(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân

(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân

ĐẠI HOC THÁI NGUYÊN TRƯ NG ĐẠI HOC SƯ PHẠM Đ NG TH± THU THẢO M T SO KET QUẢ VE CÁC GIÁ TR± CHUNG CỦA CÁC HÀM NGUYÊN VÀ CÁC ĐA THỨC VI PHÂN LU N VĂN THẠC SĨ TOÁN HOC Thái Nguyên, năm 2021 ĐẠI HOC THÁI NGUYÊN TRƯ NG ĐẠI HOC SƯ PHẠM Đ NG TH± THU THẢO M T SO KET QUẢ VE CÁC GIÁ TR± CHUNG CỦA CÁC HÀM NGUYÊN VÀ CÁC ĐA THỨC VI PHÂN Ngành: Tốn giải tích Mã so: 8460102 LU N VĂN THẠC SĨ TỐN HOC Cán b® hướng dan khoa hoc: PGS TSKH TẠ TH± HOÀI AN Thái Nguyên, năm 2021 i L i cam đoan Tôi xin cam đoan rang n®i dung trình bày lu n văn trung thực, không trùng l p với đe tài khác thơng tin trích dan lu n văn rõ nguon goc Thái Nguyên, tháng 05 năm 2021 Tác giả Đ ng Thị Thu Thảo L i cảm ơn Lu n văn hoàn thành hướng dan ho trợ t n tình PGS TSKH Tạ Thị Hồi An Em xin gải đen kính lịng biet ơn sâu sac ve t n tâm cô đoi với thân suot thời gian làm lu n văn Em xin gải lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhi m khoa Toán thay giáo khoa Tốn trường Đại hoc Sư phạm - Đại hoc Thái Nguyên quan tâm, giúp đơ, tạo moi đieu ki n đe em hoàn thành lu n văn Bản lu n văn chac chan sě khơng tránh khỏi nhǎng khiem khuyet v y em rat mong nh n quan tâm, góp ý quý thay cô bạn đe lu n văn em hoàn thi n Cuoi cùng, em xin gải lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè nhǎng người giúp ho trợ em suot thời gian hoc t p hồn thành lu n văn Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 05 năm 2021 Tác giả Đ ng Thị Thu Thảo Mnc lnc Trang bìa phn i L i cam đoan ii L i cảm ơn iii Mnc lnc iv M đau Chương Kien thfíc 1.1 M®t so hàm lý thuyet Nevanlinna 1.2 Tính chat hàm Nevanlinna 1.3 Định lý thá nhat 11 1.4 Định lý thá hai 12 Chương Cap m t hàm phân hình 19 2.1 Định nghĩa 19 2.2 M®t so tính chat ve cap hàm phân hình 20 Chương Các hàm nguyên có chung giá trị 3.1 Hàm ngun đa thác vi phân tuyen tính có chung giá trị 24 24 3.2 M®t so h .36 3.3 Hàm nguyên đạo hàm chung giá trị 37 Ket lu n Tài li u tham khảo 43 44 M đau Vi c nghiên cáu tính nhat hàm nguyên hàm phân hình m®t nhǎng hướng nghiên cáu quan giải tích phác thu hút nhieu nhà tốn hoc nước quan tâm Trong nhǎng năm gan đây, ket công cụ lý thuyet Nevanlinna áp dụng r®ng rãi vào giải quyet van đe Theo hướng nghiên cáu này, toán ve phân bo hàm phân hình f thơng qua giá trị chung đạo hàm f (k) đưa Hayman, sau phát trien m®t so nhà tốn hoc khác Ví dụ Rubel Yang [11] cháng minh rang neu m®t hàm nguyên f có chung hai so phác phân bi t hǎu hạn tính so b®i với f ′ f ≡ f ′, Gundersen [5] , Jank, Mues Volkmann [8] Yang [14] nghiên cáu cho trng hp tng quỏt hn Nm 1996, Bruăck [3] a giả thuyet sau: Giả thuyet Cho f m®t hàm nguyên khác hang Giả sả rang log log T (r, f ) σ2(f ) = lim log r sup r→+∞ so nguyên dương ho c vơ hạn Neu f f ′ chung m®t giá trị a hǎu hạn tính b®i, f′−a f − a= c với moi hang so c khác không Giả thuyet cháng minh trường hợp sau: (i) f có cap hǎu hạn, xem [6]; (ii) a = 0, xem [3]; (iii) N r, = S(r, f ), xem [3] f′ Tuy nhiên, Gundersen Yang [6] rang giả thuyet khơng cịn đoi với hàm phân hình thơng thường Trong đó, giả thuyet trường hợp hàm phân hình thỏa mãn đieu ki n N r, = S(r, f ) f′ Trong lu n văn này, chúng tơi đưa m®t so ket ve tính nhat hàm nguyên tő hợp tuyen tính đạo hàm L[f ] hàm thơng qua ảnh ngược m®t ho c hai hàm nguyên đủ nhỏ Tà phát trien thờm cỏc m rđng ca gi thuyet Bruăck Lu n văn viet dựa báo [2] Bo cục lu n văn gom có phan mở đau, ba chương n®i dung, phan ket lu n danh mục tài li u tham khảo N®i dung lu n văn trình bày chương Chương 1: Kien thác bản: trình bày tőng quan h thong m®t so khái ni m ket lý thuyet phân bo giá trị Nevanlinna đe phục vụ cho nghiên cáu chương sau Chương 2: Cap m®t hàm phân hình: trình bày khái ni m ve cap hàm phân hình tính chat liên quan Chương 3: Các hàm ngun có chung giá trị: n®i dung lu n văn Trong chương đưa m®t so ket ve hàm nguyên đa thác vi phân tuyen tính có chung giá trị, hàm nguyên đạo hàm có chung giá trị Chương Kien thfíc Trong chương này, chúng tơi trình bày m®t so khái ni m lý thuyet Nevanlinna 1.1 M t so hàm lý thuyet Nevanlinna Định nghĩa 1.1.1 Hàm f (z) = u(x, y) + iv(x, y) xác định mien G goi hình điem z0 neu ton m®t so r > cho D(z0, r) ⊂ G hàm u(x, y), v(x, y) khả vi thoả mãn đieu ki n Cauchy-Riemann D(z0, r) Hàm f (z) goi hình G neu f chỉnh hình moi điem z ∈ G Định nghĩa 1.1.2 Điem a ∈ C goi điem bat thường l¾p hàm f (z) neu hàm f (z) chỉnh hình m®t lân c n a, trà điem Định nghĩa 1.1.3 Điem bat thường l p z = a hàm f (z) goi a) Điem bat thường khủ neu ton giới hạn hǎu hạn f (z) z dan đen a b) Cực điem f (z) neu lim f (z) = ∞ z→a c) Điem bat thường cot yeu neu không ton lim f (z) z→a Định nghĩa 1.1.4 Hàm f (z) chỉnh hình toàn m t phȁng phác C goi hàm nguyên Nh n xét 1.1.5 Hàm nguyên hàm điem bat thường hǎu hạn Định nghĩa 1.1.6 Hàm nguyên f (z) goi hàm siêu vi t ∞ điem bat thường cot yeu hàm f (z) Định nghĩa 1.1.7 Hàm f (z) goi hàm phân hình mien D ⊂ C neu hàm chỉnh hình D, trà m®t so điem bat thường cực điem Neu D = C ta nói f (z) phân hình C, hay đơn giản f (z) hàm phân hình Nh n xét 1.1.8 Neu f (z) hàm phân hình D lân c n moi điem z ∈ D, f (Z) có the bieu dien dạng thương hai hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1.9 Giả sả f hàm phân hình U Khi đó, với moi a ∈ U ta có the viet f (z) = (z − a)mg(z), m ∈ Z, g(z) hàm chỉnh hình U g(a) • Neu m > ta nói rang a khơng điem b c m f • Neu m < ta nói rang a cực điem b c m f Định lý 1.1.10 (Công thác Poisson - Jensen, xem [9]) Giả sủ f (z) hàm phân hình hình trịn {|z| ≤ R}, < R < ∞, có khơng điem aµ (µ = 1, 2, , M ), cực điem aν (ν = 1, 2, , N ) hình trịn (mi khụng iem hoắc cc iem c tớnh mđt so lan bang b®i nó) Khi đó, neu r = reiϕ(0 ≤ r < R), f (z) /= 0, ∞ ta có Neu µ(f ) < +∞, tà (3.54) có µ2(f ) = γQ = Vì v y Q hang so, đieu mâu thuan với giả thiet Q đa thác khác hang Vì the, µ(f ) = +∞ Trư ng h p Giả sả rang lim inf log ν(r, f ≤ r→+∞ ) log r ≤ Tà (3.55) (i) Bő đe 2.2.1, ta có µ(f ) = lim inf (3.55) (3.56) log ν(r, f ) r→+∞ log r Tà (3.1), (3.31) Bő đe 1.2.3, suy T (r, eQ ) ≤ O(T (r, f )) + O(log rT (r, f )), r ∈/ E Tà theo Bő đe 3.1.3, ta thay với so dương r đủ lớn T (r, eQ) ≤ O(T (2r, f )) + O(log 2r + log T (2r, f )), r > r0 Tà đieu (3.34), suy ≤ n = γQ = σ(eQ) = µ(eQ) ≤ µ(f ) Theo (3.56) có n = γ = µ(f ) = Q(z) = p1(z) + p0 Neu aj = với (0 ≤ j ≤ k − 1), (3.31) có the viet lại thành z+p0 (f (k))l − a = (f l − a)ep1 Bi n lu n giong Trường hợp 1, ta (3.46), đieu kéo theo µ2(f ) ≥ 1, mâu thuan với giả thiet µ(f ) = Và the a0, a1, , ak−1 không đong thời bang không Định lý 3.1.5 hoàn toàn cháng minh Nh n xét 3.1.6 Neu ta chon l = Định lý 3.1.5 ta Định lý 3.1.4 3.2 M t so h Tà Định lý 3.1.5, ta có hai h sau H 3.2.1 Cho Q(z) m®t đa thúc, a so phúc khác khơng Neu f m®t nghi m khác hang phương trình vi phân (3.31) cho µ2(f ) khơng so nguyên dương, với L[f ] đ nh nghĩa (3.1), đó, giũa f L[f ] xảy m®t hai trường hợp sau: (i) Ll[f ] − a = c(fl − a), với c(/= 0) so phúc hũu hạn; (ii) Ll[f ] − a = (fl − a)eb1z+b0 , µ(f ) = b1 (/= 0), b0 hai so phúc hũu hạn, a0, a1, , ak−1 không đong thời bang khơng Chúng minh Neu Q(z) m®t hang so, khȁng định (i) H 3.2.1 sě xảy Neu ta giả sả rang Q(z) khơng hang so, tà (3.31) có f hàm nguyên siêu vi t, v y khȁng định (i) (ii) Định lý 3.1.5 giǎ nguyên Neu (ii) Đinh lý 3.1.5 xảy ra, ta có (ii) H 3.2.1 sě xảy Neu (i) Định lý 3.1.5 xáy đó, µ(f ) = ∞ µ2(f ) = σ2(f ) = γQ Ket hợp (3.31) với đieu ki n µ2(f ) khơng so ngun dương, ta có γQ = ton m®t vài so phác hǎu hạn khác không c cho Ll[f ] − a = c(fl − a) Tà (3.41), ta có kl the k l |1 + o(1)| = |c| , ν(r, f ) r ∈/ j[ = Fj , r → +∞! r ν(r, f ) r = O(1), r ∈/ j[ = 1k (3.57) Fj , r → +∞! Tà (3.57) Bő đe 2.2.1, suy µ(f ) = 1, đieu không the xảy H 3.2.1 cháng minh 65 H 3.2.2 Cho f hàm nguyên khác hang cho µ(f ) < ∞, cho a so phúc khác không Neu f l − a Ll[f ] − a cựng nhắn giỏ tr tớnh 66 c bđi, L[f ] đ nh nghĩa (3.1), giũa f L[f ] xảy m®t hai trường hợp (i) (ii) H 3.2.1 Chúng minh Tà đieu ki n fl − a Ll[f ] − a nh n giá trị tính b®i, ta có (3.31) Theo (3.1), (3.31) Bő đe 1.2.3, suy T (r, eQ ) ≤ O(T (r, f )) + O(log rT (r, f )), r ∈/ E Tà đieu Bő đe 3.1.3 ket hợp với đieu ki n µ(f ) < ∞, suy σ(eQ) = µ(eQ) ≤ µ(f ) < ∞ Theo đó, ta thay rang Q(z) đa thác Neu Q(z) hang so khȁng định (i) H 3.2.1 sě xảy Neu Q(z) không hang so theo (3.31) f hàm nguyên siêu vi t, v y, hai khȁng định (i) (ii) Định lý 3.1.5 giǎ nguyên Neu (ii) Định lý 3.1.5 xảy ta (ii) H 3.2.1 Neu (i) Định lý 3.1.5 xảy ta có µ(f ) = ∞ Đieu mâu thuan với giả thiet µ < ∞ H 3.2.2 cháng minh Nh n xét 3.2.3 Trong H 3.2.2, ket lại neu ta lay µ2(f ) µ(f ) = ∞ Hơn nǎa, tà đieu ki n (i) Định lý 3.1.5 < ta có µ2(f ) = γQ Do µ2(f ) γQ so nguyên dương, suy γQ = 0, < v y Q hang so 3.3 Hàm nguyên đạo hàm chung giá trị Câu hỏi 3.3.1 Đieu sě xảy neu m®t hàm ngun khác hang f với đạo hàm f (k) nh n m®t giá trị a m®t hàm nguyên đủ nhỏ? Đe trả lời cho Câu hỏi 3.3.1, Xiao Li cháng minh định lý sau 67 Định lj 3.3.2 (xem [13]) Cho Q(z) m®t đa thúc khác hang, a(z) m®t hàm ngun đủ nhó f, cho σ(a) < γQ Neu f m®t nghi m khác hang phương trình vi phân f (k) − a = (f − a)eQ(z), (3.58) σ2(f ) = γQ f hàm nguyên có cap vô hạn Chúng minh Tà (3.58) ta de dàng nh n thay tat nghi m phương trình (3.58) đeu hàm nguyên siêu vi t Vì a hàm nguyên đủ nhỏ f , tà (3.58) Bő đe 1.2.3, suy T (r, eQ ) ≤ (k + 3)(T (r, f )) + O(log rT (r, f )), r ∈/ E (3.59) Tà (3.59) Bő đe 3.1.3, ton so dương r0 đủ lớn cho T (r, eQ) ≤ (k + 3)(T (2r, f )) + O(log 2r + log T (2r, f )), r ≥ r0 (3.60) Tà (3.60), suy µ(eQ) ≤ µ(f ) Ket hợp µ(eQ) = σ(eQ) = γQ ≥ σ(a) < 1, ta Đt µ(f ) > σ(a) (3.61) Q(z) = qnzn + qn−1zn−1 + + q1z + q0, (3.62) qn (=/ 0), qn−1, , q1 q0 so phác hǎu hạn Khi đó, tà (3.62) ta lim Q(z) = (3.63) qn zn Tà đieu này, ta thay rang ton m®t so dương r0 đủ lớn cho |Q(z)| n |bn z> | Tà (3.58) (3.64), suy |z|→∞ log |qn| + n log r − = log q zn | |n log ≤ log |log Q| = e log eQ fk a — (|z| > r0) f−a ≤ log log eQ = log log đt f k − a log |qn| + n log r − ≤ log log , (|z| > r0) f−a Tà giả thiet f m®t hàm ngun khác hang, ta có (3.65) M (r, f ) → ∞, r → ∞ (3.66) M (r, f ) = |f (zr )| , (3.67) Đt đó, zr = reiθ(r) θ(r) ∈ [0, 2π) so thực khơng âm Tà (3.67) lý thuyet Wiman-Valiron, ta thay rang ton m®t t p ∫ d t⊂ (1, ∞) có đ® đo logarit hǎu hạn, tác E1 < ∞, cho với E1 m®t so điem zr = reiθ(r) (θ(r) ∈ [0, 2π)) thoả mãn |zr | = r ∈/ E1 M (r, f ) = |f (zr )|, ta có f (k) (zr) f (zr) = ν(r, f ) (3.68) k Vì k (1 + o(1)) zr fk a − f f f −a a = 1−f f−a Tà (3.66)-(3.68), Định nghĩa 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 , suy (3.69) a(zr) f (zr → 0, ) |zr → ∞| Do đó, tà(3.68), (3.65)-(3.70), thu log |qn| + n log r − ≤ log log ν (r, f ) zr k (1 + o(1)) (3.70) ! (3.71) log ν(r, f ) z r k (1 + o(1))! = k(log ν(r, f )−log r −iθ(r))+o(1), (3.72) r → ∞ Lúc xảy hai trường hợp Trư ng h p Giả sả rang lim sup log ν(r, f ) r→∞ =∞ (3.73) log r Chú ý rang θ(r) ∈ [0, 2π), nên theo (3.72), (3.73) Bő đe 2.2.3, ta có lim sup log log ν(r,f ) k (1 zr + o(1)) log r r→∞ log − log log ν(r, f ) + lim sup r→∞ log log r 2k1π r→∞ k + lim + lim + lim r→∞ log r r→∞ log r r→∞log r ≤ lim sup = lim sup r→∞ log r log ν(r,f ) − iθ(r) log ν(r,f ) log r log log ν(r, f ) = ν(f ), log r k1 so ngun khơng âm Ket hợp (3.71) đieu ki n |zr| = r, thu n ≤ lim sup log log ν(r, f ) r→∞ log r = ν(f ) (3.74) Tà (3.62), ta có Theo (3.74), (3.75) ta σ(eQ) = γQ(z) = n (3.75) σ(eQ) ≤ ν(f ) (3.76) M t khác, tà (3.58), (3.66)-(3.68), (3.69) (3.70), ta có z r ν(r, f ) k ) (1 + o(1)) = eQ(zr , (3.77) r → ∞ Tà (3.73) (3.77) suy lim sup log log ν(r, f ) r→∞ log r = lim sup r→∞ log log k ν(r,f ) 2r log r ν(r,f ) |zr | k log log |1 + o(1)| log r r→∞ log log M (r, eQ(z)) ≤ lim sup log r→∞ r ≤ lim sup Tà bieu thác trên, Bő đe 2.2.2 định nghĩa ve cap hàm nguyên, ta ν(f ) ≤ σ(eQ) (3.78) Tà (3.75), (3.76) (3.78) ta đieu phải cháng minh Trư ng h p Giả sả rang lim sup r→∞ log ν(r, f ) log r < ∞ (3.79) trước het, tà (3.79) suy ν(f ) = (3.80) M t khác, tà (3.58), (3.66)-(3.68), (3.69), (3.70), (3.72) Bő đe 2.2.2, ta thu ) |Q(zr)| = log eQ(zr = |k(log ν(r, f ) − log r − iθ(r)) + o(1)| ≤ O(log r) r → ∞ Ket hợp đieu ki n Q(z) đa thác, ta có the suy Q(z) hang so the γQ = Tà đieu (3.80), ta đieu can cháng minh Định lý 3.3.2 hoàn toàn cháng minh Tiep theo, sě cháng minh định lý mở r®ng Định lý 3.3.2 Định lj 3.3.3 Cho Q(z) m®t đa thúc khác hang, bi(z), (i = 1, 2), hàm nguyên đủ nhó f, cho σ(bi) < Neu f m®t nghi m khác hang phương trình vi phân Ll[f ] − b1 = (f l − b2)eQ(z), (3.81) với L[f ] đ nh nghĩa (3.1), m®t hai trường hợp sau xảy ra: (i) Neu µ(f ) > 1, µ(f ) = ∞ µ2(f ) = σ2(f ) = γQ, với γQ b¾c Q(z); (ii) Neu µ(f ) ≤ 1, µ(f ) = Q(z) = p1z + p0, với 0) p0 p1( hai so phúc hũu hạn, ak−1, , a1, a0 không đong thời bang không Chúng minh Do b1 b2 hai hàm nguyên đủ nhỏ f , theo (3.81) Bő đe 1.2.3, suy T (r, eQ ) ≤ O(T (r, f )) + O(log rT (r, f )), r ∈/ E (3.82) Tà (3.82) Bő đe 3.1.3, ton so dương r0 đủ lớn cho T (r, eQ) ≤ O(T (2r, f )) + O(log 2r + log T (2r, f )), r > r0 (3.83) Tà (3.83), suy µ(eQ) ≤ µ(f ) Ket hợp µ(eQ) = σ(eQ) = γQ ≥ σ(bi) < (i = 1, 2), ta µ(f ) > σ(bi), (i = 1, 2) (3.84) Ket hợp (3.84) f hàm nguyên siêu vi t, theo Định nghĩa 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2, ta bi(zr) f (zr → 0, (i = 1, 2) ) |zr| → ∞, zr = reiθ(r) với θ(r) ∈ [0, 2π) L p lại trình cháng minh Định lý 3.1.5, ta thu Định lý 3.3.3 Nh n xét 3.3.4 Neu ta lay ak−1 = ak−2 = = a0 = 0, b1 = b2 = a l = Định lý 3.3.3, ta Định lý 3.3.2 Ket lu n Trong lu n văn chúng tơi trình bày m®t so ket sau Trình bày ket ve hàm nguyên đa thác vi phân tuyen tính có chung giá trị hǎu hạn (Định lý 3.1.4) m®t so ket mở r®ng (Định lý 3.1.5, H 3.2.1 H 3.2.2) Trình bày moi liên h giǎa hàm nguyên đạo hàm nh n chung m®t giá trị m®t hàm nguyên đủ nhỏ (Định lý 3.3.2) mở r®ng (Định lý 3.3.3) Tài li u tham khảo [1] Bank S (1972), "A general theorem concerning the growth of solutions of first-order alge braic differential equations", Compositio Math 25, 61-70 [2] Bouabdelli R and Belăaidi B (2013), "Results on Shared Values of Entire Functions and their Homogeneous Differential Polynomials", International Journal of Difference Equations, Vol 8, No 1, pp 314, ISSN: 0973-6069 [3] Bruăck R (1996), "On entire functions which share one value CM with their first derivative", Results Math 30, no 1-2, 21–24 [4] Chen Z X and Yang C C (1999), "Some further results on the zeros and growths of entire solutions of second order linear differential equations", Kodai Math J 22, no 2, 273–285 [5] Gundersen G (1983), "Meromorphic functions that share two finite values with their derivative", Pacific J Math 105, no 2, 299–309 [6] Gundersen G and Yang L Z (1998); "Entire funtions that share one value with one or two of their derivatives", J Math Anal Appl 223, no.1, 88-95 [7] Hayman W K (1964), Meromorphic functions, Oxford Mathematical Monographs Clarendon Press, Oxford [8] Jank G., Mues E and Volkmann L (1986), "Meromorphe Funktionen, die mit ihrer esten und zweiten Ableitung einen endlichen Wert teilen", (German) [Meromorphic functions which share a finite value with their first and second derivative] Complex Variables The- ory Appl 6, no 1, 51-71 [9] Laine I (1993), Nevanlinna theory and complex differential equations, de Gruyter Studies in Mathematics, 15 Walter de Gruyter & Co., Berlin [10] Li X M and Yi H X (2008), "Some results on the regular solutions of a linear differential equation", Comput Math Appl 56, no 9, 2210–2221 [11] Rubel L A and Yang C C (1977), "Values shared by an entire function and its derivative", Complex analysis (Proc Conf., Univ Kentucky, Lexington, Ky., 1976), pp 101–103 Lecture Notes in Math., Vol 599, Springer, Berlin [12] Valiron G (1923), Lectures on the General Theory of Integral Functions, Edouarard Privat, Toulouse [13] Xiao Y H and Li X M (2008), "An entire function sharing one small function with its derivative", Applied Mathematics E-Notes, 8, 238–245 [14] Yang L Z (1999), "Solution of a differential equation and its applications", Kodai Math J 22, no 3, 458–464 [15] Yang C C and Yi X X (2003), Uniqueness theory of meromorphic functions, Mathematics and its Applications, 557 Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht ... HOC THÁI NGUYÊN TRƯ NG ĐẠI HOC SƯ PHẠM Đ NG TH± THU THẢO M T SO KET QUẢ VE CÁC GIÁ TR± CHUNG CỦA CÁC HÀM NGUYÊN VÀ CÁC ĐA THỨC VI PHÂN Ngành: Tốn giải tích Mã so: 8460102 LU N VĂN THẠC SĨ TOÁN... Chương Các hàm nguyên có chung giá trị 3.1 Hàm ngun đa thfíc vi phân tuyen tính có chung giá trị Gan đây, Li Yi đưa m®t so câu hỏi Câu hỏi 3.1.1 Đieu sě xảy m®t hàm nguyên f khác hang đa thác vi phân. .. hàm phân hình 19 2.1 Định nghĩa 19 2.2 M®t so tính chat ve cap hàm phân hình 20 Chương Các hàm nguyên có chung giá trị 3.1 Hàm nguyên đa thác vi phân tuyen tính có chung giá trị