(Luận văn thạc sĩ) một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình parabolic dạng divergence

BáGI ODệCV TRìNG OT O I HC Sì PH M TH NH PHă H CH MINH Cao Phi Thỡ MáT Să K T QU CH NH QUY NGHI M CHO PH×ÌNG TR NH PARABOLIC D NG DIVERGENCE LU NV NTH CS TO NHC Th nh ph Hỗ Ch Minh - 2019 BáGI ODệCV TRìNG OT O I HC Sì PH M TH NH PHă H CH MINH Cao Phi Thỡ MáT Să K T QU CH NH QUY NGHI M CHO PHìèNG TR NH PARABOLIC D NG DIVERGENCE Chuyản ng nh: To¡n gi£i t‰ch M¢ sŁ: 84 601 02 LU NV NTH CS TO NH¯C NG×˝I HײNG D N KHOA H¯C : TS NGUY N TH NH NH N Th nh ph Hỗ Ch Minh - 2019 LIC MèN Trữợc ht tổi xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc tợi TS Nguyn Th nh NhƠn, ngữới trỹc tip hữợng dÔn tổi lỹa chồn v thỹc hiằn ã t i n y, cÊm ỡn Thy  tn tƠm ch b£o, gióp ï v truy•n ⁄t ki‚n thøc ” tỉi ho n th nh lu“n v«n cıa m…nh Tỉi cơng xin b y tọ lặng bit ỡn chƠn th nh n quỵ thy cổ trữớng i hồc sữ phm Th nh ph Hỗ Ch Minh, c biằt l khoa ToĂn- tin v phặng sau i hồc  to iãu kiằn thu“n læi cho tæi suŁt qu¡ tr…nh håc t“p v nghiản cứu Qua Ơy tổi cụng xin gi lới cÊm ỡn n cĂc bn hồc viản lợp ToĂn giÊi tch k28, bn b, ỗng nghiằp  luổn c cơ, ºng vi¶n v gióp ï tỉi ho n th nh khõa hồc n y Th nh ph Hỗ Ch Minh, ng y 28 thĂng nôm 2019 Hồc viản Cao Phi Thì DANHMƯCC CK HI U mºt i”m x = x(x ; xn) R n + n i”n h…nh R n khỉng gian R vỵi c¡c i”m câ xn > = fx R: xn > 0g qu£ cƒu mð t¥m O, b¡n k‰nh r n Br = fx R : jxj < rg n R nßa qu£ cƒu + Br = Br \ fxn > 0g Q r = Br ( r ; 0] h…nh l“p ph÷ìng parabolic i Cr = Br r 2 ; hnh lp phữỡng parabolic tƠm gc tồa r 2 Miãn trử vợi chiãu cao T v (0;T) T= n ¡y R n = f(x; t) : x R ; t (0; T )g Gradient cıa u ru(x; t) = (ux1 (x; t); :::; uxn (x; t)) divf(x; t) = Pn f (f (x; t)) i=1 bi¶n cıa parabolic = Qr T bi¶n cıa parabolic f(x; t)dxdt jQrj @p gi¡ trà trung b…nh cıa h m f tr¶n Qr xi Z Divergence cıa f i Qr [0; T ]) [ ( = (@ f0g) 2 @pQr = (@Br [ r ; 0]) [ (Br 1 C ( C ( )= u f T T f r g) ) : u câ gi¡ compact T g : 1;2 Khæng gian V2( T ) l kvk V 2( T ) t“p hæp c¡c h m v W ( T ) cho: = sup kv( ; t)kL2( T ) + kvkW 1;2( T ) < 1: t T Lp( W )= 1;p T (T)l u: u =( p k kL ( T ) khæng gian n 1;p R u p dxdt) j j k u < p 1;p k o W0 ( T ) (1 p< = k p k L(T) ) + kr 1;p Ta nâi u W0 ( ) n‚u u W ( ) v u = tr¶n bi¶n cıa Chu'n khỉng gian BM O (dao ºng trung b…nh BM O r§t b†) A [ ] BMO = sup sup r>0 (x;t) jCrj Z A(y; s) cr(x;t) j cr(x;t) k p L(T) : A u j dyds 1: Mưc lưc Giỵi thi»u Chữỡng Phữỡng trnh parabolic vợi hằ s khổng li¶n tưc 1.1.Sỹ tỗn ti nghiằm y‚u v bŒ • phı Vitali 1.2.C¡c ¡nh gi¡ àa ph÷ìng 1.3.C¡c ¡nh gi¡ so s¡nh 11 1.4.B§t flng thøc d⁄ng level sets 15 1.5.K‚t qu£ ch‰nh quy nghi»m àa ph÷ìng 19 Chữỡng Phữỡng trnh vợi hằ s BMO trản miãn Lipschitz 22 2.1.BŒ • phı Vitali 22 2.2.C¡c ¡nh gi¡ 24 àa ph÷ìng 2.3.C¡c ¡nh gi¡ so s¡nh 28 2.4.B§t flng thøc d⁄ng level sets 32 2.5.Kt quÊ chnh quy nghiằm trản miãn Lipschitz 37 Ch÷ìng Ph÷ìng trnh vợi hằ s BMO trản miãn Reifenberg 41 3.1.BŒ • phı Vitali 41 3.2.C¡c ¡nh gi¡ 43 àa ph÷ìng 3.3.C¡c ¡nh gi¡ so s¡nh 47 3.4.B§t flng thøc d⁄ng level sets 53 3.5.Kt quÊ chnh quy nghiằm trản miãn Reifenberg 59 K‚t lu“n 62 T i li»u tham kh£o 63 Giợi thiằu Phữỡng trnh o h m riảng l mt nhng ch ã ữổc nhiãu nh toĂn hồc nghiản cứu, m mt cĂc vĐn ã cỡ bÊn nhĐt l sỹ tỗn ti, nhĐt v cĂc tnh chĐt nghiằm Bản cnh b i toĂn vã sỹ tỗn ti v nhĐt nghiằm ca phữỡng trnh o h m riảng, th cĂc cƠu họi vã tnh chnh quy nghiằm cụng rĐt ữổc quan tƠm Cõ khĂ nhiãu phữỡng phĂp khÊo sĂt tnh chnh quy nghiằm ca cĂc lợp phữỡng trnh elliptic [2], [3], [8], [9], [7] ho°c parabolic [14], [15], [11], [5] Gƒn ¥y, mºt sŁ k‚t qu£ v• chı • n y cho cĂc phữỡng trnh cõ dng divergence vợi hằ s khổng liản tửc ữổc nghiản cứu trản cĂc miãn cõ biản Lipschitz [4] ho°c thäa i•u ki»n Reifenberg [10], [11], [12] Þ t÷ðng chøng minh c¡c k‚t qu£ n y düa trản viằc sò dửng b ã ph Vitali v mt sŁ b§t flng thøc câ d⁄ng level sets thỉng qua cĂc toĂn tò cỹc i ữổc nghiản cứu nhiãu lắnh vỹc giÊi tch iãu hặa Trong lun vôn n y, chóng tỉi t…m hi”u mºt sŁ k‚t qu£ v• t‰nh ch‰nh quy nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh parabolic tuy‚n t‰nh, cõ dng divergence vợi iãu kiằn biản Dirichlet nhữ sau u div(Aru) = divf t < : â tham sŁ < p < p u =0 , u = u(x; t) vợi (x; t) trản T @p T T ; ; = (0; T ] l nghi»m cıa n ph÷ìng tr…nh v f L ( T ; R ) l h m dœ liằu cho trữợc c biằt, chúng tổi khÊo sĂt phữỡng trnh n y vợi hằ s A khổng liản tửc, cõ chu'n BMO nhọ v thọa iãu kiằn sau: jj T A(x; t) j j ; 8(x; t) T ; n 2R ; vợi l hng s dữỡng cho trữợc Chnh x¡c hìn, chóng tỉi tr…nh b y l⁄i c¡c chøng minh cıa t¡c gi£ S.-S Byun v cºng sü v• k‚t qu£ ch‰nh quy cıa nghi»m y‚u ph÷ìng tr…nh (1.1) ba trữớng hổp, bao gỗm kt quÊ chnh quy a phữỡng miãn xĂc nh v kt quÊ chnh quy to n cửc cho miãn cõ biản thọa mÂn iãu kiằn Lipschitz hoc Reifenberg Phữỡng phĂp chung cho cĂc chứng minh n y l xƠy dỹng bĐt flng thức sau Ơy m chúng tổi gồi l bĐt flng thøc d⁄ng level sets : ( x; t) Q k i i=1 : n u M jr (x; t) Q j >N 2k : 2 Mjfj > 2(k i) k o N1 +1 (x; t) Q1 : Mjruj ; X vỵi = C , n‚u gi£ thi‚t sau v mt s giÊ thit trản d liằu ữổc thọa mÂn T: (x; t) M jruj >N Vợi b§t flng thøc d⁄ng level sets n y, t‰nh ch‰nh quy nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh (1.1) s‡ ÷ỉc chøng minh dỹa theo b ã sau Ơy: B ã 0.1 ([13]) GiÊ sò f l mt h m khổng Ơm v o ữổc miãn b chn v hai hng s > v N1 > Khi â, vỵi < p < 1, f Lp( ) v ch¿ S = N1 k p jfx : f(x) > N1kgj < 1: (0.1) X k>1 Hìn nœa, tỗn ti hng s dữỡng C ch phử thuc v o ; p; N1 cho C S kfk p L p( ) C(j j + S): CĂc bĐt flng thức dng level sets nhữ trản ữổc chứng minh dỹa trản mt dng b ã ph Vitali ÷ỉc x¥y düng l⁄i mØi tr÷íng hỉp t÷ìng øng vỵi tłng gi£ thi‚t kh¡c cıa b i to¡n Ngo i ra, vi»c chøng minh c¡c b§t flng thøc n y cặn dỹa trản mt s Ănh giĂ a ph÷ìng cho nghi»m y‚u cıa ph÷ìng tr…nh (1.1) v c¡c ¡nh gi¡ v• sü sai kh¡c giœa nghi»m n y vợi nghiằm ca phữỡng trnh thun nhĐt tữỡng ứng CĂc ¡nh gi¡ àa ph÷ìng cho nghi»m y‚u cıa ph÷ìng tr…nh th÷íng l c¡c d⁄ng ¡nh gi¡ cŒ i”n nh÷ sau ku uQ k L2(Q1) C kruk L2(Q1) + kfk L2(Q1) : V• ¡nh gi¡ so s¡nh, chóng tỉi chøng minh l⁄i k‚t qu£ vỵi > tũy ỵ, tỗn ti > cho nu v l nghiằm yu ca phữỡng trnh thun nhĐt vt div AQ4 rv = v c¡c h m dœ li»u thäa m¢n jQ5j ZQ jQ5j jruj dxdt v Q4; Z Q jf j2 +A AQ5 2 dxdt ; th ta thu ữổc Ănh giĂ so sĂnh dữợi dng: ku vk : 1;2 W (Q2) Düa theo cĂc ỵ tững n y, chúng tổi phƠn chia chøng minh k‚t qu£ ch‰nh v• t‰nh ch‰nh quy nghi»m ca phữỡng trnh parabolic th nh nhiãu cổng on nhọ, bao gỗm viằc xƠy dỹng li b ã ph Vitali, c¡c ¡nh gi¡ àa ph÷ìng, c¡c ¡nh gi¡ so s¡nh v bĐt flng thức dng level sets CĂc bữợc chøng minh n y câ sü kh¡c ỉi chót x†t b i to¡n tr¶n c¡c gi£ thi‚t kh¡c C¡c k‚t qu£ tham kh£o chı y‚u c¡c b i b¡o cıa S.-S Byun v L Wang [4], [5], [10], [11] Lun vôn ữổc trnh b y theo ba chữỡng: Chữỡng Phữỡng trnh parabolic vợi hằ s khổng liản tửc Chữỡng n y khÊo sĂt tnh chnh quy nghiằm ca phữỡng trnh parabolic vợi hằ s thọa i•u ki»n BMO Chóng tỉi chøng minh k‚t qu£ ch‰nh quy nghiằm a phữỡng miãn K thut ch‰nh cıa chøng minh düa tr¶n mºt d⁄ng cıa bŒ ã ph Vitali, ữổc xƠy dỹng li cho trữớng hổp parabolic v c¡c b§t flng thøc d⁄ng level sets Chóng tỉi nh›n m⁄nh r‹ng ch÷ìng n y kh£o s¡t tnh chnh quy nghiằm a phữỡng ca phữỡng trnh trản c¡c t“p QR, â khỉng cƒn gi£ thi‚t v• biản ca miãn T Chữỡng Phữỡng trnh vợi hằ s BMO trản miãn Lipschitz Chữỡng n y khÊo s¡t t‰nh ch‰nh quy nghi»m to n cưc cıa ph÷ìng trnh parabolic vợi iãu kiằn BMO v iãu kiằn biản Dirichlet trản miãn xĂc nh cõ biản Lipschitz CĂc kt quÊ vã chnh quy nghiằm a phữỡng ữổc chứng minh tữỡng tỹ Chữỡng Tuy nhiản, vợi giÊ thit biản cıa mi•n x¡c ành l Lipschitz, mºt sŁ ¡nh gi¡ gn biản cn ữổc xò lỵ khĂc i Chữỡng Phữỡng trnh vợi hằ s BMO trản miãn Reifenberg Chững n y chóng tỉi ti‚p tưc kh£o s¡t t‰nh ch‰nh quy nghiằm to n cửc trản miãn cõ biản thọa iãu kiằn Reifenberg Chú ỵ rng miãn Reifenberg yu hỡn miãn Lipschitz Chữỡng Phữỡng trnh parabolic vợi hằ s khổng liản tửc Trong chữỡng n y, ta s x†t t‰nh ch‰nh quy nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh parabolic d⁄ng divergence trản khổng gian W 1;p vợi < p < Cư th”, chóng tỉi t…m hi”u mºt sŁ kt quÊ vã tnh chnh quy nghiằm ca phữỡng trnh parabolic tuyn tnh, cõ dng divergence vợi iãu kiằn biản Dirichlet nh÷ sau 8ut < T; div(Aru) = divf u =0 tr¶n @p T (1.1) ; : â u = u(x; t) vỵi (x; t) (0; T ] l nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh v T= p n f L ( T ; R ) l h m d liằu cho trữợc c biằt, chúng tổi khÊo sĂt phữỡng trnh n y vợi hằ s A khổng liản tửc, cõ chu'n BMO nhọ v thọa iãu ki»n sau: jj T n A(x; t) j j ; 8(x; t) T ; R ; vợi l hng s dữỡng cho trữợc Khi A thọa mÂn iãu kiằn (1.2), ta nõi P = @t @i(aij@j) l mt toĂn tò parabolic ãu @ Kt quÊ vã sỹ tỗn ti v nhĐt ca nghi»m y‚u ph÷ìng tr…nh n y l cŒ i”n, ÷ỉc chóng tỉi nh›c l⁄i v khỉng chøng minh ð mưc tip theo Chứng minh nh lỵ chnh vã tnh chnh quy nghiằm a phữỡng ữổc chia th nh nhiãu bữợc, tữỡng ứng vợi cĂc mửc dữợi