C¡c ¡nh gi¡ so s¡nh
GiÊ sò v l nghiằm trỡn cıa phữỡng tr…nh v t div A Q 4 rv = 0 trong Q 4 :
BŒ • 1.10 Vợi mồi > 0 bĐt ký, tỗn t⁄i = ( ) > 0 sao cho vợi mồi nghiằm y‚u u cıa phữỡng tr…nh parabolic (1.3) trong Q5 thọa hai i•u kiằn
Q 5 v Q5 Z jfj 2 + A A Q 5 dxdt 6 2 ; (1.18) j 1 j Q 5 2 ta câ ¡nh gi¡
Chứng minh Ta chứng minh mằnh • trản b‹ng phÊn chứng GiÊ sò r‹ng, tỗn t⁄i
=1 sao cho uk l mºt nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh
(uk)t div(Akruk) = divfk trong Q5 thọa mÂn hai i•u kiằn jQ5j Z
12 trong õ vk l nghiằm trỡn cıa phữỡng tr…nh
(vk)t div(AkQ 4 rvk) = 0 trong Q4: (1.22)
Tł (1.17), Ăp dửng BŒ • 1.8 v BŒ • 1.9, ta cõ f uk u 1 bà ch°n trong W 1;2 (Q ). kQ 4 g k=1 4
Do õ, tỗn t⁄i dÂy con m ta vÔn k‰ hiằu l fuk ukQ 4 g, sao cho uk ukQ 4 ! u trong L 2 (Q4) v uk u * u trong W 1;2 (Q4): (1.23) kQ 4
Do fAkQ 4 g bà ch°n, tỗn t⁄i dÂy con m ta vÔn k‰ hiằu l f AkQ 4 gk 1
Nh÷ng khi â, tł (1.18), ta câ
BƠy giớ, ta s‡ ch¿ ra r‹ng u l nghiằm y‚u cıa
” l m ữổc i•u n y, chồn h m thò ’ 2 C 1 (Q4): Tł (1.20), ta cõ
Cho k ! 1 ; sò dửng (1.23), (1.24) v (1.20) ta thu ữổc:
4 i•u n y ch¿ ra r‹ng u l nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh (1.26) Chú ỵ r‹ng trong Q 4
(u )t div(AkQ 4 ru ) = (u )t div[(AkQ 4 A )ru ] div(A ru )
= div[(AkQ 4 A )ru ] + (u ) t div(A ru )
= div[(AkQ 4 A )ru ]; trong õ ta  sò dửng (1.26) BƠy giớ ta lĐy hk l nghiằm cıa
8(hk)t div(A kQ4 rh k ) = div ( A k Q 4 A )ru trong Q4; (1.27)
: v ta khflng ành r‹ng u hk l nghiằm cıa
(u hk)t div A hk) = 0 kQ 4 r(u trong Q4: (1.28)
” chứng minh khflng ành trản, chồn bĐt ký ’ 2 C0 1(Q4): Trong (1.26) v (1.27),
= 0; suy ra (1.28) Hìn nœa tł (1.27) ta câ kh kkL 2 (Q 4 ) 6 kh kkH 1;2 (Q 4 )
Tł ¡nh gi¡ n y v k(u k cũng vợi cĂc k‚t quÊ gợi h⁄n trong (1.23), (1.24), ta khflng ành ukQ 4 ) (uk hk)kL 2 (Q 4 ) ! 0 khi k ! 1 : i•u n y mƠu thuÔn vợi (1.21) bði (1.28) V“y, bŒ • ữổc chứng minh.
Hằ quÊ 1.11 Vợi mồi > 0 bĐt ký, tỗn t⁄i = ( ) > 0 sao cho vợi bĐt ký nghiằm y‚u u cıa phữỡng tr…nh parabolic (1.3) trong Q5 thọa A
Q 5 dxdt 6 2 : jQ 5 j Z Q 5 jruj 2 dxdt 6 1 v jQ 5 j Z Q 5 jfj 2 + A
1 1 2 ta câ ¡nh gi¡ ku vkW 2
1;2 (Q 2 ) 6 2 : Chứng minh Trong bi”u thức (1.29) v BŒ • 1.9, tỗn t⁄i nghiằm v cıa phữỡng tr…nh
Z Q4 ju vj 2 dxdt 1 vợi i•u kiằn Q 5 A
Trữợc h‚t, ta ch¿ ra r‹ng w = u v l mºt nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh wt div(Arw) = div f (A AQ 4 )rv (1.33) Th“t v“y, chồn ’ 2 C 1 (Q4): Khi õ ta cõ
Q 4 f r’t dxdt (A AQ 4 + AQ 4 )rv r’ dxdt
Q 4 f r’ dxdt v’t dxdt A (A AQ 4 )rv r’ dxdt
Q 4 tł õ suy ra ữổc (1.33) M°t khĂc, theo BŒ • 1.8 ta khflng ành r‹ng ku vkW 2
Ta thu ữổc Ănh giĂ (1.30) tł (1.32), (1.29) v BŒ • 1.10
BĐt flng thức d⁄ng level sets
Trong mửc n y, chúng tổi chứng minh l⁄i mºt bĐt flng flng thức d⁄ng level sets ” thu ữổc t‰nh ch‰nh quy nghiằm cıa phữỡng tr…nh parabolic BĐt flng thức n y ữổc xƠy dỹng thổng qua toĂn tò cỹc ⁄i Hardy-Littlewood, ữổc nh›c l⁄i ngay sau Ơy. ành nghắa 1.12 Cho f(x; t) l h m khÊ t‰ch àa phữỡng Khi õ
Mf(x; t) = supr>0 jCj ữổc gồi l h m cỹc ⁄i Hardy-Littlewood parabolic cıa h m f.
Dữợi Ơy l hai k‚t quÊ cỡ bÊn v• t‰nh bà ch°n cıa h m cỹc ⁄i parabolic m chúng ta s‡ sò dửng sau n y
(i) N‚u f(x; t) 2 L p (R n R) vợi p > 1, th… Mf 2 L p (R n R) Hỡn nœa, kMfkL p CkfkL p :
(ii) N‚u f(x; t) 2 L 1 (R n R), th… jfj p dxdt: jf(x; t) 2 R n R: Mf(x; t) > gj Z
BŒ • 1.13 Cõ mºt h‹ng sŁ N1 ” vợi bĐt ký > 0, tỗn t⁄i = ( ) > 0 sao cho vợi mồi nghiằm y‚u u cıa phữỡng tr…nh u t div(Aru) = divf trong T= (a; a + T ] Q 9 (0; 2) (1.34) vợi hai giÊ thi‚t sau thọa mÂn
A AL 2 2 (Q 9 (0;2)) 6 2 ; (1.36) th… ta câ ¡nh gi¡
Tł i•u kiằn (1.35), ta thĐy r‹ng tỗn t⁄i i”m (x ; t ) 2 Q 1 sao cho jCj Z C r (x ;t )\ T jruj 2 dxdt 6 1; j Cj Z C r (x ;t )\ T kfk 2 dxdt 6 2 ; 8C r (x ; t ): (1.38)
Do Q5(0; 2) C7 \ T C8(x ; t ) \ T, nản tł (1.38) ta cõ jQ 5 j Z Q 5 (0;2) jfj 2 dxdt 6 j Q 5 j Z C 8 (x ;t )\ T jfj 2 dxdt
Q5 5 j j Z T÷ìng tü, ta th§y r‹ng
Khi õ, theo Hằ qıa 1.11 vợi cĂc giÊ thi‚t (1.39), (1.40) v (1.36), tỗn t⁄i nghiằm trỡn v cıa ph÷ìng tr…nh vt div A Q 4 rv = 0 trong Q4(0; 2) (1.41) sao cho 1:2 (Q 2 (0;2)) 1 vợi i•u kiằn Z
Q 5 (0;2)jfj 2 + A AQ 5 (0;2) 2 ku vkW 2 dxdt 1: (1.42)
Khi õ theo (1.41), ta cõ th” sò dửng Ănh giĂ àa phữỡng v jQ 4 j Z
” thĐy r‹ng tỗn t⁄i mºt h‹ng sŁ N sao cho sup jrvj 2 6 N 2 : (1.43)
BƠy giớ ta chồn N1 2 = maxf4N 2 ; 2 n+2 g v s‡ chứng minh r‹ng f(x; t) 2 Q 1 : M(jruj 2 ) > N 1 2 g f(x; t) 2 Q 1 : M(jr(u v)j 2 ) > N 0 2 g: (1.44)
Ta chứng minh bĐt flng thức n y, ta giÊ sò
Vợi r 6 2, Cr(x1; t1) Q3(0; 2) v tł (1.43), (1.45), ta cõ
Q 3 (0;2) jr(u v)j 2 + jrvj 2 dxdt jC r j jC r j
Vợi r > 2, Cr(x1; t1) C2r(x ; t ) v tł (1.38), ta cõ jruj 2 dxdt jC r j Z C r (x 1 ;t 1 )\ T jruj 2 dxdt 6 jC r j Z C 2r (x ;t )\ T
(x1; t1) 2 f(x; t) 2 Q1 : M(jruj 2 ) 6 N1 2g: (1.46) Khi õ, khflng ành (1.44) ữổc suy ra tł (1.45) v (1.46) Tł (1.44) v Ănh giĂ y‚u
1 1 d⁄ng parabolic ta thu ữổc jfM(jruj 2 ) > N1 2g \ Q1j 6 jfM(jr(u v)j 2 ) > N 2 g \ Q1j
CuŁi cũng tł Ănh giĂ n y v theo (1.42) ta cõ i•u phÊi chứng minh.
BŒ • 1.14 GiÊ sò u l nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh (1.3) trong mi•n T v C l mºt h…nh l“p phữỡng parabolic thọa 9C T: Khi õ, n‚u
(x; t) 2 T : M jruj 2 > N1 2 \ C > jCj ; th… ta câ
Hằ quÊ 1.15 GiÊ sò u l nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh (1.3) trong T Q9(0; 2). GiÊ thi‚t r‹ng i•u kiằn sau Ơy thọa mÂn
Vợi k l mºt sŁ nguyản dữỡng v °t 1 = 10 n+2 : Khi õ ta cõ
Chứng minh Ta chứng minh mằnh • n y b‹ng quy n⁄p Rê r ng mằnh • n y úng trong trữớng hổp k = 1 theo BŒ • 1.14 v BŒ • 1.6 vợi
GiÊ sò mằnh • úng vợi k nguyản dữỡng Ta ành nghắa u = u v f = f t÷ìng u Q ; N 1 N 1 ứng Khi õ e l nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh (1.3) trong e9(0 2) v e jf(x; t) 2 T : M(jruej 2 ) > N1 2gj < jQ1j:
Theo gi£ thi‚t quy n⁄p, ta câ
X suy ra mằnh • úng vợi k + 1.
V“y theo ph†p chứng minh quy n⁄p th… k‚t lu“n úng vợi mồi giĂ trà nguyản dữỡng k.
K‚t quÊ ch‰nh quy nghiằm àa phữỡng
ành lỵ 1.16 Cho sŁ thỹc p thọa mÂn 2 < p < 1 Tỗn t⁄i mºt sŁ = (p) > 0 sao cho n‚u u 2 W 1;2 l mºt nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh parabolic ut div (Aru) = divf trong Q9(0; 2); (1.47) vợi [A]BMO 6 v P l toĂn tò parabolic •u v f 2 L p (Q9(0; 2); R n ), th… ru 2 L p (Q1) v cõ bĐt flng thức sau kruk L p (Q 1 ) 6 C kuk L p (Q 9 (0;2)) + kfk L p (Q 9 (0;2)) : Chứng minh Khổng mĐt t‰nh tŒng quĂt, ta cõ th” giÊ sò r‹ng
(x; t) 2 T : M jruj 2 > N1 2 < jQ1j b‹ng cĂch nhƠn phữỡng tr…nh (1.47) cho mºt h‹ng sŁ nhọ n‚u cƒn thi‚t Do f 2
=0 trong õ C l h‹ng sŁ dữỡng ch¿ phử thuºc v o , N1 2 v p M°t khĂc, ta cõ Ănh giĂ
‚n Ơy ta sò dửng Hằ quÊ 1.15, Ănh giĂ (1.48) v chồn 1 sao cho N 1 p 1 < 1 Khi õ, p ¡nh gi¡ n y v BŒ • 0.1 suy ra Mjruj 2 2 L 2 (Q 9 (0; 2)), hay ru 2 L p (Q 9 (0; 2)):
Cho số thực $p$ thỏa mãn $1 < p < \infty$ Tồn tại một số $\epsilon = \epsilon(p) > 0$ sao cho nếu $u$ là một nghiệm yếu của phương trình parabolic $\text{div}(A\nabla u) = \text{div}f$ trong $Q_9(0;2)$; với $[A]_{BMO} \le 6$, toàn tử $P$ là parabolic, $u,f \in L^p(Q_9(0;2); \mathbb{R}^n)$, thì $u \in W^{1;p}(Q_1)$ và ta có ánh xạ sau đây $W^{1;p}(Q_1) \subset C^{0,\alpha}(Q_9(0;2)) + \cap L^p(Q_9(0;2))$
Để chứng minh kết quả trong trường hợp p ≥ 2, có thể suy ra từ trường hợp 1 < p < 2, ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp p > 2 Dựa vào định nghĩa 1.3 và định lý 1.16, ta có chú ý rằng ut = div(Aru + f) trong Q1, từ đó ta có ánh xạ kuk W1;p(Q1) → kukW1;p(Q1).
L p (Q 9 (0;2)) : ành lỵ Â ữổc chứng minh.
Phữỡng tr…nh vợi hằ sŁ BMO trản mi•n Lipschitz
Chữỡng n y khÊo sĂt t‰nh ch‰nh quy nghiằm to n cửc cıa phữỡng tr…nh parabolic vợi i•u kiằn biản Dirichlet
: vợi hằ sŁ A thọa i•u kiằn BMO v mi•n xĂc ành cõ biản Lipschitz K‚t quÊ v• ch‰nh quy nghiằm cho b i toĂn n y ữổc chia ra th nh cĂc bữợc tữỡng tỹ chứng minh ð Chữỡng 1 Tuy nhiản, vợi giÊ thi‚t v• t‰nh Lipschitz cıa biản mi•n xĂc ành, mºt sŁ k‚t quÊ Ănh giĂ khĂc i cũng vợi viằc xò lỵ cĂc Ănh giĂ gƒn biản.
2.1 BŒ • phı Vitali ành lỵ 2.1 ([10]) Cho 0 < < 1 v A B Q1 + l hai t“p o ữổc sao cho jAj < jQ1 +j (2.2) v thọa mÂn i•u kiằn sau: vợi mồi (x; t) 2 Q1 + n‚u jA \ Cr(x; t)j jCrj; Cr(x; t) \ Q1 +
Khi â, ta câ ¡nh gi¡ jAj 2(10) n+2 jBj:
Tł giÊ thi‚t (2.2), th… vợi (x; t) 2 A hƒu kh›p nỡi, tỗn t⁄i mºt r(x;t) cho jA
Khi Cr (x;t) (x; t) \ A: (x; t) 2 A l phı cıa A, ta Ăp dửng bŒ • phı Vitali’s, tỗn t⁄i mºt d¢y ríi nhau fC r (x i ; t i ) \ C : (x i ; t i ) 2 Ag 1 cho sao i i=1
Khi â, tł (2.5) ta th§y r‹ng jA \ C5r i (xi; ti)j < jC5r i j = 5 n+2 jA \ Cr i (xi; ti)j: (2.7) Chó þ r‹ng ri 6 1 d¤n ‚n jCr i j 6 2 n+3 jCr i (xi; ti) \ Q1 +j: (2.8)
Do õ vợi mồi r > 0 ta cõ, inf(x;t)2Q 1 + jCr(x; t) \ Q1 +j = jCr(e1; 0) \ Q1 +j:
M°t khĂc d„ d ng ki”m tra ữổc r‹ng
C r (e 1 ; 0) \ Q 1 C 2 1 2 e 1; 0 ; r ta suy ra ữổc jC (x; t) \ Q + j > jC (e ; 0) \ Q + j > jC + j = 2 (n+3) jC (x; t)j; r 1 r 1 1 r r 2 bĐt flng thức n y k†o theo jCrj 6 2 n+3 jCr(x; t) \ Q + 1j:
Phữỡng tr…nh vợi hằ sŁ BMO trản mi•n Lipschitz 22 2.1.BŒ • phı Vitali
C¡c ¡nh gi¡ àa ph÷ìng 24 2.3.C¡c ¡nh gi¡ so s¡nh
ành nghắa 2.2 [[10]] Ta nõi r‹ng u 2 W 1;2 (Q + R) l mºt nghiằm y‚u cıa phữỡng tr… nh (2.46) n‚u
BŒ • sau cho thĐy r‹ng nghiằm y‚u u cıa chúng ta mang t‰nh àa phữỡng trong W 1;1
BŒ • 2.3 GiÊ sò u l mºt nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh (2.46) Khi õ ta cõ
Trữợc h‚t ta s‡ chứng minh bĐt flng thức trản cho trữớng hổp u l
X†t h m ch°t cửt (cut-off function) = (x; t) thọa mÂn
BƠy giớ ta nhƠn phữỡng tr…nh (2.46) cho 2 u Sau õ lĐy t‰ch phƠn tłng phƒn trản B 1 +
Ta vi‚t l⁄i bi”u thức trản dữợi d⁄ng
Ta lƒn lữổt Ănh giĂ cĂc sŁ h⁄ng I2; I3 v I4 nhữ sau
C juj 2 + jfj 2 dx + C Z B 1+ 2 jruj 2 dx:
Do I1 + I2 = I3 + I4 nản ta suy ra ữổc
B 1 + d 2juj 2 dx+ 1 2 u 2 dx C 1 + 1 u 2 + f 2 dx+C 2 u 2 dx dt Z
‚n Ơy ta chồn ı nhọ ” cõ ữổc d
2 juj 2 dx + C 1 2 u 2 dx C 2 u 2 + f 2 dx: dt Z jr j j
L§y t‰ch ph¥n theo bi‚n thíi gian tł 1 ‚n 0 v chó þ (2.10) ta câ
‚n Ơy, trð l⁄i trữớng hổp tŒng quĂt khi u l2 nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh (2.1) trong
Q1 +, tỗn t⁄i mºt dÂy h m trỡn hºi tử v• u CĂc h m trỡn n y thọa mÂn bĐt flng thức trản nản ta suy ra ữổc nghiằm y‚u u cụng thọa mÂn BŒ • ữổc chứng minh xong.
BŒ • 2.4 Cho u 2 W 1;2 Q + 1 l mºt nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh (2.46) Khi õ tỗn t⁄i h‹ng sŁ C sao cho
Theo ành nghắa 2.2 v BŒ • 2.3, ta cõ ku k 2
BŒ • 2.5 Cho u 2 W 1;2 tỗn t⁄i mºt h‹ng sŁ C phử l mºt nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh (2.46) Khi õ thuºc v o sŁ chi•u sao cho kuk 2 L 2 (Q + ) 6 C kruk 2 2 + + kfk 2 2 + :
Chứng minh Chúng ta chứng minh mằnh • trản b‹ng phÊn chứng GiÊ sò r‹ng, tỗn t⁄i cĂc dÂy fAkg 1 k=1; fukg 1 k=1; ffkg 1 k=1 sao cho uk l mºt nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh
> v tỗn t⁄i sŁ nguyản k : ” ku k k 2 2 + > k kru k k 2 2 + + kf k k 2 2 + :
Ta câ th” chu'n hâa sao cho kukkL 2 (Q + 1 ) = 1, ta câ ku k k 2 1;2 + 6 C ku k k 2 2 + + kru k k 2 2 + + kf k k 2 2 +
LĐy u l giợi h⁄n y‚u cıa fukg Khi õ ta cõ
> minh r‹ng u l nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh
” l m i•u n y, ta chồn bĐt ký : h m ’ 2 C 0 1 (Q 1 ) Khi õ theo (2.11) ta ữổc
(2.15) uk’tdxdt Ak uk: ’tdxdt = fk: ’tdxdt:
Q + 1 i•u n y cho thĐy bi”u thức (2.14) l thọa mÂn Theo i•u kiằn (2.13) v (2.14) suy ra u
GiÊ sò v l mºt nghiằm trỡn cıa
BŒ • 2.6 Cho > 0 bĐt ký, cõ mºt sŁ = ( ) > 0 sao cho vợi bĐt ký nghiằm y‚u u 2 W
1;2(Q + 5) n o cıa phữỡng tr…nh (2.46) thọa jQ 5 j Z
Chứng minh Chúng ta chứng minh bŒ • n y b‹ng phÊn chứng.
GiÊ sò r‹ng, tỗn t⁄i > 0; fAkg 1 k=1; fukg 1 k=1 v ffkg 1 k=1 sao cho uk l mºt nghiằm y‚u cıa ph÷ìng tr…nh
Những, vợi nghiằm tũy ỵ vk cıa phữỡng tr…nh
Tł cĂc BŒ • 2.4, BŒ • 2.5, fu k g 1 k=1 l biản trong W 1;2 (Q + 4 ).
Do õ, tỗn t⁄i dÂy con m ta cụng k‰ hiằu l fukg, sao cho uk ! u trong L 2 (Q4 +) v uk * u trong W 1;2 (Q4 +): (2.22) ta cụng k‰ hiằu l f Q 4 + g k 1 =1 , sao cho Khi fAkQ 4 + g l biản, tỗn t⁄i dÂy con m A k khi k ! 1:
(2.23) Nh÷ng khi â, tł (2.20), ta câ
Ak ! A trong BƠy giớ, ta s‡ ch¿ ra r‹ng u l nghiằm cıa
” l m ữổc i•u n y, chồn ’ 2 C 1 (Q + 4): Tł (2.19), ta cõ
(uk)’t dxdt + Ak uk ’ dxdt
Q 4+ A ru r’ dxdt = 0; i•u n y chứng tọ (2.25) thọa mÂn Chú ỵ r‹ng trong Q 4 +
(u )t div(AkQ 4 + ru ) = (u )t div[(AkQ 4 + A )ru ] div(A ru )
30 trong õ ta  sò dửng (2.25) BƠy giớ ta lĐy h k l nghiằm cıa
A )ru trong (2.26) h k = 0 trản @pQ4 + v ta khflng ành r‹ng u hk l nghiằm cıa
” chứng minh : khflng ành trản, chồn bĐt ký ’ 2 C 0 1 (Q 4 ): Trong (2.25) v (2.26),
= 0; tł â suy ra (2.27) Hìn nœa tł (2.27) ta câ kh kk L 2 (Q + 4 ) 6 kh k k H 1;2 (Q + 4 )
Do v“y k(uk) (uk hk)kL 2 (Q 4 +
(uk hk)kL 2 (Q + 4 ) ! 0 khi k ! 1 : i•u n y mƠu thuÔn vợi (2.22) do (2.27)
Hằ quÊ 2.7 Cho > 0 bĐt ký, cõ mºt sŁ = ( ) > 0 sao cho vợi bĐt ký nghiằm y‚u u cıa ph÷ìng tr…nh
Khi õ tỗn t⁄i mºt nghiằm trỡn v cıa
Chứng minh Trong bi”u thức (2.28) v BŒ • 2.6, tỗn t⁄i nghiằm trỡn v cıa phữỡng tr…nh
Z Q4+ ju vj 2 dxdt 1 vợi i•u kiằn dxdt 1:
Trữợc h‚t, ta chứng tọ r‹ng w = u
(2.30) v l mºt nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh h i
Th“t v“y, chồn ’ 2 C 1 (Q + 4): Khi õ ta cõ
= f ’ t dxdt v’ t dxdt + (A A Q + + A Q + ) v ’ dxdt f r’ dxdt Q 4+ v’t dxdt 4 4
Q4 tł õ suy ra ữổc (2.31) M°t khĂc, theo BŒ • 2.4 suy ra ku vkW 2
(Q 5 + ) + k(A AQ 4 + )k L 2 2 (Q 5 + ) :CuŁi còng, tł (2.30) v (2.28) ta câ k‚t lu“n (2.29))
BĐt flng thức d⁄ng level sets
Trong mửc n y, chúng ta s‡ chứng minh l⁄i bĐt flng flng thức d⁄ng level sets ” thu ữổc t‰nh ch‰nh quy nghiằm cıa phữỡng tr…nh parabolic BĐt flng thức n y ữổc xƠy dỹng thổng qua toĂn tò cỹc ⁄i Hardy-Littlewood  ữổc nh›c l⁄i trong chữỡng 1
BŒ • 2.8 Cõ mºt h‹ng sŁ N1 sao cho vợi bĐt ký > 0, tỗn t⁄i = ( ) > 0 v n‚u u l mºt nghiằm y‚u cıa ut div(Aru) = divf trong T= (a; a + T ] vợiT Q + 9(0; 2) (2.32) vợi giÊ thi‚t sau ữổc thọa mÂn
> khi â,: ta câ ¡nh gi¡ jf(x; t) 2 T: Mjruj 2 (x; t) > N 1 2 g \ Q 1 + j jQ 1 + j: (2.34)
Chứng minh Tł i•u kiằn (2.33), ta thĐy r‹ng tỗn t⁄i i”m (x ; t ) 2 Q + 1 sao cho jC r j Z C r + (x ;t )\ T jruj 2 dxdt 6 1; jC r j Z C r + (x ;t )\ T kfk 2 dxdt 6 2 ; 8r > 0: (2.35)
Trong khi Q5 +(0; 2) C7 + \ TC 8 + (x ; t ) \ T , tł (2.35) ta câ jQ 5 j Z Q 5 +
Q5 5 j j Z T÷ìng tü, ta th§y r‹ng
Khi õ, theo Hằ qıa 2.7, cĂc i•u kiằn (2.36), (2.37) v (2.33),tỗn t⁄i nghiằm trỡn v cıa ph÷ìng tr…nh
BƠy giớ ta cõ th” sò dửng Ănh giĂ àa phữỡng v jQ 4 j Z Q 4+ (0;2) j j
” thĐy r‹ng tỗn t⁄i mºt h‹ng sŁ N sao cho sup jr v 2
BƠy giớ ta chồn N1 2 = maxf4N 2 ; 2 n+2 g v yảu cƒu f(x; t) 2 Q1 + : M(jruj 2 ) > N1 2g f(x; t) 2 Q1 + : M(jr(u v)j 2 ) > N0 2g: (2.40)
” ki”m tra i•u kiằn n y, ta giÊ sò
(0; 2) v tł (2.39), (2.41), ta câ v)j 2 + jrvj 2 dxdt jC r j Z
= 4N 2 : Cho r > 2; Cr +(x1; t1) C2 + r(x ; t ) v tł (2.35), ta câ jruj 2 dxdt jC r j Z C r +
(x1; t1) 2 f(x; t) 2 Q1 + : M(jruj 2 ) 6 N1 2g: (2.42) Khi õ, khflng ành (2.40) ữổc suy ra tł (2.39) v (2.42) Tł (2.40) v Ănh giĂ 1 - 1 d¤n ‚n jfM(jruj 2 ) > N1 2g \ Q1 +j 6 jfM(jr(u v)j 2 ) > N 2 g \ Q1 +j
CuŁi cũng tł Ănh giĂ n y v theo (2.38) ta cõ i•u phÊi chứng minh.
Tł bƠy giớ ta giÊ sò Q9 + r(0; 2r 2 ) T ” T \ Q 9r (0; 2r 2 ) = Q 9 + r (0; 2r 2 ) v u = 0 trản T + (0; 2r 2 ).
Hằ quÊ 2.9 GiÊ sò u 2 H 1 (Q9 + r(0; 2r 2 )) l mºt nghiằm y‚u cıa
Khi õ ta luổn cõ t‰nh chĐt sau:
N1 2g vợi jf(x; t) 2 Q1 + : M(jruj 2 )(x; t) > N1 2g \ Cr(x; t)j jCrj (2.43) th… ta câ khflng ành sau
Chứng minh Ta chứng minh bŒ • trản b‹ng phÊn chứng N‚u Cr(x; t) thọa mÂn
(2.43) v k‚t lu“n (2.44) sai, tỗn t⁄i mºt (x ; t ) 2 Cr(x; t) \ Q + 1 sao cho jC j Z C (x ;t )\Q 9+ (0;2) jruj 2 dxdt 6 1; v jC j Z C (x ;t )\Q9+ (0;2) kfk 2 dxdt 6 2 ; 8 > 0:
N‚u C 9r (x; t) \ fx n = 0g = ;, Ơy l mºt Ănh giĂ bản trong (xem chữỡng 9) GiÊ sò r‹ng (x 0 ;
\ C 22r (x 0 ; 0; t)j i•u n y mƠu thuÔn vợi (2.43) V“y, bŒ • ữổc chứng minh.
BŒ • 2.11 GiÊ sò u l mºt nghiằm y‚u cıa
< u = 0 tr^en T9 (0; 2): v gi£ thi‚t r‹ng i•u: kiằn sau Ơy thọa mÂn jf(x; t) 2 Q + 9(0; 2) : Mjruj 2 > N1 2gj < jQ + 1j:
LĐy k l mºt sŁ nguyản dữỡng v 1= 10 n+2 :Khi õ ta cõ jf(x; t) 2 Q1 + : Mjruj 2 > N1 2kgj k n
Chứng minh Ta chứng minh mằnh • n y b‹ng quy n⁄p Rê r ng mằnh • n y úng trong trữớng hổp k = 1 theo Hằ quÊ 2.9 v ành lỵ 2.1 vợi
GiÊ sò k‚t lu“n úng vợi k nguyản dữỡng.Ta ành nghắa u = u v tữỡng ứng f = f
Khi õ u l nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh (2.45) trong Q 9 (0; 2) 1 v thọa mÂn 1 e (x; t)
Theo gi£ thi‚t quy n⁄p, ta câ x; t) Q + : u 2
X suy ra k‚t lu“n úng vợi k + 1
V“y theo ph†p quy n⁄p th… k‚t lu“n úng vợi mồi giĂ trà nguyản dữỡng k.
K‚t quÊ ch‰nh quy nghiằm trản mi•n Lipschitz 37 Chữỡng 3 Phữỡng tr…nh vợi hằ sŁ BMO trản mi•n Reifenberg 41 3.1.BŒ • phı
Trong mửc n y, chúng ta s‡ nghiản cứu t‰nh ch‰nh quy nghiằm cıa phữỡng tr… nh parabolic trản mi•n Lipschitz Trữợc h‚t ta s‡ nh›c l⁄i hai khĂi niằm liản quan ‚n mi•n Lipschitz ngay sau ¥y. ành nghắa 2.12 ([4]) H m u l h m liản tửc Lipschitz n‚u
1 jx yj x;y2R n ;x6=y vợi mºt v i h‹ng sŁ C.
Vợi mºt biản Lipschitz, chúng ta hi”u r‹ng biản l ỗ thà àa phữỡng cıa mºt h m liản tửc Lipschitz Ta chú ỵ r‹ng @ l biản Lipschitz n‚u v ch¿ n‚u h m liản tửc Lipschitz l cửc bº trong W 1;1 Ch‰nh xĂc hỡn ta s‡ sò dửng ành nghắa sau ành nghắa 2.13 ([4]) Biản l ( ; r0) - Lipschitz n‚u vợi mỉi x0 2 @ , tỗn t⁄i mºt h m liản tửc Lipschitz : R n 1 ! R vợi Lip[ ] sao cho \ Br 0 (x0) = fx = (x 0 ; xn) 2 Br 0 (x0) : xn > (x 0 )g trong v i hằ trửc tồa º.
Ta s‡ giÊ sò r‹ng r 0 = 1 trong cĂc chứng minh sau n y v… l bĐt bi‚n t¿ lằ. ành lỵ 2.14 ([5]) Cho p l mºt sŁ thỹc v (1 < p < 1) Tỗn t⁄i mºt sŁ dữỡng
= (p) sao cho n‚u u l nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh parabolic PDE (2.1), vợi
[A] BMO v toĂn tò P l Parabolic •u v f 2 L p ( T ; R n ); mi•n thọa
@ :(;1) Lipschitz; th… u 2 W 1;p ( T ) v ta câ ¡nh gi¡ sau kuk
W 1;p ( T ) Ckfk L p ( T ) ; trong õ C l h‹ng sŁ khổng phử thuºc v o u v f.
Chúng ta s‡ thi‚t l“p Ănh giĂ trản biản L p cho gradient cıa nghiằm y‚u u trong Q + 1 B1 + ( 1; 0]; Sau õ, b‹ng tiảu chu'n ‚m gºp, phı v l m bàt gõc, chúng ta lĐy Ănh giĂ trản xung quanh biản Vợi Ănh giĂ trản Ăy v gõc cıa biản th… chúng ta ch¿ mð rºng cĂc nghiằm b‹ng khổng Chúng ta ch¿ x†t trữớng hổp p > 2 Trữớng hổp 1 < p < 2 th… d„ d ng nghiản cứu bði t‰nh Łi ngÔu cıa nõ Trữớng hổp p = 2 l trữớng hổp cỡ bÊn Chúng ta s‡ sò dửng bŒ • phı Vitali v t“p trung nghiản cứu trản b i toĂn Dirichlet sau
8u t div(Aru) = divf trong QR
: ành lþ 2.15 Cho p l sao cho n‚u u 2 W 1;2 l
: mºt sŁ thỹc vợi 2 < p < 1 Tỗn t⁄i mºt sŁ dữỡng = (p) nghiằm y‚u cıa ph÷ìng tr…nh parabolic div(Aru) = divf trong Q9 +
(0; 2) (2.47) u = 0 trản T9 (0; 2): vợi [A]BMO v toĂn tò P l parabolic •u v h m f 2 L p (Q + 9(0; 2); R n ); mi•n thọa
@: ( ; 1) Lipschitz; th… ru 2 L p (Q + 1) v ta câ ¡nh gi¡ sau kruk L p (Q + 1 ) C kuk L 2 Q + 9 (0;2) + kfk L 2 Q + 9 (0;2) ; trong õ C l h‹ng sŁ khổng phử thuºc v o u v f.
Chứng minh Khổng mĐt t‰nh tŒng quĂt, giÊ sò r‹ng
< Q 1 + (x; t) 2 Q9 +(0; 2) : M jruj 2 > N1 2 b‹ng cĂch nhƠn phữỡng tr…nh P DE (2.47) cho mºt h‹ng sŁ nhọ. p
Trong khi f 2 L p (Q9 +(0; 2)); M(jfj 2 ) 2 L 2 (Q9 +(0; 2)) v… ¡nh gi¡ m⁄nh p tỗn t⁄i mºt h‹ng sŁ C phử thuºc v o ; p v N1 sao cho
‚n Ơy ta sò dửng BŒ • 2.11, v giÊ thi‚t (2.48) v chồn 1 sao cho N1 p
1 < 1 Khi â, tł ¡nh gi¡ n y suy ra Mjruj 2 2 L p (Q + (0; 2)):
40 ành lỵ 2.16 Cho p l mºt sŁ thỹc vợi 1 < p < 1 Tỗn t⁄i mºt sŁ dữỡng nhọ
= (p) sao cho vợi [A]BMOv P l toĂn tò parabolic •u, vợi mi•n thọa @ : ( ; 1) Lipschitz; v vợi mồi h m f 2 L p (Q9 +(0; 2); R n ); n‚u u l nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh parabolic PDE
< u = 0 trản T9 (0; 2); p + : th… ru 2 L (Q1 ) v ta cõ bĐt flng thức sau kukW 1;p (Q + 1 ) C kuk L 2 Q + 9 (0;2) + kfk L 2 Q + 9 (0;2) :
Chứng minh K‚t quÊ trong trữớng hổp p = 2 l cŒ i•n v trữớng hổp 1 < p < 2 cõ th” ữổc suy ra tł t‰nh Łi ngÔu nản ta ch¿ cƒn chứng minh cho trữớng hổp p > 2. Theo ành nghắa 2.2 v ành lỵ 2.15, ta cõ Ănh giĂ sau kuk W 1;p (Q + 1 )
6 C kuk L p (Q + 9 (0;2)) + kfk L p (Q + 9 (0;2)) :V“y, ành lỵ ữổc chứng minh.
Phữỡng tr…nh vợi hằ sŁ BMO trản mi•n Reifenberg
Chữỡng n y chúng ta s‡ nghiản cứu t‰nh ch‰nh quy nghiằm to n cửc trản khổng gian W 1;p (1 < p < 1) cıa phữỡng tr…nh parabolic tuy‚n t‰nh d⁄ng divergence vợi i•u kiằn biản Dirichlet trong mºt mi•n mð bà ch°n TR n (0; T ] nhữ sau
: Chúng tổi khÊo sĂt b i toĂn trản vợi giÊ thi‚t r‹ng cĂc hằ sŁ cõ nòa chu'n BMO nhọ v l mºt mi•n ( ; R) Reifenberg Chú ỵ r‹ng mi•n thọa ( ; R) Reifenberg l tŒng quĂt hỡn so vợi biản Lipschitz ữổc khÊo sĂt ð chữỡng trữợc Chứng minh ành lỵ ch‰nh ữổc chia th nh cĂc bữợc nhữ ð hai chữỡng trữợc õ.
3.1 BŒ • phı Vitali ành lỵ 3.1 ([10]) Cho 0 < < 1 v A B T l hai t“p o ữổc GiÊ thi‚t r‹ng @ l ( ; 1)
GiÊ thi‚t r‹ng t‰nh chĐt sau Ơy thọa mÂn: mồi (x; t) 2 T; 8r 2 (0; 1] vợi jA \ C r (x; t)j > jC r (x; t)j; C r (x; t) \ T B: (3.3)
Khi â ta câ ¡nh gi¡ sau n+2
Tł giÊ thi‚t (3.2), vợi mồi (x; t) 2 A hƒu kh›c nỡi, tỗn t⁄i mºt sŁ dữỡng nhọ r(x;t) ı nhọ, sao cho
Trong khi C r (x;t) (x; t) \ A : (x; t) 2 A l mºt phı mð cıa A, theo bŒ • phı Vitali’s, tỗn t⁄i mºt dÂy rới nhau fCr (xi; ti) \ A : (xi; ti) 2 Ag 1 sao cho i i=1
Khi â, tł (3.5), ta th§y r‹ng jA \ C 5r i (x i ; t i )j < jC 5r i (x i ; t i )j = 5 n+2 jC r i (x i ; t i )j = 5 n+2 jA \ C r i (x i ; t i )j: (3.7)
Quan sĂt r‹ng1 v ta s‡ yảu cƒu r‹ng
” thỹc hiằn ữổc i•u n y, ta chồn r 2 (0; 1] v (x; t) 2 T.
Trong trữớng hổp õ dist[(x; t); @ T ] > r tł cỡ sð l Cr(c; t) T Do v“y, giÊ sò r‹ng dist[(x; t); @ T ] > r Khi õ tỗn t⁄i (y; ) 2 @p T sao cho dist[(x; t); @ T] = dist[(x; t); (y; )] < r Khi @ l ( ; 1)- mi•n phflng Reifenberg, khổng mĐt t‰nh tŒng quĂt, ta giÊ sò
Cr(x; t) \ fxn > g Cr(x; t) \Cr(x; t) \ fxn > g trong mºt sŁ hằ tồa º phũ hổp m y = 0 Khi õ tł cỡ sð h…nh hồc v mºt ph†p t‰nh to¡n ìn gi£n, ta th§y r‹ng
43 tł i•u n y dÔn ‚n bi”u thức (3.8) CuŁi cũng, tł (3.6), (3.7),(3.8) v (3.3) , ta cõ jAj = (B5r i (xi; ti) \ A) i
V“y, ành lỵ ữổc chứng minh.
C¡c ¡nh gi¡ àa ph÷ìng 43 3.3.C¡c ¡nh gi¡ so s¡nh
ành nghắa 3.2 ([10]) Ta nõi r‹ng @ l ( ; R)- Reifenberg (mi•n phflng) n‚u vợi mỉi x 2 @ v mỉi r 2 (0; R], tỗn t⁄i mºt m°t (n 1) chi•u L(x; r) sao cho
D(@ \ Br(x); L(x; r)) 6 r ; trong õ, D l khoÊng cĂch Hausdorff; Tức l
D(A; B) = supfdist(a; B) : a 2 Ag + supfdist(b; A) : b 2 Bg: ành nghắa 3.3 ([11]) Ta nõi r‹ng u 2 W 1;2 ( T ) l mºt nghiằm y‚u cıa phữỡng tr… nh (3.1) n‚u
Sau Ơy l sỹ tỗn t⁄i v sỹ duy nhĐt cıa nghiằm y‚u n y.
BŒ • 3.4 ([11]) Tỗn t⁄i duy nhĐt mºt nghiằm y‚u cıa (3.1) Ta s‡ t“p trung nghiản cứu trản mi•m Rv Łi vợi mºt nghiằm y‚u cıa
BŒ • sau cho thĐy gradient cıa nghiằm u l biản àa phữỡng trong khổng gian L 2
BŒ • 3.6 GiÊ thi‚t r‹ng u 2 W 1;2 ( 2) l mºt nghiằm y‚u cıa (3.9) Khi õ ta cõ
Z Z ! jruj 2 dxdt 6 C (jfj 2 + juj 2 )dxdt :
Chứng minh Trữợc h‚t ta s‡ chứng minh bĐt flng thức trản cho trữớng hổp u l mºt h m trỡn X†t h m ch°t cửt (cut-off function) = (x; t) thọa mÂn
: 2 u Sau õ lĐy t‰ch phƠn trản 2 p dửng
Ta nh¥n hai v‚ ph÷ìng tr…nh (3.9) cho cổng thức t‰ch phƠn tłng phƒn, ta thu ữổc
Ta vi‚t l⁄i bi”u thức trản dữợi d⁄ng
Ta lƒn lữổt Ănh giĂ cĂc sŁ h⁄ng I2; I3 v I4 nhữ sau:
C 1 + Z 2 juj2 + jfj 2 dx + C Z 2 2jruj2dx:
Do I1 + I2 = I3 + I4 nảu dÔn ‚n d u 2 2 2jruj 2 dx C 1 +1 Z 2
Z 2 2 j j dx+ 1 Z juj 2 + jfj 2 dx+C Z 2 2 jruj 2 dx dt 2
‚n Ơy ta chồn ı nhọ ” cõ ữổc d u 2
L§y t‰ch ph¥n theo bi‚n thíi gian tł 1 ‚n 0 v chó þ (3.10) ta câ
Z jruj 2 dxdt C Z juj 2 + jfj 2 dxdt:
‚n Ơy, trð l⁄i trữớng hổp tŒng quĂt khi u l nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh (3.1) trong
2, tỗn t⁄i mºt dÂy h m trỡn hºi tử v• u CĂc h m trỡn n y thọa mÂn bĐt flng thức trản nản ta suy ra ữổc nghiằm y‚u u cụng thọa mÂn.
V“y, bŒ • ữổc chứng minh xong.
BŒ • 3.7 Cho u l nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh parabolic PDE
Chứng minh Theo ành nghắa (1.3) v bŒ • trữợc, ta cõ Ănh giĂ sau kuk 2
L 2 ( 1 ) kuk 2 L 2 ( 1 ) + kruk 2 L 2 ( 1 ) + 2 kAk 2 L 1 ( 1 ) kruk 2 L 2 ( 1 ) + 2 kfk 2 L 2 ( 1 )
C kuk 2 L 2 ( 2 ) + kfk 2 L 2 ( 2 ) : V“y bŒ • ữổc chứng minh.
Khi õ tỗn t⁄i h‹ng sŁ C phử thuºc v o chi•u khổng gian sao cho: kuk 2 2 6 C kuk 2 2 + kfk 2 2 :
Chứng minh Chúng ta chứng minh bŒ • trản b‹ng phÊn chứng GiÊ sò r‹ng, tỗn t⁄i cĂc dÂy fAkg 1 k=1; fukg 1 k=1; ffkg 1 k=1 sao cho uk l mºt nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh
Ta câ th” chu'n hâa sao cho kukkL 2 ( 1 ) = 1, v ta câ ku k k 2 1;2 6 C ku k k 2 2 + kru k k 2 2 + kf k k 2 2
! 0 khi k ! +1: (3.12) k LĐy u l giợi h⁄n y‚u cıa dÂy fukg Khi õ ta cõ
BƠy giớ ta cƒn chứng minh r‹ng u l:
: u nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh
” l m i•u n y, ta chồn bĐt ký h m ’ 2 C0 1( 1) Khi õ theo (3.11) ta ữổc
Z 1 u ’ t dxdt = 0; i•u n y cho thĐy bi”u thức (3.14) l thọa mÂn.
Khi õ theo i•u kiằn (3.14) v (3.13) ta suy ra u = 0, i•u n y mƠu thuÔn.
BŒ • 3.9 Vợi > 0 bĐt ký, tỗn t⁄i = ( ) > 0 sao cho vợi bĐt ký nghiằm y‚u cıa
< ut div(A r u) = divf trong u = 0 trản
: khi õ, tỗn t⁄i ma tr“n h‹ng sŁ Ae vợi jA
5 Aej 6 v nghiằm trỡn v tữỡng ứng cıa
< v div(A v) = 0 trong Q + t v er = 0 trản T4 4 sao cho, ta câ ¡nh gi¡ sau: Z
Chứng minh Chúng ta chứng minh b‹ng phÊn chứng.
GiÊ sò r‹ng, tỗn t⁄i > 0; fAkg 1 k=1; fukg 1 k=1 v ffkg 1 k=1 sao cho uk l mºt nghiằm y‚u cıa ph÷ìng tr…nh
8 div(A kr u ) = divf k trong k k 5 u k = 0 trản @ ! k
(3.20) cho bĐt ký ma tr“n h‹ng sŁ A n o thọaA k 5 k A v nghiằm v tữỡng ứng cıa phữỡng e tr…nh e
Do õ, tỗn t⁄i dÂy con m ta cụng k‰ hiằu l fukg, sao cho uk * u trong L 2 (W 1;2 (Q4 +)) v uk ! u trong L 2 (Q4 +): (3.22)
Khi f A k Q 4 + g k 1 =1 l biản, tỗn t⁄i dÂy con m ta cụng k‰ hiằu l fAkQ 4 + g, sao cho
Nh÷ng khi â, tł (3.23) v (3.19), ta câ
BƠy giớ, ta s‡ ch¿ ra r‹ng u l nghiằm y‚u cıa
(u )t div(A ru ) = 0 trong Q4 + vợi u = 0 trản T4 : (3.25)
” l m ữổc i•u n y, ta cŁ ành bĐt ký ’ 2 C 1 (Q + 4 ) v mð rºng ’ = 0 bản ngo i Q + 4 Tł (3.18), ta câ
Ak uk ’ dxdt k fk ’ dxdt:
4v cho k ! 1 , khi õ tł (3.26) ta thu ữổc
BƠy giớ, cŁ ành bĐt ký mºt sŁ dữỡng nhọ v 2 ( 16; 0], lĐy x 0 2 T 4 = B 4 \fx n = 0g, °t s = min : @
5 kg uk( ; ) 2 f! 2 C 1 (B5):!=0 trản trong uk( ; ) 2 C (B5)vuk(x ; s ; ) = 0:
2 1 1 juk(x 0 ; s ; )j 2 6 2 + k 2 Z 0 jruk(x 0 ; (1 s)s ; )j 2 ds: LĐy t‰ch phƠn trản T4 = T4( 16; 0] ta ữổc
Tł (3.27) v (3.28) suy ra (3.25) CuŁi cũng ta cõ mºt mƠu thuÔn vợi (3.20) bði Ae = A
Hằ quÊ 3.10 Vợi > 0 bĐt ký, tỗn t⁄i = ( ) > 0 sao cho vợi bĐt ký nghiằm y‚u cıa
8 ut div(Aru) = divf trong 5
< u = 0 trản @! 5 thọa mÂn cĂc i•u kiằn:
> e j 5 ej 6 v + khi õ, tỗn t⁄i : ma tr“n h‹ng sŁ A thọa A A nghiằm trỡn v tữỡng ứng cıa
< ve = 0 trản T4 sao cho ta câ ¡nh gi¡ sau : ku V k W 2 1;2
(3.30) trong õ V l phƒn mð rºng b‹ng khổng cıa v ữổc xĂc ành trong Q + tợi
Tł BŒ • 3.9 v giÊ thi‚t (3.29), tỗn t⁄i mºt ma tr“n h‹ng sŁ A vợi A 5 e k mºt nghiằm trỡn tữỡng ứng v cıa phữỡng tr…nh
Trữợc h‚t, ta quan sĂt r‹ng V l nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh f
52 trong õ a 1 = A Giớ ta °t ! = u V ” thỹc hiằn ph†p t‰nh sau f ij g i;j=1 e
= ut div(Aru) (Vt div(ArV ))
= div f + A A rV (Vt div(ArV )) div f + A e a e (x ; 0; t) (x; t) : nn @xn Q4 r @x n
Nhữ v“y, ! l mºt nghiằm y‚u cıa phữỡng tr…nh
! t div(Ar!) = div f + A A rV @x n a nn @x v n (x 0 ; 0; t) Q 4 e
@ @ f trong 4vợi ! = 0 trản @ ! 4 Khi õ, theo BŒ • 3.7, ta cõ k!kW 2
6 9 3 B 3+ j u(x; t)j 2 dx ! dt + Q 3+ ju vj 2 dxdt Z
6 9 3 B3+ jru(x; t)j 2 n 2 dx n dt + Q3+ ju vj2dxdt
53 trong õ ta  sò dửng bĐt flng thức Holder’s, bĐt flng thức Sobolev v (B5 \ fxn > g) 5B5 +
Khi â, tł ¡nh gi¡ n y v (2.31) suy ra k k k 2 6 2
CuŁi cũng,k‚t hổp (3.33),(3.31), (3.29) ta suy ra k‚t lu“n (3.30).
V“y, hằ quÊ ữổc chứng minh.
BĐt flng thức d⁄ng level sets
BŒ • 3.11 Tỗn t⁄i h‹ng sŁ N1 sao cho vợi > 0 bĐt ký, = ( ) > 0 v n‚u u l nghiằm y‚u cıa ut div(Aru) = divf trong T vợi hai giÊ thi‚t sau thọa mÂn
: g \ f Mj j g 6 ; th… ta câ ¡nh gi¡ jf(x; t) 2 T: M(jruj 2 ) > N 1 2 g \ 1 j 6 j 1 j: (3.36) Chứng minh.
Tł i•u kiằn (3.35), ta thĐy r‹ng tỗn t⁄i mºt i”m (x ; t ) 2 1sao cho jC r j Z C r (x ;t )\ T jruj 2 6 1 v jC r j Z C r (x ;t )\ T jfj 2 6 2 ; 8r > 0: (3.37)
54 i•u n y cho th§y jfj 2 dxdt 6 jQ5j Z
T÷ìng tü, ta th§y r‹ng
Tł Hằ quÊ 3.10 vợi cĂc giÊ thi‚t (3.35), (3.38) v (3.39) , tỗn t⁄i ma tr“n h‹ng sŁ Ae vợi A 5 (0;2) A 6 v mºt nghiằm trỡn v tữỡng ứng cıa phữỡng tr…nh e
= 0 trản T 4 (0; 2) sao cho : ku V k W 2 1;2 ( 2 (0;2)) 1 (3.40) vợi i•u kiằn
Z 5 (0;2) jfj 2 + jA A j 2 dxdt + D(@ ! ; T 5 ) 1; t⁄i V l phƒn mð rºng b‹ng khổng cıa v ữổc xĂc ành trong Q + 4 (0; 2) tợi Khi õ, ta cõ th” sò dửng dĂnh giĂ àa phữỡng v jQ 4 j Z 4 (0;2) jV j 2 6 C;
” thĐy r‹ng tỗn t⁄i mºt h‹ng sŁ N sao cho sup jrV j 2 6 N 2 :
BƠy giớ ta chồn N1 2 = maxf4N 2 ; 2 n+2 g v s‡ chứng minh r‹ng
Ta chứng minh bĐt flng thức n y, giÊ sò r‹ng
Vợi r 6 2; Cr(x1; t1) \ T3 (0; 2) v bði (3.43) v (3.41), ta cõ
+ jrV j 2 jC r j Z C r (x 1 ;t 1 )\ T jruj 2 dxdt 6 jC r j Z C r (x 1 ;t 1 )\ T jr(u V )j 2
Vợi r > 2; Cr(x1; t1) C2r(x ; t ) v bði (3.37), ta ữổc jC r j Z C r (x 1 ;t 1 )\ T jruj 2 6 jC r j Z C 2 r(x ;t )\ T jruj 2
Khi õ, khflng ành (3.42) ữổc suy ra tł (3.43) v (3.44) Tł (3.42) v Ănh giĂ y‚u 1 1 d⁄ng parabolic ta thu ữổc f(x; t) 2 T: Mjruj 2 > N 1 2 g \ 1 6 f(x; t) 2 1: Mjr(u V )j 2 > N 2 g
CuŁi cũng, tł Ănh giĂ n y v theo (3.40) ta cõ i•u phÊi chứng minh.
BŒ • 3.12 ([11]) Tỗn t⁄i h‹ng sŁ N1 > 0 sao cho vợi ; r > 0 bĐt ký, = ( ) > 0 v n‚u u l nghiằm y‚u cıa u t div(Aru) = divf trong T
: th… ta câ ¡nh gi¡ sau
Hằ quÊ 3.13 Tỗn t⁄i h‹ng sŁ N1 > 0 sao cho vợi 1 > ; r > 0, = ( ) > 0 v n‚u u l nghiằm y‚u cıa
; 63) Reifenberg v n‚u t‰nh chĐt sau thọa mÂn:
Cr(x; t) \ T fMjruj 2 > 1g [ fMjfj 2 > 2 g: (3.46) Chứng minh Ta chứng minh b‹ng phÊn chứng N‚u Cr(x; t) thọa mÂn (3.45) v k‚t lu“n (3.46) l sai, tỗn t⁄i (x ; t ) 2 T\ C r (x; t) sao cho
N‚u C7r(x; t) \ @p T = ;; th… ¥y l mºt ¡nh gi¡ trong (xem ch÷ìng 1).
B7r(x) \ @ : Khi @ l ( ; 63r) mi•n phflng Reifenberg, ta câ
63r(0) B 9 + r (x 0 ; 0) B r + (x) trong mºt v i hằ tồa º phũ hổp BƠy giớ, chúng ta Ăp dửng BŒ • 3:12 v o khŁi l“p phữỡng C 9r (x 0 ; 0) thay bði ; thu ữổc
6 jf(x; t) 2 T: M(jruj 2 )(x; t) > N 1 2 g \ C 9r (x 0 ; 0; t)j i•u n y mƠu thuÔn vợi (3.45).
57 nghiằm y‚u cıa div(Aru) = divf trong T u = 0 trản @ p T khi [A]BMO 6 ; @ l ( ; 63) Reifenberg Gi£ thi‚t r‹ng jf(x; t) 2 T: M(jruj 2 ) > N 1 2 gj < jC 1 j: (3.47)
Cho k nguyản dữỡng v2 t“p 2k gj 1 1 jf( 2 T
Chứng minh Ta chứng minh mằnh • n y b‹ng quy n⁄p.
Rê r ng mằnh • n y úng trong trữớng hổp k = 1 Th“t v“y, vợi
Do @ l ( ; 63) Reifenberg Khi â tł (3.47), BŒ • 3:11 v ành lþ 3:1, ta câ jf(x; t) 2 T : M(jruj 2 ) > N1 2gj
6 1(jf(x; t) 2 T : M(jfj 2 ) > 2 gj + jf(x; t) 2 T : M(jruj 2 ) > 1gj);
GiÊ sò mằnh • úng vợi k nguyản dữỡng Ta ành nghắa u = u v tữỡng ứng f = f
Khi õ, u l nghiằm y‚u vợi u = 0 trản @ cıa e N 1 e N 1 e (u)t e trong T div(Aru) = divef 63r (r > 0); v thọa mÂn e e jf(x; t) 2 T : M(jruj 2 ) > N1 2gj < jC1j:
Khi â,theo gi£ thuy‚t quy n⁄p, ta câ e
Ta vi‚t bĐt flng thức n y th nh I1 6 I2, trong õ I1 jf(x; t) 2 T : M(jruj 2 ) > N 2k gj; e 1 k
Ta thỹc hiằn t‰nh toĂn v Ănh giĂ cĂc bi”u thức I 1 ; I 2 nhữ sau:
Do I1 6 I2, nản suy ra jf(x; t) 2 T: M(jruj 2 ) > N 1 2(k+1) gj
X suy ra mằnh • úng vợi k + 1.
V“y, theo ph†p chứng minh quy n⁄p th… mằnh • úng vợi mồi giĂ trà nguyản dữỡng k.
K‚t quÊ ch‰nh quy nghiằm trản mi•n Reifenberg 59 K‚t lu“n 62 T
berg ành lþ 3.15 Cho sŁ thüc p : 2 < p < 1 Câ = (p) > 0 sao cho n‚u u 2 W 1;2 ( T ) l nghiằm y‚u cıa parabolic PDE
: parabolic •u v p n p n vợi [A]BMO 6 , toĂn tò P l f 2 L ( T;R); th… ru 2 L ( T;R ) v ta cõ bĐt flng thức sau kruk L p ( T ) 6 C kuk L p ( T ) + kfk L p ( T ) ; trong õ C l h‹ng sŁ khổng phử thuºc v o u v f:
Chứng minh Khổng mĐt t‰nh tŒng quĂt, chúng ta cõ th” giÊ thi‚t r‹ng j(x; t) 2 T : M(jruj 2 ) > N 1 2 j < jC 1 j b‹ng cĂch nhƠn PDE (3.48) vợi mºt h‹ng sŁ nhọ n‚u cƠn thi‚t V… f 2 L p ( T ); nản
=0 vợi C > 0 l mºt h‹ng sŁ ch¿ phử thuºc v o ; N1 2; p:
60 M°t kh¡c, ta câ ¡nh gi¡
‚n Ơy ta sò dửng (3.49) v chồn sao cho N1 p
1 < 1: Khi â, tł ¡nh gi¡ n y suy ra p
CuŁi cũng, ta chứng minh ành lỵ ch‰nh cıa chữỡng n y. ành lỵ 3.16 Cho sŁ thỹc p : 1 < p < 1 Cõ = (p) > 0 sao cho n‚u u l nghiằm y‚u cıa parabolic PDE
: vợi [A]BMO 6 , toĂn tò P l parabolic •u, mi•n thọa @ ( ; R) Reifenberg v mồi h m f 2 L p ( T ; R n ), th… u 2 W 1;p ( T ) v ta câ ¡nh gi¡ sau ¥y kuk
L p ( T ) ;trong õ C l h‹ng sŁ khổng phử thuºc v o u v f.
Theo ành lþ 3.15 v ut = div(Aru + f) trong T, ta câ ¡nh gi¡ sau kuk
6 C kukL p ( T ) + kfkL p ( T ) ;V“y, ành lỵ ữổc chứng minh.
Trong lu“n vôn n y, tĂc giÊ Â t…m hi”u mºt phữỡng phĂp ữổc ữa ra bði Wang v S.-S. Byun, ” khÊo sĂt t‰nh ch‰nh quy nghiằm cıa phữỡng tr…nh parabolic tuy‚n t‰nh vợi dœ liằu d⁄ng divergence dỹa trản bŒ • phı Vitali v mºt bĐt flng thức d⁄ng level sets Cử th” hỡn, tĂc giÊ Â ồc hi”u v chứng minh l⁄i mºt cĂch chi ti‚t mºt sŁ k‚t quÊ v• t
‰nh ch‰nh quy nghiằm cıa phữỡng tr…nh parabolic vợi hằ sŁ khổng liản tửc cõ dao ºng trung b…nh BMO rĐt nhọ Cõ ba k‚t quÊ ch‰nh ữổc tr…nh b y trong lu“n vôn, tữỡng ứng vợi t‰nh ch‰nh quy nghiằm àa phữỡng v t‰nh ch‰nh quy nghiằm to n cửc cıa phữỡng tr…nh parabolic trong hai trữớng hổp ứng vợi giÊ thi‚t khĂc nhau cıa mi•n xĂc ành Kÿ thu“t ch‰nh cıa phữỡng phĂp n y l xƠy dỹng mºt bĐt flng thức d⁄ng level sets dỹa trản cĂc Ănh giĂ so sĂnh sai khĂc giœa cĂc nghiằm y‚u phữỡng tr…nh ban ƒu vợi phữỡng tr…nh thuƒn nhĐt tữỡng ứng.
M°c dũ lu“n vôn chữa thu ữổc k‚t quÊ mợi nhữ mong ổi, những tĂc giÊ Â cŁ g›ng tr…nh b y th“t chi ti‚t v rê r ng chứng minh cıa cĂc ành lỵ t…m hi”u ữổc CĂc k‚t quÊ cıa Wang v S.-S Byun ữổc t…m hi”u trong lu“n vôn n y  nh“n ữổc rĐt nhi•u tr
‰ch dÔn trong cĂc b i bĂo gƒn Ơy i•u n y cho tĂc giÊ lu“n vôn cõ thảm ni•m tin r‹ng lu“n vôn s‡ l mºt t i liằu tham khÊo cõ ‰ch b‹ng ti‚ng Viằt cho sinh viản, hồc viản cao hồc v nhœng ngữới nghiản cứu quan tƠm ‚n phữỡng phĂp chứng minh t‰nh ch
‰nh quy nghiằm cıa cĂc phữỡng tr…nh parabolic tuy‚n t‰nh.
[1] K Adimurthi, S S Byun (2019), Gradient weighted estimates at the natural exponent for Quasilinear Parabolic equations, Advances in Mathematics 348, 456- 511.
[2] L A Caffarelli, I Peral (1998), On W 1;p estimates for elliptic equations in diver- gence form, Communications on Pure and Applied Mathematics 51, 1 - 21.
[3] G Di Fazio (1996), L p estimates for divergence form elliptic equations with dis-continuous coefficients, Boll Un Mat Ita l A(7) 10, 409 - 420.
[4] S S Byun (2005), Parabolic equations with BMO coefficients in Lipschitz do- mains, Journal of Differential Equations 209(2), 229-265.
[5] S S Byun (2007), Optimal W 1;p regularity theory for parabolic equations in di-vergence form, Journal of Evolution Equations 7(3), 415-428.
[6] S S Byun, S Ryu (2017), Weighted Orlicz estimates for general nonlinear parabolic equations over nonsmooth domains, Journal of Functional Analysis 272(10), 4103-4121.
[7] S S Byun, H Chen, M Kim, L Wang (2007), L p regularity theory for linear elliptic systems, Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series A 18, 121 - 134.
[8] S S Byun, L Wang (2004), Elliptic equations with BMO coefficients in Reifenberg domains, Conmmunications on Pure and Applied Mathematics 57(10), 1283 - 1310.