(Luận văn thạc sĩ) một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình parabolic dạng divergence

Phương trình parabolic với hệ số không liên tục

Sự tồn tại nghiệm yếu và bổ đề phủ Vitali

Định nghĩa 1.1 Ta nói u ∈ V2(ΩT) là một nghiệm yếu của phương trình (1.1) nếu với mọiϕ∈C 0 ∞ (Ω T ),

Nếu điều kiện (1.2) được thỏa mãn và f thuộc L²(Ω T, Rⁿ), thì theo Định lý 1.2, tồn tại một nghiệm yếu duy nhất cho phương trình (1.1) Định nghĩa 1.3 chỉ ra rằng với 1 < p < ∞, hàm u thuộc W∗₁,p(Ω T) nếu u nằm trong W₀₁,p(Ω T) và tồn tại hàm F thuộc Lp(Ω T, Rⁿ) cùng với g thuộc Lp(Ω T) sao cho uₜ = div F - g trong Ω T theo nghĩa phân phối.

Hơn nữa, ta xác định chuẩn sau kuk W 1,p

Không gian H 1, 1 2 (Ω∞) với Ω∞ = Ω×(−∞,∞), bao gồm tất cả các phần tử u của

H 0 1 (Ω∞)sao cho tích phân sau hữu hạn

1 2 Định lý 1.4 ([4]) Nghiệm yếu u của phương trình (1.1) thuộc không gian W ∗ 1,2 (ΩT) với đánh giá kuk W 1,2

Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu phương trình u_t - div(A∇u) = divf trên miền QR với R > 0, đồng thời đánh giá tính chính quy của nghiệm Đầu tiên, chúng tôi sẽ trình bày lại bổ đề phủ Vitali tổng quát và chứng minh một dạng bổ đề phủ Vitali áp dụng cho trường hợp parabolic.

Bổ đề 1.5 (Bổ đề phủ Vitali - [2]) Cho 0< < 1và C ⊂D⊂B 1 là hai tập đo được, thỏa mãn hai điều kiện sau: i) |C|< |B 1 |; ii) ∀x∈B 1 nếu |C∩B r (x)| ≥|B r | thì B r (x)∩B 1 ⊂D.

Khi đó, ta có bất đẳng thức sau

Bổ đề 1.6 ([4]) Cho 0< 0 đủ nhỏ, sao cho:

C r (x,t) (x, t)∩A: (x, t)∈Ao là một phủ của A, nên theo bổ đề phủ Vitali, tồn tại một dãy rời nhau{C r i (x i , t i )∩C: (x i , t i )∈A} ∞ i=1 sao cho

Khi đó từ (1.7) ta có

Do đó, với mọir >0 ta có inf

|Cr(x, t)∩Q1|=|Cr(e1,0)∩Q1|. Mặt khác, dễ dàng kiểm tra được rằng h

⊂C r (e 1 ,0)∩Q 1 , nên ta suy ra được

Bất đẳng thức này kéo theo

Như vậy dẫn tới (1.10) được thỏa mãn Ngoài ra, theo (1.8) ta có

Vậy, bổ đề được chứng minh.

Các đánh giá địa phương

Bổ đề 1.7 Giả sử u là một nghiệm yếu của phương trình parabolic (1.3) trong Q 1 Khi đó tồn tại hằng số C >0 sao cho

Trước hết ta sẽ chứng minh bất đẳng thức trên cho trường hợp u là một hàm trơn. Xét hàm chặt cụt (cut-off function)η=η(x, t) thỏa mãn

Nhân hai vế của phương trình (1.3) cho η 2 u và lấy tích phân trên B 1 Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta thu được

Ta viết lại biểu thức trên dưới dạng

Ta lần lượt đánh giá các số hạng I 2 , I 3 và I 4 như sau

Từ đó ta suy ra

Do I 1 +I 2 =I 3 +I 4 nên ta suy ra được d dt

B 1 η 2 |∇u| 2 dx. Đến đây ta chọnτ đủ nhỏ để có được d dt

Lấy tích phân theo biến thời gian từ−1 đến 0và chú ý (1.11) ta có

|u| 2 +|f| 2 dxdt. Đến đây, trở lại trường hợp tổng quát khiulà nghiệm yếu của phương trình (1.3) trong

Có một dãy hàm trơn hội tụ vều, và các hàm này thỏa mãn bất đẳng thức đã đề ra Do đó, ta có thể suy ra rằng nghiệm yếuu cũng sẽ thỏa mãn điều kiện này Bổ đề đã được chứng minh hoàn tất.

Bổ đề 1.8 Giả sử u là một nghiệm yếu của phương trình parabolic (1.3) trong Q 1 Khi đó tồn tại hằng số C >0 sao cho kuk 2 W 1,2

Chứng minh Theo Định nghĩa 1.3 và Bổ đề 1.7 ta có đánh giá sau kuk 2

Vậy bổ đề được chứng minh. h

Bổ đề 1.9 khẳng định rằng nếu u là một nghiệm yếu của phương trình parabolic (1.3) trong miền Q1, thì tồn tại một hằng số C > 0, chỉ phụ thuộc vào số chiều, sao cho chuẩn L2 của u trong Q1 được giới hạn bởi một biểu thức liên quan đến chuẩn L2 của đạo hàm ∇u và chuẩn L2 của hàm f trong cùng miền Q1.

Chứng minh Chúng ta chứng minh mệnh đề trên bằng phản chứng Giả sử rằng, tồn tại các dãy {A k } ∞ k=1 , {u k } ∞ k=1 , {f k } ∞ k=1 sao cho u k là một nghiệm yếu của phương trình

(u k ) t −div(A k ∇u k ) = divf k trongQ 1 và tồn tại số nguyên k để u k −u k Q 1

Ta có thể chuẩn hóa sao cho u k −u k Q 1

6C và k∇u k k 2 L 2 (Q 1 )+kf k k 2 L 2 (Q 1 )≤ 1 k −→0 khi k −→+∞ (1.13) Lấyu◦ là giới hạn yếu của {u k −u k Q 1 } Khi đó ta có

Bây giờ ta cần chứng minhu◦ là nghiệm yếu của phương trình

(u◦) t = 0 trong Q 1 (1.15) Để làm điều này, ta chọn bất kỳ hàm ϕ∈C 0 ∞ (Q 1 ) Khi đó theo (1.12) ta được

Q 1 u◦ϕ t dxdt= 0, điều này cho thấy biểu thức (1.15) là thỏa mãn Theo (1.14) ta suy rau◦ = 0, điều này mâu thuẫn Vậy, bổ đề được chứng minh.

Các đánh giá so sánh

Giả sửv là nghiệm trơn của phương trình vt−div AQ 4∇v

Bổ đề 1.10 Với mọi > 0 bất kỳ, tồn tại δ = δ() >0 sao cho với mọi nghiệm yếu u của phương trình parabolic (1.3) trong Q 5 thỏa hai điều kiện

2 dxdt6δ 2 , (1.18) ta có đánh giá

Để chứng minh mệnh đề, chúng ta sử dụng phương pháp phản chứng Giả sử rằng tồn tại một số dương ◦ >0 cùng với các dãy {Ak} ∞ k=1, {uk} ∞ k=1 và {fk} ∞ k=1, trong đó {uk} là một nghiệm yếu của phương trình đã cho.

(u k ) t −div(A k ∇u k ) = divf k trong Q 5 thỏa mãn hai điều kiện

Q 4 ku k −v k k 2 dxdt> 2 ◦ , (1.21) h trong đó v k là nghiệm trơn của phương trình

Từ (1.17), áp dụng Bổ đề 1.8 và Bổ đề 1.9, ta có{u k −u k Q 4 } ∞ k=1 bị chặn trongW ∗ 1,2 (Q 4 ).

Do đó, tồn tại dãy con mà ta vẫn kí hiệu là {u k −u k Q 4 }, sao cho u k −u k Q 4 −→u ◦ trong L 2 (Q 4 ) và u k −u k Q 4 * u ◦ trong W ∗ 1,2 (Q 4 ) (1.23)

Do {A k Q 4 } bị chặn, tồn tại dãy con mà ta vẫn kí hiệu là {A k Q 4 } ∞ k=1 , sao cho

Nhưng khi đó, từ (1.18), ta có

Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng u◦ là nghiệm yếu của

(u◦)t−div(A◦∇u◦) = 0 trong Q4 (1.26) Để làm được điều này, chọn hàm thửϕ∈C ◦ ∞ (Q 4 ) Từ (1.20), ta có

Cho k−→ ∞, sử dụng (1.23), (1.24) và (1.20) ta thu được:

A◦∇u◦ã ∇ϕ dxdt= 0, Điều này chỉ ra rằng u◦ là nghiệm yếu của phương trình (1.26) Chú ý rằng trongQ 4

=−div[(A k Q 4 −A◦)∇u◦], h trong đó ta đã sử dụng (1.26) Bây giờ ta lấy h k là nghiệm của

(1.27) và ta khẳng định rằngu◦−h k là nghiệm của

= 0 trong Q 4 (1.28) Để chứng minh khẳng định trên, chọn bất kỳ ϕ∈C 0 ∞ (Q4) Trong (1.26) và (1.27),

= 0, suy ra (1.28) Hơn nữa từ (1.27) ta có kh k k L 2 (Q 4 ) 6kh k k H 1,2 (Q 4 )

Từ đánh giá này và cùng với các kết quả gới hạn trong (1.23), (1.24), ta khẳng định k(u k −u k Q 4 )−(u k −h k )k L 2 (Q 4 ) −→0 khi k −→ ∞. Điều này mâu thuẫn với (1.21) bởi (1.28) Vậy, bổ đề được chứng minh. h

Hệ quả 1.11 Với mọi >0 bất kỳ, tồn tại δ =δ()> 0 sao cho với bất kỳ nghiệm yếu u của phương trình parabolic (1.3) trong Q 5 thỏa

2 dxdt6δ 2 (1.29) ta có đánh giá ku−vk 2 W 1,2

Chứng minh.Trong biểu thức (1.29) và Bổ đề 1.9, tồn tại nghiệmv của phương trình v t −div A Q 4 ∇v

Trước hết, ta chỉ ra rằngw=u−v là một nghiệm yếu của phương trình w t −div(A∇w) = div f −(A−A Q 4 )∇v

Thật vậy, chọnϕ∈C ◦ ∞ (Q 4 ) Khi đó ta có

Q 4 f + (A−AQ 4)∇v ã ∇ϕ dxdt, từ đó suy ra được (1.33) Mặt khác, theo Bổ đề 1.8 ta khẳng định rằng ku−vk 2 W 1,2

Ta thu được đánh giá (1.30) từ (1.32), (1.29) và Bổ đề 1.10 h

Bất đẳng thức dạng “level sets”

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chứng minh một bất đẳng thức dạng “level sets” nhằm xác định tính chính quy của nghiệm cho phương trình parabolic Bất đẳng thức này được phát triển dựa trên toán tử cực đại Hardy-Littlewood, và sẽ được trình bày ngay sau đây Định nghĩa 1.12 chỉ ra rằng, với hàm f(x, t) là hàm khả tích địa phương, chúng ta có thể áp dụng những kết quả này để phân tích sâu hơn về tính chất của nghiệm.

|f(y, s)|dyds được gọi là hàm cực đại Hardy-Littlewood parabolic của hàm f.

Dưới đây là hai kết quả cơ bản về tính bị chặn của hàm cực đại parabolic mà chúng ta sẽ sử dụng sau này

(i) Nếu f(x, t)∈L p (R n ×R) với p >1, thì Mf ∈L p (R n ×R) Hơn nữa, kMfk L p ≤Ckfk L p (ii) Nếu f(x, t)∈L 1 (R n ×R), thì

Bổ đề 1.13 nêu rõ rằng tồn tại một hằng số N1, với mọi ε > 0, sẽ có một δ = δ(ε) > 0, đảm bảo rằng với mọi nghiệm yếu u của phương trình u_t − div(A∇u) = divf trong miền Ω_T = Ω × (a, a + T] ⊃ Q9(0,2), hai giả thiết đã nêu sẽ được thỏa mãn.

L2(Q 9(0 ,2)) 6δ 2 , (1.36) thì ta có đánh giá

Từ điều kiện (1.35), ta thấy rằng tồn tại điểm (x◦, t◦)∈Q 1 sao cho

Do Q 5 (0,2)⊂C 7 ∩Ω T ⊂C 8 (x◦, t◦)∩Ω T , nên từ (1.38) ta có

Tương tự, ta thấy rằng

Khi đó, theo Hệ qủa 1.11 với các giả thiết (1.39), (1.40) và (1.36), tồn tại nghiệm trơn v của phương trình v t −div A Q 4 ∇v

= 0 trong Q 4 (0,2) (1.41) sao cho ku−vk 2 W 1.2

Khi đó theo (1.41), ta có thể sử dụng đánh giá địa phương và

|v| 2 dxdt6C để thấy rằng tồn tại một hằng sốN◦ sao cho sup

Bây giờ ta chọn N 1 2 = max{4N ◦ 2 ,2 n+2 } và sẽ chứng minh rằng

Ta chứng minh bất đẳng thức này, ta giả sử

Với r62, C r (x 1 ;t 1 )⊂Q 3 (0,2) và từ (1.43), (1.45), ta có

= 4N ◦ 2 Với r >2,Cr(x1;t1)⊂C2r(x◦, t◦)và từ (1.38), ta có

6 2 n+2 Điều này chứng tỏ rằng

Khi đó, khẳng định (1.44) được suy ra từ (1.45) và (1.46) Từ (1.44) và đánh giá yếu

1−1 dạng parabolic ta thu được

Cuối cùng từ đánh giá này và theo (1.42) ta có điều phải chứng minh.

Bổ đề 1.14 Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.3) trong miền Ω T và C là một hình lập phương parabolic thỏa 9C ⊂ΩT Khi đó, nếu

Hệ quả 1.15 Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.3) trong Ω T ⊃ Q 9 (0,2). Giả thiết rằng điều kiện sau đây thỏa mãn

Với k là một số nguyên dương và đặt 1 = 10 n+2 Khi đó ta có

Chứng minh.Ta chứng minh mệnh đề này bằng quy nạp Rõ ràng mệnh đề này đúng trong trường hợpk = 1 theo Bổ đề 1.14 và Bổ đề 1.6 với

Giả sử mệnh đề đúng với k nguyên dương Ta định nghĩa eu = u

N 1 tương ứng Khi đóuelà nghiệm yếu của phương trình (1.3) trongQ 9 (0,2)và thỏa mãn

Theo giả thiết quy nạp, ta có

(x, t)∈Q1 :M|∇u| 2 >1 , suy ra mệnh đề đúng vớik+ 1.

Vậy theo phép chứng minh quy nạp thì kết luận đúng với mọi giá trị nguyên dươngk.

Kết quả chính quy nghiệm địa phương

Định lý 1.16 xác định rằng với số thực p trong khoảng 2 0 Nếu u ∈ W * 1,2 là nghiệm yếu của phương trình parabolic ut - div(A∇u) = divf trong miền Q9(0,2), với [A] BMO ≤ δ và P là toán tử parabolic đồng đều, đồng thời f ∈ Lp(Q9(0,2); Rn), thì có thể khẳng định rằng ∇u ∈ Lp(Q1) và thỏa mãn bất đẳng thức k∇ukLp(Q1) ≤ CkukLp(Q9(0,2)) + kfkLp(Q9(0,2)).

Chứng minh Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng

> N 1 2 < |Q 1 | bằng cách nhân phương trình (1.47) cho một hằng số nhỏ nếu cần thiết Do f ∈

L p (Q 9 (0,2)) nên M(|f| 2 )∈L p 2 (Q 9 (0,2)) Theo Bổ đề 0.1, ta có

L p 2 (Q ( (0,2)))6C, (1.48) h trong đó C là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào δ, N 1 2 và p Mặt khác, ta có đánh giá

Để chứng minh định lý chính của chương này, ta áp dụng Hệ quả 1.15 và đánh giá (1.48), chọn sao cho N 1 p 1 < 1 Kết quả này cùng với Bổ đề 0.1 cho thấy M|∇u| 2 ∈ L p 2 (Q 9 (0,2)), dẫn đến ∇u ∈ L p (Q 9 (0,2)) Định lý 1.17 khẳng định rằng với số thực p thỏa mãn 1 0 Nếu u là nghiệm yếu của phương trình parabolic u t − div(A∇u) = divf trong Q 9 (0,2) với [A] BM O ≤ δ, toán tử P là parabolic đều và f ∈ L p (Q 9 (0,2); R n), thì u ∈ W ∗ 1,p (Q 1) và có đánh giá kuk W 1,p.

Kết quả cho trường hợp p = 2 là cổ điển, trong khi trường hợp 1 2 Theo Định nghĩa 1.3 và Định lý 1.16, với sự chú ý rằng u t = div(A∇u + f) trong Q1, ta có thể đưa ra đánh giá kuk W 1,p.

6kuk L p (Q 1 ) +C kuk L p (Q 9 (0,2)) +kfk L p (Q 9 (0,2)) + 2kAk L ∞ (Q 1 ) k∇uk L p (Q 1 ) + 2kfk p L p (Q 1 )

. Định lý đã được chứng minh. h

Phương trình với hệ số BMO trên miền Lipschitz

Bổ đề phủ Vitali

Định lý 2.1 ([10]) Cho 0< 0 đủ nhỏ sao cho

C r (x,t) (x, t)∩A: (x, t)∈Ao là phủ củaA, ta áp dụng bổ đề phủ Vitali’s, tồn tại một dãy rời nhau{Cr i(xi, ti)∩C: (xi, ti)∈A} ∞ i=1 cho sao

Khi đó, từ (2.5) ta thấy rằng

Do đó với mọir >0 ta có, inf (x,t)∈Q +

Mặt khác dễ dàng kiểm tra được rằng

|= 2 −(n+3) |C r (x, t)|, bất đẳng thức này kéo theo

Từ đó dẫn đến (2.8) được thỏa mãn Sau cùng, từ (2.6), (2.7), (2.8) và (2.4), ta có kAk

≤ 2(10) n+2 |B|,Vậy, định lý được chứng minh.

Định nghĩa 2.2 [[10]] Ta nói rằng u ∈ W ∗ 1,2 (Q + R ) là một nghiệm yếu của phương trình (2.46) nếu

Bổ đề sau cho thấy rằng nghiệm yếuucủa chúng ta mang tính địa phương trongW 1,∞

Bổ đề 2.3 Giả sử u là một nghiệm yếu của phương trình (2.46) Khi đó ta có

Trước hết ta sẽ chứng minh bất đẳng thức trên cho trường hợp u là một hàm trơn. Xét hàm chặt cụt (cut-off function)η=η(x, t) thỏa mãn

Bây giờ ta nhân phương trình (2.46) choη 2 u Sau đó lấy tích phân từng phần trên B 1 + h

Ta lần lượt đánh giá các số hạng I 2 , I 3 và I 4 như sau

Do I 1 +I 2 =I 3 +I 4 nên ta suy ra được d dt

B + 1 η 2 |∇u| 2 dx đến đây ta chọn τ đủ nhỏ để có được d dt

|u| 2 +|f| 2 dxdt. Đến đây, trở lại trường hợp tổng quát khiulà nghiệm yếu của phương trình (2.1) trong

Có một dãy hàm trơn hội tụ về u, và các hàm này thỏa mãn bất đẳng thức đã nêu Do đó, nghiệm yếuu cũng thỏa mãn điều kiện này Như vậy, bổ đề đã được chứng minh hoàn tất.

Bổ đề 2.4 Cho u ∈ W ∗ 1,2 Q + 1 là một nghiệm yếu của phương trình (2.46) Khi đó tồn tại hằng sốC sao cho kuk 2

Theo Định nghĩa 2.2 và Bổ đề 2.3, ta có kuk 2

Vậy bổ đề được chứng minh. h

Bổ đề 2.5 Cho u ∈ W ∗ 1,2 Q + 1 là một nghiệm yếu của phương trình (2.46) Khi đó tồn tại một hằng số C phụ thuộc vào số chiều sao cho kuk 2 L 2 (Q + 1 ) 6C k∇uk 2 L 2 (Q +

Chứng minh Chúng ta chứng minh mệnh đề trên bằng phản chứng Giả sử rằng, tồn tại các dãy {A k } ∞ k=1 , {u k } ∞ k=1 , {f k } ∞ k=1 sao cho u k là một nghiệm yếu của phương trình

(2.11) và tồn tại số nguyênk để ku k k 2 L 2 (Q + 1 )>k k∇u k k 2 L 2 (Q + 1 )+kf k k 2 L 2 (Q + 1 )

Ta có thể chuẩn hóa sao choku k k L 2 (Q + 1 )= 1, ta có kukk 2 W 1,2

6 C và k∇ukk 2 L 2 (Q + 1 )+kfkk 2 L 2 (Q + 1 )≤ 1 k −→0 khi k −→+∞ (2.12) Lấyu◦ là giới hạn yếu của {u k } Khi đó ta có

Bây giờ ta chứng minh rằngu◦ là nghiệm yếu của phương trình

(2.14) Để làm điều này, ta chọn bất kỳ hàm ϕ∈C 0 ∞ (Q + 1 ) Khi đó theo (2.11) ta được

Q + 1 u◦ϕ t dxdt= 0, điều này cho thấy biểu thức (2.14) là thỏa mãn Theo điều kiện (2.13) và (2.14) suy ra u◦ = 0, điều này mâu thuẫn.

Giả sửv là một nghiệm trơn của

Bổ đề 2.6 Cho > 0 bất kỳ, có một số δ = δ() >0 sao cho với bất kỳ nghiệm yếu u∈W ∗ 1,2 (Q + 5 ) nào của phương trình (2.46) thỏa

Chứng minh Chúng ta chứng minh bổ đề này bằng phản chứng.

Giả sử rằng, tồn tại ◦ > 0, {A k } ∞ k=1 , {u k } ∞ k=1 và {f k } ∞ k=1 sao cho u k là một nghiệm yếu của phương trình

Nhưng, với nghiệm tùy ýv k của phương trình

Từ các Bổ đề 2.4, Bổ đề 2.5,{uk} ∞ k=1 là biên trongW ∗ 1,2 (Q + 4 ).

Do đó, tồn tại dãy con mà ta cũng kí hiệu là{u k }, sao cho u k −→u◦ trong L 2 (Q + 4 ) và u k * u◦ trong W ∗ 1,2 (Q + 4 ) (2.22)

4} là biên, tồn tại dãy con mà ta cũng kí hiệu là {A k Q +

Nhưng khi đó, từ (2.20), ta có

Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng u◦ là nghiệm của

(2.25) Để làm được điều này, chọnϕ∈C ◦ ∞ (Q + 4 ) Từ (2.19), ta có

Cho k−→ ∞ và từ (2.20), (2.23) và (2.24) ta có

A◦∇u◦ã ∇ϕ dxdt= 0, Điều này chứng tỏ (2.25) thỏa mãn Chú ý rằng trongQ + 4

4 −A◦)∇u◦], h trong đó ta đã sử dụng (2.25) Bây giờ ta lấy h k là nghiệm của

(2.26) và ta khẳng định rằngu◦−hk là nghiệm của

(2.27) Để chứng minh khẳng định trên, chọn bất kỳ ϕ∈C 0 ∞ (Q + 4 ).Trong (2.25) và (2.26),

= 0, từ đó suy ra (2.27) Hơn nữa từ (2.27) ta có kh k k L 2 (Q + 4 ) 6 kh k k H 1,2 (Q + 4 )

Do vậy k(uk)−(uk−hk)k L 2 (Q + 4 ) 6 k(uk)−u◦k L 2 (Q + 4) +khkk L 2 (Q + 4 )

Từ đánh giá này và cùng với các kết quả gới hạn trong (2.23), (2.24), ta khẳng định k(u k )−(u k −h k )k L 2 (Q + 4 )−→0 khi k −→ ∞. Điều này mâu thuẫn với (2.22) do (2.27)

Vậy, bổ đề được chứng minh. h

Hệ quả 2.7 Cho >0 bất kỳ, có một số δ=δ()>0 sao cho với bất kỳ nghiệm yếu u của phương trình

 u t −div(A∇u) = 0 trong Q + 5 u = 0 trên T 5 ∗ thỏa mãn điều kiện

Khi đó tồn tại một nghiệm trơn v của

4∇v) = 0 trong Q + 4 v = 0 trên T 4 ∗ sao cho kuk 2

Chứng minh.Trong biểu thức (2.28) và Bổ đề 2.6, tồn tại nghiệm trơnv của phương trình

(2.30) Trước hết, ta chứng tỏ rằngw=u−v là một nghiệm yếu của phương trình

Thật vậy, chọnϕ∈C ◦ ∞ (Q + 4 ) Khi đó ta có

4)∇vi ã ∇ϕ dxdt, từ đó suy ra được (2.31) Mặt khác, theo Bổ đề 2.4 suy ra ku−vk 2 W 1,2

.Cuối cùng, từ (2.30) và (2.28) ta có kết luận (2.29))

Trong phần này, chúng ta sẽ chứng minh lại bất đẳng thức dạng "level sets" nhằm xác nhận tính chính quy của nghiệm cho phương trình parabolic Bất đẳng thức này được phát triển dựa trên toán tử cực đại Hardy-Littlewood đã được trình bày trong chương 1.

Bổ đề 2.8 nêu rõ rằng tồn tại một hằng số N1, với bất kỳ ε > 0, luôn có δ = δ(ε) > 0 Nếu u là nghiệm yếu của phương trình u_t - div(A∇u) = div f trong miền Ω_T = Ω × (a, a + T] với Ω_T bao gồm Q + 9 (0,2), thì giả thiết đã được đề cập sẽ được thỏa mãn.

(2.33) khi đó, ta có đánh giá

Chứng minh Từ điều kiện (2.33), ta thấy rằng tồn tại điểm (x◦, t◦)∈Q + 1 sao cho

Trong khi Q + 5 (0,2)⊂C 7 + ∩Ω T ⊂C 8 + (x◦, t◦)∩Ω T , từ (2.35) ta có

Khi đó, theo Hệ qủa 2.7, các điều kiện (2.36), (2.37) và (2.33),tồn tại nghiệm trơn v của phương trình

= 0 trong Q + 4 (0,2) v = 0 trên T 4 ∗ (0,2) sao cho ku−vk 2 W 1.2

Bây giờ ta có thể sử dụng đánh giá địa phương và

|v| 2 dxdt6C để thấy rằng tồn tại một hằng sốN ◦ sao cho sup

Bây giờ ta chọn N 1 2 = max{4N ◦ 2 ,2 n+2 } và yêu cầu

{(x, t)∈Q + 1 : M(|∇u| 2 )> N 1 2 } ⊂ {(x, t)∈Q + 1 : M(|∇(u−v)| 2 )> N 0 2 } (2.40) Để kiểm tra điều kiện này, ta giả sử

Cho r62, C r + (x 1 ;t 1 )⊂Q + 3 (0,2)và từ (2.39), (2.41), ta có

Cho r >2, C r + (x 1 ;t 1 )⊂C 2r + (x◦, t◦)và từ (2.35), ta có

Khi đó, khẳng định (2.40) được suy ra từ (2.39) và (2.42) Từ (2.40) và đánh giá 1 - 1 dẫn đến

Cuối cùng từ đánh giá này và theo (2.38) ta có điều phải chứng minh.

Từ bây giờ ta giả sử Q + 9r (0,2r 2 )⊂Ω T đểΩ T ∩Q 9r (0,2r 2 ) = Q + 9r (0,2r 2 )và u= 0 trên T 9r + (0,2r 2 ).

Hệ quả 2.9 Giả sử u∈H 1 (Q + 9r (0,2r 2 )) là một nghiệm yếu của

 u t −div(A∇u) = divf trong Q + 9r (0,2r 2 ) u = 0 trˆen T 9r ∗ (0,2r 2 ) với

6δ 2 Khi đó ta luôn có tính chất sau:

Bổ đề 2.10 Nếu u là một nghiệm yếu của

 u t −div(A∇u) = divf trong Q + 9 (0,2) u = 0 trên T 9 ∗ (0,2) và giả thiết rằng điều kiện sau đây luôn thỏa mãn: mỗi (x, t)∈ {(x, t)∈Q + 1 :M(|∇u| 2 )(x, t)> N 1 2 } với

|{(x, t)∈Q + 1 : M(|∇u| 2 )(x, t)> N 1 2 } ∩C r (x, t)| ≥|C r | (2.43) thì ta có khẳng định sau

Chứng minh Ta chứng minh bổ đề trên bằng phản chứng Nếu C r (x, t) thỏa mãn (2.43) và kết luận (2.44) sai, tồn tại một(x ◦ , t ◦ )∈C r (x, t)∩Q + 1 sao cho

NếuC9r(x, t)∩ {xn = 0}= ∅, đây là một đánh giá bên trong (xem chương 9) Giả sử rằng(x 0 ,0, t)∈C 9r (x, t)∩∂Q + 1 Bây giờ quan sátC 9r + (x, t)⊂C 11r + (x◦, t◦)⊂C 22r (x 0 ,0, t) để thấy rằng

Q + 9 (0,2)⊃C 198r + (x 0 ,0, t)⊃C 22r + (x 0 ,0, t)⊃C r (x, t)∩Q + 1 h Áp dụng Hệ quả 2.9 cho tâm parabolicC 22r + (x 0 ,0, t) với thay bằng 22 n+2 , ta có

= |C r |, điều này mâu thuẫn với (2.43) Vậy, bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 2.11 Giả sử u là một nghiệm yếu của

 u t −div(A∇u) = divf trong Q + 9 (0,2) u = 0 trˆen T 9 ∗ (0,2).

(2.45) và giả thiết rằng điều kiện sau đây thỏa mãn

Lấyk là một số nguyên dương và 1 = 10 n+2 Khi đó ta có

Chứng minh.Ta chứng minh mệnh đề này bằng quy nạp Rõ ràng mệnh đề này đúng trong trường hợpk = 1 theo Hệ quả 2.9 và Định lý 2.1 với

Giả sử kết luận đúng vớik nguyên dương.Ta định nghĩaue= u

. Khi đóuelà nghiệm yếu của phương trình (2.45) trong Q 9 (0,2)và thỏa mãn

Theo giả thiết quy nạp, ta có

(x, t)∈Q + 1 :M|∇u| 2 >1 , suy ra kết luận đúng vớik+ 1

Vậy theo phép quy nạp thì kết luận đúng với mọi giá trị nguyên dương k.

Kết quả chính quy nghiệm trên miền Lipschitz

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá tính chính quy nghiệm của phương trình parabolic trên miền Lipschitz Trước tiên, chúng ta sẽ nhắc đến hai khái niệm quan trọng liên quan đến miền Lipschitz Định nghĩa 2.12 ([4]) chỉ ra rằng một hàm được gọi là hàm liên tục Lipschitz nếu

|x−y| γ(x 0)} trong một hệ tọa độ nhất định.

Giả sử rằng r 0 = 1 trong các chứng minh, vì δ là bất biến tỉ lệ Định lý 2.14 chỉ ra rằng với p là một số thực trong khoảng (1 < p < ∞), tồn tại một số dương δ = δ(p) sao cho nếu u là nghiệm yếu của phương trình parabolic PDE (2.1), với [A] BM O ≤ δ, và toán tử P là Parabolic đều, đồng thời f thuộc L p (Ω T ; R n), thì miền Ω thỏa mãn các điều kiện cần thiết.

∂Ω : (δ,1)−Lipschitz; thì u∈W ∗ 1,p (ΩT) và ta có đánh giá sau kuk W 1,p

∗ (Ω T ) ≤Ckfk L p (Ω T ) , trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào u và f.

Chúng ta sẽ thiết lập đánh giá trên biên L p cho gradient của nghiệm yếu u trong

Để giải quyết bài toán Dirichlet, chúng ta bắt đầu với phương trình Q + 1 = B 1 + ×(−1,0]; sau đó áp dụng tiêu chuẩn đếm gộp, phủ và làm bẹt góc để lấy đánh giá trên xung quanh biên Đối với đánh giá ở đáy và góc của biên, chúng ta chỉ mở rộng các nghiệm bằng không và chỉ xem xét trường hợp p > 2 Trường hợp 1 < p < 2 có thể dễ dàng nghiên cứu nhờ vào tính đối ngẫu, trong khi p = 2 là trường hợp cơ bản Chúng ta sẽ sử dụng bổ đề phủ Vitali để tập trung vào nghiên cứu bài toán này.

(2.46) Định lý 2.15 Cho p là một số thực với 2 r Khi đó, tồn tại (y, τ)∈∂ p Ω T sao cho dist[(x, t), ∂Ω T ] =dist[(x, t),(y, τ)]< r Nếu ∂Ω là (δ,1)- miền phẳng Reifenberg, chúng ta không mất tính tổng quát để giả định điều này.

C r (x, t)∩ {x n > δ} ⊂C r (x, t)∩Ω⊂C r (x, t)∩ {x n >−δ} trong một số hệ tọa độ phù hợp mày= 0 Khi đó từ cơ sở hình học và một phép tính toán đơn giản, ta thấy rằng

, h từ điều này dẫn đến biểu thức (3.8) Cuối cùng, từ (3.6), (3.7),(3.8) và (3.3) , ta có

|B|,Vậy, định lý được chứng minh.

Định nghĩa 3.2 ([10]) Ta nói rằng∂Ω là (δ, R)- Reifenberg (miền phẳng) nếu với mỗi x∈∂Ωvà mỗi r ∈(0, R], tồn tại một mặt(n−1) chiềuL(x, r) sao cho

D(∂Ω∩Br(x), L(x, r))6rδ, trong đó, D làkhoảng cách Hausdorff; Tức là

D(A, B) = sup{dist(a, B) : a∈A}+ sup{dist(b, A) : b ∈B}. Định nghĩa 3.3 ([11]) Ta nói rằng u ∈ W ∗ 1,2 (Ω T ) là một nghiệm yếu của phương trình (3.1) nếu

Sau đây là sự tồn tại và sự duy nhất của nghiệm yếu này. h

Bổ đề 3.4 ([11]) Tồn tại duy nhất một nghiệm yếu của (3.1) Ta sẽ tập trung nghiên cứu trên miềm Ω ∗ R và đối với một nghiệm yếu của

(3.9) Định nghĩa 3.5 ([10]) Ta nói u∈W ∗ 1,2 (Ω ∗ R )là một nghiệm yếu của (3.9) nếu

Bổ đề sau cho thấy gradient của nghiệmu là biên địa phương trong không gian L 2

Bổ đề 3.6 Giả thiết rằng u∈W ∗ 1,2 (Ω ∗ 2 ) là một nghiệm yếu của (3.9) Khi đó ta có

Chứng minh Trước hết ta sẽ chứng minh bất đẳng thức trên cho trường hợp u là một hàm trơn Xét hàm chặt cụt (cut-off function)η=η(x, t) thỏa mãn

Ta nhân hai vế phương trình (3.9) cho η 2 u Sau đó lấy tích phân trên Ω 2 Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta thu được

Ta lần lượt đánh giá các số hạng I 2 , I 3 và I 4 như sau:

Do I 1 +I 2 =I 3 +I 4 nêu dẫn đến d dt

Ω 2 η 2 |∇u| 2 dx đến đây ta chọn τ đủ nhỏ để có được d dt

|u| 2 +|f| 2 dxdt. h Đến đây, trở lại trường hợp tổng quát khiulà nghiệm yếu của phương trình (3.1) trong

Ω ∗ 2 , tồn tại một dãy hàm trơn hội tụ về u Các hàm trơn này thỏa mãn bất đẳng thức trên nên ta suy ra được nghiệm yếu ucũng thỏa mãn.

Vậy, bổ đề được chứng minh xong.

Bổ đề 3.7 Cho u là nghiệm yếu của phương trình parabolic PDE

Khi đó ta có kuk 2 W 1,2

Chứng minh Theo Định nghĩa (1.3) và bổ đề trước, ta có đánh giá sau kuk 2

≤ kuk 2 L 2( Ω ∗ 1) +k∇uk 2 L 2( Ω ∗ 1) + 2kAk 2 L ∞( Ω ∗ 1)k∇uk 2 L 2( Ω ∗ 1) + 2kfk 2 L 2( Ω ∗ 1)

Vậy bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 3.8 Cho u là nghiệm yếu của

 u t −div(A∇u) = divf trong Ω ∗ 1 u = 0 trên ∂ ω Ω ∗ 1 Khi đó tồn tại hằng số C phụ thuộc vào chiều không gian sao cho kuk 2 L 2 (Ω ∗ 1 ) 6C kuk 2 L 2 (Ω ∗ 1 )+kfk 2 L 2 (Ω ∗ 1 )

Chúng ta sẽ chứng minh bổ đề trên bằng phương pháp phản chứng Giả sử tồn tại các dãy {Ak} từ k=1 đến vô cùng, {uk} từ k=1 đến vô cùng, và {fk} từ k=1 đến vô cùng sao cho k là một nghiệm yếu của phương trình.

(uk)t−div(Ak∇uk) = divfk trong Ω ∗ 1 uk = 0 trên ∂ωΩ ∗ 1

Ta có thể chuẩn hóa sao choku k k L 2 (Ω ∗ 1 ) = 1, và ta có ku k k 2 W 1,2

6 C và k∇u k k 2 L 2 (Ω ∗ 1 )+kf k k 2 L 2 (Ω ∗ 1 ) ≤ 1 k −→0 khi k−→+∞ (3.12) Lấyu◦ là giới hạn yếu của dãy {u k } Khi đó ta có

Bây giờ ta cần chứng minh rằngu◦ là nghiệm yếu của phương trình

(3.14) Để làm điều này, ta chọn bất kỳ hàm ϕ∈C 0 ∞ (Ω ∗ 1 ) Khi đó theo (3.11) ta được

Ω ∗ 1 u ◦ ϕ t dxdt= 0, điều này cho thấy biểu thức (3.14) là thỏa mãn.

Khi đó theo điều kiện (3.14) và (3.13) ta suy ra u◦ = 0, điều này mâu thuẫn.

Bổ đề 3.9 Với >0 bất kỳ, tồn tại δ=δ()>0 sao cho với bất kỳ nghiệm yếu của

 u t −div(A∇u) = divf trong Ω ∗ 5 u = 0 trên ∂ ω Ω ∗ 5 h thỏa mãn các điều kiện

(3.16) khi đó, tồn tại ma trận hằng số Aevới |A Ω ∗

5 −A|e 6 và nghiệm trơn v tương ứng của

 v t −div(A∇v) = 0e trong Q + 4 v = 0 trên T 4 ∗ sao cho, ta có đánh giá sau

Chứng minh Chúng ta chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử rằng, tồn tại ◦ > 0, {A k } ∞ k=1 , {u k } ∞ k=1 và {f k } ∞ k=1 sao cho u k là một nghiệm yếu của phương trình

(uk)t−div(Ak∇uk) = divfk trong Ω k∗ 5 uk = 0 trên ∂ωΩ k∗ 5

(3.18) và thỏa mãn điều kiện

|u k −v| 2 dxdt > 2 ◦ (3.20) cho bất kỳ ma trận hằng sốAnào thỏa

5 −Ae và nghiệmvtương ứng của phương trình

Từ các Bổ đề 3.7, Bổ đề 3.8,{u k } ∞ k=1 là biên trongW ∗ 1,2 (Q + 4 ).

Do đó, tồn tại dãy con mà ta cũng kí hiệu là{u k }, sao cho uk* u◦ trong L 2 (W ∗ 1,2 (Q + 4 )) và uk−→u◦ trong L 2 (Q + 4 ) (3.22) h

4} ∞ k=1 là biên, tồn tại dãy con mà ta cũng kí hiệu là {A k Q +

Nhưng khi đó, từ (3.23) và (3.19), ta có

A k →A◦ trong L 2 (Q + 4 ) (3.24) Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng u◦ là nghiệm yếu của

(u◦) t −div(A◦∇u◦) = 0 trong Q + 4 với u◦ = 0 trên T 4 ∗ (3.25) Để làm được điều này, ta cố định bất kỳ ϕ ∈ C ◦ ∞ (Q + 4 ) và mở rộng ϕ = 0 bên ngoài

Vậy, tóm lại ta có

Chú ý rằngϕ∈C ◦ ∞ (Q + 4 ) với Q + 4 ⊂Ω ∗ 4 và cho k −→ ∞, khi đó từ (3.26) ta thu được

Bây giờ, cố định bất kỳ một số dương nhỏθvàτ ∈(−16,0], lấyx 0 ∈T 4 =B 4 ∩{x n = 0}, Đặts◦ = min{α: ∂Ω 4 ∩ {x 0 , θ−s} 6=∅}.

Khi đó0< s◦ < θ+ 1 k Chú ý rằng u k (ã, τ)∈ {ω∈C ∞ (B 5 ) :ω = 0 trờn Ω k 5 } trong H 1 (B 5 ).

Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng u k (ã, τ)∈C 1 (B 5 )vu k (x 0 , θ−s◦, τ) = 0. h

Lấy tích phân trên T 4 ∗ =T 4 (−16,0]ta được

|u k (x 0 ,0, τ)| 2 dx 0 dτ = 0, điều này kéo theo u ◦ = 0 trên T 4 ∗ (3.28)

Từ (3.27) và (3.28) suy ra (3.25) Cuối cùng ta có một mâu thuẫn với (3.20) bởi

Vậy, bổ đề được chứng minh. h

Hệ quả 3.10 Với > 0 bất kỳ, tồn tại δ = δ() > 0 sao cho với bất kỳ nghiệm yếu của

 ut−div(A∇u) = divf trong Ω ∗ 5 u = 0 trên ∂ωΩ ∗ 5 thỏa mãn các điều kiện

(3.29) khi đó, tồn tại ma trận hằng số Aethỏa |AΩ ∗ 5 −A|e 6 và nghiệm trơn v tương ứng của

 v t −div(A∇v) = 0e trong Q + 4 v = 0 trên T 4 ∗ sao cho ta có đánh giá sau ku−Vk 2 W 1,2

∗ (Ω ∗ 2 ) 6 2 , (3.30) trong đó V là phần mở rộng bằng không của v được xác định trong Q + 4 tới Ω ∗ 4

Từ Bổ đề 3.9 và giả thiết (3.29), tồn tại một ma trận hằng sốAevới

6 và một nghiệm trơn tương ứngv của phương trình

 v t −div(A∇v) = 0e trong Q + 4 v = 0 trên T 4 ∗ sao cho

Trước hết, ta quan sát rằng V là nghiệm yếu của phương trình

4(x, t) trong Ω ∗ 4 , h trong đó {af ij } ∞ i,j=1 =A Giờ ta đặte ω=u−V để thực hiện phép tính sau ω t −div(A∇ω) = (u−V) t −div(A∇(u−V))

Như vậy,ω là một nghiệm yếu của phương trình ω t −div(A∇ω) = div f +

4(x, t) trongΩ ∗ 4 với ω = 0 trên ∂ ω Ω ∗ 4 Khi đó, theo Bổ đề 3.7, ta có kωk 2 W 1,2

|u−v| 2 dxdt, h trong đó ta đã sử dụng bất đẳng thức H¨older’s, bất đẳng thức Sobolev và (B 5 ∩ {x n >

−δ})⊃Ω 5 ⊃B 5 + Khi đó, từ đánh giá này và (2.31) suy ra ku−vk 2 W 1,2

Cuối cùng,kết hợp (3.33),(3.31), (3.29) ta suy ra kết luận (3.30).

Vậy, hệ quả được chứng minh.

Bổ đề 3.11 Tồn tại hằng số N 1 sao cho với > 0 bất kỳ, δ = δ() > 0 và nếu u là nghiệm yếu của u t −div(A∇u) = divf trong Ω T với hai giả thiết sau thỏa mãn

(3.35) thì ta có đánh giá

Từ điều kiện (3.35), ta thấy rằng tồn tại một điểm(x◦, t◦)∈Ω ∗ 1 sao cho

Từ Hệ quả 3.10 với các giả thiết (3.35), (3.38) và (3.39) , tồn tại ma trận hằng số Ae với

6 và một nghiệm trơn v tương ứng của phương trình

 v t −div(A∇v) = 0e trong Q + 4 (0,2) v = 0 trên T 4 ∗ (0,2) sao cho ku−Vk 2 W 1,2

|f| 2 +|A−A| 2 dxdt+D(∂ ω Ω, T 5 )1, tại V là phần mở rộng bằng không của v được xác định trong Q + 4 (0,2) tới Ω ∗ 4 (0,2). Khi đó, ta có thể sử dụng dánh giá địa phương và

|V| 2 6C, để thấy rằng tồn tại một hằng sốN◦ sao cho sup

Bây giờ ta chọn N 1 2 = max{4N ◦ 2 ,2 n+2 } và sẽ chứng minh rằng

Ta chứng minh bất đẳng thức này, giả sử rằng

Với r62, C r (x 1 , t 1 )∩Ω T ⊂Ω ∗ 3 (0,2)và bởi (3.43) và (3.41), ta có

Với r >2, C r (x 1 , t 1 )⊂C 2r (x◦, t◦)và bởi (3.37), ta được

6 2 n+2 Điều này chứng tỏ rằng

Khi đó, khẳng định (3.42) được suy ra từ (3.43) và (3.44) Từ (3.42) và đánh giá yếu

1−1 dạng parabolic ta thu được

∗ (Ω ∗ 2 (0,2)). Cuối cùng, từ đánh giá này và theo (3.40) ta có điều phải chứng minh.

Bổ đề 3.12 ([11]) Tồn tại hằng số N 1 > 0 sao cho với , r >0 bất kỳ, δ =δ()> 0 và nếuu là nghiệm yếu của ut−div(A∇u) = divf trong ΩT thỏa mãn hai điều kiện sau

C r ∩ {(x, t)∈Ω T :M|∇u| 2 61} ∩ {(x, t)∈Ω T :M|f| 2 6δ 2 } 6=∅, thì ta có đánh giá sau

Hệ quả 3.13 Tồn tại hằng số N1 >0 sao cho với 1>, r >0, δ =δ()>0 và nếu u là nghiệm yếu của

 u t −div(A∇u) = divf trong Ω T u = 0 trên ∂ p Ω T khi [A] BM O 6δ, ∂Ω là (δ,63)−Reifenberg và nếu tính chất sau thỏa mãn:

Chứng minh.Ta chứng minh bằng phản chứng NếuC r (x, t) thỏa mãn (3.45) và kết luận (3.46) là sai, tồn tại (x◦, t◦)∈Ω T ∩C r (x, t)sao cho

NếuC 7r (x, t)∩∂ p Ω T =∅, thì đây là một đánh giá trong (xem chương 1).

Giả sử rằng C 7r (x, t) ∩∂ p Ω T 6= ∅ Xét B 7r (x) ⊂ B 9r (x◦), và chọn y = (y 0 , y n ) ∈

B 7r (x)∩∂Ω.Khi ∂Ωlà (δ,63r)−miền phẳng Reifenberg, ta có

Ω⊃Ω 63r (0)⊃B 9r + (x 0 ,0)⊃B r + (x) trong một vài hệ tọa độ phù hợp Bây giờ, chúng ta áp dụng Bổ đề 3.12vào khối lập phươngC9r(x 0 ,0)thay bởi 9 n+2 , thu được

= |C r |, điều này mâu thuẫn với (3.45). h

Hệ quả 3.14 Giả sử u là nghiệm yếu của

 u t −div(A∇u) = divf trong Ω T u = 0 trên ∂ p Ω T khi [A] BM O 6δ, ∂Ω là (δ,63)− Reifenberg Giả thiết rằng

|{(x, t)∈ΩT :M(|∇u| 2 )> N 1 2 }|< |C1| (3.47) Cho k nguyên dương và tập hợp 1 10

Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề này bằng quy nạp.

Rõ ràng mệnh đề này đúng trong trường hợp k = 1 Thật vậy, với

Do ∂Ωlà (δ,63)− Reifenberg Khi đó từ (3.47), Bổ đề 3.11 và Định lý3.1, ta có

Giả sử mệnh đề đúng vớik nguyên dương Ta định nghĩa eu= N u

1. Khi đó,eu là nghiệm yếu vớiue= 0 trên ∂Ωcủa

(u)e t −div(A∇u) = divee f trong Ω T ⊃Ω ∗ 63r (r >0), và thỏa mãn

Khi đó,theo giả thuyết quy nạp, ta có

Ta viết bất đẳng thức này thànhI 1 6I 2 , trong đó

Ta thực hiện tính toán và đánh giá các biểu thức I 1 , I 2 như sau:

+ k+1 1 |{M|∇u| 2 >1}|, suy ra mệnh đề đúng vớik+ 1.

Vậy, theo phép chứng minh quy nạp thì mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương k. h

Kết quả chính quy nghiệm trên miền Reifenberg

berg Định lý 3.15 Cho số thực p: 2< p 0 sao cho nếuu∈W ∗ 1,2 (Ω T ) là nghiệm yếu của parabolic PDE

(3.48) với [A] BM O 6 δ, toán tử P là parabolic đều và f ∈ L p (Ω T ;R n ), thì ∇u ∈ L p (Ω T ;R n ) và ta có bất đẳng thức sau k∇uk L p (Ω T ) 6C kuk L p (Ω T ) +kfk L p (Ω T )

, trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào u và f.

Chứng minh Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả thiết rằng

|(x, t)∈Ω T :M(|∇u| 2 )> N 1 2 |< |C 1 | bằng cách nhân PDE (3.48) với một hằng số nhỏ nếu cân thiết Vì f ∈ L p (Ω T ), nên M|f| 2 ∈P ( p 2 ) (Ω T ) Do đó, ta có

L p 2 (Ω T ) 6C, (3.49) với C >0 là một hằng số chỉ phụ thuộc vào δ, N 1 2 , p. h

Mặt khác, ta có đánh giá

< ∞, đến đây ta sử dụng (3.49) và chọn sao choN 1 p 1 0 sao cho nếu u là nghiệm yếu của parabolic PDE

 u t −div(A∇u) = divf trong Ω T u = 0 trên ∂ p Ω T với [A] BM O 6δ, toán tử P là parabolic đều, miền Ω thỏa ∂Ω(δ, R)−Reifenberg và mọi hàm f ∈L p (Ω T ;R n ), thì u∈W ∗ 1,p (Ω T ) và ta có đánh giá sau đây kuk W 1,p

∗ (Ω T ) 6Ckfk L p (Ω T ) , trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào u và f.

Kết quả cho trường hợp p = 2 là cổ điển, trong khi trường hợp 1 2.

Theo định lý 3.15 vàu t = div(A∇u+f) trong Ω T , ta có đánh giá sau kuk W 1,p

6kuk L p (Ω T ) +C kuk L p (Ω T ) +kfk L p (Ω T ) + 2kAk L ∞ (Ω T ) k∇uk L p (Ω T ) + 2kfk P L p (Ω T )

, Vậy, định lý được chứng minh. h

Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu phương pháp của Wang và S.-S Byun để khảo sát tính chính quy nghiệm của phương trình parabolic tuyến tính với dữ liệu dạng divergence, dựa trên bổ đề phủ Vitali và bất đẳng thức “level sets” Tác giả đã chứng minh chi tiết các kết quả về tính chính quy nghiệm của phương trình parabolic với hệ số không liên tục có dao động trung bình BMO rất nhỏ Ba kết quả chính được trình bày, liên quan đến tính chính quy nghiệm địa phương và toàn cục của phương trình parabolic trong hai trường hợp khác nhau của miền xác định Kỹ thuật chính là xây dựng bất đẳng thức “level sets” dựa trên đánh giá so sánh sai khác giữa các nghiệm yếu của phương trình ban đầu và phương trình thuần nhất tương ứng.

Mặc dù luận văn chưa đạt được kết quả như mong đợi, tác giả đã nỗ lực trình bày rõ ràng các chứng minh của các định lý đã nghiên cứu Các kết quả của Wang và S.-S Byun trong luận văn đã nhận được nhiều trích dẫn trong các bài báo gần đây, điều này củng cố niềm tin của tác giả rằng luận văn sẽ trở thành tài liệu tham khảo hữu ích bằng tiếng Việt cho sinh viên, học viên cao học và những người nghiên cứu quan tâm đến phương pháp chứng minh tính chính quy nghiệm của các phương trình parabolic tuyến tính.

[1] K Adimurthi, S S Byun (2019), Gradient weighted estimates at the natural exponent for Quasilinear Parabolic equations,Advances in Mathematics348, 456- 511.

[2] L A Caffarelli, I Peral (1998), On W 1,p estimates for elliptic equations in divergence form, Communications on Pure and Applied Mathematics 51, 1 - 21.

[3] G Di Fazio (1996), L p estimates for divergence form elliptic equations with dis- continuous coefficients,Boll Un Mat Ita l A(7) 10, 409 - 420.

[4] S S Byun (2005), Parabolic equations with BMO coefficients in Lipschitz domains,Journal of Differential Equations 209(2), 229-265.

[5] S S Byun (2007), Optimal W 1,p regularity theory for parabolic equations in divergence form,Journal of Evolution Equations 7(3), 415-428.

[6] S S Byun, S Ryu (2017), Weighted Orlicz estimates for general nonlinear parabolic equations over nonsmooth domains, Journal of Functional Analysis 272(10), 4103-4121.

[7] S S Byun, H Chen, M Kim, L Wang (2007), L p regularity theory for linear elliptic systems, Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series A 18, 121 - 134.

[8] S S Byun, L Wang (2004), Elliptic equations with BMO coefficients in Reifenberg domains,Conmmunications on Pure and Applied Mathematics57(10), 1283 - 1310.

Tiêu đề	Một Số Kết Quả Chính Quy Nghiệm Cho Phương Trình Parabolic Dạng Divergence
Tác giả	Cao Phi Thơ
Người hướng dẫn	TS. Nguyễn Thành Nhân
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Toán Giải Tích
Thể loại	luận văn thạc sĩ
Năm xuất bản	2019
Thành phố	Thành phố Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	69
Dung lượng	564,88 KB