Đa thức vi phân các hàm phân hình và vấn đề chia sẻ giá trị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MAI THỊ LIÊN ĐA THỨC VI PHÂN CÁC HÀM PHÂN HÌNH VÀ VẤN ĐỀ CHIA SẺ GIÁ TRỊ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH.HÀ HUY KHOÁI THÁI NGUYÊN - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết nghiên cứu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Thái Nguyên, tháng năm 2017 Học viên Mai Thị Liên MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết đa thức vi phân hàm phân hình vấn đề chia sẻ giá trị hướng nghiên cứu thu hút quan tâm rộng rãi nhà toán học giới Đề tài luận văn thuộc hướng nghiên cứu nói trên, với mục đích trình bày số kết gần lý thuyết đa thức vi phân hàm phân hình Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết danh mục tài liệu tham khảo Chương “Cở sở lý thuyết Nevanlinna” dành để trình bày số khái niệm kết Lý thuyết Nevanlinna, cần thiết cho việc giới thiệu kết chương sau Chương “Quan hệ cặp hàm nguyên hàm phân hình đa thức vi phân chúng chia sẻ giá trị” phần luận văn Ở đây, giới thiệu (với chứng minh chi tiết) kết gần J Grahl and Sh Nevo (trong báo: Differential polynomials and shared values, Annales Academi® Scientiarum Fennicc Mathematica Volumen 36, 2011, 47-70) Luận văn viết hướng dẫn tận tình GS.TSKH Hà Huy Khối Thầy khơng tận tình hướng dẫn mà cịn thơng cảm, động viên tơi suốt q trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy! Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo hội đồng bảo vệ luận văn thạc sỹ tạo điều kiện thuận lợi để em vững tin việc chuẩn bị bảo vệ luận văn Em xin chân thành cảm ơn Đại học Thái Nguyên, Đại học Sư phạm, Khoa sau Đại học Sư phạm, thầy giáo khoa Tốn gia đình tạo điều kiện tốt cho em thời gian học tập nghiên cứu hoàn thành luận văn Cuối cùng, em xin cảm ơn anh, chị, bạn học viên lớpcao học Tốn giải tích - k23b Đại học Sư phạm Thái Nguyên giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cho em suốt thời gian qua Trong trình viết luận văn việc xử lý văn chắn khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy cô, bạn đồng nghiệp, bạn học viên để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, tháng năm 2017 Học viên Mai Thị Liên Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA NEVANLINNA Công cụ sử dụng chủ yếu luận văn Lý thuyết phân bố giá trị hàm phân hình, hay cịn gọi Lý thuyết Nevanlinna Kết lý thuyết Nevanlinna hai Định lý Quan hệ số khuyết Chương có mục tiêu trình bày kết với hệ cần thiết để trình bày phần 1.1 Các hàm đặc trưng Nevalinnna Công thức Poison - Jensen 1.1.1 Công thức Poison - Jensen Giả sử f (z) hàm phân hình hình trịn {Iz\ < khơng điểm a (// R},0 < R , có = 1,2, ,M); cực điểm b(v = 1,2, ,N) hình trịn (mỗi khơng điểm cực điểm tính lần số bội nó) Khi đó, z = re'e; (0 < r < R), f (z) ^ 0, »; ta có 2fi J M R2 - r2 R2 - 2Rrcos ( 0và c hữu tỉ Giả sử c * Khi c = p với p,q eữ,p*q Từ (2.25), cách lấy tích phân ta có y f- b (.f‘ - b ) \2q k ) = c - qd kg - ) b 2q gn(q-p > V1 bo ^0 N ■_> ^ fn ì í f^k} - b, (g l >_ k bf với d e □ \ {0} kết hợp (2.26) ta y2 nq ( j d n(q p) + g (k) qp -b - g k ^f - b ì q ^^g -b c 2p ( n (p+q f ) J d g2np f(k)-b)q p - + Xét trường hợp mà hai hàm f g có cực điểm Không giảm tổng quát, giả sử z0 e □ cực điểm f bội a Do (2.32) ta thấy z cực điểm g không điểm g(k) - b Giả sử z cực điểm g bội Từ (2.32) (2.33) suy nqa- q (a + k) = np3- p (3 + k ) 2nq(a - 3) = 2q (a + k) - n(q - p)3- (p + q) (3 + k) Suy n (q - p) = ( q - p )(3+k) p * q ta k = (n-1) > n -1 > k +1, mâu thuẫn + Bây ta trở trường hợp z khơng điểm gk - b có bội Sau đó, từ điều kiện chia sẻ giá trị suy g(z0) * (vì khơng z không điểm vg - b (và đó, vf - b) mâu thuẫn với điều z cực điểm f ) So sánh bội cực điểm hai vế (2.32) cho ta nqa- q (a + k ) = pồ từ (2.33) ta có 2nqa = 2q (a + k) + (p + q )ồ Kết hợp hai đẳng thức suy (q - p )ồ = ta nhận mâu thuẫn + Xét trường hợp f g hàm nguyên Không giảm tổng quát, giả sử q > p Nếu z không điểm f(k} - b khơng điểm g từ (2.35) suy khơng điểm f Do bội z xét không điểm f(k} - b + nq(p- p q) nghĩa n+1 Do -( N l f b ) ) 1 < N1 r, ( N r, ( ) |g* ) (2.36) Tương tự vậy, z không điểm g(k} - b khơng khơng điểm g, từ (2.34) ta nhận khơng điểm J , bội nó, xét khơng điểm g(k} - b -2nq ,- q p Tức 2n+1 Điều ì < N1 r, + l g J n +1 N| r, |< N| r,— +—N 1’,^— I,f7 l,g7 n 7,gW-b7 Tiếp theo, giả sử z không điểm g bội p > Từ (2.34) (2.33) ta thấy z không điểm f chẳng hạn với bội a> 1và không điểm f(k}-b bội /> Vì vậy, khơng điểm vf - b vg - b Từ điều g (z0) = suy z không điểm g(k} - b, chẳng hạn bội ỏ > Do fn gn có khơng điểm bội n z ta có Wf (z0) = f (k)(z0)-b , Wg (z0) = gk) (z0)-b w(-f ) (z0) = f(k j)(z0)-b , w(g) (z0) = g(k j)(z0)-b, j = 1,n-1 + + (2.39) Giả sử / < n ỏ< n Khi từ (2.39) kiện ^ - b vg - b có khơng điểm kể bội, ta suy Ỵ = ỏ Cùng với (2.26), điều nói suy raa = /3 (2.32) cho ta q (na-/) = p (n/-ỏ) = p (na-/) Do na-/ = 0vì q ^ p Như ta có / = na > n, mâu thuẫn với / = ỏ < n Điều Y > n õ > n Hơn , từ f(k) (zữ) = g(k) (z) = b * 0, ta thấy a < k p > k V (2.40) ì f(k)- b | g=0 X/ 1 f(k)- b Nr g= ; - ì )Vg b Vì g=0 (2.41) Những lập luận cho ta thấy Thay (2.36), (2.37), (2.38), (2.40) (2.41) vào bất đẳng thức Milloux suy < ! *^2, n,keũ g điều kết thúc chứng minh định lý hàm phân hình khác , thỏa mãn n>5k+17 Nếu hàm Wf Vg xác định (1.1) chia sẻ giá trị b1, b kể bội, f - g f g đa 2^ij thức có bậc khơng qk -1 f = e n g với j e N đ ỏ Nếu hàm nguyên, điều n > max Ị11, k + 2} Chứng minh Nếu f ^ g Định lý 2.1.1 cho ta n > 5k+17 f g f , rrn max {11, k + 2},( 2.43a ) ( 2.44a ) Bây ta xét bốn trường hợp + Trường hợp 1: Nếu ( 2.43b ) ( 2.44b ) thỏa mãn, ta có (af '- (k )(ag '- k b, ) = f g = (af b, n n '- 1k )(ag* - b ), b2 ' a (b2 b1) (f k' + gk' ) - = b2 - b1 Do b * b , điều cho thấy f+g đa thức Đặc biệt f g có cực điểm với bội Do (2.43b) điều có nghĩa f g hồn tồn khơng có cực điểm, tức chúng hàm nguyên Nhưng đó, từ định lý 2.1.2 suy rằng, thay (2.43b) (2.44b), ta phải có (2.43a) (2.44a) Vì vậy, trường hợp loại trừ + Trường hợp 2: Giả sử có (2.43a) (2.44b) thỏa mãn Lại lần nữa, ta muốn chứng minh f g hàm nguyên Không giảm tổng quát, ta giả thiết z cực điểm f , chẳng hạn với bội a Khi đó, từ (2.44b) ta thấy z không điểm g, chẳng hạn với bội p Mặt khác, gk' (z0) * — khơng vg (z0) = b , vf (z0) = b mâu thuẫn với kiện z cực điểm f Do đó, (2.43a) suy na+nfi = a+k, n-1 < (n-1)a < k mâu thuẫn Như f g hàm nguyên, trường hợp 2, ta kết luận thay (2.44b) ta phải có (2.44a) Vì vậy, trường hợp loại trừ + Trường hợp 3: Trường hợp mà (2.43b) (2.44a) thỏa mãn tất nhiên hoàn tồn giống trường hợp loại trừ + Trường hợp 4: Nếu (2.43a) (2.44a) thỏa mãn, ta có af(k k- b1 f\_ af(kk- b2 ag(k)- b1 gn ag(k)- b2 Như a_ (f (k) ) = a_ (f - g(k) (k) ) - g(k) , tức f(k) = g(k) fn = gn Như ta có f = e2mj'ng với số j GŨ Nếu g(k) + từ g(k} = fk) = e2*lj/ng(k) ta chí thu f = e2ntj/n = , Tức f — g, mâu thuẫn với giả thiết f + g Như g(k) - f(k) - có nghĩa f g đa thức bậc không k -1 (điều chứng minh hệ 2.4.1) Hệ 2.3.2 Giả sử f hàm phân hình khác □ , a,b eũ \{o};£,n eũ thỏa mãn sẻ giá trị b1, b cho n > Ị11, k + 2} Vì max n > 5k+17 Nếu ¥f ¥f ■ xác định (1.1) chia kể bội f - f ', f hàm nguyên điều f - f ’ suy f hàm nguyên ta phát biểu lại cho trường hợp ánh xạ phân hình hệ 2.4.2 sau: Nếu hàm phân hình □ có cực điểm n > f 5k+17 ¥f ¥r khơng thể chia sẻ giá trị khác không kể bội Chứng minh Nếu f đa thức ¥ ¥ phải hai đa thức không bậc, chúng khơng thể chia sẻ giá trị b kể bội Vì vậy, từ Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2, suy - _' b _ ( f_ _ af(k+1) - b -_ af(k+1) - b ¥ ¥ f lf (2.45) fn ( f’)n = (af(kk-b)(af(k+1)- b) (2.46) Trong hai trường hợp, dễ thấy từ giả thiết n k f khơng thể có cực điểm Vì vậy, f hàm nguyên siêu việt Do Định lý 2.1.2, điều có nghĩa (2.45) thỏa mãn Đặc biệt, f f' chia sẻ giá trị kể bội Tất nhiên, điều f f' hồn tồn khơng có khơng điểm f' Vì vậy, q := y- hàm ngun khơng triệt tiêu Ta giả sử q không số Nhận xét 2.1 Đối với j > tồn đa thức vi phân P bậc không j +1 với hệ số khơng có số hạng bậc bậc cho f (j ) + q( j = -ị- Pj[q] +1 cho đơn thức vi phân M (* 0) xuất P thỏa mãn w (M) = j +1 Chứng minh Với j = 0, điều rõ ràng với P = Giả sử mệnh đề với j > Khi đó, cách lấy vi phân, ta nhận qtj 1,= j -j f + Pj [q] = ^- q (q - P [ q]) + P,, [q ] = j j + Pj [q], t với p+i [u] := P [u] + up [u]- uUj Dễ thấy tính chất địi hỏi giữ ngun chuyển từ P sang P Do quy nạp, mệnh đề với j > Đối với j > ta viết 7+1 x P= Ả=2 H„, với đa thức vi phân H bậc Ả ( Hjfl = 0) Định nghĩa 2.1 L := - Ế q A[q] H, Ế2 q +Ế H 1, ụ [q] Khi L hàm 7= q ụ q nguyên, cách sử dụng bổ đề đạo hàm logarit tính chất H] ta có m ( r, L ) = S (r, q ) Xét hai trường hợp Trường hợp 1: L X Giả sử q (zữ ) = Khi f (zữ ) = f' (z0 )* từ (4.3) ta thấy f(k ’(Z0 ) = f(k )( Z0) +1 Do ta kết luận k+1 L ( )=q ( ) - q z {k} (k+1) z () z Ế - k k,7 [q] H Ế + () z H k-1,7 [q] (z0) -( NI r,—< T (r, L) + o(1) = m(r, L) + o(1) = S(r, l q -1 < NI lr,-7 , L q) Điều chứng tỏ Áp dụng định lý thứ hai, ta nhận T(r, f )