Đa thức duy nhất và tập bi URS cho hàm phân hình p adic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM PHẠM VĂN MẠNH ĐA THỨC DUY NHÁT VÀ TẬP BI-URS CHO HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 PHẠM VĂN MẠNH ĐA THỨC DUY NHÁT VÀ TẬP BI-URS CHO HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hướng dẫn khoa học TS.VŨ HỒI AN Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo trung thực xác, tuân thủ qui định quyền sở hữu trí tuệ Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả Phạm Văn Mạnh Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS.Vũ Hồi An, người thầy tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán tồn thể thầy giáo trường ĐHSP Thái Ngun, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho ý kiến đóng góp q báu suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè người giúp đỡ chia sẻ với suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả Phạm Văn Mạnh Mục lục Mục lục iii Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Trường p-adic 1.2 Các định lí Nevanlinna Đa thức tập Bi — URS cho M(C ) p 10 2.1 URS tính bội chặn cho hàm nguyên hàm phân hình Cp 10 2.2 Đa thức cho hàm phân hình 23 2.3 Bi-URScho M(Cp) 35 Kết luận 37 Tài liêu tham khảo 38 Chương Một số kiến thức chuẩn bị •• 1.1 Trường p-adic Chuẩn không Acsimet Định nghĩa 1.1 Một chuẩn trường K hàm |.| : K ! R + thỏa mãn điều kiện sau: 1) |x| =0 , x = 0; 2) |xy| = |x||y| với x,y K; 3) |x + y| < |x| + \y| với x, y K Nếu hàm thỏa mãn thêm điều kiện 4) |x + y| < max{\x\; |y|g với x,y K ta gọi chuẩn không Acsimet Ngược lại, ta gọi chuẩn Acsimet Mỗi chuẩn |.| trường K cảm sinh hàm khoảng cách d xác định d(x, y) = | x — y | ; với x, y K cảm sinh tơpơ K Trường mở rộng trường Q theo chuẩn không Acsimet gọi trường không Acsimet Với số thực r > điểm x K, ta kí hiệu đĩa mở, đĩa đóng, vịng trịn tâm x bán kính r tương ứng là: D(x,r) = {y K : d(x,y) < r}; D(x,r) = {y K : d(x,y) < r}; D < x,r >= {y K : d(x,y') = r} = D(x, r)\D(x, r); D = D(0; 1) gọi đĩa đơn vị Với số c > 1, hàm V : K ! R u {+1} cho c {—log |x| c x K* ■ x = gọi hàm cộng tương ứng chuẩn |.| Bổ đề 1.1 Một chuẩn trường K không Acsimet hàm cộng V tương ùng thỏa mãn điều kiện sau: 1) v(x) = ■ , x = 0; 2) v(xy) = v(x) + v(y), với x,y K; 3) v(x + y) > min{v(x); v(y)}; với x,y K Số p-adic trường p-adic Cho p số nguyên tố cố định Với số nguyên a khác khơng biểu diễn dạng sau: a = pv.a', p không chia hết cho a' Z , + V xác định p a Ta kí hiệu V (a) = V Khi p ta thu hàm V :Z.Z Ta mở rộng V lên trường số hữu tỉ Q sau: x = — Q, đặt b p + p Vp(a) — Vp(b) x = Vp (x)= < x = Với x Q, ta thu chuẩn p-adic tương ứng, kí hiệu I I cho p Íp '■" x x = 0 x = Định nghĩa 1.2 Hai chuẩn trường K gọi tương đương cảm sinh hàm khoảng cách cảm sinh tơ pơ K Định lý 1.1 (Định lí Ostrowski) Mọi chuẩn không tầm thường Q tương đương với hai chuẩn sau: Chuẩn p-adic; Giá trị tuyệt đối thơng thường Như có hai hướng mở rộng trường số hữu tỉ Q mở rộng theo chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường ta trường số thực R mở rộng theo chuẩn p-adic ta trường số p-adic, kí hiệu Q Kí hiệu Q bao đóng đại số Q Tuy nhiên Q khơng đầy đủ theo tơpơ khơng Acsimet Kí hiệu C = Q mở rộng đầy đủ theo tôpô không Acsimet bao đóng đại số Q gọi trường số phức p-adic Kí hiệu A(C ) vành hàm nguyên C M(C ) trường hàm phân hình, có nghĩa trường hàm thương A(C ) p p p p p p p p p p p 1.2 Các định lí Nevanlinna Các hàm đặc trưng Nevanlinna tính chất Giả sử f (z) hàm phân hình đĩa D C giả sử f (z) r p viết dạng f (z) f = 0) n(z - “•) n (z lb.) ; f0 khơng có khơng điểm cực điểm D , bj tương r ứng không điểm cực điểm tính bội f Ta kí hiệu: n(r, 0, f) = số không điểm f D ; r 4 Điêu kéo theo c c = c c la có f = c0(c2g + c0g + c1 -c2g + c3 c) 4 Thay đổi kí hiệu, ta viết f = ag + b với a, b C , a = Từ đồng p thức P(a! + b) = cP(! ta thu aP'(aw + b) = cP0(!), nữa: qí qk Bởi Định lí phân tích nhất, tồn di tại- b\ í hốn vị (t(1); dk - b\t(2); ,t(k)) c(! - di) (! - dk')qk = aq — - ! (1, 2, , k) cho aa , _ -b , _ dk - b d d í(i) ,f , •••> t(k) = —— aa q1 Khi cP (d/m) = cP f d ') = P + b) = P (d), aa với l = 1, 2, , k Do (l, t(l)) A với l f 1, 2, , kg Vậy k0 = k □ Ta tiếp tục chứng minh Định lí 2.3 Theo Mệnh đề 2.4, tồn hoán vị (t(1), t(2), , t(k)) (1, 2, , k) cho ' = P (di) P(d,(1)) = P (dk) P(dt(k)) = Từ giả thiết P thỏa mãn điều kiện G tức P(di)+P(d ) + +P(d ) = 0, k ta thu điều mẫu thuẫn sau đây: c = P (di) + P (d2) + + P (dk) P (d t(i)) + P (d t(2)) =1 + + P (dt(k)) Như P(z) đa thức mạnh, chứng minh Định lí 2.3 hồn thành □ Nhận xét 2.6 Nếu bỏ giả thiết (G) Định lí 2.3 ta xây dựng đa thức thỏa mãn điều kiện lại Định lí 2.3 khơng phải đa thức mạnh Thật vậy, xét đa thức P(x) = x — 5x + 10x Khi P đa thức thỏa mãn điều kiện (H) không thỏa mãn điều kiện (G) P có số đạo hàm Theo Định lí 2.2 P đa thức yếu Tuy nhiên, 5 P(f) = — P(—f) cho hàm phân hình f Do P khơng phải đa thức mạnh Hệ 2.3 xem [6] Tập hợp đa thức mạnh bậc n,n > 4, đủ tổng quát Từ điều kiện Định lí 2.3 ta dễ dàng đưa điều kiện đại số cho hệ số đa thức P Hệ 2.3 suy Ví dụ 2.1 Xét đa thức P4(z) = 3z — 28z + 84z — 96z + 45 Khi P'(z) = 12(z — 1)(z — 2)(z — 4),P có số đạo hàm k = P(1) = 8, P(2) = 13, P(4) = —19 P(1) + P(2) + P(4) = = 0, giả thiết Định lí 2.3 thỏa mãn Vậy P đa thức mạnh 4 Nhận xét 2.7 Số Hệ 2.3 tốt Thật vậy, giả sứ tồn đa thức P bậc đa thức mạnh Giả sứ S := {ữi, a , a g tập nghiệm P Giả sứ f, g hai hàm phân hình khác thỏa mãn E(f, S) = E(g, S) E(f, 1) = E(g, 1) Khi dó, ta có P(f) = cP(g) với số c = Do P đa thức mạnh, ta có f = g Như vậy, tồn tập S có ba phần tứ cho với cặp hàm phân hình khác M(C ) thoả mãn E(f,S) = E(g,S) p E(f, 1) = E(g, 1) f = g Điều khơng thể xảy (xem [2].) Hệ 2.4 (xem [6]) Tập S URS cho A(C ) đa thức liên kết P p đa thức mạnh Chứng minh Giả sử S = {a1,a , , a g có đa thức liên kết n P = (z - ai)(z - a2) (z - aq) đa thức mạnh Khi n > nguyên Giả sử tồn hai hàm nguyên khác f g thỏa mãn điều kiện P (f) hàm nguyên khơng có khơng điểm, nên tồn Ef (S) = Eg(S), P (g) P (f) số c K khác khơng cho = c Vì P đa thức P (g) mạnh nên ta suy f = g Hay nói cách khác S URS cho hàm Hệ 2.5 (xem [6]) Tập hợp URS cho A(K) có n phần tứ với n > đủ tổng quát 2.3 Bi-URS cho M(C ) p Giả sử Sj tập hợp hữu hạn C u {1}; 1110 Z+ u ịxị Tìm điều kiện j; Sj 1110 cho với hàm phân hình khác f; g L thỏa mãn điều kiện Efm (Sj) = Egm (Sj) kéo theo f = g Trong trường hợp j = tốn trở thành tìm tập URS cho hàm phân hình trình bày phần Trong phần này, xem xét cho trường hợp j = p Định nghĩa 2.7 (xem [6]) Giả sử S;T c C cho S \ T = ; Khi cặp (S; T) gọi bi-URS cho F với hai hàm khác f; g F thỏa mãn E(f; S) = E(ỹ; S) E(f; T) = E(ỹ; T) f = g Năm 1977, W W Adams E G Strauss với cặp a,;b C ;U = b; hai hàm khác f,g thỏa mãn f (a) = g~ (a) f-1(b) = g- (b) f = g Nghĩa với cặp (a;b)({a}; {b}) tương tự dạng bi-URS cho hàm nguyên Trong [8], P Li C C Yang tồn bi-URS cho M(C) có dạng (S; 1), S có 15 phần tử Trong [1], A Boutabaa A Escassut đưa ví dụ cụ thể chứng tỏ với n > tồn bi-URS cho M(C ) có dạng ({a ; a ; ;a }; {!}) họ đặt câu hỏi: Tồn hay không bi-URS cho M(C ) có dạng ({a ; a ; a ; a }; {!}) ({a ; a ; a }; {!}) Trong [2] tác giả chứng minh rằng: khơng tồn bi-URS cho M(C ) có dạng ({a ;a ;a }; {!}) Định lí sau giải câu hỏi lại P -1 P 1 P n P P Định lý 2.4 (xem [6]) Giả sứ q > 4; P(z) thuộc họ đa thức đủ tổng quát bậc q ! Cp Nếu S tập nghiệm P(z) =0 ! S, (S; {!}) bi-URS cho M(C ) P Chứng minh Không tính tổng qt ta giả sử ! = Giả sử tồn hai hàm phân hình khác f, g cho E(f,S) = P(f) E(g, S) E(f, 1) = E(f, 1) Điều kéo theo ỵ = c với P(g) số c = Mặt khác, theo Định lí 2.2 ta có P(z) đa thức yếu Do f = g Vậy (S, {1}) bi-URS cho M(C ) □ p Mệnh đề 2.5 Giả sứ —1,—2 số phân biệt C , S = {— ,— }, p 1 S = {—— }, S = {1} Nếu f g hai hàm phân hình khác phân chia tập S S tính bội tập S khơng tính bội f — g 2 f = — + — — g —1thấy + —2 - gít hai tập hợp Ef (—1) E (—1) Chứng minh.fDễ Giả sử f = — + —2 — g Khi hàm phân hình khác khơng Ap dụng khác tập rỗng Ta xét hai trường hợp sau Định lí thứ hai cho hàm f giá trị — 1, — , —3, — ta có: Trường hợp 1: Ef (—1) \ E (—1) = ; Ef (— ) \ E (— ) = ; 2T(r, f) < N(r, -7^-) - logr + O(1) Theo giả thiết Ef (S) = E (S), ta có Ef f-(— — 1) = E (— ) Ef (— ) = < N(r, ỉịj) — log r + O(1) Eg( — 1) g g g Đặt v> = , g g 2 < T(r, ifj) — log r + O(1) < T(r,f) + T(r,g) - logr + O(1), trương tự 2T(r, g) < T(r, f) + T(r, g) - logr + O(1) Do 2logr < O(1) Điều khơng thể xảy Vậy f = — + —2 — g Trường hợp 2: Ef (—1) \ E (—1) = ; Ef (— ) \ E (—2) = ; Khi g f g - g □ Kết luận Trong luận văn tơi trình bày số kết sau: Trình bày điều kiện đủ để tập hữu hạn URS tính bội chặn cho hàm nguyên hàm phân hình trường đóng đại số, đặc trưng khơng, đầy đủ với chuẩn Acsimet (trường hợp riêng trường p-adic) thơng qua đa thức (Định lí 2.1) Như hệ Định lí 2.1 ta thu URS (tương ứng URS khơng tính bội) cho M(C ) có 10 phần tử (tương ứng 16 phần tử), URS (tương ứng URS khơng tính bội) cho A(C ) có phần tử (tương ứng phần tử) Nghiên cứu đa thức mạnh (yếu) cho hàm phân hình trường C góp phần vào tốn xác định hàm phân hình thơng qua ảnh ngược tập hữu hạn, tức tốn tìm URS cho hàm phân hình Định lí 2.2 đưa điều kiện đại số để đa thức đa thức yếu cho hàm phân hình Do khảng định đa thức đủ tổng quát đa thức yếu Định lí 2.3 đưa điều kiện đại số để đa thức đa thức mạnh cho hàm phân hình Nghiên cứu bi-URS cho hàm phân hình p-adic Định lí 2.4 p p p trả lời cho câu hỏi tồn bi-URS cho hàm phân hình cú dng ({ô1, ô2, ô3,^4}, {!})ã Ti liu tham kho [1] Boutabaa A and Escassut A (1998), "On uniqueness of p-adic meromorphic functions", Proc Amer Math Soc 126(9), pp 2557-2568 [2] Escassut A., Haddad L and Vidal R (1999), "URS, URSIM and nonURS for p-adic functions and for polynomials", J Number Theory 75(1), pp 133-144 [3] Fujimoto H (2000), "On uniqueness for meromorphic functions sharing finite sets", Amer J Math 122(6), pp 1175-1203 [4] Hua X H and Yang C C (1997), "Uniqueness Problem of Entire and Meromorphic functions", Bull HongKong Math Soc 1(2), pp 289-300 [5] Hu P C and Yang C C (1999), " A unique range set of p-adic meromorphic functions with 10 elements”, Act Math Vietnamica 24, pp 95-108 [6] Ha Huy Khoai and Ta Thi Hoai An (2001), "On uniqueness polynomials and Bi-URS for p-adic meromorphic functions", Number Theory 87, pp 211 - 221 [7] Ha Huy Khoai and Ta Thi Hoai An (2003), "Uniqueness problem with truncated multiplicities for meromorphic functions on a nonArchimedean field", Southeast Asian Bull Math 27, pp 477 - 486 [8] Li P and Yang C C (1996), "On the unique range sets of meromorphic functions", Proc Amer Soc, 124, pp 177-185 ... Trường p- adic 1.2 Các định lí Nevanlinna Đa thức t? ?p Bi — URS cho M(C ) p 10 2.1 URS tính bội chặn cho hàm nguyên hàm phân hình Cp 10 2.2 Đa thức cho hàm phân hình. .. Q gọi trường số phức p- adic Kí hiệu A(C ) vành hàm nguyên C M(C ) trường hàm phân hình, có nghĩa trường hàm thương A(C ) p p p p p p p p p p p 1.2 Các định lí Nevanlinna Các hàm đặc trưng Nevanlinna... 1.5 Cho f hàm phân hình khác C Khi t? ?p h? ?p p giá trị a mà Qf (a) > đếm được, đồng thời ta có X tỗf(a) + 0f(a)) X ỡf(a) < a2Cp a2Cp 1 Chương Đa thức t? ?p Bi — URS cho M (Cp) URS tính bội chặn cho