(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân

(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG THỊ THU THẢO MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CÁC GIÁ TRỊ CHUNG CỦA CÁC HÀM NGUYÊN VÀ CÁC ĐA THỨC VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG THỊ THU THẢO MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CÁC GIÁ TRỊ CHUNG CỦA CÁC HÀM NGUYÊN VÀ CÁC ĐA THỨC VI PHÂN Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS TSKH TẠ THỊ HOÀI AN Thái Nguyên, năm 2021 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực, không trùng lặp với đề tài khác thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng 05 năm 2021 Tác giả Đặng Thị Thu Thảo ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn hỗ trợ tận tình PGS TSKH Tạ Thị Hồi An Em xin gửi đến kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tận tâm cô thân suốt thời gian làm luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Tốn thầy giáo khoa Tốn trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết em mong nhận quan tâm, góp ý quý thầy cô bạn để luận văn em hoàn thiện Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè người giúp đỡ hỗ trợ em suốt thời gian học tập hồn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 05 năm 2021 Tác giả Đặng Thị Thu Thảo iii Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Mở đầu Chương Kiến thức 1.1 Một số hàm lý thuyết Nevanlinna 1.2 Tính chất hàm Nevanlinna 1.3 Định lý thứ 11 1.4 Định lý thứ hai 12 Chương Cấp hàm phân hình 19 2.1 Định nghĩa 19 2.2 Một số tính chất cấp hàm phân hình 20 Chương Các hàm nguyên có chung giá trị 24 3.1 Hàm nguyên đa thức vi phân tuyến tính có chung giá trị 24 3.2 Một số hệ 36 3.3 Hàm nguyên đạo hàm chung giá trị 37 Kết luận 43 iv Tài liệu tham khảo 44 v Mở đầu Việc nghiên cứu tính hàm nguyên hàm phân hình hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức thu hút nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm Trong năm gần đây, kết công cụ lý thuyết Nevanlinna áp dụng rộng rãi vào giải vấn đề Theo hướng nghiên cứu này, toán phân bố hàm phân hình f thơng qua giá trị chung đạo hàm f (k) đưa Hayman, sau phát triển số nhà tốn học khác Ví dụ Rubel Yang [11] chứng minh hàm nguyên f có chung hai số phức phân biệt hữu hạn tính số bội với f f ≡ f , Gundersen [5], Jank, Mues Volkmann [8] Yang [14] nghiên cứu cho trường hợp tổng quát Năm 1996, Bră uck [3] a gi thuyt nh sau: Gi thuyết Cho f hàm nguyên khác Giả sử σ2 (f ) = lim sup r→+∞ log log T (r, f ) log r số nguyên dương vô hạn Nếu f f chung giá trị a hữu hạn tính bội, f −a =c f −a với số c khác không Giả thuyết chứng minh trường hợp sau: (i) f có cấp hữu hạn, xem [6]; (ii) a = 0, xem [3]; (iii) N r, = S(r, f ), xem [3] f Tuy nhiên, Gundersen Yang [6] giả thuyết khơng cịn hàm phân hình thơng thường Trong đó, giả thuyết trường hợp hàm phân hình thỏa mãn điều kiện = S(r, f ) N r, f Trong luận văn này, đưa số kết tính hàm nguyên tổ hợp tuyến tính đạo hàm L[f ] hàm thông qua ảnh ngược hai hàm nguyên đủ nhỏ Từ phát trin thờm cỏc m rng ca gi thuyt Bră uck Luận văn viết dựa báo [2] Bố cục luận văn gồm có phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Nội dung luận văn trình bày chương Chương 1: Kiến thức bản: trình bày tổng quan hệ thống số khái niệm kết lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna để phục vụ cho nghiên cứu chương sau Chương 2: Cấp hàm phân hình: trình bày khái niệm cấp hàm phân hình tính chất liên quan Chương 3: Các hàm nguyên có chung giá trị: nội dung luận văn Trong chương đưa số kết hàm ngun đa thức vi phân tuyến tính có chung giá trị, hàm nguyên đạo hàm có chung giá trị Chương Kiến thức Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm lý thuyết Nevanlinna 1.1 Một số hàm lý thuyết Nevanlinna Định nghĩa 1.1.1 Hàm f (z) = u(x, y) + iv(x, y) xác định miền G gọi chỉnh hình điểm z0 tồn số r > cho D(z0 , r) ⊂ G hàm u(x, y), v(x, y) khả vi thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann D(z0 , r) Hàm f (z) gọi chỉnh hình G f chỉnh hình điểm z ∈ G Định nghĩa 1.1.2 Điểm a ∈ C gọi điểm bất thường cô lập hàm f (z) hàm f (z) chỉnh hình lân cận a, trừ điểm Định nghĩa 1.1.3 Điểm bất thường cô lập z = a hàm f (z) gọi a) Điểm bất thường khử tồn giới hạn hữu hạn f (z) z dần đến a b) Cực điểm f (z) lim f (z) = ∞ z→a c) Điểm bất thường cốt yếu không tồn lim f (z) z→a Định nghĩa 1.1.4 Hàm f (z) chỉnh hình toàn mặt phẳng phức C gọi hàm nguyên Nhận xét 1.1.5 Hàm ngun hàm khơng có điểm bất thường hữu hạn Định nghĩa 1.1.6 Hàm nguyên f (z) gọi hàm siêu việt ∞ điểm bất thường cốt yếu hàm f (z) Định nghĩa 1.1.7 Hàm f (z) gọi hàm phân hình miền D ⊂ C hàm chỉnh hình D, trừ số điểm bất thường cực điểm Nếu D = C ta nói f (z) phân hình C, hay đơn giản f (z) hàm phân hình Nhận xét 1.1.8 Nếu f (z) hàm phân hình D lân cận điểm z ∈ D, f (Z) biểu diễn dạng thương hai hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1.9 Giả sử f hàm phân hình U Khi đó, với a ∈ U ta viết f (z) = (z − a)m g(z), m ∈ Z, g(z) hàm chỉnh hình U g(a) = • Nếu m > ta nói a khơng điểm bậc m f • Nếu m < ta nói a cực điểm bậc m f Định lý 1.1.10 (Công thức Poisson - Jensen, xem [9]) Giả sử f (z) hàm phân hình hình trịn {|z| ≤ R}, < R < ∞, có khơng điểm aµ (µ = 1, 2, , M ), cực điểm aν (ν = 1, 2, , N ) hình trịn (mỗi khơng điểm cực điểm tính số lần bội nó) Khi đó, r = reiϕ (0 ≤ r < R), f (z) = 0, ∞ Định lý 3.1.5 Cho Q(z) đa thức khác a(= 0) số phức hữu hạn Nếu f nghiệm khác phương trình vi phân Ll [f ] − a = (f l − a)eQ(z) , (3.31) với L[f ] định nghĩa theo (3.1) l ≥ số nguyên, xảy hai trường hợp sau: (i) Nếu µ(f ) > 1, µ(f ) = ∞ µ2 (f ) = σ2 (f ) = γQ , với γQ bậc Q(z); (ii) Nếu µ(f ) ≤ 1, µ(f ) = Q(z) = p1 z + p0 , với p1 (= 0) p0 hai số phức hữu hạn, ak−1 , , a1 , a0 không đồng thời không Chứng minh Giả sử f đa thức Khi đó, từ (3.1) (3.31), ta thấy thấy tồn số c khác không cho eQ(z) ≡ c Ta chứng minh điều mâu thuẫn với giả thiết Q đa thức khác Thật vậy, ta giả sử f hàm nguyên siêu việt Lúc xảy hai trường hợp Trường hợp Giả sử lim inf r→+∞ log ν(r, f ) > log r (3.32) Theo (3.32) (i) Bổ đề 2.2.1, ta có µ(f ) = lim inf r→+∞ log ν(r, f ) > log r (3.33) Vì Q(z) đa thức khác nên Q(z) = bn z n + + b1 z + b0 , với bn (= 0), , b1 , b0 số phức Từ (3.34), có |Q(z)| = |z|→+∞ |bn z n | lim Từ điều này, ta thấy tồn số dương r0 đủ lớn cho |Q(z)| > , |z| > r0 |bn z n | e 31 (3.34) Từ biểu thức (3.31), suy log |bn | + n log |z| − < log |Q(z)| = log log eQ(z) ≤ log log eQ(z) Ll [f ] − a = log log l , (|z| > r0 ) f −a (3.35) Biết f hàm nguyên khác hằng, ta có M (r, f ) → ∞, r → +∞ (3.36) M (r, f ) = |f (zr )| , (3.37) Đặt đó, zr = reiθ(r) θ(r) ∈ [0, 2π) Từ (3.37) lý thuyết WimanValiron, ta thấy tồn tập Fj ⊂ (1, ∞) (1 ≤ j ≤ k) dt có độ đo logarit hữu hạn, tức < ∞, cho với số điểm t zr = reiθ(r) (θ(r) ∈ [0, 2π)) thoả mãn |zr | = r ∈ / Fj M (r, f ) = |f (zr )|, ta có f (j) (zr ) = f (zr ) ν(r, f ) zr j (1 + o(1)), (1 ≤ j ≤ k, r ∈ / Fj , r → +∞) (3.38) Ta có Ll [f ] fl − fal L [f ] − a = fl − a − fal l (3.39) Vì f hàm nguyên siêu việt, a số khác không Từ (3.36) (3.37), suy |a| |a| = lim = r→+∞ |f l (zr )| r→+∞ M l (r, f ) lim (3.40) Từ điều cách sử dụng (3.1), (3.36)-(3.39), thu Ll [f (zr )] − a = f l (zr ) − a ν(r, f ) r k lk l |1 + o(1)| , r∈ / Fj , r → +∞ j=1 (3.41) 32 Từ (3.41), ta có Ll [f (zr )] − a = kl(log ν(r, f )−log r)+O(1), log f l (zr ) − a k r∈ / Fj r → +∞ ; j=1 (3.42) từ (3.35), suy Ll [f (zr )] − a log |bn | + n log |zr | − ≤ log log f l (zr ) − a Ll [f (zr )] − a Ll [f (zr )] − a + i arg log = log log f l (zr ) − a f l (zr ) − a Ll [f (zr )] − a ≤ log log + 2π (3.43) f l (zr ) − a Theo (3.42), (3.43), Bổ đề 3.1.2 |zr | = r ta thấy với β > bất kì, tồn số dương r0 đủ lớn cho log |bn | + n log r − ≤ log log ν(rβ , f ) + log log rβ + O(1), r > r0 (3.44) Theo (3.44) Bổ đề 2.2.3, suy n log log ν(rβ , f ) log log ν(r, f ) ≤ lim sup = lim sup = σ2 (f ) β log rβ log r r→+∞ rβ →+∞ Cho β → 1+ , ta n ≤ σ2 (f ) (3.45) Chứng minh tương tự từ (ii) Bổ đề 3.1.2, ta n ≤ µ2 (f ) (3.46) σ(eQ ) = γQ = n (3.47) σ(eQ ) ≤ σ2 (f ) (3.48) Điều tương đương với Từ (3.45) (3.47), ta có 33 Mặt khác, từ (3.31), (3.38) (3.39), ta ν(r, f ) zr k kl l (1 + o(1)) = e Q(zr ) ,r∈ / Fj , r → +∞ j=1 Theo đó, ta thu k lk kl Q ν (r, f ) ≤ Cr M (r, e ), r ∈ / Fj , r → +∞ (3.49) j=1 đó, C > số Từ (3.49) Bổ đề 3.1.2, ta thấy với β > bất kì, ln tồn số dương r0 đủ lớn cho ν lk (r, f ) ≤ Crlkβ M (rβ , eQ ), r > r0 (3.50) Từ (3.50), Bổ đề 2.2.3 Định nghĩa 2.1.3, ta log log ν(r, f ) log log ν kl (r, f ) = lim sup σ2 (f ) = lim sup log r log r r→+∞ r→+∞ log log(Crklβ M (rβ , eQ )) ≤ βlim sup log rβ r→+∞ log log M (r, eQ ) = βσ(eQ ), = βlim sup log r r→+∞ đặt σ2 (f ) ≤ βσ(eQ ) (3.51) Cho β → 1+ hai vế (3.51), ta σ2 (f ) ≤ σ(eQ ) (3.52) Từ (3.47), (3.48) (3.52), suy σ2 (f ) = σ(eQ ) = n (3.53) Theo µ2 (f ) ≤ σ2 (f ) từ (3.33), (3.46), (3.47), (3.53), ta σ2 (f ) = µ2 (f ) = n = γQ 34 (3.54) Nếu µ(f ) < +∞, từ (3.54) có µ2 (f ) = γQ = Vì Q số, điều mâu thuẫn với giả thiết Q đa thức khác Vì thế, µ(f ) = +∞ Trường hợp Giả sử lim inf r→+∞ log ν(r, f ) ≤ log r (3.55) Từ (3.55) (i) Bổ đề 2.2.1, ta có µ(f ) = lim inf r→+∞ log ν(r, f ) ≤ log r (3.56) Từ (3.1), (3.31) Bổ đề 1.2.3, suy T (r, eQ ) ≤ O(T (r, f )) + O(log rT (r, f )), r ∈ / E Từ theo Bổ đề 3.1.3, ta thấy với số dương r đủ lớn T (r, eQ ) ≤ O(T (2r, f )) + O(log 2r + log T (2r, f )), r > r0 Từ điều (3.34), suy ≤ n = γQ = σ(eQ ) = µ(eQ ) ≤ µ(f ) Theo (3.56) có n = γ = µ(f ) = Q(z) = p1 (z) + p0 Nếu aj = với (0 ≤ j ≤ k − 1), (3.31) viết lại thành (f (k) )l − a = (f l − a)ep1 z+p0 Biện luận giống Trường hợp 1, ta (3.46), điều kéo theo µ2 (f ) ≥ 1, mâu thuẫn với giả thiết µ(f ) = Và a0 , a1 , , ak−1 không đồng thời không Định lý 3.1.5 hoàn toàn chứng minh Nhận xét 3.1.6 Nếu ta chọn l = Định lý 3.1.5 ta Định lý 3.1.4 35 3.2 Một số hệ Từ Định lý 3.1.5, ta có hai hệ sau Hệ 3.2.1 Cho Q(z) đa thức, a số phức khác không Nếu f nghiệm khác phương trình vi phân (3.31) cho µ2 (f ) khơng số ngun dương, với L[f ] định nghĩa (3.1), đó, f L[f ] xảy hai trường hợp sau: (i)Ll [f ] − a = c(f l − a), với c(= 0) số phức hữu hạn; (ii)Ll [f ] − a = (f l − a)eb1 z+b0 , µ(f ) = b1 (= 0), b0 hai số phức hữu hạn, a0 , a1 , , ak−1 không đồng thời không Chứng minh Nếu Q(z) số, khẳng định (i) Hệ 3.2.1 xảy Nếu ta giả sử Q(z) không số, từ (3.31) có f hàm nguyên siêu việt, khẳng định (i) (ii) Định lý 3.1.5 giữ nguyên Nếu (ii) Đinh lý 3.1.5 xảy ra, ta có (ii) Hệ 3.2.1 xảy Nếu (i) Định lý 3.1.5 xáy đó, µ(f ) = ∞ µ2 (f ) = σ2 (f ) = γQ Kết hợp (3.31) với điều kiện µ2 (f ) khơng số ngun dương, ta có γQ = tồn vài số phức hữu hạn khác không c cho Ll [f ] − a = c(f l − a) Từ (3.41), ta có ν(r, f ) r k kl l |1 + o(1)| = |c| , Fj , r → +∞ j=1 ν(r, f ) = O(1), r r∈ / k r∈ / Fj , r → +∞ (3.57) j=1 Từ (3.57) Bổ đề 2.2.1, suy µ(f ) = 1, điều xảy Hệ 3.2.1 chứng minh Hệ 3.2.2 Cho f hàm nguyên khác cho µ(f ) < ∞, cho a số phức khác không Nếu f l − a Ll [f ] − a nhận giá trị tính 36 bội, L[f ] định nghĩa (3.1), f L[f ] xảy hai trường hợp (i) (ii) Hệ 3.2.1 Chứng minh Từ điều kiện f l − a Ll [f ] − a nhận giá trị tính bội, ta có (3.31) Theo (3.1), (3.31) Bổ đề 1.2.3, suy T (r, eQ ) ≤ O(T (r, f )) + O(log rT (r, f )), r ∈ / E Từ điều Bổ đề 3.1.3 kết hợp với điều kiện µ(f ) < ∞, suy σ(eQ ) = µ(eQ ) ≤ µ(f ) < ∞ Theo đó, ta thấy Q(z) đa thức Nếu Q(z) số khẳng định (i) Hệ 3.2.1 xảy Nếu Q(z) không số theo (3.31) f hàm nguyên siêu việt, vậy, hai khẳng định (i) (ii) Định lý 3.1.5 giữ nguyên Nếu (ii) Định lý 3.1.5 xảy ta (ii) Hệ 3.2.1 Nếu (i) Định lý 3.1.5 xảy ta có µ(f ) = ∞ Điều mâu thuẫn với giả thiết µ < ∞ Hệ 3.2.2 chứng minh Nhận xét 3.2.3 Trong Hệ 3.2.2, kết lại ta lấy µ2 (f ) < µ(f ) = ∞ Hơn nữa, từ điều kiện (i) Định lý 3.1.5 ta có µ2 (f ) = γQ Do µ2 (f ) < γQ số nguyên dương, suy γQ = 0, Q số 3.3 Hàm nguyên đạo hàm chung giá trị Câu hỏi 3.3.1 Điều xảy hàm nguyên khác f với đạo hàm f (k) nhận giá trị a hàm nguyên đủ nhỏ? Để trả lời cho Câu hỏi 3.3.1, Xiao Li chứng minh định lý sau 37 Định lý 3.3.2 (xem [13]) Cho Q(z) đa thức khác hằng, a(z) hàm nguyên đủ nhỏ f , cho σ(a) < γQ Nếu f nghiệm khác phương trình vi phân f (k) − a = (f − a)eQ(z) , (3.58) σ2 (f ) = γQ f hàm nguyên có cấp vô hạn Chứng minh Từ (3.58) ta dễ dàng nhận thấy tất nghiệm phương trình (3.58) hàm nguyên siêu việt Vì a hàm nguyên đủ nhỏ f , từ (3.58) Bổ đề 1.2.3, suy T (r, eQ ) ≤ (k + 3)(T (r, f )) + O(log rT (r, f )), r ∈ / E (3.59) Từ (3.59) Bổ đề 3.1.3, tồn số dương r0 đủ lớn cho T (r, eQ ) ≤ (k + 3)(T (2r, f )) + O(log 2r + log T (2r, f )), r ≥ r0 (3.60) Từ (3.60), suy µ(eQ ) ≤ µ(f ) Kết hợp µ(eQ ) = σ(eQ ) = γQ ≥ σ(a) < 1, ta µ(f ) > σ(a) (3.61) Q(z) = qn z n + qn−1 z n−1 + + q1 z + q0 , (3.62) Đặt qn (= 0), qn−1 , , q1 q0 số phức hữu hạn Khi đó, từ (3.62) ta Q(z) = |z|→∞ qn z n lim (3.63) Từ điều này, ta thấy tồn số dương r0 đủ lớn cho |Q(z)| > , |z| > r0 |bn z n | e Từ (3.58) (3.64), suy |qn z n | log |qn | + n log r − = log ≤ log |log Q| = log log eQ e 38 (3.64) ≤ log log e fk − a (|z| > r0 ) = log log f −a Q đặt fk − a , (|z| > r0 ) f −a log |qn | + n log r − ≤ log log (3.65) Từ giả thiết f hàm nguyên khác hằng, ta có M (r, f ) → ∞, r → ∞ (3.66) M (r, f ) = |f (zr )| , (3.67) Đặt đó, zr = reiθ(r) θ(r) ∈ [0, 2π) số thực không âm Từ (3.67) lý thuyết Wiman-Valiron, ta thấy tồn tập dt E1 ⊂ (1, ∞) có độ đo logarit hữu hạn, tức E1 < ∞, cho với t số điểm zr = reiθ(r) (θ(r) ∈ [0, 2π)) thoả mãn |zr | = r ∈ / E1 M (r, f ) = |f (zr )|, ta có f (k) (zr ) = f (zr ) Vì k ν(r, f ) zr (1 + o(1)) (3.68) k f a fk − a f − f = f −a − fa (3.69) Từ (3.66)-(3.68), Định nghĩa 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 , suy a(zr ) → 0, f (zr ) (3.70) |zr → ∞| Do đó, từ(3.68), (3.65)-(3.70), thu log |qn | + n log r − ≤ log log ν(r, f ) zr k (1 + o(1)) (3.71) log ν(r, f ) zr k (1 + o(1)) = k(log ν(r, f )−log r −iθ(r))+o(1), (3.72) 39 r → ∞ Lúc xảy hai trường hợp Trường hợp Giả sử lim sup r→∞ log ν(r, f ) =∞ log r (3.73) Chú ý θ(r) ∈ [0, 2π), nên theo (3.72), (3.73) Bổ đề 2.2.3, ta có log log lim sup ν(r,f ) zr k (1 + o(1)) log r r→∞ log − log log ν(r, f ) ≤ lim sup + lim sup log r r→∞ r→∞ log 2k1 π k + lim + lim + lim r→∞ log r r→∞ log r r→∞ log r log log ν(r, f ) = lim sup = ν(f ), log r r→∞ log r log ν(r,f ) − iθ(r) log ν(r,f ) log r k1 số ngun khơng âm Kết hợp (3.71) điều kiện |zr | = r, thu n ≤ lim sup r→∞ log log ν(r, f ) = ν(f ) log r (3.74) Từ (3.62), ta có σ(eQ ) = γQ(z) = n (3.75) σ(eQ ) ≤ ν(f ) (3.76) Theo (3.74), (3.75) ta Mặt khác, từ (3.58), (3.66)-(3.68), (3.69) (3.70), ta có ν(r, f ) zr k (1 + o(1)) = eQ(zr ) , (3.77) r → ∞ Từ (3.73) (3.77) suy lim sup r→∞ log log ν(r, f ) = lim sup log r r→∞ 40 log log ν(r,f ) 2r log r k log log ν(r,f ) |zr | k |1 + o(1)| ≤ lim sup log r log log M (r, eQ(z) ) ≤ lim sup log r r→∞ r→∞ Từ biểu thức trên, Bổ đề 2.2.2 định nghĩa cấp hàm nguyên, ta ν(f ) ≤ σ(eQ ) (3.78) Từ (3.75), (3.76) (3.78) ta điều phải chứng minh Trường hợp Giả sử log ν(r, f ) < ∞ log r (3.79) ν(f ) = (3.80) lim sup r→∞ trước hết, từ (3.79) suy Mặt khác, từ (3.58), (3.66)-(3.68), (3.69), (3.70), (3.72) Bổ đề 2.2.2, ta thu |Q(zr )| = log eQ(zr ) = |k(log ν(r, f ) − log r − iθ(r)) + o(1)| ≤ O(log r) r → ∞ Kết hợp điều kiện Q(z) đa thức, ta suy Q(z) số γQ = Từ điều (3.80), ta điều cần chứng minh Định lý 3.3.2 hoàn tồn chứng minh Tiếp theo, chúng tơi chứng minh định lý mở rộng Định lý 3.3.2 Định lý 3.3.3 Cho Q(z) đa thức khác hằng, bi (z), (i = 1, 2), hàm nguyên đủ nhỏ f , cho σ(bi ) < Nếu f nghiệm khác phương trình vi phân Ll [f ] − b1 = (f l − b2 )eQ(z) , 41 (3.81) với L[f ] định nghĩa (3.1), hai trường hợp sau xảy ra: (i) Nếu µ(f ) > 1, µ(f ) = ∞ µ2 (f ) = σ2 (f ) = γQ , với γQ bậc Q(z); (ii) Nếu µ(f ) ≤ 1, µ(f ) = Q(z) = p1 z + p0 , với p1 (= 0) p0 hai số phức hữu hạn, ak−1 , , a1 , a0 không đồng thời không Chứng minh Do b1 b2 hai hàm nguyên đủ nhỏ f , theo (3.81) Bổ đề 1.2.3, suy T (r, eQ ) ≤ O(T (r, f )) + O(log rT (r, f )), r ∈ / E (3.82) Từ (3.82) Bổ đề 3.1.3, tồn số dương r0 đủ lớn cho T (r, eQ ) ≤ O(T (2r, f )) + O(log 2r + log T (2r, f )), r > r0 (3.83) Từ (3.83), suy µ(eQ ) ≤ µ(f ) Kết hợp µ(eQ ) = σ(eQ ) = γQ ≥ σ(bi ) < (i = 1, 2), ta µ(f ) > σ(bi ), (i = 1, 2) (3.84) Kết hợp (3.84) f hàm nguyên siêu việt, theo Định nghĩa 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2, ta bi (zr ) → 0, (i = 1, 2) f (zr ) |zr | → ∞, zr = reiθ(r) với θ(r) ∈ [0, 2π) Lặp lại trình chứng minh Định lý 3.1.5, ta thu Định lý 3.3.3 Nhận xét 3.3.4 Nếu ta lấy ak−1 = ak−2 = = a0 = 0, b1 = b2 = a l = Định lý 3.3.3, ta Định lý 3.3.2 42 Kết luận Trong luận văn chúng tơi trình bày số kết sau Trình bày kết hàm nguyên đa thức vi phân tuyến tính có chung giá trị hữu hạn (Định lý 3.1.4) số kết mở rộng (Định lý 3.1.5, Hệ 3.2.1 Hệ 3.2.2) Trình bày mối liên hệ hàm nguyên đạo hàm nhận chung giá trị hàm nguyên đủ nhỏ (Định lý 3.3.2) mở rộng (Định lý 3.3.3) 43 Tài liệu tham khảo [1] Bank S (1972), "A general theorem concerning the growth of solutions of first-order alge braic differential equations", Compositio Math 25, 61-70 [2] Bouabdelli R and Belăaidi B (2013), "Results on Shared Values of Entire Functions and their Homogeneous Differential Polynomials", International Journal of Difference Equations, Vol 8, No 1, pp 3–14, ISSN: 0973-6069 [3] Bră uck R (1996), "On entire functions which share one value CM with their first derivative", Results Math 30, no 1-2, 21–24 [4] Chen Z X and Yang C C (1999), "Some further results on the zeros and growths of entire solutions of second order linear differential equations", Kodai Math J 22, no 2, 273–285 [5] Gundersen G (1983), "Meromorphic functions that share two finite values with their derivative", Pacific J Math 105, no 2, 299–309 [6] Gundersen G and Yang L Z (1998); "Entire funtions that share one value with one or two of their derivatives", J Math Anal Appl 223, no.1, 88-95 [7] Hayman W K (1964), Meromorphic functions, Oxford Mathematical Monographs Clarendon Press, Oxford 44 [8] Jank G., Mues E and Volkmann L (1986), "Meromorphe Funktionen, die mit ihrer esten und zweiten Ableitung einen endlichen Wert teilen", (German) [Meromorphic functions which share a finite value with their first and second derivative] Complex Variables Theory Appl 6, no 1, 51-71 [9] Laine I (1993), Nevanlinna theory and complex differential equations, de Gruyter Studies in Mathematics, 15 Walter de Gruyter & Co., Berlin [10] Li X M and Yi H X (2008), "Some results on the regular solutions of a linear differential equation", Comput Math Appl 56, no 9, 2210–2221 [11] Rubel L A and Yang C C (1977), "Values shared by an entire function and its derivative", Complex analysis (Proc Conf., Univ Kentucky, Lexington, Ky., 1976), pp 101–103 Lecture Notes in Math., Vol 599, Springer, Berlin [12] Valiron G (1923), Lectures on the General Theory of Integral Functions, Edouarard Privat, Toulouse [13] Xiao Y H and Li X M (2008), "An entire function sharing one small function with its derivative", Applied Mathematics E-Notes, 8, 238–245 [14] Yang L Z (1999), "Solution of a differential equation and its applications", Kodai Math J 22, no 3, 458–464 [15] Yang C C and Yi X X (2003), Uniqueness theory of meromorphic functions, Mathematics and its Applications, 557 Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht 45 ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG THỊ THU THẢO MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CÁC GIÁ TRỊ CHUNG CỦA CÁC HÀM NGUYÊN VÀ CÁC ĐA THỨC VI PHÂN Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN... cấp hàm phân hình tính chất liên quan Chương 3: Các hàm nguyên có chung giá trị: nội dung luận văn Trong chương chúng tơi đưa số kết hàm nguyên đa thức vi phân tuyến tính có chung giá trị, hàm nguyên. .. 23 Chương Các hàm nguyên có chung giá trị 3.1 Hàm nguyên đa thức vi phân tuyến tính có chung giá trị Gần đây, Li Yi đưa số câu hỏi Câu hỏi 3.1.1 Điều xảy hàm nguyên f khác đa thức vi phân tuyến