(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị

(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ HỒNG LINH MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN ĐƠN TRỊ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý TS Đỗ Thị Phƣơng Quỳnh THÁI NGUYÊN - 2021 Mục lục Danh mục ký hiệu viết tắt ii Lời mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm kết không gian xác suất 1.1.1 Không gian xác suất 1.1.2 Biến ngẫu nhiên 1.1.3 Một số dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 11 1.2 Một số kết ánh xạ đa trị toán tử ngẫu nhiên 13 1.3 Một số kết điểm bất động cho toán tử tất định 17 Chương Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đơn trị 21 2.1 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên 21 2.2 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đơn trị 34 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 i Danh mục ký hiệu viết tắt N Tập hợp số tự nhiên R Tập hợp số thực R+ Tập hợp số thực dương C[a, b] Không gian hàm số liên tục [a, b] L(X) Khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào X L0X (Ω) Tập hợp biến ngẫu nhiên X-giá trị A, F σ-đại số B(X) σ-đại số Borel X A⊗F σ-đại số tích σ-đại số A F 2X Họ tập hợp khác rỗng X C(X) Họ tập hợp đóng khác rỗng X CB(X) Họ tập hợp đóng khác rỗng bị chặn X d(a, B) Khoảng cách từ điểm a đến tập hợp B d(A, B) Khoảng cách hai tập hợp khác rỗng A, B H(A, B) Khoảng cách Hausdorff hai tập hợp đóng A, B Gr(F) Đồ thị ánh xạ F µ Độ đo Lebesgue P Độ đo xác suất p-lim Giới hạn hội tụ theo xác suất h.c.c Hầu chắn ii Lời mở đầu Các nghiên cứu định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên khởi đầu O Hans A Spacek năm 1950 (xem [8]) Họ chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên, phiên ngẫu nhiên nguyên lý ánh xạ co Banach Sau cơng trình Spacek Hans, phiên ngẫu nhiên định lý điểm bất động tiếng khác chứng minh Lý thuyết phương trình tốn tử ngẫu nhiên điểm bất động ngẫu nhiên thực tiếp thêm sức mạnh sau đời sách Random integral equations (1972) báo tổng kết Fixed point theorems in probabilistic analysis (1976) A T Bharucha-Reid (xem [6]) Nhiều tác giả thành công việc mở rộng kết điểm bất động ngẫu nhiên có chứng minh phiên ngẫu nhiên định lý điểm bất động cho toán tử tất định (chẳng hạn, xem [9, 13]) Vào năm 1990, số tác giả như: H K Xu, K K Tan, X Z Yuan chứng minh định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, tác giả với số điều kiện đó, quỹ đạo tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động tất định tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên (chẳng hạn, xem [10, 13]) Gần đây, số tác N Shahzad, D O’Regan, R P Agarwal đưa số định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát mở rộng kết tác giả trước sở phiên ngẫu nhiên nhiều định lý điểm bất động cho toán tử tất định chứng minh Nếu lớp toán tử ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát rộng rãi việc ngẫu nhiên hóa định lý điểm bất động cho tốn tử tất định khơng cịn nhiều thú vị, việc chứng minh tồn điểm bất động toán tử ngẫu nhiên thực trở thành việc chứng minh tồn điểm bất động toán tử tất định Tốn tử ngẫu nhiên xem ánh xạ biến phần tử không gian metric thành biến ngẫu nhiên Mỗi phần tử khơng gian metric xem biến ngẫu nhiên suy biến nhận giá trị phần tử với xác suất Từ cách quan niệm ta coi không gian metric X tập (gồm biến ngẫu nhiên suy biến) không gian biến ngẫu nhiên X-giá trị L0X (Ω) Với f toán tử ngẫu nhiên liên tục từ X vào X xây dựng ánh xạ Φ từ L0X (Ω) vào L0X (Ω) mà hạn chế Φ X trùng với f f có điểm bất động ngẫu nhiên Φ có điểm bất động Dựa thực tiễn với kết điểm bất động ánh xạ không gian metric xác suất, O Hadzic E Pap có liên hệ ứng dụng sang lý thuyết điểm bất động toán tử ngẫu nhiên (xem [7]) Trong phạm vi luận văn thạc sĩ Tốn học, tác giả tập trung trình bày lại kết nghiên cứu điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đơn trị Nội dung luận văn bao gồm phương trình tốn tử ngẫu nhiên điểm bất động toán tử ngẫu nhiên Cấu trúc luận văn gồm chương Chương Tác giả trình bày số khái niệm khơng gian xác suất: biến ngẫu nhiên hội tụ dãy biến ngẫu nhiên; toán tử ngẫu nhiên điểm bất động toán tử ngẫu nhiên Những kết trích dẫn khơng có chứng minh chi tiết Chương Tác giả trình bày kết nghiên cứu tác giả phương trình tốn tử ngẫu nhiên Nội dung chương định lý tồn nghiệm ngẫu nhiên phương trình tốn tử ngẫu nhiên Một số kết liên quan đến toán điểm bất động toán tử ngẫu nhiên Áp dụng kết phương trình tốn tử ngẫu nhiên cho toán điểm bất động ngẫu nhiên mở rộng số định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên Phiên ngẫu nhiên số định lý điểm bất động cho toán tử tất định trình bày Để hồn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nỗ lực học hỏi thân, em nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình TS Trần Xuân Quý TS Đỗ Thị Phương Quỳnh Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân em điều thầy dành cho em Em xin chân thành cảm ơn phịng Đào tạo, Khoa Tốn – Tin, q thầy giảng dạy lớp Cao học Tốn K13 (2019 - 2021) Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa học Tơi xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường THPT Trần Hưng Đạo, Quế Võ, Bắc Ninh tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho suốt trình học tập thực luận văn Thái Nguyên, ngày 21 tháng 05 năm 2021 Học viên Lê Hồng Linh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm kết liên quan tới phần luận văn Bao gồm, khơng gian xác suất, ánh xạ đa trị, toán tử ngẫu nhiên số kết điểm bất động toán tử tất định Hầu hết khẳng định chương đưa mà khơng trình bày chứng minh chi tiết, kết trích dẫn rõ nguồn tài liệu 1.1 Một số khái niệm kết không gian xác suất Trong chương nhắc lại vài định nghĩa lý thuyết xác suất: biến ngẫu nhiên, số dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 1.1.1 Không gian xác suất Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω tập khác rỗng Một σ− đại số F Ω họ tập hợp Ω thỏa mãn (i) Tập ∅ ∈ F ; (ii) Nếu A ∈ F phần bù A ∈ F ; (iii) Nếu A1 , A2 , dãy đếm tập hợp F hợp chúng A1 ∪ A2 ∪ · · · thuộc F Ví dụ 1.1.2 R định nghĩa tập hợp số thực Họ tập Borel F = B(R) σ− đại số R B(R) σ− đại số chứa tất đoạn R Định nghĩa 1.1.3 Cho F σ− đại số Ω Độ đo xác suất P ánh xạ P : F −→ [0, 1] thỏa mãn (i) P(Ω) = 1; (ii) Nếu A1 , A2 , tập rời đôi (nghĩa Ai ∩ A j = ∅ với i j) ⊂ F P(A1 ∪ A2 ∪ ) = P(A1 ) + P(A2 ) + · · · (Ω, F , P) gọi không gian xác suất Tập hợp thuộc F gọi biến cố Biến cố A xảy hầu chắn P(A) = Ví dụ 1.1.4 Chúng ta đưa khoảng cách có độ dài đơn vị Ω = [0, 1] với σ− đại số F = B([0, 1]) tập hợp tập Borel B ⊂ [0, 1] độ đo Lebesgue P = Leb [0, 1] Khi (Ω, F , P) không gian xác suất Nhắc lại Leb độ đo định nghĩa tập Borel cho với [a, b] Leb[a, b] = b − a Định lý 1.1.5 Nếu A1 , A2 , dãy tăng biến cố, nghĩa A1 ⊂ A2 ⊂ · · · , P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) = lim P(An ) n→∞ Tương tự, A1 , A2 , dãy giảm biến cố, nghĩa A1 ⊃ A2 ⊃ · · · , P(A1 ∩ A2 ∩ ) = lim P(An ) n→∞ Chứng minh Nếu A1 ⊂ A2 ⊂ A1 ∪ A2 ∪ = A1 ∪ (A2 \ A1 ) ∪ (A3 \ A2 ) ∪ Trong đó, tập A1 , A2 \ A1 , A3 \ A2 , rời đôi Do đó, theo định nghĩa độ đo xác suất P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) = P(A1 ∪ (A2 \ A1 ) ∪ (A3 \ A2 ) ∪ · · · ) = P(A1 ) + P(A2 \ A1 ) + P(A3 \ A2 ) + · · · = lim P(An ) n→∞ Ta có P(A1 ∪ A2 ∪ · · · + An ) = P(A1 ∪ (A2 \ A1 ) ∪ (A3 \ A2 ) ∪ · · · + P(An \ An−1 ) = P(A1 ) + P(A2 ) − P(A1 ) + · · · + P(An ) − P(An−1 ) = P(An ) Nếu A1 ⊃ A2 ⊃ · · · P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ) = lim P(An ) n→∞ Áp dụng luật De Morgan ta có Ω \ (A1 ∩ A2 ∩ · · · ) = (Ω \ A1 ) ∪ (Ω \ A2 ) ∪ · · · Bổ đề 1.1.6 (Borel- Cantelli) Cho A1 , A2 , dãy biến cố cho P(A1 ) + P(A2 ) + · · · < ∞ đặt Bn = An ∪ An+1 ∪ · · · P(B1 ∩ B2 ∩ · · · ) = Chứng minh Vì Bn dãy giảm biến cố, theo kết Định lý 1.1.5 suy P(B1 ∩ B2 ∩ · · · ) = lim P(Bn ) = lim P(An ∪ An+1 ∪ · · · ) n→∞ n→∞ lim P(An ) + P(An+1 ) + · · · = n→∞ ∞ Đẳng thức cuối chuỗi P(An ) hội tụ Bất đẳng thức n=1 tính chất cộng tính P(An ∪ An+1 ∪ ) P(An ) + P(An+1 ) + · · · Suy P(B1 ∩ B2 ∩ · · · ) = 1.1.2 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.7 Nếu F σ− đại số Ω hàm ξ : Ω −→ R gọi F − đo {ξ ∈ B} ∈ F với tập Borel B ∈ B(R) Nếu (Ω, F , P) không gian xác suất hàm ξ gọi biến ngẫu nhiên Chú ý 1.1.8 Để cho ngắn gọn, ta ký hiệu {ξ ∈ B} thay viết {ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B} Định nghĩa 1.1.9 σ− đại số σ(ξ) sinh biến ngẫu nhiên ξ : Ω −→ R định nghĩa lớp tất tập có dạng {ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B}, B tập Borel R Định nghĩa 1.1.10 σ− đại số σ({ξi : i ∈ I}) sinh họ biến ngẫu nhiên {ξi : i ∈ I} định nghĩa σ− đại số nhỏ chứa tất biến cố có dạng {ω ∈ Ω : ξi (ω) ∈ B} B tập Borel R i ∈ I Nhận xét 1.1.11 Ta gọi f : R −→ R hàm Borel nghịch ảnh f −1 (B) với tập Borel B R tập Borel Nếu f hàm Borel ξ biến ngẫu nhiên f (ξ) σ(ξ)− đo Thật vậy, B tập Borel R f : R −→ R hàm Borel f −1 (B) tập Borel Do { f (ξ) ∈ B} = {ξ ∈ f −1 (B)} thuộc σ− đại số σ(ξ) sinh ξ Vậy f (ξ) σ(ξ)− đo Bổ đề 1.1.12 (Doob - Dynkin) Cho ξ biến ngẫu nhiên Khi biến ngẫu nhiên σ(ξ)− đo η viết η = f (ξ) với f : R −→ R hàm Borel Định nghĩa 1.1.13 Giả sử ξ : Ω −→ R biến ngẫu nhiên, xác định độ đo xác suất sau Pξ (B) = P{ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B} ... ngẫu nhiên Một số kết liên quan đến toán điểm bất động toán tử ngẫu nhiên Áp dụng kết phương trình tốn tử ngẫu nhiên cho toán điểm bất động ngẫu nhiên mở rộng số định lý điểm bất động cho toán tử. .. dãy biến ngẫu nhiên 11 1.2 Một số kết ánh xạ đa trị toán tử ngẫu nhiên 13 1.3 Một số kết điểm bất động cho toán tử tất định 17 Chương Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đơn trị 21 2.1... gian toán tử ngẫu nhiên f Theo Định lý 2.2.3, định lý điểm bất động cho toán tử tất định đơn trị sinh định lý điểm bất động ngẫu nhiên cho toán tử ngẫu nhiên đơn trị Các định lý điểm bất động ngẫu