MỤC LỤC
Tính chất Tồn tại một phủ con đếm được của một phủ mở của một.
Tính chất Tồn tại một phủ con đếm được của một phủ mở của một. Định lí Không gian tôpô X , gọi là T1 -không gian khi và chỉ khi mỗi tập con gồm một phần tử của X là tập đóng. gian Hausdorff) nếu với mỗi cặp điểm bất kì khác nhau của không gian luôn có các lân cận rời nhau.
Định lí Không gian tôpô X , gọi là T1 -không gian khi và chỉ khi mỗi tập con gồm một phần tử của X là tập đóng. gian Hausdorff) nếu với mỗi cặp điểm bất kì khác nhau của không gian luôn có các lân cận rời nhau.
Định lí Không gian tôpô X , gọi là T1 -không gian khi và chỉ khi mỗi tập con gồm một phần tử của X là tập đóng. gian Hausdorff) nếu với mỗi cặp điểm bất kì khác nhau của không gian luôn có các lân cận rời nhau. 1) X không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập con đóng, khác rỗng, rời nhau. 2) X không có tập con thực sự khác rỗng vừa mở, vừa đóng. Định nghĩa Không gian tôpô X gọi là liên thông địa phương tại x0 nếu mọi lân cận của x0 đều chứa một lân cận liên thông của nó.
Mệnh đề Giả sử G là một nhóm tôpô bên trái (hoặc phải) và x là phần tử bất kỳ của G. a) Phép tịnh tiến trái (hoặc phải) của G bởi x là một phép đồng phôi của không gian G lên chính nó. Để chứng minh a) giả sử rằng trong một nhóm tôpô phải, mọi dịch chuyển phải gx là một song ánh liên tục. Bổ đề Giả sử một nhóm con H của một nhóm tôpô trái (hoặc phải) chứa một tập con mở khác rỗng của G. Ua là mở trong G. Định lí Đặt G là một nhóm tôpô và là một cơ sở lân cận mở của phần tử đơn vị e của G. , tồn tại phần tử. iii) Với mọi. Ngược lại, đặt G là một nhóm và đặt là họ của các tập con của G thỏa mãn điều kiện i) -vi). Khi đó, họ. Nếu G là một nhóm tôpô, khi đó i) và ii) suy ra từ tính liên tục của ánh xạ. Tính chất iii) suy ra từ tính liên tục của các dịch chuyển trái trong G .Tương tự như vậy, iv) suy ra từ x ax. và ax axa1 là cỏc đồng phụi của G. Tớnh chất v) rừ ràng vỡ cơ sở lõn cận mở tại e. Tớnh chất vi) cũng rừ ràng vỡ G là một T1 - khụng gian và cơ sở lõn cận mở tại e. Để chứng minh chiều ngược lại, đặt là họ của các tập con của G thỏa mãn điều kiện i) -vi).
Tất cả các kết quả của luận văn này đều phụ thuộc vào tính đều trái L và ánh xạ F nêu trên. Ta cũng có các kết quả tương tự đối với tính đều phải R trên G cùng với ánh xạ tương ứng FR x , y . (nghĩa là U là tập hợp thuộc phạm trù thứ hai trong X ) nếu U không là hợp đếm được của các tập không đâu trù mật.
Khi đó được gọi là tính đều của sự hội tụ đều và tôpô củađược gọi là tôpô của sự hội tụ đều. Trong phần này, A là một không gian liên thông và ánh xạ liên tục đi từ A vào G sao cho với hai phần tử f trên một tập mở bất kì chứa trong tập liên thông A. Định lớ Nếu T là Lindelửf và điểm p A sao cho Tp là tập hợp thuộc phạm trù thứ hai trong G thì G là liên thông địa phương.
Tuy nhiên, cách tiếp cận trong định lí sau đây có lẽ sẽ hữu ích hơn trong vấn đề này. Nếu 0 là một bản số, chúng ta nói rằng tập conA của một không gian X là -phạm trù thứ hai trong X nếu A không chứa trong hợp của các tập con không đâu trù mật của X có bản số . Do đó, ω-phạm trù thứ hai nghĩa là giống như một phạm trù thứ hai và 1-phạm trù thứ hai có nghĩa rằng tập đóng có phần trong khác rỗng.
Bây giờ chúng ta trở lại với các định lí ánh xạ mở hay hầu mở.
G là hoàn toàn khả mêtric( thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai) thì GI cũng vậy. đường của phần tử đơn vị trong G. Bổ đề Với mỗi Chứng minh. Khi đó, tồn tại một đường . Tương tự, nếu eU. Định lí Các phát biểu sau đây là tương đương:. 3) G là liên thông đường địa phương (và do đó là liên thông đường). Như vậy, vì T là ánh xạ mở nên 4) suy ra từ một định lí đồng phôi chuẩn. được cho bởi một tôpô thương thông thường. Định lí Nếu G là Polish, các phát biểu sau đây là tương đương:. 3) G có một thành phần liên thông đường là phạm trù thứ hai trong chính nó và cs-trù mật trong G. Hơn nữa, nếu G có số chiều hữu hạn thì:. Theo Định lí Mazurkeiwicz-Moore-Menger, nếu G là liên thông địa phương thì nó là liên thông đường địa phương. Như vậy, để chứng minh sự tương đương của bốn phát biểu đầu tiên, ta chỉ cần chứng minh 3) suy ra 1). Một nhóm liên thông địa phương, compact địa phương và có số chiều hữu hạn là một nhóm Lie theo [8, tr.185]. Cuối cùng, ta có 1) suy ra từ 6) vì các nhóm Lie là không gian Euclide địa phương. Khụng gian mờtric compact địa phương thì hoàn toàn khả mêtric (đối với các nhóm tôpô, như là mêtric có thể chọn bất biến trái), vì vậy G là Polish. Sau đây là tóm tắt của các kết quả cổ điển đối với các nhóm tôpô có số chiều hữu hạn. Định lí Nếu G có số chiều hữu hạn thì các phát biểu sau đây là tương đương:. 1) G là liên thông đường và compact địa phương. 2) G là liên thông địa phương và compact địa phương. Khi đó vì G là liên thông đường địa phương với số chiều hữu hạn, nó là compact địa phương theo [4, Định lí 3]. Như vậy, vì G là liên thông đường địa phương và compact địa phương nên G là liên thông đường, từ đó ta có 1). Mệnh đề Nếu G là hầu liên thông đường địa phương thì Glà liên thông địa phương và tất cả các thành phần liên thông đường của G đều trù mật trong G. Chứng minh Nếu. G là hầu liên thông đường địa phương, như vậy nó là liên thông địa. Tương tự, nhóm con eG có phần trong và vì G là liên thông nên nó tương đương với G. Các thành phần liên thông đường khác là các lớp của eG do đó cũng trù mật trong G. Định lí Các phát biểu sau đây là tương đương:. G là ánh xạ hầu mở. Khi đó, ta có một lân cận đối xứng V của e sao cho xV. thànhphần liên thông đường của một tập mở nên i là ánh xạ hầu mở và ta có 2). Trong phần này chúng ta đưa ra một số kết quả cho thấy trong vài trường hợp nhất định, tính liên thông địa phương của G có được từ sự phong phú của lớp liên hợp (là phạm trù thứ hai trong G hoặc phạm trù thứ hai trong chính nó và cs-trù mật trong G ).
Định lớ Nếu G được cõn bằng, ω-hẹp ( Lindelửf hoặc khả ly) và với bất kì p G lớp liên hợp của p cũng là phạm trù thứ hai trong G hoặc phạm trù thứ hai trong chính nó và cs-trù mật trong G thì G là liên thông địa phương. Giả sử G được cân bằng và ω-hẹp. Tiếp theo sau đây là một số câu hỏi mở rộng các bài toán đã được giải quyết ở trên. Các câu hỏi được đưa ra ở đây xuất hiện tự nhiên trong quá trình. nghiên cứu giúp chúng ta mở rộng hơn các vấn đề liên quan đến tính chất liên thông của không gian. - Từ kết quả của hệ quả 3.1.14 ta đạt được một phương pháp chứng minh không gian hầu liên thông đường địa phương và câu hỏi ở đây là chúng ta cần thêm những tính chất gì của không gian để đạt được kết quả là không gian liên thông đường địa phương. - Một câu hỏi khác là khi nào thì các thành phần liên thông đường của tập mở trong nhóm tôpô là hầu mở hoặc tập Borel?. Sau đây là tổng hợp một số kết quả mà bài luận văn đã trình bày:. 1) Đưa ra một số điều kiện để một nhóm tôpô trở thành nhóm liên thông địa phương, liên thông đường địa phương hay hầu liên thông đường địa phương. Từ đó phát sinh các định lí nền tảng cho nhóm liên thông không địa phương, chẳng hạn định lí cho phép hạn chế các không gian con như các tập hợp con cs- trù mật hay định lí về tính gầy của các lớp liên hợp trong nhóm tôpô. 2) Nghiên cứu thêm các tính chất liên thông trong nhóm tôpô và mối liên hệ giữa liên thông địa phương và liên thông đường cũng như liên thông đường địa phương. Các kết quả này chỉ là trình bày lại các khái niệm, tính chất và hệ quả trong tài liệu “Local connectedness in topological groups” của tác giả Keith Whittington với các chứng minh được viết một cách chi tiết và cụ thể hơn.