(Luận văn thạc sĩ) tính liên thông địa phương trong nhóm tôpô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hương TÍNH LIÊN THƠNG ĐỊA PHƯƠNG TRONG NHĨM TƠPƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hương TÍNH LIÊN THƠNG ĐỊA PHƯƠNG TRONG NHĨM TƠPƠ Chun ngành : Hình học tơpơ Mã số :60460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập riêng hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Hà Thanh trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh Luận văn trình bày lại khái niệm, tính chất hệ tài liệu “Local connectedness in topological groups” tác giả Keith Whittington với chứng minh viết cách chi tiết cụ thể Các kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Học viên Nguyễn Thị Hương LỜI CẢM ƠN Tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy hướng dẫn thầy Khoa Tốn-Tin trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh dùng tri thức tâm huyết để truyền đạt cho chúng tơi vốn kiến thức quý báu suốt thời gian học tập trường Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến q thầy phịng Sau đại học tạo điều kiện giúp đỡ cho thời gian qua Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Hà Thanh việc tạo điều kiện để tơi hồn thành cách tốt luận văn Xin chân thành cảm ơn! Học viên Nguyễn Thị Hương MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tôpô .4 1.2 Không gian liên thông 1.3 Nhóm tơpơ 10 1.4 Không gian cấu trúc 15 Chương NHĨM TƠPƠ LIÊN THƠNG ĐỊA PHƯƠNG 18 2.1 Dẫn nhập 18 2.2 Điều kiện tổng qt để nhóm tơpơ G liên thơng địa phương .21 2.3 Các ánh xạ vào G 25 Chương MỐI LIÊN HỆ GIỮA LIÊN THÔNG ĐỊA PHƯƠNG VÀ LIÊN THÔNG ĐƯỜNG CŨNG NHƯ LIÊN THÔNG ĐƯỜNG ĐỊA PHƯƠNG 32 3.1 Thành phần liên thông đường 32 3.2 Các lớp liên hợp 41 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nghiên cứu tính chất nhóm tơpơ tốn nhận nhiều quan tâm nhà toán học Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số điều kiện để nhóm tơpơ trở thành nhóm liên thơng địa phương, liên thông đường địa phương hay hầu liên thơng đường địa phương Từ phát sinh định lí tảng cho nhóm liên thơng khơng địa phương, chẳng hạn định lí cho phép hạn chế khơng gian tập hợp cs-trù mật hay định lí tính khơng đầy đủ lớp liên hợp nhóm tơpơ Các định lí ánh xạ hầu mở hay mở hồn thiện tơpơ liên thơng đường địa phương liên hợp nhóm tơpơ có nhận xét Việc giải tốn Hilbert thứ năm (xem [5],[7],[11-12]) cho ta điều kiện để biến nhóm compact địa phương trở thành nhóm liên thơng đường địa phương, nhóm Euclide hay nhóm Lie địa phương Khi đó, nhóm tơpơ tổng qt quan tâm nhờ có hồn thiện nhiều định lí nhóm compact địa phương Tuy vậy, nhìn chung việc nghiên cứu cấu trúc, cụ thể nhóm Polish hay nhóm tơpơ cịn chưa hồn thiện Theo [10], ta có tất nhóm tơpơ Polish liên thơng đường liên thơng đường địa phương Theo [15], ta có nhóm tơpơ có thành phần liên thơng đường thuộc phạm trù thứ hai thỏa tiên đề đếm thứ hai liên thơng đường địa phương Mục đích luận văn để tìm nguyên lý làm tảng cho điều Từ đó, kết ([10],[15]) củng cố Nhóm liên thơng địa phương đưa thêm nhiều điều kiện Trong phần nói liên thơng đường, kết cũ liên thông trình bày Một số định lí quan trọng cho nhóm liên thông không địa phương giới thiệu Chẳng hạn định lí hạn chế khơng gian nhúng cs-trù mật hay định lí tính gầy lớp liên hợp Ý nghĩa khoa học thực tiễn Nhóm tơpơ thỏa mãn số điều kiện trở thành nhóm liên thơng địa phương, liên thông đường địa phương hay hầu liên thông đường địa phương chẳng hạn nhóm tơpơ có thành phần liên thông đường thuộc phạm trù thứ hai thỏa tiên đề đếm thứ hai liên thơng đường địa phương Từ phát sinh định lí tảng cho nhóm liên thơng khơng địa phương, chẳng hạn định lí cho phép hạn chế khơng gian tập hợp cs-trù mật hay định lí tính gầy lớp liên hợp nhóm tơpơ Mục đích đề tài Mục đích luận văn nghiên cứu tính liên thơng địa phương nhóm tơpơ thơng qua định lí ánh xạ hầu mở (hay mở) tập mở liên thông cs-trù mật nhóm tơpơ Đồng thời, luận văn nêu lên mối liên hệ mệnh đề liên thông địa phương với liên thông đường liên thơng đường địa phương nhóm tơpơ Cấu trúc nội dung đề tài Luận văn gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị : Trong chương này, chúng tơi dành để trình bày kiến thức sở không gian tôpô, không gian liên thông kiến thức liên quan đến nhóm tơpơ, tính liên thơng địa phương liên thơng đường địa phương Chương Điều kiện tổng quát để nhóm tơpơ liên thơng địa phương: Trong chương này, chúng tơi sử dụng tính chất kết biết không gian tôpô để xây dựng điều kiện tổng qt cho nhóm tơpơ trở thành nhóm tơpơ liên thơng địa phương Chương Thành phần liên thông đường lớp liên hợp: Trong chương cuối, chúng tơi trình bày mối quan hệ liên thông địa phương liên thông đường liên thông đường địa phương Đồng thời đưa vào lớp liên hợp mà mang đến tính liên thơng địa phương cho nhóm tơpơ Câu hỏi: Sau nghiên cứu tính chất liên thơng địa phương, liên thơng đường liên thơng đường địa phương nhóm tôpô số câu hỏi đặt nhằm phát triển mở rộng hướng nghiên cứu đề tài Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tơpơ 1.1.1 Tập mở, tập đóng, lân cận, sở tôpô 1.1.1.1 Định nghĩa Cho gọi tập mở X ,  không gian tôpô Tập A  X X ,  A Như : X tập mở, hợp họ tập mở tập hợp mở, giao hữu hạn tập hợp mở tập mở 1.1.1.2 Định nghĩa Tập B  X gọi tập đóng tập X \ B mở 1.1.1.3 Định nghĩa Tập U  X gọi lân cận điểm V  : x V U Nếu 1.1.1.4 Định nghĩa x U tập mở lân cận gọi lân cận mở X ,  gọi Họ tất lân cận x hệ lân cận x Kí hiệu: U x 1.1.1.5 Định nghĩa Họ tập U x X ,  với x sở không gian tôpô  X lân cận U x , V U x : x V U 1.1.1.6 Định nghĩa Họ tập Vx (hay sở địa phương không gian cở sở lân cận điểm x ) U  U x , V điểm x Vx :  Ux X x V U 1.1.2 Phần trong, bao đóng A X 1.1.2.1 Định nghĩa Phần chứa A Kí hiệu: IntA hay A o Nhận xét: IntA tập mở lớn chứa AA o hợp tất tập mở A , ABA o o  B , A mở Tính X, Ao  B o  chất: A, B  A có: ta  o A o  Ao , A o B  Ao  Bo ,  Bo 1.1.2.2 Định nghĩa Bao đóng A  X chứa A Kí hiệu: ClA hay A Nhận xét: A tập đóng nhỏ chứa giao tất tập đóng A, AB AB, A đóng  A A Tính chất: A,B  X , ta có: A  A ,  AB AB , A   A  B B  1.1.3 Định nghĩa Một tập X gọi tập đếm lực lượng (bản số) nhỏ lực lượng tập số nguyên có đơn ánh f : X  Như vậy, X tập đếm có tồn ánh g :  X Một tập hữu hạn tập đếm 1.1.4 Định nghĩa Một không gian tôpô gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai tơpơ có sở đếm 1.1.5 Định nghĩa Một không gian tôpô gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm x  X có sở lân cận đếm 1.1.6 Định nghĩa Một tập A gọi trù mật khơng gian tơpơ X bao đóng A X A X  1.1.7 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi khả ly tồn tập đếm trù mật X 1.1.8 Định nghĩa Một không gian mà tôpô có sở đếm khả ly 1.1.9 Tính chất Một khơng gian khả ly thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai