Tính liên thông địa phương trong nhóm tôpô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hương TÍNH LIÊN THƠNG ĐỊA PHƯƠNG TRONG NHĨM TƠPƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hương TÍNH LIÊN THƠNG ĐỊA PHƯƠNG TRONG NHĨM TƠPƠ Chun ngành : Hình học tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập riêng hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Hà Thanh trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh Luận văn trình bày lại khái niệm, tính chất hệ tài liệu “Local connectedness in topological groups” tác giả Keith Whittington với chứng minh viết cách chi tiết cụ thể Các kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Học viên Nguyễn Thị Hương LỜI CẢM ƠN Tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy hướng dẫn thầy Khoa Tốn-Tin trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh dùng tri thức tâm huyết để truyền đạt cho vốn kiến thức quý báu suốt thời gian học tập trường Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến q thầy phịng Sau đại học tạo điều kiện giúp đỡ cho thời gian qua Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Hà Thanh việc tạo điều kiện để tơi hồn thành cách tốt luận văn Xin chân thành cảm ơn! Học viên Nguyễn Thị Hương MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tôpô 1.2 Không gian liên thông 1.3 Nhóm tôpô 10 1.4 Không gian cấu trúc 15 Chương NHĨM TƠPƠ LIÊN THƠNG ĐỊA PHƯƠNG 18 2.1 Dẫn nhập 18 2.2 Điều kiện tổng qt để nhóm tơpơ G liên thông địa phương 21 2.3 Các ánh xạ vào G 25 Chương MỐI LIÊN HỆ GIỮA LIÊN THÔNG ĐỊA PHƯƠNG VÀ LIÊN THÔNG ĐƯỜNG CŨNG NHƯ LIÊN THÔNG ĐƯỜNG ĐỊA PHƯƠNG 32 3.1 Thành phần liên thông đường 32 3.2 Các lớp liên hợp 41 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nghiên cứu tính chất nhóm tơpơ tốn nhận nhiều quan tâm nhà toán học Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số điều kiện để nhóm tơpơ trở thành nhóm liên thơng địa phương, liên thơng đường địa phương hay hầu liên thơng đường địa phương Từ phát sinh định lí tảng cho nhóm liên thơng khơng địa phương, chẳng hạn định lí cho phép hạn chế không gian tập hợp cs-trù mật hay định lí tính khơng đầy đủ lớp liên hợp nhóm tơpơ Các định lí ánh xạ hầu mở hay mở hồn thiện tôpô liên thông đường địa phương liên hợp nhóm tơpơ có nhận xét Việc giải toán Hilbert thứ năm (xem [5],[7],[11-12]) cho ta điều kiện để biến nhóm compact địa phương trở thành nhóm liên thơng đường địa phương, nhóm Euclide hay nhóm Lie địa phương Khi đó, nhóm tơpơ tổng qt quan tâm nhờ có hồn thiện nhiều định lí nhóm compact địa phương Tuy vậy, nhìn chung việc nghiên cứu cấu trúc, cụ thể nhóm Polish hay nhóm tơpơ cịn chưa hồn thiện Theo [10], ta có tất nhóm tơpơ Polish liên thơng đường liên thơng đường địa phương Theo [15], ta có nhóm tơpơ có thành phần liên thông đường thuộc phạm trù thứ hai thỏa tiên đề đếm thứ hai liên thơng đường địa phương Mục đích luận văn để tìm nguyên lý làm tảng cho điều Từ đó, kết ([10],[15]) củng cố Nhóm liên thơng địa phương đưa thêm nhiều điều kiện Trong phần nói liên thông đường, kết cũ liên thơng trình bày Một số định lí quan trọng cho nhóm liên thơng khơng địa phương giới thiệu Chẳng hạn định lí hạn chế khơng gian nhúng cs-trù mật hay định lí tính gầy lớp liên hợp Ý nghĩa khoa học thực tiễn Nhóm tơpơ thỏa mãn số điều kiện trở thành nhóm liên thơng địa phương, liên thông đường địa phương hay hầu liên thơng đường địa phương chẳng hạn nhóm tơpơ có thành phần liên thông đường thuộc phạm trù thứ hai thỏa tiên đề đếm thứ hai liên thơng đường địa phương Từ phát sinh định lí tảng cho nhóm liên thơng khơng địa phương, chẳng hạn định lí cho phép hạn chế khơng gian tập hợp cs-trù mật hay định lí tính gầy lớp liên hợp nhóm tơpơ Mục đích đề tài Mục đích luận văn nghiên cứu tính liên thơng địa phương nhóm tơpơ thơng qua định lí ánh xạ hầu mở (hay mở) tập mở liên thơng cs-trù mật nhóm tơpơ Đồng thời, luận văn nêu lên mối liên hệ mệnh đề liên thông địa phương với liên thông đường liên thông đường địa phương nhóm tơpơ Cấu trúc nội dung đề tài Luận văn gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị : Trong chương này, dành để trình bày kiến thức sở khơng gian tôpô, không gian liên thông kiến thức liên quan đến nhóm tơpơ, tính liên thơng địa phương liên thông đường địa phương Chương Điều kiện tổng qt để nhóm tơpơ liên thơng địa phương: Trong chương này, chúng tơi sử dụng tính chất kết biết không gian tôpô để xây dựng điều kiện tổng quát cho nhóm tơpơ trở thành nhóm tơpơ liên thơng địa phương Chương Thành phần liên thông đường lớp liên hợp: Trong chương cuối, chúng tơi trình bày mối quan hệ liên thông địa phương liên thông đường liên thông đường địa phương Đồng thời đưa vào lớp liên hợp mà mang đến tính liên thơng địa phương cho nhóm tơpơ Câu hỏi: Sau nghiên cứu tính chất liên thơng địa phương, liên thông đường liên thông đường địa phương nhóm tơpơ số câu hỏi đặt nhằm phát triển mở rộng hướng nghiên cứu đề tài Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khơng gian tơpơ 1.1.1 Tập mở, tập đóng, lân cận, sở tôpô 1.1.1.1 Định nghĩa Cho  X ,  không gian tôpô Tập A  X gọi tập mở  X ,  A  Như :  X tập mở, hợp họ tập mở tập hợp mở, giao hữu hạn tập hợp mở tập mở 1.1.1.2 Định nghĩa Tập B  X gọi tập đóng tập X \ B mở 1.1.1.3 Định nghĩa Tập U  X gọi lân cận điểm x V  : x V  U Nếu U tập mở lân cận gọi lân cận mở 1.1.1.4 Định nghĩa Họ tất lân cận x  X ,  gọi hệ lân cận x Kí hiệu: U x 1.1.1.5 Định nghĩa Họ tập U x sở không gian tôpô  X ,  với x  X lân cận U x , V U x : x V  U 1.1.1.6 Định nghĩa Họ tập Vx  U x cở sở lân cận điểm x (hay sở địa phương không gian X điểm x ) U U x , V Vx : x V  U 1.1.2 Phần trong, bao đóng 1.1.2.1 Định nghĩa Phần A  X hợp tất tập mở chứa A Kí hiệu: IntA hay Ao Nhận xét: IntA tập mở lớn chứa A , A  B  Ao  Bo , A mở  A  Ao Tính chất: A, B  X , ta có:  Ao   Ao ,  A  B   Ao  Bo , o o Ao  Bo   A  B  o 1.1.2.2 Định nghĩa Bao đóng A  X giao tất tập đóng chứa A Kí hiệu: ClA hay A Nhận xét: A tập đóng nhỏ chứa A , A  B  A  B , A đóng  A  A Tính chất: A, B  X , ta có: A  A ,  A  B   A  B , A  B   A  B  1.1.3 Định nghĩa Một tập X gọi tập đếm lực lượng (bản số) nhỏ lực lượng tập số nguyên có đơn ánh f : X  Như vậy, X tập đếm có tồn ánh g :  X Một tập hữu hạn tập đếm 1.1.4 Định nghĩa Một không gian tôpô gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai tơpơ có sở đếm 1.1.5 Định nghĩa Một không gian tôpô gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm x  X có sở lân cận đếm 1.1.6 Định nghĩa Một tập A gọi trù mật khơng gian tơpơ X bao đóng A X  A  X  1.1.7 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi khả ly tồn tập đếm trù mật X 1.1.8 Định nghĩa Một không gian mà tơpơ có sở đếm khả ly 1.1.9 Tính chất Một khơng gian khả ly thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai 33 Như vậy, S 1S liên thông đường hợp tập liên thơng đường s 1S với tập chứa e Những điều sau tìm thấy [6, tr.634] Trong khơng gian tơpơ Hausdorff  X ,  tập thành phần liên thông tập mở tạo thành sở tôpô   mịn  Không gian tôpô  X ,   liên thông đường địa phương thành phần liên thông tập mở U  X ,  trở thành thành phần liên thông U  X ,   Như vậy, không gian tôpô  X ,   X ,   có thành phần đường liên thơng Do đó: Nếu  X ,  thỏa mãn tiên đề đếm thứ  X ,   thỏa mãn tiên đề đếm thứ Nếu  X ,  nhóm tơpơ  X ,   nhóm tơpơ trường hợp này, ánh xạ i :  X ,     X ,  đơn cấu liên tục Nhóm  G,   gọi nhóm liên thơng đường địa phương kết hợp G Vì G khơng gian tơpơ T0 nên dễ thấy  G,   không gian tôpô T0 3.1.2 Bổ đề Nếu G thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai liên thơng đường  G,   thỏa mãn tiền đề đếm thứ hai Chứng minh Do [15, Bổ đề 4], d   G,     w G   G,   khả ly Vì G thõa mãn tiên đề đếm thứ nên  G,   Như hai mêtric Khi đó,  G,   thõa mãn tiên đề đếm thứ hai khả ly mêtric 34 3.1.3 Hệ Nếu G liên thông đường, thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai phạm trù thứ hai G liên thơng đường địa phương với U  e ,  e U ánh xạ hầu mở Chứng minh Trước tiên, giả sử ánh xạ  e U hầu mở Theo Định lí 3.1.1, để kết luận G liên thông đường địa phương , ta cần chứng tỏ  eU phạm trù thứ hai Như vậy, giả sử  e U phạm trù thứ Lấy V  e đối xứng cho V  U Khi đó, thành phần liên thông đường V phạm trù thứ Hơn nữa, p V  pV  p  e p V  p  eU 1 Vì G nhóm phạm trù thứ hai nên tất tập mở khác rỗng phạm trù thứ hai Như vậy, V có nhiều thành phần đường khơng đếm Từ suy  G,   không khả ly, điều mâu thuẫn với Bổ đề 3.1.2 Vậy  eU phạm trù thứ hai Ngược lại, G liên thông đường địa phương ánh xạ  e U mở Do vậy,  e U ánh xạ hầu mở Không gian tôpô X gọi compact phủ mở chứa phủ hữu hạn Không gian tôpô X gọi compact địa phương điểm x  X có sở lân cận bao gồm lân cận compact Không gian tôpô X gọi   compact hợp đếm khơng gian compact 35 Như phần trước ta có tập G I tất đường G nhóm tơpơ tơpơ compact mở (tơpơ tương đương với tôpô hội tụ) phép nhân theo tọa độ: fg  t   f  t  g  t  Sau đây, sử dụng kí hiệu eˆ cho phần tử đơn vị: eˆ  t   e Nếu G hoàn toàn khả mêtric( thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai) G I Đặt C tập tất đường   G I cho   0  e Khi đó, C nhóm đóng G I Tương tự vậy, C 1   eG , thành phần liên thông đường phần tử đơn vị G Nó nhóm thông thường G ánh xạ T     1 đồng cấu nhóm liên tục từ C vào  e G 3.1.4 Bổ đề Với U  e   , eU  T WU L eˆ Chứng minh Lấy U  e x   eU Khi đó, tồn đường  U từ e đến x Với t 0,1,  t  U ta có    e,  t   U L Do vậy,  WU L  eˆ  x  T WU L eˆ Suy ra: eU  T (WU eˆ) L   Tương tự, x  T WU L eˆ x   1 với  WU L  eˆ  x   eU 3.1.5 Định lí Các phát biểu sau tương đương: 1) T : C  G ánh xạ mở 2) i :  G,    G ánh xạ mở (và phép đồng phôi) 3) G liên thông đường địa phương (và liên thơng đường) 36 4) T toán ánh ánh xạ tự nhiên từ C / Ker T  vào G biến  Ker T  thành T   phép đồng phôi Chứng minh Trước tiên, giả sử có 1) Khi đó, tập  e U tạo thành sở lân cận e G liên thông đường địa phương theo Bổ đề 3.1.4 Như vậy, ta có 3) Bây giờ, giả sử có 3) Nếu U  e ,  e U sở lân cận mở e  G,    e U mở G G liên thông đường địa phương Như vậy, theo Bổ đề 2.1.4 i ánh xạ mở, ta có 2) Nếu ta có 2) với U  e ,  e U ánh xạ mở T ánh xạ mở theo Bổ đề 3.1.4 Vì 1) suy từ 2) nên 1) suy từ 3) hoàn toàn tương đương Nếu có 1) 3) G liên thơng đường nên T tồn ánh Như vậy, T ánh xạ mở nên 4) suy từ định lí đồng phơi chuẩn Cuối cùng, giả sử ta có 4) đặt Tˆ ánh xạ tự nhiên từ C / Ker T  vào G C / Ker T  cho tôpô thương thông thường Phép chiếu tự nhiên  : C  C / Ker T  mở T  Tˆ  , T ánh xạ mở ta có 1) 3.1.6 Định lí Nếu G Polish, phát biểu sau tương đương: 1) G liên thông địa phương 2) G liên thơng đường 3) G có thành phần liên thông đường phạm trù thứ hai cs-trù mật G 4) G liên thông đường địa phương 37 Hơn nữa, G có số chiều hữu hạn thì: 5) G liên thông đường compact địa phương 6) G nhóm Lie Chứng minh Theo Định lí Mazurkeiwicz-Moore-Menger, G liên thơng địa phương liên thơng đường địa phương Vì 1) suy 4) Vì G liên thông nên 4) suy 2) Đồng thời, phát biểu 3) suy từ 2) Như vậy, để chứng minh tương đương bốn phát biểu đầu tiên, ta cần chứng minh 3) suy 1) Giả sử ta có 3) Do tính G , giả sử  e G đầy đủ cstrù mật G Vì C G Polish nên T ánh xạ mở theo Bổ đề 2.3.11 Do đó, 4) suy từ Định lí 3.1.5 từ ta suy 1) Do [4, Định lí 3], G có số chiều hữu hạn liên thơng đường địa phương compact địa phương, ta có 4) suy 5) Do [16, Định lí 39.6d] nên từ 5) suy 6) Ta chứng minh theo cách khác sau: Giả sử có 5), 2) suy 1) nên G liên thông địa phương Một nhóm liên thơng địa phương, compact địa phương có số chiều hữu hạn nhóm Lie theo [8, tr.185] Cuối cùng, ta có 1) suy từ 6) nhóm Lie khơng gian Euclide địa phương Sau có kết Rickert (Chúng ta thêm vào chiều ngược lại suy G liên thơng) 3.1.7 Định lí ([17]) Nếu G compact địa phương G liên thơng đường liên thơng đường địa phương 38 3.1.8 Hệ Nếu G liên thông đường compact địa phương đồng phơi đến  G,   Chứng minh Theo Định lí Rickert, G liên thông đường địa phương tồn phép đồng phơi đến  G,   Định lí 3.1.5 Chứng minh Rickert phức tạp Chứng minh trực tiếp Hệ 3.1.8 cho chứng minh định lí Rickert Tuy nhiên, cho chứng minh đơn giản định lí Rickert trường hợp G thỏa mãn tiên đề đếm thứ với việc làm suy yếu giả thiết G liên thông đường 3.1.9 Hệ Nếu G thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhất, compact địa phương có thành phần liên thơng đường phạm trù thứ hai nó, đồng thời cs-trù mật G G liên thơng đường địa phương Chứng minh Vì G thỏa mãn tiên đề đếm thứ nên mêtric Vì liên thơng compact địa phương nên  -compact Lindelưf Như vậy, G Lindelưf mêtric nên G khả ly Khơng gian mêtric compact địa phương hồn tồn khả mêtric (đối với nhóm tơpơ, mêtric chọn bất biến trái), G Polish Kết suy từ Định lí 3.1.6 Sau tóm tắt kết cổ điển nhóm tơpơ có số chiều hữu hạn 3.1.10 Định lí Nếu G có số chiều hữu hạn phát biểu sau tương đương: 1) G liên thông đường compact địa phương 39 2) G liên thông địa phương compact địa phương 3) G nhóm Lie 4) G liên thơng đường địa phương Chứng minh Từ Định lí Rickert ta có 1)  2) Một nhóm compact địa phương liên thơng địa phương có số chiều hữu hạn nhóm Lie theo [8, tr.185], 2)  3) Các nhóm Lie liên thơng đường địa phương 3)  4) Giả sử có 4) Khi G liên thơng đường địa phương với số chiều hữu hạn, compact địa phương theo [4, Định lí 3] Như vậy, G liên thơng đường địa phương compact địa phương nên G liên thông đường, từ ta có 1) 3.1.11 Định nghĩa G hầu liên thông đường địa phương với W mở G C thành phần liên thông đường W , C   C  o 3.1.12 Mệnh đề Nếu G hầu liên thông đường địa phương G liên thơng địa phương tất thành phần liên thông đường G trù mật G Chứng minh Nếu G hầu liên thông đường địa phương, liên thơng địa phương Tương tự, nhóm  eG có phần G liên thơng nên tương đương với G Do đó,  eG trù mật G Các thành phần liên thông đường khác lớp  eG trù mật G 40 3.1.13 Định lí Các phát biểu sau tương đương: 1) T : C  G ánh xạ hầu mở 2) i :  G,    G ánh xạ hầu mở 3) G hầu liên thơng đường địa phương Chứng minh Giả sử ta có 1) Khi đó, ta có tập  eG U  e dạng sở lân cận e  G theo Bổ đề 3.1.4 Đặt W tập mở G , C thành phần liên thông đường W x  C Khi đó, ta có lân cận đối xứng V e cho xV  W Do đó, x eV  xeV  xV  W Tuy nhiên, x  eV liên thông đường nên x eV  C Như vậy, x eV   lân cận x chứa C Vậy C  C o ta có 3) Giả sử ta có 3) đặt a eU tập mở  G,   Vì a eU   a aU thành phần liên thông đường tập mở nên   a eU  a eU Vậy i ánh xạ hầu mở ta có 2) o Giả sử ta có 2) Khi đó, với U   e, eU  o lân cận e Theo  Bổ đề 3.1.4, eU  T WU L eˆ Từ suy T ánh xạ hầu mở ta có 1) 3.1.14 Hệ Nếu G có thành phần liên thông đường đếm thứ hai cho phạm trù thứ hai cs-trù mật G G hầu liên thông đường địa phương 41 Chứng minh Từ giả thiết suy  e G phạm trù thứ hai, thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai cs-trù mật G Vì thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai nên C Như vậy, T ánh xạ hầu mở theo Bổ đề 2.3.10 Chứng minh suy từ Bổ đề 3.1.4 3.2 Các lớp liên hợp Trong phần đưa số kết cho thấy vài trường hợp định, tính liên thơng địa phương G có từ phong phú lớp liên hợp (là phạm trù thứ hai G phạm trù thứ hai cs-trù mật G ) Hiển nhiên, kết xem định lí lớp liên hợp nhóm liên thơng khơng địa phương Từ Hệ 2.3.13, có: 3.2.1 Định lí Nếu G thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai có tập continum B G chứa e cho lớp liên hợp điểm B phạm trù thứ hai cs-trù mật G G liên thơng địa phương Tập V gọi lân cận bất biến e nhóm tơpơ H xVx 1  V với x  H Nếu V bất biến lân cận đối xứng V  V 1 bất biến Một nhóm tơpơ H gọi cân lân cận bất biến hình thành sở lân cận e  H Tất nhóm compact nhóm Abel cân Một cách tổng quát hơn, G cân cấu trúc trái phải tương đương 42 Với a  G , đặt ia phép đẳng cấu xác định ia  x   axa 1 Kí hiệu tập tất phép đẳng cấu G Với a, p  G phép toán a  p  ia  p  tác động liên tục G lên Như vậy, trường hợp  G, G  nhóm phép biến đổi tơpơ Chúng ta kí hiệu iG  p  quỹ đạo G  p lớp liên hợp p Do đó,  G, G  p  nhóm phép biến đổi tôpô Với p  G , có hai ánh xạ sau: Tp :  G cho Tp  ia   ia  p  E p : G  G cho E p  a   a  p  ia  p  Ở đây, xem tính hội tụ tơpơ G giữ lại tơpơ thơng thường 3.2.2 Bổ đề Nếu G cân với p  G ánh xạ Tp :  G  p G  mở hay hầu mở E p : G  G  p  G  ánh xạ mở hay ánh xạ hầu mở Chứng minh Đặt ia  WU L ia  lân cận sở ia , U  e Vì G cân nên tồn lân cận bất biến đối xứng V e cho   V  U Đặt iVa  iva v V Ta rằng: iVa  WU L ia  Nếu v V x  G ta có: i  x  a 1 iva  x   ax 1a 1vaxa 1v 1 1   ax 1a 1  v  ax 1a 1   v 1   V  U 43 Do iVa  WU L ia    Suy E p Va   Tp  iVa   Tp WU L ia  Từ suy kết cần chứng minh 3.2.3 Mệnh đề Nếu G cân với p  G có: 1) E p : G  G ánh xạ hầu mở 2) E p : G  G  p ánh xạ hầu mở G  p cs-trù mật G G liên thơng địa phương Chứng minh Điều suy từ Bổ đề 3.2.2 Định lí 2.3.3 3.2.4 Định lí Nếu G cân bằng, ω-hẹp ( Lindelöf khả ly) với p  G lớp liên hợp p phạm trù thứ hai G phạm trù thứ hai cs-trù mật G G liên thơng địa phương Chứng minh Giả sử G cân ω-hẹp Nếu G  p phạm trù thứ hai G theo Hệ 2.3.8, ánh xạ E p : G  G hầu mở ta có 1) Mệnh đề 3.2.3 Mặt khác, G  p phạm trù thứ hai cs-trù mật G theo Hệ 2.3.8, ánh xạ E p : G  G  p hầu mở ta có 2) Mệnh đề 3.2.3 Vậy từ Mệnh đề 3.2.3 ta suy điều cần chứng minh CÂU HỎI Tiếp theo sau số câu hỏi mở rộng toán giải Các câu hỏi đưa xuất tự nhiên trình 44 nghiên cứu giúp mở rộng vấn đề liên quan đến tính chất liên thơng khơng gian - Từ kết hệ 3.1.14 ta đạt phương pháp chứng minh không gian hầu liên thông đường địa phương câu hỏi cần thêm tính chất không gian để đạt kết không gian liên thông đường địa phương - Một câu hỏi khác thành phần liên thơng đường tập mở nhóm tơpơ hầu mở tập Borel? 45 KẾT LUẬN Sau tổng hợp số kết mà luận văn trình bày: 1) Đưa số điều kiện để nhóm tơpơ trở thành nhóm liên thơng địa phương, liên thông đường địa phương hay hầu liên thông đường địa phương Từ phát sinh định lí tảng cho nhóm liên thơng khơng địa phương, chẳng hạn định lí cho phép hạn chế khơng gian tập hợp cstrù mật hay định lí tính gầy lớp liên hợp nhóm tơpơ 2) Nghiên cứu thêm tính chất liên thơng nhóm tơpơ mối liên hệ liên thơng địa phương liên thông đường liên thông đường địa phương Đồng thời đưa vào lớp liên hợp mà mang đến tính liên thơng địa phương cho nhóm tơpơ Trong thực tế, việc nghiên cứu tính chất nhóm tơpơ mẻ hấp dẫn nhà toán học Việc hiểu cấu trúc thỏa điều kiện phát biểu nhóm Polish hay nhóm tơpơ tổng qt tốn quan tâm tìm hướng giải Các kết trình bày lại khái niệm, tính chất hệ tài liệu “Local connectedness in topological groups” tác giả Keith Whittington với chứng minh viết cách chi tiết cụ thể 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đậu Thế Cấp (2005), “Tôpô đại cương”, NXB Giáo dục Trần Tráng (2001), “Tôpô đại cương”, NXB Đại học Sư phạm Tp.HCM Tiếng Anh AlexanderArhangel’skii, Mikhail Tkachenko, Topological Groups and Related Structures, Atlantis Press/World Scientific Publisbing Co Pte Ltd., Paris/Hackensack, NJ, 2008, xiv+781 pp Andrew M Gleason, Arcs in locally compact groups, Proc Natl Acad Sci USA 36 (1950) 663-667 Andrew M Gleason, Groups without small subgroups, Ann Math 56 (1952) 193-212 Andrew M Gleason, Richard S Palais, On a class of transformation groups, Am J Math 79 (1957) 631-648 Deane Montgomery, Leo Zippin, Small subgroups of finite-dimensional groups, Ann Math (2) 56 (1952) 213-241 Deane Montgomery, Leo Zippin, Topological Transformation Groups, Interscience Publishers, New York/London, 1955, xi+282 pp Elliot Pearl (Ed.), Open Problems in Topology II, Elsevier B.V., Amsterdam, 2007, xii+763 pp 10 G.S Ungar, On all kinds of homogeneous spaces, Trans Am Math Soc 212 (1975) 393-401 11 Hidehiko Yamabe, A generalization of a theorem of Gleason, Ann Math (2) 58 (1953) 351-365 12 Hidehiko Yamabe, On the conjecture of Iwasawa and Gleason, Ann Math (2) 58 (1953) 48-54 47 13 John C Oxtoby, Measure and Category, A Survey of the Analogies Between Topological and Measure Spaces, 2nd edition, Graduate Texts in Mathematics, vol 2, Springer-Verlag, New York/Berlin, 1980, x+106 pp 14 John L Kelley, General Topology, D Van Nostrand Company, Inc., Toronto/New York/London, 1955, xiv+298 pp 15 K Whittington , Local connectedness in transformationgroups, Proc Am Math Soc 130 (3) (2001) 903-907 16 Markus Stroppel, Locally Compact Groups, EMS Textbooks in Mathematics, European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2006, x+302 pp 17 Neil W Rickert, Arcs in locally compact groups, Math Ann 172 (1967) 222-228 18 Ryszard Engelking, General Topology, Translated from the Polish by the author, 2nd edition, Sigma Series in Pure Mathematics, vol.6, Heldermann Verlag, Berlin, 1989, viii+529 pp 19 Taqdir Husain, Introduction to Topological Groups, W.B Saunders Co., Philadelphia, Pa./London, 1966, xi+218 pp 20 K Whittington, Local connectedness in topological groups, Topology and its Applications 180 (2015) 111-123 ... không gian tôpô, không gian liên thông kiến thức liên quan đến nhóm tơpơ, tính liên thơng địa phương liên thông đường địa phương Chương Điều kiện tổng qt để nhóm tơpơ liên thơng địa phương: Trong. .. hệ liên thông địa phương liên thông đường liên thông đường địa phương Đồng thời đưa vào lớp liên hợp mà mang đến tính liên thơng địa phương cho nhóm tơpơ Câu hỏi: Sau nghiên cứu tính chất liên. .. định lí tính gầy lớp liên hợp nhóm tơpơ 2) Nghiên cứu thêm tính chất liên thơng nhóm tơpơ mối liên hệ liên thông địa phương liên thông đường liên thông đường địa phương Đồng thời đưa vào lớp liên