(Luận văn thạc sĩ) một số kết quả về tính đồng dạng cho các toán tử quạt trong các không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Nguyễn Vân Nhi MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH ĐỒNG DẠNG CHO CÁC TỐN TỬ QUẠT TRONG CÁC KHƠNG GIAN HILBERT h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Nguyễn Vân Nhi MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH ĐỒNG DẠNG CHO CÁC TỐN TỬ QUẠT TRONG CÁC KHƠNG GIAN HILBERT h Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2019 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn khoa học TS Trần Trí Dũng Các nội dung nghiên cứu kết tham khảo luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khảo Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng năm 2019 Trần Nguyễn Vân Nhi h Lời cám ơn Trước trình bày nội dung luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS TRẦN TRÍ DŨNG tận tình bảo, hướng dẫn để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giảng viên khoa Toán - Tin học trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM giảng dạy, truyền đạt kiến thức cho tác giả trình học tập khoa Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cám ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tác giả suốt trình thực luận văn tốt nghiệp Mặc dù có nhiều cố gắng, hạn chế thời gian thực nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cám ơn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng năm 2019 h Trần Nguyễn Vân Nhi Mục lục Lời cam đoan Lời cám ơn Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử quạt (Sectorial operator) 1.2 Khơng gian hàm chỉnh hình ( Spaces of holomorphic functions ) 1.3 Natural functional calculus 1.3.1 Functional calculus theo tích phân loại Cauchy 1.3.2 The natural functional calculus 11 1.3.3 Luật hợp thành 12 Kỹ thuật xấp xỉ McIntosh 12 1.5 Tính bị chặn H  - Calculus (The boundedness of the H  -Calculus) 13 1.6 Toán tử hợp ( Multiplication Operators) 14 1.7 Bậc phân số với phần thực dương 15 h 1.4 Chương Lý thuyết tốn tử khơng gian Hilbert 17 Dạng nửa song tuyến tính 17 Toán tử liên hợp 19 Dãy trị số 23 Tích vơ hướng tương đương định lý Lax-Milgram 23 Toán tử accretive 25 Chương Một số kết tính đồng dạng cho tốn tử quạt 28 3.1 Vấn đề đồng dạng toán tử biến phân 28 3.2 The Functional Calculus không gian Hilbert 34 3.3 Bậc phân số toán tử m- accretive vấn đề bậc hai 40 3.4 Thuyết McIntosh- Yagi 43 3.5 Định lý Đồng Dạng 51 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 h Danh mục ký hiệu Bao đóng tốn tử đa trị A A1 Nghịch đảo toán tử đa trị A Ax Ảnh điểm x tác động toán tử đa trị A D  A Miền xác định toán tử đa trị A LX  Khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn không gian Banach X N  A Nhân toán tử đa trị A   A Tập dải thức toán tử đa trị A   A Miền giá trị toán tử đa trị A R  , A Dải thức (ánh xạ) toán tử đa trị A   A Phổ toán tử đa trị A   Tích vơ hướng khơng gian Hilbert H   Tích vơ hướng tương đương khơng gian Hilbert H a A h A Toán tử A liên kết với dạng a Ses V  Không gian dạng nửa song tuyến tính khơng gian vecto V W  A Dãy trị số toán tử A BIP  X  Không gian toán tử quạt A đơn ánh X cho  Ais  s nhóm C0 H   Khơng gian hàm chỉnh hình bị chặn tập mở   C0    Không gian hàm liên tục triệt tiêu  không gian compact địa phương  DR  S  Lớp Dunford – Riesz góc quạt S DR0  S  Khơng gian hàm chỉnh hình S DRext  S  Lớp Dunford – Riesz mở rộng góc quạt S Sect   Lớp tốn tử quạt với góc  0 tắt dần  không gian Banach X h MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong toán học, lý thuyết toán tử nhánh giải tích hàm liên quan đến tốn tử tuyến tính bị chặn tính chất chúng Một tốn tử quạt (sectorial operator) A có phổ chứa hình quạt S với số  R   , A  bị chặn bên ngồi hình quạt lớn Các tốn tử đóng vai trị h bật lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic parabolic (elliptic and parabolic partial differential equations) Vào năm 1960 , gọi bậc phân số (fractional powers) A (với   ) toán tử quạt A định nghĩa (xem [10], [3], [24], [8]) nghiên cứu sâu rộng kể từ Tuy nhiên, ngày chưa có phát triển lý thuyết bậc phân số vào functional calculus, chí cơng trình nghiên cứu gần Mọi thứ trở nên khả thi natural functional calculus toán tử quạt đưa McIntosh phát triển functional calculus nghiên cứu ông (xem [15], [2]) McIntosh nhận xét [14] lý thuyết bậc phân số sửa lại functional calculus ông Tuy nhiên, trọng tâm nghiên cứu ơng tính bị chặn H  calculus, với giúp đỡ ý tưởng Yagi (xem [24]), chứng minh tương đương với đánh giá bậc hai không gian Hilbert Trọng tâm nằm nỗ lực để khái quát hoá kết từ không gian Hilbert đến không gian Lp không gian Banach tổng quát Dựa theo nhận xét McIntosh, đường dẫn liên hệ mơ hồ trước dần khám phá Sự liên hệ functional calculus câu hỏi đồng dạng không gian Hilbert như: vấn đề đồng dạng cho toán tử biến phân, bậc phân số toán tử m  accretive, vấn đề bậc hai…đều vấn đề thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức giải tích hàm, giải tích phức, đại số Banach với tình hình nghiên cứu nay, tác giả định chọn đề tài “Một số kết tính đồng dạng cho tốn tử quạt không gian Hilbert” Mục tiêu luận văn Mục tiêu luận văn bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời định hướng số hướng nghiên cứu sau, thuộc chuyên ngành Toán giải tích Về mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt mục tiêu: tìm hiểu số kết tính đồng dạng cho tốn tử quạt không gian Hilbert vấn đề đồng dạng cho toán tử biến phân, bậc phân số toán tử m  accretive, vấn đề bậc hai; sau áp dụng để chứng minh lại số định lý với cách tiếp cận dễ dàng không cần sử dụng kết phức tạp Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn này, tác giả thu thập tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm hiểu, tổng hợp số kiến thức tốn tử quạt, tính bị chặn H  calculus, bậc phân số số vấn đề liên quan khác Cơng việc địi hỏi tác giả phải biết vận dụng kiến thức chuyên sâu giải tích hàm, giải tích phức, đại số Banach Nội dung luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị h Phần chuẩn bị trình bày khái niệm tốn tử quạt, mệnh đề toán tử quạt, khơng gian hàm chỉnh hình, natural functional calculus, tính bị chặn H  - calculus, bậc phân số kiến thức giải tích hàm, giải tích phức, đại số Banach có liên quan phục vụ cho chương Chương 2: Lý thuyết toán tử khơng gian Hilbert Chương tác giả trình bày thơng tin tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert, bao gồm liên hợp (của toán tử đa trị), toán tử accretive, định lý LaxMilgram Các nội dung chủ yếu sau: + Dạng nửa song tuyến tính + Tốn tử liên hợp + Tích vơ hướng tương đương định lý Lax-Milgram + Toán tử accretive Chương 3: Một số kết tính đồng dạng cho toán tử quạt Chương tác giả sử dụng kết từ lý thuyết tốn tử khơng gian Hilbert functional calculus để đạt định lý Đồng Dạng Các nội dung chủ yếu sau: 42 Chứng minh: Đặt  :    Khi theo luật hợp thành:   i log A   Vì ánh xạ  z  g  z  :     i log A    i  i  log A     i log  ei A  g  z  1   i log z  : S  S , hàm f  z  : thỏa f g  z  1  2    Do A toán tử m    accretive nên theo mệnh đề 3.1.5 ei A m  accretive Do đó, áp dụng mệnh đề 3.2.6 ta có: f  ei A  f  1 Nhưng f  ei A biến đổi Cayley g  ei A  , nên theo mệnh đề 2.5.2 g  ei A  m  accretive Suy   i log A m  accretive h Chứng minh tương tự   i log A m  accretive Kết hợp hai điều ta có: W  log A  H Định lý 3.3.4 (Kato) Cho A m  accretive    Khi ta có mệnh đề sau đây: 1) D  A   D  A  : D 2) A u  tan  1  2   A u , u  D 3) Re  A u A u    cos   A u A u , u  D Chứng minh: Xem [9, Định lý 1.1] 43 Chú ý 3.3.5 Định lý Kato không trường hợp   Kato điều ông viết báo [9] sau đó, Lions [11] đưa ví dụ Trong thời gian câu hỏi mở cho A tốn tử m    accretive điều sau đúng:  1  1*  D  A2   D  A2      Nếu A liên kết với dạng a  Ses V  ta có 0  , đẳng thức tương đương   với V  D  A  Lions [11] Kato [9] Cuối cùng, McIntosh   đưa ví dụ [14] Tuy nhiên, chưa phải kết thúc Thực ra, mệnh đề sai trường hợp tổng qt, cho tốn tử đặc biệt, chẳng hạn toán tử elliptic bậc hai L2  n  dạng divergence Với nhiều h toán tử, vấn đề trở nên tiếng tên Vấn đề bậc hai Kato làm khơi dậy quan tâm lượng lớn nghiên cứu dẫn đến việc khám phá kết sâu liên quan đến Thuyết toán tử Giải tích điều hịa Ta gọi tốn tử A khơng gian Hilbert H bậc hai quy A   1 *    quạt D   A      D   A     với   đủ lớn Chúng ta có vấn đề thứ hai:     Vấn đề đồng dạng thứ hai Giả sử A biến phân Có tích vơ hướng tương đương H cho A biến phân bậc hai quy tích vơ hướng mới? 3.4 Thuyết McIntosh- Yagi Mệnh đề 3.4.1 Cho A  Sect   tốn tử quạt khơng gian Hilbert H Giả sử natural DR  S  -calculus bị chặn với      Nếu  f  DR  S  ,  x y f :    f  tA x f  tA  y  H dt , t  x, y  H  nửa tích vơ hướng xác định H N  A  tích vơ hướng tương đương   A  Mệnh đề bao gồm tồn tích phân 44 Vì H  N  A    A (do A  Sect   toán tử quạt không gian Hilbert H) f  tA  x  với x  N  A  , f  DR  S  , t  , ta thiết lập bất đẳng thức sau: C1 x   f  tA  x dt  C1 x , t với C1 , C2  số x   A Để làm điều ta cần khái niệm Định nghĩa 3.4.2 Nhóm Cantor tập hợp G : 1;1 , tức là, tích trực tiếp rời rạc  fold nhóm nhân  1;1 Theo định lý Tychonoff, G nhóm topo compact Ta ký hiệu  độ đo chuẩn Haar G Những phép chiếu:  k :   gn n gk  : G  1;1 ,  k   gọi hàm Rademacher Rõ ràng hàm Rademacher có đặc tính liên tục nhóm compact G , chúng tạo thành họ trực giao L  G ,   , tức là: G h   n m d    nm , n, m  (Điều tập hợp hàm Rademachers thực sinh đặc tính nhóm G) Cho không gian Banach X, không gian Rad  X  đươc định nghĩa sau: Rad  X  : span  n  x n  , x  X   L2  G, X  , với chuẩn sinh chuẩn L  G, X  Nếu X  H khơng gian Hilbert, ta có đẳng thức quan trọng sau:  n xn  H  n n  xn Rad  H  , dãy hữu hạn hai bên (finite two-side)  xn n  H Thực ra:    xn n n Rad  H   G   g x n n n H   dg    n   n  g   m  g   xn xm    dg  G   n  nm  xn xm    n xn H 45 Bây ta quay trở lại chứng minh mệnh đề 3.4.1 Chứng minh Lấy C cho g  A  C g  2N 2 N f  tA  x S   , g  DR  S  lấy f  DR S , ta có: N N dt 2k 1 2 dt dt    k f  tA  x    f  t 2k A  x t k  N t k  N t   f  t 2k A  x N  k  N  2 dt  t   f  t 2k A  N k N Rad  H    N  k  f  t 2k A  x N Rad  H  dt t dt x t Theo bổ đề Kalton-Weis 1.5.3 ta có :  N N  k  g  f  t 2k A  L H   DC , g  G, t  0, N  , D số phụ thuộc vào f  Do :  f  tA  x dt  C D  log  x , x  H t h  Bây giờ, ta chứng minh bất đẳng thức thứ Theo mệnh đề 3.2.2, toán tử A* thỏa giả thiết mệnh đề, với số C Ta có :   f  tA*  x dt  C D  log  x , x  H t Xét hàm g : f f * Hiển nhiên g  DR  S  g  t  : f  t  , t  Vì f  f chình hình, ta có:  :   Áp dụng mệnh đề 1.4.2 ý c) ta có: f t  dt 0 t 46    x   x x     g  tA  x      dt  dt x     f *  tA  f  tA  x x  t  t  dt  2 dt    dt   f  tA  x f  tA*  x    f  tA  x f  tA*  x     t  t   t   CD  log  2 dt    x   f  tA  x  t   với x  D  A    A  Ta chia hai vế cho CD  log  x xấp xỉ phần tử tùy ý   A  phần tử từ D  A    A  , ta điều phài chứng minh Cố định A  Sect   H giả sử đơn giản A đơn ánh (tức H có miền xác định trù mật miền giá trịtrù mật) Với       DR  S  , ta định nghĩa:   dt    dt    tA x    x  :  0   tA  x  , x  H t  t   h  H :  x  H  Bổ đề 3.4.3 Cho A,  ,  , Khi ta có khẳng định sau đây:  a) Chuẩn  đầy đủ b) Không gian D  A    A  chứa H trù mật H   c) Nửa chuẩn  thực chuẩn H Chứng minh a) Lấy  xn n  H dãy Cauchy   Khi đó: xn  x H với x  H   A xn n Cauchy dt   L2   0,   , ; H  t   47 dt  2 Do đó: tồn f  L   0,   , ; H  cho   A xn  f t    L2 Ta giả sử   tA  xn  f  t  h.k.n với t Suy ra: f (t )    tA  x h.k.n với t Như ta có x  H xn  x   1 1 b) Lấy x  H đặt Tn :  n  A A   A  n  Khi đó: Tn  M  A , n Tn x  x (xem mệnh đề 1.1.3) Do   tA  Tn x  M  A 2   tA  x , theo định lý hội tụ trội (Dominated Convergence Theorem) ta có Tn  x   H Tn x  x   2 Lấy x  D  A    A  Khi đó: x  A 1  A y, y  H Chọn    cho:     z z dz ,  1    z z 1 dz   ,  biên hình quạt nằm S S Ta có: 2  C    tz   z dz h   tA  A  A  1 1 z z  C  z  t tz dz    z t1 z    z   Ct  supt 0, x  dz    z 1 t  z t  z           t t z    z Ct  sup  dz  t  0, x    z 1 t  z t  z    Suy ra:     tA  x  dt 2     tA  A  A  1 y t dt   hay t x  H Vậy D  A    A  chứa H   * c) Lấy  :  Khi đó: c :    t  dt     t  dt  (do ta giả sử   ) 0 t Theo mệnh đề 1.4.2 ta có: dt    tA  x t  cx b a t với  a, b    0,   x  D  A   A Giả sử tồn x  H cho x   Suy   tA  x  0, t  Do đó:    tA x b a dt  0, 0  a  b Vì thế: t 48  A 1  A  2    tA x b a b dt dt 2 2     tA 1  A  x  cA 1  A  x, a t t Suy x  (do A  A  1 đơn ánh c  ) 2 Mệnh đề 3.4.4 Cho A  Sect   có miền xác định trù mật miền giá trị trù mật Giả sử   ,  DR  S  ,      Khi đó, với f  H   S  ,   a ,b  A f  A x   sup f  * *  s  s 0   A   sup  t 0  ds  ds   b   sA  tA       sA  x  , s  a s  * * b với x  D  A    A   a  b   Ở đây,  :    a ,b  A      sA  ds a s Chứng minh: * *  Đặt  :   E : sup s 0  f  s  A F : supt 0    tA   sA  ds s Theo mệnh đề 1.4.2 ta có E , F   Khi đó: h  a ,b  A  f  A  x    b        a    b ds      tA     sA  f  A  x a  s  2 dt  t   2 ds  dt   f  s  A  tA   sA   sA  x   s  t    b  E       tA   sA   0 a  1   tA   sA  2 ds  dt    sA  x s  t     b 2 b ds  dt ds      E       tA   sA      tA   sA    sA  x   0 a s   a s  t    1 dt ds  2 ds   b   b  EF      tA   sA    sA  x  EF  sA x      t s  s   a  a với x  D  A    A   a  b   49 Hệ 3.4.5 Cho   ,   DR  S  Khi H  H chuẩn ,   tương đương Hơn nữa: c 1a ,b  A x  x  0, x  H , lim  a ,b  0,    c :    t  dt   mệnh đề 3.4.4 t Chứng minh: Lấy x  D  A    A  Áp dụng mệnh đề 3.4.4 với f : ta có:  a ,b  A  x  ds   b  C     sA  x  C x , s   a với  a  b   số C  Theo bổ đề 3.4.3 ý b) ta có  a ,b  A  x lưới Cauchy  h Do a ,b x  cx H (theo mệnh đề 1.4.2) H đầy đủ  a ,b  A  x  cx    , suy Suy ra: x   Cc 1 x  , x  D  A   A Do đó, áp dụng bổ đề 3.4.3 ý b) ta có: H  H với   Đặt    , ta có H bất biến  a ,b  A  , với họ   a ,b  A a ,b bị chặn  toán tử H ,   Suy ra: a,b  A x  cx   0, x  H Hệ 3.4.6 Cho A  Sect   với miền xác định miền giá trị trù mật Giả sử      có    DR  S  cho H  H với  tương đương với chuẩn ban đầu H Khi natural H   S  -calculus cho A bị chặn 50 Chứng minh: Lấy f  DR  S  x  D  A    A  Khi f  A  x  D  A    A  áp dụng mệnh đề 3.4.4 với    , ta có:  f      A  x a ,b  A f  A x   C sup  s 0 * * s   ds   Ở C : supt 0 0   sA   tA   hữu hạn (theo mệnh đề 1.4.2) Áp dụng hệ s  3.4.5 cho  a, b    0,   ta có: f  A  x   c 1CD f  x, D số không phụ thuộc vào x hay f (theo ý d) mệnh đề 1.4.2) Theo giả thiết , nên f  A x  C f   x  với số C x  D  A    A  Như natural DR  S  -calculus cho A bị chặn h Áp dụng mệnh đề 1.5.2 ta suy natural H   S  -calculus cho A bị chặn Định lý 3.4.7 (Định lý McIntosh-Yagi, phiên mở rộng) Cho A tốn tử quạt khơng gian Hilbert H , B phần đơn ánh A , tức là, B phần A   A  Những mệnh đề sau tương đương: i Natural DR  S  -calculus cho A bị chặn với    A ii Với  f  DR  S  , tồn số C1  f  , C2  f   cho: A C1  f    x   f  tA  x dt  C2  f t  x , x    A  iii B  BIP   A iv Natural H   S  -calculus cho B bị chặn với   B Chứng minh:  i    ii  : Định lý 3.4.1 51  i    iii   iv    i  : Nếu    A , natural DR  S  -calculus cho A bị chặn natural DR  S  -calculus cho B bị chặn  iii    iv  : Định lý McIntosh-Yagi 1.5.4  ii    iv  : Giả sử    Khơng tính tổng qt, giả sử A đơn ánh, tức A  B Áp dụng hệ 3.4.6, H   S  -calculus cho A bị chặn Vậy ta chứng minh xong  iv  3.5 Định lý Đồng Dạng Trong phần này, ta sử dụng định lý McIntosh-Yagi đề cập để giải hai vấn đề đồng dạng nêu phần Hệ 3.5.1 (Callier-Grabowski-LeMerdy) Cho  A generator nửa nhóm C0 chỉnh hình bị chặn T khơng gian   Hilbert H Khi T đồng dạng với nửa nhóm co B  BIP   A , h với B phần đơn ánh A Chứng minh:  ) Đặt K :   A Giả sử T đồng dạng với nửa nhóm co Để thay đổi tích vô hướng, giả sử A m  accretive Áp dụng mệnh đề 3.2.6 định lý 3.4.7 ta có B  BIP  K   ) Giả sử B  BIP  K  Vì  A sinh nửa nhóm chỉnh hình bị chặn nên A quạt với  A   2 dt    Theo định lý 3.4.7, thay chuẩn K  0 f  tA x  , với t   f  DR  SA  tùy ý z Chọn f  z  : z e , ta có chuẩn K 52 x new   2  dt tA e x  A T  t  x dt    t  tA Sử dụng tính chất nửa nhóm ta dễ dàng thấy T  t  co lại K chuẩn Tuy nhiên, N  A  toán tử T  t  giống đồng Vì H  N  A   K , chọn tích vơ hướng theo cách cũ N  A  , xây dựng K N  A   K Đối với tích vơ hướng này, nửa nhóm T phép co Định lý 3.5.2 (Định lý đồng dạng) Cho A toán tử quạt không gian Hilbert H thỏa  A   Giả sử A thỏa tính chất tương đương từ (i) đến (iv) định lý 3.4.7 Khi đó, với  A     1) N  A    A   h có tích vơ hướng tương đương H thỏa tính chất sau:   2) Toán tử A m    accretive    Ở đây, A liên hợp A 4 f  A   f  , f  DRext  S  H   S    3) D  A   D  A  ,    4) Chú ý: 1   Do đặc biệt ta có kết quả: D  A   D  A  4     Chứng minh: 1) Chọn A :    '   đặt  : Khi B  Sect  ' với  '     2 ' B : A     ' 2   53 Suy ra:   sinh nửa nhóm C0 chỉnh hình bị chặn Theo giả thiết, A thỏa điều kiện  i  định lý 3.4.7 Áp dụng mệnh đề 1.7.2 ta có B Áp dụng hệ 3.5.1, tồn tích vơ hướng tương đương   để B m accretive cho N  A    A 2) Ta có: A  B  Khi đó, theo mệnh đề 3.3.2, A m    accretive tích 2 vơ hướng 3) Theo định lý Kato 3.3.4 ta có: D  A   D  B   D  B    D  A   , 0    Vậy tính chất 3) chứng minh,          4 ' 4 ' 4 h 4) Lấy f  DR  S   DR0  S   bị chặn Khi áp dụng mệnh đề 1.7.2 mệnh đề 3.2.6 ta có: f  A  1  f z     1   B   f  z       f S S '  f S 54 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong phần kết luận, tác giả tóm tắt lại nội dung mục tiêu đạt luận văn Chủ đề luận văn số kết tính đồng dạng cho tốn tử quạt khơng gian Hilbert Trong chương 1, tác giả hệ thống lại số khái niệm toán tử quạt, mệnh đề tốn tử quạt, khơng gian hàm chỉnh hình, natural functional calculus, tính bị chặn H  - calculus Ở chương 2, tác giả trình bày thơng tin tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert, bao gồm liên hợp (của tốn tử đa trị), toán tử accretive, định lý Lax-Milgram Sau phần kiến thức chuẩn bị chương 2, tác giả sử dụng kết từ lý thuyết tốn tử khơng gian Hilbert functional calculus để đạt số kết tính đồng dạng cho toán tử quạt chương Tác giả chứng minh Định lý Đồng dạng từ giải hai vấn đề đồng dạng nêu h Nhìn chung mục tiêu luận văn tác giả hoàn thành, nhiên hạn chế thời gian tính chất phức tạp vấn đề nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Luận văn hội để tác giả củng cố vận dụng kiến thức học vào đề tài cụ thể biết thêm số kiến thức Rất mong nhận góp ý quý thầy cô bạn bè 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Wolfgang Arendt, Shangquan Bu, and Markus Haase Functional calculus, variational methods and Liapunov’s theorem Arch.Math (Basel), 77(1):6575,2001 [2] David Albrecht, Xuan Duong, and Alan McIntosh Operator theory and harmonic analysis In Instructional Workshop on Analysis and Geometry, Part III (Canberra, 1995), pages 77–136 Austral Nat Univ., Canberra, 1996 [3] A V Balakrishnam, Fractional powers of closed operators and the semigroups generated by them, Pacific J Math., 10:419-437, 1960 [4] E.B.Davies One-Parameter Semigroups London Mathematical So-ciety, Monographs, No.15.London.etc.: Academic Press, A Sub-Sidiary of Hancourt Brace Jovanovich, Publisher VIII, 230 p.,1980 [5] S R Foguel A counterexample to a problem of Sz-Nagy Proc.Amer.Math.Soc.,15:788-790, 1998 h [6] Edwin Franks Modified Cauchy kermel and functional calculus for operators on Banach space J Austral Math Soc Ser A,63(1):91-99, 1997 [7] Markus Haase, The functional calculus for sectorial operators and similarity methods Dissertation, Universitat Ulm, January 2003 [8] Tosio Kato, Note on fractional powers of linear operators, Proc Japan Acad., 36:94-96, 1960 [9] Tosio Kato Fractional Powers of dissipative operators J Math Soc Japan, 13:246-274, 1961 [10] M A Krasnosel’skiĭ and P E Sobolevskiĭ, Fractional powers of operators acting in Banach spaces, Dokl, Akad, Nauk SSSR, 129:499-502, 1959 [11] J.-L Lions Espaces d’interpolation et domainesde puissances franctionares d’operateurs J Math Soc Japan, 14:233-241, 1962 [12] Christian Le Medry The similarity problem for bounded ana-lytic semigroups on Hilbert space Semigroups Forum, 56(2):205-224, 1998 [13] Mate Matolcsi On the relation of closed forms and Trotter’s prod-uct formula, 2003 To be published in J Funct Anal 56 * [14] Alan McIntosh On the cmparability of A and A Proc Amer Math Soc.,32:430-434, 1972 [15] Alan McIntosh, Operators which have an H  functional calculus, In Miniconference on operator theory and partial differential equations (North Ryde, 1986), pages 210–231 Austral Nat Univ., Canberra, 1986 [16] Alan McIntosh, Operator Theory - Spectra and Functional Calculi, February 18, 2010 [17] Bela de Sz.Nagy On uniformly bounded linear transformations in Hilbert space Acta univ.Szeged.,Acta Sci.Math.,11:152-157,1947 [18] Bela Sz-Nagy Completely continuos operators with uniformly bounded iterates Magyar Tud Akad Mat Kutato Int Kozl.,4:89-93, 1959 [19] Celso Martinez Carracedo and Miguel Sanz Alix The theory of fractional powers of operators North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 2001 [20] Walter Rudin Real and Complex Analysis 3rd ed New York,NY:McGrawHill Xiv, 416p., 1987 h [21] M Scheter Principles of Functional Analysis New York-London: Academic Press, 1971 [22] Hiroki Tanabe Equations of Evolution Translated from Japanese by N Mugibayashi and H Haneda Monographs and studies in Mathe-matics.6.LondonSan Francisco-Melbourne: Pitman.XII,260p., 1979 [23] Atsushi Yagi Coincidence entre des espaces d’interpolation et des domaines de puissances fractionares d’operateurs C R Acad Sci Paris Ser I Math.,299(6):173-176, 1984 [24] Kôsaku Yosida, Fractional powers of infinitesimal generators and the analyticity of the semigroups generated by them, Proc, Japan Acad., 36:86-89, 1960