định lý 2.2.3 kết hợp bổ đề 2.3.2.
Nếu R 0 là mở rộng hữu hạn của một miền nguyên thì ta sử dụng tính chất 2.3.8.
Nếu R0 là loại chủ yếu hữu hạn của một trường ta sử dụng định lý 2.3.6.
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ khám phá hướng mở rộng số chiều của R0 trong trường hợp dim R0 ≤ 2, đồng thời giữ nguyên tính địa phương của R0 Chúng ta sẽ chỉ tập trung vào một số kết quả yếu trong hướng mở rộng này và một trường hợp đặc biệt.
2.4 Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc trong mô đun đối đồng điều nửa địa phương có số chiều 2.
Bổ đề 2.4.1 Cho ( R 0 ,m 0 )là vành địa phương với số chiều nhỏ hơn 2 Giả sử x
0 là phần tử M Γ m R (M) - chính quy sao cho dim R
0 ≤1 thì với x 0 R 0 0 i ( M ) là mô đun mỗi i∈ ta có R – mô đun phân bậc Γ m R H R + i x 0
Lấy đối đồng điều của dãy khớp trên ta được
Tác động hàm tử Γ m 0 R ( − ) ta được dãy khớp
Nên theo định lý 1.8.9 ta có Γ m 0 R ( H R i + (M / x 0 M ) ) là R – mô đun Artin
Do đó Γ m 0 R ( H R i + ( M ) / x 0 H R i + ( M ) )cũng là mô đun Artin.
Theo tính chất 1.8.8 ta lại có H R j
+ ( Γ m 0 R (M )) là mô đun Artin với mọi j ∈
Chúng ta có hai dãy khớp R – mô đun phân bậc.
Trong đó A và B là mô đun Artin Do đó ta có thể xây dựng hai dãy khớp R – mô đun phân bậc.
Trong đó A là ảnh đồng cấu của A, B là ảnh đồng cấu của R – mô đun Artin T or1 R (B , R / x 0 R) Do đó A, B cũng là mô đun Artin.
Tác động hàm tửΓ m 0 R ( − ) vào hai dãy khớp trên ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.4.2 Cho ( R 0 , m 0 )là vành địa phương với số chiều d > 0 Giả sử là một phần tử tùy ý của R 0 và i∈ Nếu với mọi số nguyên n mà i
Theo giả thiết tồn tại q nguyên tố tối tiểu của x 0 R 0 sao cho dim( R
0 q ) = d −1 và q∈Supp H i (M)n với vô hạn số nguyên n Vì
Do ( R q ) 0 = ( R 0 ) q là vành địa phương có số chiều bé hơn 1 Nên tồn tại s ∈ Spec ( (R q ) 0 ) sao cho s∈Ass ( R q ) 0 (H i ( R q ) + (M q ) n ) với n đủ nhỏ. Đặt p0 = s ∩ R0 Thì p 0 thỏa bài toán.
Bổ đề 2.4.3 Cho ( R 0 ,m 0 ) là vành địa phương với dim R 0 ≤ 2 Giả sử i∈ và H i R + ( M ) n = 0 với mọi n < 0 thì H i R + ( M ) n = 0 với mọi n đủ nhỏ.
Khi dim(R 0 ) ≤1 theo hệ quả 2.3.9 khẳng định trên đúng.
Khi dim(R 0 ) = 2 Chọn x 0 ∈m0 sao cho x 0 không thuộc iđêan nguyên tố tối tiểu nào của R0 và không thuộc các phần tử của tập Ass R (M) \ Var( m0R)
Thì dim(R 0 x 0 R 0 ) =1 và x 0 là M Γ m 0 R (M) - chính quy.
Theo 2.4.1 thì Γ H R + i ( M ) là vành Atin. i m 0 R x 0 H
Theo 2.4.2 thì H i R + ( M ) n ≠ 0 với mọi n đủ nhỏ (Mâu thuẫn)
Suy ra H i R + ( M ) n ≠ 0 với mọi n đủ nhỏ ( Mâu thuẫn)
Bổ đề 2.4.4 Cho ( R 0 , m 0 ) là vành địa phương Giả sử i∈ , n ∈ và m 0 ∈Ass R 0 ( H i R + (M) n ) Giả sử x 0 ∈ m 0 là phần tử H iR + (M) n Γ m 0 (H iR + (M) n ) - chính quy Thì Γ m 0 R (H i R + (M)) n = Γ m 0 (H i R + (M) n ) ⊄ x 0 H i R + (M) n
Chứng minh Đặt H = H i R + ( M ) n Thì m 0 ∈AssR 0 (H) có nghĩa là Γ m 0 (H) ≠ 0
Ta có x 0 là phần tử H Γ m 0 (H) - chính quy.
Bổ đề 2.4.5 Cho ( R 0 , m0 )là vành địa phương với số chiều nhỏ hơn 2 Giả sử i∈ và S i (M) là hữu hạn khi đó với m
Khi dim(R 0 ) ≤1 theo hệ quả 2.3.9 ta có điều cần chứng minh
Khi dim(R 0 ) = 2 S i (M) hữu hạn. i i Đặt S = S n (M) = Ass R 0 (H R + (M) n ) \{ m 0 } cũng hữu hạn. n∈Z n∈Z
Chọn x 0 ∈m0 sao cho x 0 không thuộc các phần tử của S, không thuộc iđêan nguyên tố tối tiểu nào của R0 và không thuộc các phần tử của tập
Ass (M) \ Var( mR) Khi đó dim(R
0 quy Hơn thế nữa x0 còn là H i R
R + ( M ) Đặt U =Γ m R ( H i R + ( M ) ) + x 0 H i R + ( M ) là mô đun con của
U là mô đun con của Γ i
Theo bổ đề 2.4.4 ta có Γ m (H i R
Do đó thành phần phân bậc thứ n của U không bị triệt tiêu với n < 0 Do U
Atin nên U n ≠ 0 với n đủ nhỏ. Điều này có nghĩa Γ m 0 R (H i R + (M)) n = Γ m 0 (H i R + (M) n ) ≠ 0 với n đủ nhỏ. Định lý 2.4.6 Giả sử R0 là vành nửa địa phương với dim (R 0 ) ≤ 2 Với i∈
(ii) Nếu S i (M) là hữu hạn thì Ass R 0 ( H i R + (M) n ) ổn định tiệm cận.
Giả sử m (1) , m (2) , m (r) là những iđêan tối đại khác nhau của R0.
Do đó ta có thể làm việc trên vành địa phương là đủ.
(i) Dễ dàng dựa vào bổ đề 2.4.3
Khi đó Ass R 0 (H i R + (M) n ) = S i (M) ∪ Κ i n (M) với mọi n nguyên dương.
Ta có S i (M) hữu hạn nên S i n (M) ổn định tiệm cận
Theo bổ đề 2.4.5 thì Κ i n (M) ổn định tiệm cận.
Giả sử R0 là vành nửa địa phương với dim R0 ≤ 2 Nếu R0 hoặc mở rộng nguyên hữu hạn của một miền nguyên hoặc chủ yếu hữu hạn trong một trường, thì với mọi i thuộc tập hợp Ass R0 (H i R + (M) n), hệ thống này sẽ ổn định tiệm cận.