BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Đình Nghĩa IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CÓ ĐỐI CHIỀU[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Lê Đình Nghĩa IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CĨ ĐỐI CHIỀU BÉ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 Luan van BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Lê Đình Nghĩa IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CÓ ĐỐI CHIỀU BÉ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 Luan van Mục Lục Lời cảm ơn Phần mở đầu Bảng kí hiệu Chương 1: Kiến thức sở 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết 1.2 Độ cao iđêan 10 1.3 Chiều iđêan 10 1.4 Độ sâu mô đun 11 1.5 Vành Cohen – Macaulay 13 1.6 Vành phân bậc 13 1.7 Hàm tử xoắn 14 1.8 Mô đun đối đồng điều địa phương 16 1.9 Tính khơng xoắn mơ đun đối đồng điều địa phương 18 Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc mơ đun đối đồng điều địa phương có đối chiều bé 20 2.1 Khái niệm ổn định tiệm cận 20 2.2 Sự ổn định tiệm cận iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc mô đun đối đồng điều địa phương 21 2.3 Iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc có đối chiều 21 2.4 Iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc mơ đun đối đồng điều nửa địa phương có số chiều 28 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 Luan van Lời cảm ơn Sau hai năm học tập nghiên cứu Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh hướng dẫn hỗ trợ tận tình PGS TS Trần Tuấn Nam luận văn tốt nghiệp tơi hồn thành Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ cho tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, T.S Trần Huyên, PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xuân Hải, quý thầy Khoa Toán – Tin Trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường Cuối xin gởi lời cám ơn đến người thân, bạn bè tất người giúp đỡ hỗ trợ suốt trình học tập nghiên cứu Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Học viên Lê Đình Nghĩa Luan van Mở đầu Lý chọn đề tài Cho R = ⊕ Rn họ (R n )n ≥0 họ vành Noether, R + = n≥0 ⊕ R n iđêan R M R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh n >0 HiR + (M) mô đun đối đồng điều địa phương thứ i M R + trang bị tính phân bậc tự nhiên Với n ∈ ta có HiR + (M)n thành phần ( ) phân bậc thứ n mô đun HiR + (M) , tập hợp AssR HiR + (M)n tập hợp iđêan nguyên tố liên kết HiR + (M n ) Trong q trình nghiên cứu tìm hiểu mơ đun đối đồng điều địa phương HiR + (M) nhà toán học thu nhiều kết thú vị đặc biệt mô đun HiR + (M) tính chất thú vị tính ổn định tiệm cận tập hợp ( (H ) (M) ) AssR HiR + (M)n Đi đầu việc nghiên cứu ổn định tiệm cận AssR i R+ n nhà toán học M Brodmann, M Brodmann chứng minh số kết quan trọng: (1) [2.2.1] “ Nếu R – mô đun H Rj + (M) hữu hạn sinh với j < i, ta có ( ) ổn định tiệm cận thứ i AssR HiR + (M)n ” (2) [2.2.2] “ Nếu R vành (nửa địa phương) địa phương có dim(R ) ≤ ( ) có tập hợp AssR HiR + (M)n ổn định tiệm cận i”, Vấn đề đặt kết (2) mở rộng thêm giả thiết ( ổn định tiệm cận AssR HiR + (M)n Luan van ) thay đổi nào? Trong trường hợp R không địa phương có ổn định tiệm cận hay không cần bổ sung điều kiện để tính ổn định tiệm cận cịn? Trong trường hợp khơng có điều kiện địa phương cần điều ( ) kiện R AssR HiR + (M)n ổn định tiệm cận? Năm 2003 báo M Bordmann, S Fumasoli, C.S Lim trả lời cho câu hỏi cách xác Kết thể định lý sau Để mở rộng (2) trường hợp bỏ tính địa phương R , cần thêm số điều kiện nhỏ thể kết sau: (3) [2.3.3] Giả sử R mở rộng nguyên hữu hạn miền nguyên A cho q0 ∩ A0 = với iđêan tối tiểu q0 R Thì với i∈ (i) Τi =Τi (M) :={p∈ AssR (HiR + (M)) | ht(p ∩ R) ≤ 1} hữu hạn (ii) Τin =Τin (M) :={p0 ∈ AssR (HiR + (M)n ) | ht(p0 ) ≤ 1} ổn định tiệm cận (4) [2.3.6] Giả sử R chủ yếu hữu hạn trường Thì với i∈ (i) Τi =Τi (M) :={p∈ AssR (HiR + (M)) | ht(p ∩ R) ≤ 1} hữu hạn (ii) Τin =Τin (M) :={p0 ∈ AssR (HiR + (M)n ) | ht(p0 ) ≤ 1} ổn định tiệm cận Trong trường hợp đặc biệt, dim(R ) ≤ ta có kết quả: (5) [2.3.9] Giả sử dim(R ) ≤ R vành đơn mở rộng miền nguyên loại chủ yếu hữu hạn trường Thì với i∈ (i) AssR (HiR + ( M )) hữu hạn (ii) AssR (HiR + ( M )n ) ổn định tiệm cận Ngồi cịn có hướng mở rộng (2) trường hợp dim ( R ) =2 giữ nguyên tính địa phương R , ta có kết yếu hơn: Luan van (6) [2.4.7] Giả sử R vành nửa địa phương với dim ( R ) = Với i∈ Thì HiR + (M) hóa Đặc biệt, thêm vài điều kiện nhỏ ta có kết quả: (7) [2.4.8] Giả sử R vành nửa địa phương với dimR ≤ Nếu R mở rộng nguyên hữu hạn miền nguyên loại chủ yếu hữu hạn ( ) trường Thì với i∈ tập hợp AssR HiR + (M)n ổn định tiệm cận Những vấn đề có vai quan trọng chuyên ngành đại số, đại số giao hoán đại số đồng điều, thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học Mục đích đề tài Mục đích luận văn hệ thống lại số kiến thức cần thiết đại số giao hốn, đại số đồng điều có liên quan đến vấn đề tìm hiểu nghiên cứu, sau trình bày lại chi tiết chứng minh cho kết (3), (4) Bên cạnh trình bày cách hệ thống bổ đề tính chất để đến kết (6), (7) Đối tượng phương pháp nghiên cứu Bài nghiên cứu trình bày vài khái niệm kiến thức hỗ trợ tập trung làm việc tập hợp iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc mô đun đối đồng điều địa phương ( ) AssR HiR + (M)n để thấy rõ tính chất ổn định tiệm cận tính chất khác Đặc biệt nghiên cứu dừng mức độ số chiều R thấp 0,1,2 thêm vào R điều kiện nhỏ cần thiết Luận văn chia làm hai chương: Luan van Chương trình bày lại kiến thức sở đại số giao hoán, đại số đồng điều nhằm phục vụ việc chứng minh kết chương sau Chương gồm hai phần, phần phần luận văn, phần trình bày bổ đề liên quan sau trình bày chi tiết chứng minh kết (3), (4) với hệ liên quan Phần trình bày bổ đề liên quan sau dẫn đến kết (6), (7) Luan van Bảng kí hiệu = {0,1,2 } - tập hợp số tự nhiên = { ,-1,0,1,2 } - tập hợp số nguyên ⊕ R n - tổng trực tiếp họ vành R n n ≥0 R/p – vành thương R theo p Spec(R) - tập hợp iđêan nguyên tố R V(a ) - tập hợp iđêan nguyên tố chứa a S−1R - vành thương vành R theo tập nhân S R p - vành địa phương p SuppR ( M ) = {p ∈ Spec(R ) | M p ≠ 0} ( Var( m ) = Supp R m ) Ann(M) - linh hóa tử M dim ( R ) - số chiều vành R R [l1 ,l2 , ,lr ] - vành đa thức lấy hệ số R } - cận tập hợp inf{i ∈ sup{i ∈ } - cận tập hợp Hom ( A,B) - tập hợp tất đồng cấu từ A đến B Luan van Chương 1: Kiến thức sở 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành Noether M R – mô đun Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M thỏa hai điều kiện tương đương sau: (i) Tồn phần tử x ∈ M cho Ann(x) = p (ii) M chứa mô đun đẳng cấu với R/ p Tập hợp iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu Ass R (M) Tính chất 1.1.2 Cho R vành, giả sử p phần tử tối đại {Ann(x) | x ∈ M, x ≠ 0} Thì p ∈ Ass R (M) Hệ 1.1.3 Ass R (M) = ⇔ M = Hệ 1.1.4 Giả sử S tập nhân R Đặt R ' = S−1R , M ' = S−1M Thì AssR (M ') =f (AssR ' (M ')) =AssR (M) ∩ {p | p ∩ S =∅} Trong f :Spec(R ') → Spec(R) đồng cấu Đặc biệt, AssR p ( M p ) = {qR p | q ∈ AssR (M), q ⊆ p} Định lý 1.1.5 Cho R vành Noether M R – mơ đun Thì Ass R (M) ⊆ Supp R (M), với phần tử tối tiểu Supp R (M) nằm Ass R (M) Hệ 1.1.6 Giả sử I iđêan vành R Thì iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu R- mô đun R/I iđêan nguyên tố tối tiểu I Luan van ... cận iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc mô đun đối đồng điều địa phương 21 2.3 Iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc có đối chiều 21 2.4 Iđêan nguyên tố liên kết thành phần. .. đun đối đồng điều địa phương 16 1.9 Tính khơng xoắn mơ đun đối đồng điều địa phương 18 Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc mơ đun đối đồng điều địa phương có đối chiều. .. Lê Đình Nghĩa IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CÓ ĐỐI CHIỀU BÉ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC