Bài toán từ trường
Giới thiệu bài toán từ trường
Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát hệ phương trình Maxwell có dạng như sau: curl H = −ikε(E + βcurl E), (1.1) curl E = ikà(H + βcurl H), (1.2) ε = à = 1, β = 0
Xây dựng bài toán thuận.
Trong miền R^n, với Γ ∈ C^2 là biên của miền bị chặn Ω ⊂ R^3 và k > 0 là số súng, các hàm ε, μ, β ∈ C^1 (R^3 \ Γ) lần lượt đại diện cho hằng số điện mụi, hằng số từ môi và tính chiral của môi trường Các đại lượng này là các hàm phức không phụ thuộc thời gian và trở thành hằng số khi vật liệu đồng nhất Môi trường được xem là achiral khi β = 0.
Môi trường chiral được định nghĩa bởi 3 h và ngược lại, với các đại lượng E và H là nghiệm của hệ phương trình, tương ứng với sóng điện trường và sóng từ trường Khi sóng tới truyền qua một vật trong môi trường chân không (ε = à = 1 và β = 0), quá trình tán xạ xảy ra Nếu ε ≠ 0 và à ≠ 0, ta đặt q à := à− 1 và q ε := 1 − ε −1 Các đại lượng sóng tới và sóng tán xạ của trường điện và trường từ được ký hiệu lần lượt là E i , H i , E s , H s Sóng toàn phần E, H là sự tổng hợp của sóng tới và sóng tán xạ.
Bằng cách thay trường điện E trong (1.1) vào trường từ H trong (1.2), ta thu được phương trình sau curl h 1 ε − k 2 àβ 2 curl H i
Phương trình (1.3) mô tả các phương trình Maxwell dạng achiral trong miền R n \ Γ, với các hàm tham số ε, α và β Điều này cho thấy sự phân chia giữa các phương trình dạng chiral bên trong miền Ω và ngoài Ω Trường sóng tới H i tuân theo phương trình Maxwell trong chân không, được biểu diễn bởi phương trình (1.4): curl² H i − k² H i = 0 trong R³.
Phân tích sóng tổng hợp trong (1.3) thành sóng tới H i và sóng tán xạ H s , ta được curl 2 H i − k 2 H i − curlh 1 ε − k 2 àβ 2 curl(H i + H s )i
+ k 2 à(H i + H s ) = 0. Rút gọn biểu thức trên và sử dụng 1.4, ta nhận được curl h 1 ε − k 2 àβ 2 curl H s i
Để xác định các điều kiện truyền sóng, ký hiệu ν = ν(x) đại diện cho vectơ pháp tuyến đơn vị tại x ∈ Γ = ∂Ω, hướng ra ngoài miền Ω Trong phần tiếp theo, tất cả các phương trình liên quan đến vectơ tiếp tuyến sẽ được trình bày trên Γ.
Ta ký hiệu F + và F − lần lượt là giới hạn từ bên ngoài và bên trong cho trường vectơ hoặc hàm F.
Các thành phần tiếp tuyến của trường điện từ E và H phải liên tục trên các mặt phân cách, điều này được thể hiện qua các điều kiện ν × H + = ν × H − và ν × E + = ν × E − trên biên Γ Sự liên tục này dẫn đến các điều kiện truyền sóng tại biên Γ của miền Ω Một ví dụ cụ thể sẽ minh họa cách xác định các điều kiện truyền sóng này.
Ví dụ 1.1 (Điều kiện truyền sóng trong trường hợp achiral)
Trong mụi trường khụng từ tớnh achiral (β = 0, à = 0) cỏc phương trỡnh Maxwell (1.1), (1.2) có dạng curl H = −ikεE và curl E = ikH trong R 3 \ Γ
Giả sử cho ε như trên, nghĩa là ε = 1 trong R 3 \ Ω Ta có thể viết các điều kiện liên tục (1.6) theo H dưới dạng các phương trình Maxwell như sau
Điều kiện truyền sóng cho trường sóng tổng hợp được xác định bởi các phương trình E − = − 1 ikε − curl H − và E + = − 1 ik curl H + Từ đó, ta có ν × H + = ν × H − và ν × curl H + = 1 ε − ν × curl H − Điều này dẫn đến điều kiện truyền cho trường sóng tán xạ H s = H − H i, được suy ra từ phép trừ của trường sóng tổng hợp Khi áp dụng các điều kiện ν × H + i = ν × H − i và ν × curl H i = ν × curl H + i = ν × curl H − i, ta nhận được ν × H + s = ν × H − s và 1 ε − ν × curl H − s − ν × curl H + s = ν ×.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xác định các điều kiện truyền sóng cho trường hợp chiral Các giới hạn của trường điện E trong điều kiện liên tục có thể được biểu diễn bằng trường từ H thông qua các phương trình chiral Đối với các điều kiện miền bên ngoài, ta có β = 0 và ε = 1, từ đó chúng ta có thể suy ra những kết luận quan trọng về sự truyền sóng trong môi trường chiral.
− curl H − − ik(àβ) − H − và điều kiện truyền tương ứng là ν × H + = ν × H − và ν × curl H + = ν × 1 ε − k 2 àβ 2
− ν ì curl H − − k 2 (àβ) − ν ì H − Bằng phép trừ ta có được các điều kiện truyền theo trường sóng tán xạ
Các công thức biến phân có vẻ phức tạp, nhưng chúng rất quan trọng trong việc phát triển các công thức này Những biểu thức này thường xuất hiện trong các tích phân trên biên khi thực hiện tích phân từng phần.
Công thức biến phân
Giả sử rằng 1 ε| Ω , ε| Ω , 1 à| Ω , à| Ω , β| Ω ∈ L ∞ (Ω) Về ý tưởng, ta sẽ nhõn phương trình (1.5) với hàm thử và sử dụng tích phân từng phần ta suy ra công thức h biến phân cho H s Đặt:
Lưu ý rằngM i và m i bị triệt tiêu trong R 3 \ Ω Khi đó điều kiện truyền (1.7) chỉ còn ν × M − s − ν × M + s = ν × M − i trên Γ và phương trình tán xạ (1.5) là curl M s − m s = curl M i + m i
Trên cả hai vế của phương trình này, ta hình thành tích vô hướng với hàm thửψ ∈ C 0 ∞ (B,C 3 ) cho quả cầu B ⊃ Ω bất kỳ Khi đó tích phân trên B là
Ta chia miền lấy tích phân của biểu thức bên trái thành B \ Ω và Ω, và áp dụng định lý Green dưới dạng
(ν ì v) ã w ds với lần lượt D = B \ Ω và D = Ω Khi đó, ta có
Các tích phân trên biên bị triệt tiêu do điều kiện truyền sóng Tức là
M i ã curl ψ − m i ã ψ dx h với mọi hàm thử ψ có giá compact Thay các biểu thức cho M s , m s , M i và m i ta có dạng biến phân của phương trình tán xạ:
H i ã curl ψ + curl H i ã ψ dx (1.8) với mọi ψ có giá compact Ta xác định các không gian hàm cho H s , H i và ψ sau khi hình thành điều kiện truyền sóng yếu tương ứng.
Bài toán điện trường
Giới thiệu bài toán điện trường
Các phương trình bậc hai cho trường điện E và từ trường H tương đồng khi hoán đổi ε và μ Tương tự như trường từ, chúng ta có thể xây dựng bài toán truyền sóng cho trường điện Kết quả được tóm tắt như sau: trường sóng tới E_i là nghiệm giải tích cho các phương trình Maxwell trong chân không, cụ thể là phương trình curl 2 E_i − k^2 E_i = 0 trong R^3 Đồng thời, phương trình cho trường sóng tán xạ E_s = E − E_i cũng có dạng curl.
+ k 2 p ε E i trong R 3 \ Γ với p ε := ε − 1 và p à = 1 − 1 à Điều kiện truyền là ν × E + s = ν × E − s h và
= (p à + k 2 εβ 2 ) − ν ì curl E i + k 2 (εβ) − ν ì E i trên Γ Nhắc lại rằng kí hiệu ν là vectơ pháp tuyến đơn vị trên Γ hướng ra bên ngoài miền Ω.
Công thức biến phân
Tương tự bài toán từ trường, ta cũng giả sử rằng 1 ε| Ω , ε| Ω , 1 à| Ω , à| Ω , β| Ω ∈
L ∞ (Ω) Một lần nữa, ta có thể thu được công thức biến phân của phương trình tán xạ bằng cách nhân với hàm thử và tích phân từng phần,
Trong bài toán tán xạ, chúng ta xem xét phương trình biến phân với curl ψ + curl E i ã ψ dx (1.9) cho mọi ψ có giá compact Để giải quyết bài toán này, cần xác định không gian phù hợp Định nghĩa đầu tiên giải thích ý nghĩa của toán tử curl yếu, trong khi định nghĩa thứ hai giới thiệu khái niệm về tính chất hướng ngoại của nghiệm (outgoing solutions).
Trong không gian hàm L²(D), được xác định cho các hàm vô hướng trên tập con đo được D ⊂ R³ với độ đo dương, chuẩn kuk L²(D) được sử dụng để đánh giá các hàm này.
Trong toàn bộ luận văn, ký hiệu |ã| đại diện cho giá trị tuyệt đối của đại lượng vụ hướng, trong khi |ã| là chuẩn Euclid của đại lượng vectơ Định nghĩa 1.2 liên quan đến Curl yếu.
Cho D ⊂R 3 là miền bị chặn.
(b) Với v ∈ L 2 (D,C 3 ) , ta nói v ∈ H(curl, D) nếu tồn tại hàm w ∈ L 2 (D,C 3 ) sao cho
Khi đó, ta ký hiệu curl v := w, được gọi là curl yếu của v.
∀B ⊂ R 3 : v| B ∈ H(curl, B)}, trong đó B ký hiệu quả cầu trong R 3
H c (curl,R 3 ) := ψ :R 3 → C 3 | ∃B ⊂ R 3 : supp ψ ⊂ B, ψ| B ∈ H(curl, B ) Định nghĩa 1.3 ([11]) (Nghiệm Radiating (Radiating solution))
Một nghiệm (E s , H s ) cho các phương trình Maxwell trongR 3 \ Ω được gọi là RADIATING nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện bức xạ Silver − M¨ uller
Khi |x| → ∞, có mối quan hệ H s (x) × x ˆ − E s (x) = O(|x| −2 ) với x ˆ = x/|x| trong không gian R 3, trong đó |ã| là chuẩn Euclid Chúng ta sẽ làm việc với một trong các trường và đưa ra các biểu thức tương đương thông qua trường và curl của nó Mệnh đề 1.4 xác định một nghiệm U cho các phương trình Maxwell có dạng curl 2 U − k 2 U = 0 là radiating nếu và chỉ nếu U thỏa mãn một trong hai điều kiện: curl U × x ˆ − ikU = O(|x| −2 ) hoặc ikU × x ˆ + curl U = O(|x| −2 ) khi |x| → ∞ Để chứng minh điều này, ta nhân (1.10) với −ik và sử dụng curl H s = −ikE s, từ đó dẫn đến điều kiện đầu tiên của mệnh đề, và tương tự cho điều kiện thứ hai.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khảo sát sự tồn tại nghiệm của phương trình, tập trung vào công thức cho H Để đạt được kết quả duy nhất và chuẩn bị cho phương pháp Nhân tử hóa, chúng ta sẽ xem xét cả điện trường và từ trường, đồng thời thảo luận về nghiệm (E s, H s) cho bài toán truyền sóng Bổ đề tiếp theo cho thấy rằng với một nghiệm H s trong bài toán truyền sóng từ trường đã cho, chúng ta có thể xác định trường điện tương ứng và ngược lại.
Bổ đề 1.5 ([11]) (Sự tương đương của công thức biến phân)
Hai công thức biến phân là tương đương nhau theo nghĩa sau.
(a) Cho H i là trường sóng tới Nếu H s ∈ H loc (curl,R 3 ) là một nghiệm radiating của phương trình (1.8) với mọi ψ ∈ H c (curl,R 3 ) thì E s ∈ H loc (curl,R 3 ) được xác định bởi
−ikE s := 1 ε − k 2 àβ 2 curl H s −k 2 àβH s −(q ε +k 2 àβ 2 ) curl H i −k 2 àβH i (1.11) là một nghiệm radiating của (1.9) với mọi ψ ∈ H c (curl,R 3 ) với
(b) Cho E i là trường sóng tới Nếu E s ∈ H loc (curl,R 3 ) là một nghiệm radiating của phương trình (1.9) với mọi ψ ∈ H c (curl,R 3 ) thì H s ∈ H loc (curl,R 3 ) được xác định bởi ikH s :=
1 à − k 2 εβ 2 curl E s − k 2 εβE s − (p à + k 2 εβ 2 ) curl E i − k 2 εβE i là một nghiệm radiating của (1.8) với mọi ψ ∈ H c (curl,R 3 ) với ikH i := curl E i h
(a) Theo định nghĩa của E s phương trình (1.8) chỉ ra rằng curl E s tồn tại địa phương theo nghĩa yếu và
− ik curl E s = k 2 à(β curl H s + H s ) + k 2 àβ curl H i + k 2 q à H i (1.13) theo nghĩa yếu Với mọi x / ∈ Ω ta có −ikE s = curl H s và
Theo Mệnh đề 1.4, ta dễ dàng kiểm tra được với H s cũng như E s là radiating.
Sử dụng các trường sóng tổng hợp H = H s + H i và E = E s + E i , phương trình (1.11) - (1.13) cho ta
(1.14) Định thức của ma trận hệ số là det = k 2 à ε (1 − k 2 εàβ 2 ) + k 4 à 2 β 2 = k 2 à ε ∈ L ∞ (Ω) và ma trân nghịch đảo được đưa ra bởi
Ta nhân phương trình (1.14) với ma trận nghịch đảo:
. Đưa vào định nghĩa của curl yếu, ta được
H ã curl ψ − curl H ã ψ dx = 0 với mọi ψ ∈ C 0 ∞ (R 3 , C 3 ), và sử dụng lại E = E s + E i với curl 2 E i − k 2 E i = 0 cho ta phương trình (1.9).
Chứng minh tương tự cho mệnh đề (b)
Chúng ta kết thúc phần này bằng việc trình bày công thức chính xác cho bài toán truyền sóng từ trường mà chúng ta muốn giải, đây là sự mở rộng của bài toán truyền sóng từ trường (1.8) ở hai phương diện.
Trong đạo hàm của công thức biến phân, vế phải của phương trình tán xạ chứa dữ liệu đầu vào trong Ω Điều này cho phép mở rộng các dữ liệu đầu vào tổng quát hơn như (g, h).
Số sóng thực k2 = ω2ε0 > 0 xuất hiện trong một số hạng của phương trình (1.8) Trong phân tích bài toán truyền sóng, cần cho phép các giá trị phức tại một số vị trí Do đó, chúng ta giới thiệu tham số phức κ để thay thế số sóng khi cần thiết, với κ có thể nhận các giá trị k hoặc ik.
Giả thiết 1.6 ([11]) (Các tham số vật liệu)
Cho miền Lipschitz bị chặn Ω ⊂ R³, chúng ta giả định rằng các hằng số điện môi phức ε và hằng số từ mụi phức à đều được xác định, trong khi đó, giả sử rằng tính chiral β nhận giá trị thực.
Chính xác hơn, 1 ε , à ∈ L ∞ (R 3 , C ) và β ∈ L ∞ (R 3 , R ) sao cho ε = 1, à = 1 và β = 0 trong R 3 \ Ω
Bài toán 1 ([11]) (Bài toán truyền sóng từ yếu)
Cho k > 0 và κ ∈ Π Cho trước dữ liệug, h ∈ L 2 (Ω,C 3 ) Với giả thiết 1.6, xác định v ∈ H loc (curl,R 3 ) sao cho v là radiating và thỏa mãn
Ω κ 2 g ã ψ + h ã curl ψ dx (1.15) với mọi ψ ∈ H c (curl,R 3 )
Thêm nữa, ta phát biểu bài toán truyền sóng điện yếu Trong trường hợp này ta không cần tổng quát hóa bài toán cho các số sóng phức.
Giả thiết 1.7 ([11]) (Các tham số vật liệu)
Cho miền Lipschitz bị chặn Ω ⊂ R³, chúng ta giả định rằng các hằng số điện môi phức ε và hằng số từ mụi phức μ được xác định, trong khi giả sử rằng tính chiral β nhận giá trị thực.
Chính xác hơn, ε, 1 à ∈ L ∞ (R 3 , C ) và β ∈ L ∞ (R 3 , R ) sao cho ε = 1, à = 1 và β = 0 trong R 3 \ Ω
Bài toán 2 ([11]) (Bài toán truyền sóng điện yếu)
Cho k > 0 và κ ∈ Π Cho trước dữ liệug, h ∈ L 2 (Ω,C 3 ) Với giả thiết 1.7, xác định v ∈ H loc (curl,R 3 ) sao cho v là radiating và thỏa mãn
Ω k 2 g ã ψ + h ã curl ψ dx (1.16) với mọi ψ ∈ H c (curl,R 3 )
Phương trình vi tích phân
Phương trình vi tích phân được sử dụng để phát triển một công thức thay thế cho bài toán truyền sóng tổng quát Mục tiêu là áp dụng lý thuyết Fredholm, do đó cần giới thiệu các thế vị vectơ nhất định để dẫn đến phương trình vi tích phân và chứng minh sự tương đương.
Nghiệm cơ bản cho phương trình vô hướng Helmholtz đóng vai trò quan trọng trong việc xác định hàm hạt nhân cho các thế vị vectơ Định nghĩa 1.8 đề cập đến khái niệm này một cách rõ ràng.
Với κ ∈ Π nghiệm cơ bảnΦ κ của phương trình vô hướng Helmholtz trong R 3
∆u + κ 2 u = 0 được xác định bởi Φ κ (x, y) := exp(iκ|x − y|)
Bổ đề tiếp theo cung cấp các thế vị vectơ cơ bản để giải các phương trình Maxwell. h
Ω f (y)Φ κ (x, y) dy, x ∈R 3 , xác định một hàm trong H loc (curl,R 3 ) thỏa mãn curl 2 u − κ 2 u = curl f theo nghĩa biến phân; tức là,
Ω f ã curl ψ dx với mọi ψ ∈ H c (curl,R 3 ) Hơn nữa u là radiating và thu hẹp u| Ω của u trên
Ω xác định toán tử bị chặn từ L 2 (Ω,C 3 ) vào H(curl, Ω).
Ω f (y)Φ κ (x, y) dy, x ∈R 3 , xác định một hàm trongH loc (curl,R 3 ) thỏa mãncurl 2 u −κ 2 u = κ 2 f theo nghĩa biến phân; tức là,
Ω f ã ψ dx với mọi ψ ∈ H c (curl,R 3 ) Hơn nữa u là radiating và thu hẹp u| Ω của u trên
Ω xác định toán tử bị chặn từ L 2 (Ω,C 3 ) vào H(curl, Ω).
Chúng ta sẽ phát triển một phương trình vi tích phân dựa trên bổ đề đã nêu Nhằm mục đích này, bài toán truyền sóng (1.15) sẽ được tái cấu trúc để biểu thức dạng biến phân của phương trình Maxwell trên toàn không gian xuất hiện ở vế trái.
(q ε + k 2 àβ 2 ) curl v + k 2 àβv + h ã curl ψ dx h với mọi x ∈ Ω.
Ta nhận ra các phương trình từ bổ đề trước với lần lượt là f = (q ε + k 2 àβ 2 ) curl v + k 2 àβv + h và f = q à v + àβ curl v + g.
Lưu ý suppf ⊂ Ω trong cả hai trường hợp Điều chỉnh các thế vị trong bổ đề trước cho ta phương trình vi tích phân cho v. v(x) = (κ 2 + ∇ div)
(q ε + k 2 àβ 2 ) curl v + k 2 àβv + h Φ κ (x, ã) dy (1.17) với x ∈ Ω Ta viết gọn
Chúng ta phải chỉ ra rằng việc giải phương trình vi tích phân này tương đương với giải bài toán truyền sóng. Định lý 1.10 ([11]) (Sự tương đương)
(a) Cho v ∈ H loc (curl,R 3 ) là một nghiệm radiating của (1.15) Khi đó v| Ω ∈ H(curl, Ω) là nghiệm của (1.17).
(b) Chov ∈ H(curl, Ω) là một nghiệm của (1.17) Khi đóv có thể được thác triển thành một nghiệm radiating của (1.15).
Trong chứng minh này, tất cả các phương trình vi phân từng phần phải được hiểu theo nghĩa yếu.
(a) Định nghĩa v 1 và v 2 bởi v 1 (x) := (κ 2 + ∇ div)
Trong bài toán truyền sóng, v ∈ H loc (curl,R 3 ) là một nghiệm yếu, với các hàm q à v + àβ curl v + g và (q ε + k 2 àβ 2 ) curl v + k 2 àβv + h khả tích bậc 2 trên miền Ω Theo Bổ đề 1.9, các nghiệm radiating v 1 và v 2 trong H loc (curl,R 3 ) thỏa mãn các phương trình curl 2 v 1 − κ 2 v 1 = κ 2 [q à v + àβ curl v + g] và curl 2 v 2 − κ 2 v 2 = curl.
Do đó, ta được curl 2 (v 1 + v 2 ) − κ 2 (v 1 + v 2 )
Trong không gian R³, với điều kiện curl²v - κ²v, ta có v₁ + v₂ và v đều là nghiệm radiating, dẫn đến w = v - v₁ - v₂ cũng là nghiệm radiating của phương trình curl²w - κ²w Từ đó, ta kết luận rằng w = 0, suy ra v = v₁ + v₂ thỏa mãn phương trình vi tích phân (1.17) Đối với trường hợp v ∈ H(curl, Ω) là một nghiệm của (1.17), ta mở rộng v thành hàm ˜v trên R³, trong đó v| ˜Ω = v và theo Bổ đề 1.9, ˜v ∈ H loc(curl, R³) là nghiệm radiating của phương trình curl²˜v - κ²˜v = κ²[q à v + àβ curl v + g] + curl.
TrênΩ ta có v ˜ = v nên ta có thể viết curl 2 v ˜ − κ 2 v ˜ = κ 2 [q à v ˜ + àβ curl ˜ v + g] + curl
Từ định lý đã nêu, v ˜ được xác định là một nghiệm radiating của phương trình (1.15) Điều này cho phép chúng ta tập trung vào phương trình vi tích phân để nghiên cứu tính giải được của bài toán Tương tự, chúng ta cũng có thể xây dựng một phương trình vi tích phân cho bài toán truyền sóng điện.
Phương trình vi phân tích phân tương đương với bài toán truyền sóng điện trường (Bài toán 2) được hiểu là v(x) = (k 2 + ∇ div)
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Mục tiêu của bài viết là giải bài toán truyền sóng từ trường với κ = k > 0 Trước đó, chúng ta đã phát triển một công thức tương đương, cụ thể là phương trình vi phân tích phân Lippmann-Schwinger (1.17), với v(x) = (κ² + ∇ div).
Dựa trên lý thuyết Fredholm, chúng ta diễn tả phương trình vi tích phân qua các toán tử được xác định một cách thích hợp, nhằm nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cho bài toán Phần đầu tiên của bài viết sẽ trình bày lại phương trình vi tích phân dưới dạng một phương trình toán tử.
Phương trình (I − A k T A − B k T B)v = f cho thấy rằng I − A k T A − B k T B là một nhiễu compact của một đẳng cấu, trong đó k biểu thị số sóng Phần thứ hai của bài viết cung cấp hai kết quả về tính duy nhất: một cho các tham số vật liệu phức và một cho các hàm tham số trơn Cuối cùng, phần này cũng thảo luận về bài toán truyền sóng điện trường (1.9) mà chúng ta đang nghiên cứu.
Chứng minh sự tồn tại nghiệm
Như đã đề cập trong phần giới thiệu của phần này, ta xác định hai toán tử
A κ , B κ về cơ bản là các thế vị vectơ từ Bổ đề 1.9 và hai toán tử phụ T A , T B điều
19 h chỉnh các thế vị vectơ cho phương trình vi tích phân của chúng ta Hàm f bao gồm các số hạng không phụ thuộc vào v. Định nghĩa 2.1 ([11])
Cho k > 0 và κ ∈ Π Xác định các toán tử tuyến tính A κ , B κ : L 2 (Ω,C 3 ) → H(curl, Ω) và T A , T B : H(curl, Ω) → L 2 (Ω,C 3 ) bởi
Với các toán tử này, phương trình (1.17) trên dễ dàng xác định
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng phương trình toán tử này có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một đẳng cấu bị chặn và một toán tử compact Để thực hiện điều này, chúng ta sẽ áp dụng các toán tử A ik.
B ik với k > 0 để phân chia phương trình:
Phần đầu tiên ở vế trái tương ứng với một phương trình biến phân, cho thấy v nhận một nghiệm duy nhất theo bổ đề Lax-Milgram Phần thứ hai đề cập đến các toán tử compact.
Hai bổ đề sơ bộ tiếp theo dẫn đến kết quả tương đương định chuẩn và dạng cơ bản của toán tử compact Chúng ta đang xem xét các toán tử tích phân với các hàm hạt nhân kỳ dị yếu.
Bổ đề 2.2 ([11]) Cho Ω ⊂R 3 là miền bị chặn và g ∈ L ∞ (Ω) Với v = (v 1 , v 2 ) ∈
L 2 (Ω,C 3 ) 2 , hai chuẩn k ã k L 2 (Ω, C 3 ) 2 và k ã k g là tương đương với kvk 2 L 2 (Ω, C 3 ) 2 = kv 1 k 2 L 2 (Ω, C 3 ) + kv 2 k 2 L 2 (Ω, C 3 ) và k ã k g được định nghĩa bởi kvk 2 g := kv 1 + gv 2 k 2 L 2 (Ω, C 3 ) + kv 2 k 2 L 2 (Ω, C 3 )
Ta dùng bất đẳng thức a 2 + b 2 ≤ (a + b) 2 ≤ 2(a 2 + b 2 ) với a, b ≥ 0. kv 1 + gv 2 k 2 ≤ (kv 1 k + kgk L ∞ kv 2 k) 2
kv 1 k 2 + kv 2 k 2 ≤ (kv 1 k + kv 2 k) 2 = (kv 1 + gv 2 − gv 2 k + kv 2 k) 2
Định nghĩa 2.3 ([11]) (Thế vị "thể tích" (Volume potential))
Cho d = 2 hoặc d = 3 và cho Ω ⊂R d là miền bị chặn Định nghĩa thế vị "thể tích" cho một hàm hạt nhân G : Ω × Ω →C là
Hạt nhân G được gọi là kỳ dị yếu bậc α nếu tồn tại hằng số dương M và α ∈ [0, d) sao cho G liên tục với mọi x, y ∈ Ω với x 6= y và
Lưu ý rằng, ở vế trỏi thỡ | ã | là giỏ trị tuyệt đối của một số phức và vế phải
| ã | là kớ hiệu chuẩn Euclid trờn R d h
Bổ đề 2.4 ([11],[12]) Cho d = 2 hoặc d = 3 Cho G là hạt nhân kỳ dị yếu bậc α < d
2 Khi đó thế vị "thể tích" V [G] xác định toán tử tuyến tính compact từ
Theo Định lý 2.21 trong tài liệu [12], tính compact của toán tử tích phân V [G] có thể được chứng minh từ không gian (C(Ω), k · k L2(Ω)) vào chính không gian đó Trong bước tiếp theo, tác giả áp dụng kết quả từ lý thuyết phiếm hàm, trong đó không gian định chuẩn (X, k · k) là sự khai triển của X ˜ Đối với hai không gian định chuẩn X và Y cùng với toán tử compact A: X → Y, tồn tại một toán tử duy nhất.
A ˜ : ˜ X → Y ˜ sao cho Ax = ˜ Ax với x ∈ X và kAk = k Ak ˜ cũng compact Ta kết luận rằng V [G] là compact từ L 2 (Ω) vào L 2 (Ω).
Để đưa ra định lý chính, các điều kiện cần thiết phải đảm bảo tính cưỡng bức của dạng nửa song tuyến tính, điều này được thể hiện rõ trong quá trình chứng minh khi áp dụng bổ đề Lax-Milgram.
Giả thiết 2.5 ([11]) Cho số sóng k > 0 và M có giá trị thực Ngoài ra với giả thiết 1.6, giả sử rằng tồn tại các hằng số dương c 1 , c 2 và c 3 ∈ [0, 1) sao cho
Hai điều kiện đầu tiên yêu cầu các tham số vật liệu xuất hiện phải được giới hạn từ 0 Điều kiện thứ ba liên quan đến sự đối xứng trong các tham số à và ε, đồng thời phụ thuộc vào số sóng k² Điều này được thực hiện khi k²β² đủ nhỏ hoặc β = 0, tương ứng với trường hợp achiral Định lý 2.6 nêu ra rằng, dựa trên giả thiết 2.5, các điều kiện trên sẽ được áp dụng.
(a) Các toán tử T A , T B là bị chặn từ H(curl, Ω) vào L 2 (Ω,C 3 )
(b) Các toán tử A k − A ik và B k − B ik là compact từ L 2 (Ω,C 3 ) vào H(curl, Ω). (c) Toán tử I − A ik T A − B ik T B là có nghịch đảo bị chặn trong H(curl, Ω).
(a) T A v = q à v + àβ curl v Đỏnh giỏ trực tiếp cho ta kT A vk L 2 = kq à v + àβ curl v k L 2 ≤ kq à k L ∞ kv k L 2 + kàβk L ∞ kcurl vk L 2
≤ max{kq à k L ∞ , kàβk L ∞ }kvk H(curl,Ω)
Tương tự đỳng cho T B v = (q ε + k 2 àβ 2 )curl v + k 2 àβv.
(b) Ta chứng tỏ tính compact của A k − A ik :
Hai tích phân đầu tiên mô tả các vectơ ba chiều của thế vị "thể tích" và xác định một hàm trong H 2 (Ω,C 3 ) H 2 (Ω,C 3 ) được nhúng compact trong H 1 (Ω,C 3 ), dẫn đến việc hai tích phân này đại diện cho một toán tử compact từ L 2 (Ω,C 3 ) vào H 1 (Ω,C 3 ) Điều này ngụ ý tính compact từ L 2 (Ω,C 3 ) vào H(curl, Ω).
Với số hạng thứ ba, ta có
Ta xét các đạo hàm cấp hai của hạt nhân chi tiết hơn Sử dụng khai triển exp(z) = 1 + z + z 2
4π |x − y| + |x − y| 2 R(|x − y|) h trong đó chuỗi lũy thừa R(z) =
X j=0 r j z j với các hệ số không đổi r j , j ∈ N0 Ta tính gradient
|x − y| + [2R(|x − y|) + |x − y|R 0 (|x − y|)](x − y). Đạo hàm cấp hai được cho bởi ma trận (3 × 3)
Các đạo hàm cấp hai của Φ k − Φ ik có tính kỳ dị yếu bậc 1, dẫn đến tính compact của A k − A ik như một toán tử từ L 2 vào L 2 Với điều kiện curl(∇ div ( .)) = 0, ta cũng xác định được tính compact từ L 2 (Ω,C 3 ) vào H(curl, Ω) Do đó, A k − A ik được coi là compact như một toán tử từ L 2 (Ω,C 3 ) vào H(curl, Ω).
B k − B ik thể hiện một vectơ ba chiều của các thế vị "thể tích" với hàm hạt nhân kỳ dị yếu bậc 0, liên quan đến phép toán ∇ x |x − y| Hơn nữa, curl(B k − B ik ) cũng biểu thị một vectơ ba chiều của các thế vị "thể tích" nhưng với hàm hạt nhân kỳ dị yếu bậc 1, tương ứng với phép toán ∇ 2 x |x − y|.
Ta kết luận rằng B k − B ik là compact từ L 2 vào H(curl, Ω).
(c) Với mọi f ∈ H(curl, Ω)xét phương trình v − A ik T A v − B ik T B v = f.
Lấy w = v − f ta đượcw − A ik T A w − B ik T B w = A ik T A f + B ik T B f, hay rõ ràng w(x) = (−k 2 + ∇ div)
(q ε + k 2 àβ 2 ) curl(w + f) + k 2 àβ (w + f ) Φ ik (x, ã) dy với x ∈ Ω Phương trình này có dạng của (1.17) với κ = ik và các hàm g và h (trong phương trình vi tích phân) được cho bởi g := q à f + àβ curl f và h := (q ε + k 2 àβ 2 ) curl f + k 2 àβf. h
Do đó, theo Đinh lí 1.10, w có thể được khai triển thành nghiệm radiating của bài toán
R 3 h 1 ε − k 2 àβ 2 curl w − k 2 àβwi ã curl ψ + k 2 à[β curl w + w] ã ψ dx
−k 2 g ã ψ + h ã curl ψ dx (2.1) với mọi ψ ∈ H c (curl,R 3 ) (với các hàm g và h như trên) Theo định nghĩa, w =
Dựa vào định nghĩa của Φ ik và dạng w = A ik T A v + B ik T B v, ta kết luận rằng w phân rã theo cấp số nhân khi |x| tiến tới vô cùng Do đó, w thuộc H(curl,R 3 ) và phương trình biến phân đúng với mọi ψ ∈ H(curl,R 3 ) Để áp dụng bổ đề Lax-Milgram, ta định nghĩa dạng nửa song tuyến tính trên H(curl,R 3 ) × H(curl, R 3 ) và dạng tuyến tính liên hợp trên H(curl,R 3 ).
Hiển nhiên a và b là bị chặn.
+ k 2 kàβ 2 k L ∞ kcurl wk L 2 kcurl ψk L 2 + k 2 kàβ k L ∞ (kcurl wk L 2 kψk L 2 + kwk L 2 kcurl ψk L 2 ) + k 2 kàk L ∞ kwk L 2 kψk L 2
2 max{khk L 2 , k 2 kgk L 2 } kψ k H (curl,Ω) Ở đây ta sử dụng bất đẳng thức x + y ≤ √
2p x 2 + y 2 với x, y ≥ 0 Ta chứng h tỏ tính cưỡng bức của a: a(w, w) =
1 ε |curl w| 2 − k 2 àβ 2 |curl w| 2 + k 2 à|w| 2 + k 2 àβ (curl w ã w − w ã curl w) dx
Ta lấy phần thực của phương trình này và sử dụng nhị thức |x + iy| 2 =
|x| 2 + 2Im(xy) + |y| 2 (Nhắc lại rằng β là giá trị thực.)
:= min c 2 (1 − c 3 ), k 2 c 1 kwk 2 β trong đú k ã k β là chuẩn tương đương với k ã k H(curl, R 3 ) theo Bổ đề 2.2 với v 1 = w, v 2 = curl w và g = iβ Imà
Reà Bõy giờ chỳng ta quay trở lại phương trỡnh ban đầu (I − A ik T A − B ik T B )v = f.
Với f thuộc H(curl, Ω), ta xác định nghiệm duy nhất w của phương trình (2.1) và định nghĩa v bằng w| Ω cộng với f Khi đó, ta có mối quan hệ v − f = A ik T A v − B ik T B v Theo định lý này, tất cả các điều kiện cho định lý thay phiên Fredholm đều được thỏa mãn, từ đó chúng ta có thể trình bày kết quả tồn tại trong hệ quả tiếp theo.
Hệ quả 2.7 khẳng định rằng đối với mọi cặp (g, h) thuộc không gian L²(Ω, C³), tồn tại duy nhất một nghiệm radiating v thuộc H_loc(curl, R³) của phương trình (1.15), với điều kiện bài toán thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường Hơn nữa, với bất kỳ tập compact B chứa Ω, có một hằng số C > 0 sao cho norm kvk_H(curl, B) không vượt quá C nhân với norm k(g, h)k_L²(Ω)² cho mọi cặp (g, h) trong L²(Ω, C³)².
Chúng tôi đã điều chỉnh các giả thiết trong phần 2.5 và đưa ra kết quả tồn tại cho bài toán truyền sóng điện trường trong hệ quả thứ hai của định lý đã nêu.
Giả thiết 2.8 ([11]) Cho số sóng k > 0 và M có giá trị thực Ngoài ra với giả thiết 1.7, giả sử rằng tồn tại các hằng số dương c 1 , c 2 và c 3 ∈ [0, 1) sao cho
Hệ quả 2.9 cho thấy rằng, dưới giả thiết 2.8, với mọi dữ liệu đầu vào (g, h) thuộc L²(Ω, C³)×L²(Ω, C³), tồn tại duy nhất một nghiệm radiating v thuộc H_loc(curl, R³) của phương trình (1.16), đồng thời khẳng định sự tồn tại và duy nhất của nghiệm Hơn nữa, chúng ta cũng có thể thu được một đánh giá tương tự cho v trong hệ quả này.
Chứng minh tính duy nhất nghiệm
Kết quả tồn tại dựa trên giả thiết rằng bài toán thuần nhất chỉ nhận nghiệm tầm thường Chúng tôi trình bày hai kết quả liên quan đến tính duy nhất của nghiệm Định lý 2.10 ([9],[11])
Giả sử rằng có một giả thiết 2.5 và Im ε > 0, Im à ≥ 0 trên toàn bộ miền Ω Dưới các điều kiện này, bài toán truyền sóng từ trường thuần nhất (1.15) chỉ có một nghiệm duy nhất.
Giả sử v là một nghiệm của bài toán truyền sóng từ trường thuần nhất, cụ thể là Bài toán 3 với κ = k Trong trường hợp này, v là nghiệm của phương trình (1.15) với g = 0 và h = 0 Tập hợp ψ = φv trong (1.15), trong đó φ thuộc C 0 ∞ (R 3) là các "mollifier", với điều kiện φ(x) = 1 nếu h.
|x| ≤ R và φ(x) = 0 nếu |x| ≥ 2R, R được chọn sao cho |x| < R với mọi x ∈ Ω. Khi đó, theo công thức Green
Lấy phần ảo và sử dụng Im ε > 0 và Im à ≥ 0 cho ta
Từ đây, ta ước lượng
Như trong chứng minh của Định lý 5.5 trong [9], ta kết luận rằng v triệt tiêu bên ngoài Ω Bây giờ, phương trình (2.2) chỉ còn
Lấy phần ảo cho ta curl v = 0 trong Ω và do đó β curl v + v = 0 từ v = 0 trong Ω.
Hệ quả 2.11 cho thấy rằng nếu giả thiết 2.8 được thỏa mãn với Im à > 0 và Im ε ≥ 0 hầu khắp nơi trong Ω, thì bài toán truyền sóng điện trường thuần nhất (1.16) sẽ có không quá một nghiệm Định lý 2.12 cũng hỗ trợ cho kết luận này.
Giả sử các giả thiết 2.5 và 2.8 được thỏa mãn, với ε, à, β ∈ C²(R³) và k²εàβ² ≠ 1 trong R³ Khi đó, cả hai bài toán truyền sóng từ trường thuần nhất và truyền sóng điện trường thuần nhất chỉ có không quá một nghiệm.
Chứng minh này dựa trên tác giả Ammari và Nédélec, lập luận chính là nguyên lý mở rộng duy nhất Giả sử v là nghiệm của bài toán truyền sóng từ trường thuần nhất với κ = k, tức là v là radiating và là nghiệm của (1.15) với g = h = 0 Như trong chứng minh của định lý trước, ta kết luận rằng v triệt tiêu bên ngoài Ω Hàm w được xác định như sau.
Theo công thức yếu của bài toán thuần nhất: w ∈ H loc (curl,R 3 ) Khi đó theo
Bổ đề 1.5, w là một nghiệm radiating của bài toán truyền sóng điện trường thuần nhất và ta có
Từ hai phương trình cuối cùng, ta có thể suy ra curl v = k 2 εàβ
Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện theo hướng dẫn trong [1] Từ hệ thống này, chúng ta tính toán curl 2 v, curl 2 w, div v và div w Sau đó, chúng ta sử dụng vectơ đơn vị ∆ = ∇ div − curl 2 và áp dụng nguyên lý mở rộng duy nhất từ [5] theo phiên bản của Bổ đề 4.15 trong [13].
Chỳ ý rằng det M = −k 2 εà 6= 0 Khi đú, cỏc phương trỡnh trờn chỉ cũn
. Lấy div hai vế, ta thu được
Từ hai phương trình cuối cùng, ta kết luận
Vì v triệt tiêu ở bên ngoài Ω nên w cũng triệt tiêu ở bên ngoài Ω, vết ν × v và ν × w cũng triệt tiêu trên ∂B với quả cầu B ⊃ Ω bất kỳ Do đó, với quả cầu
B ⊃ Ω bất kỳ: curl v ∈ L 2 (B,C 3 ), div v ∈ L 2 (B) và ν × v = 0 trên ∂B Ta kết luận v ∈ H 1 (B,C 3 ) Tương tự đúng cho w Tính
; nghĩa là, curl v = ∇m 11 × v + ∇m 12 × w + m 11 curl v + m 12 curl w, curl w = ∇m 21 × v + ∇m 22 × w + m 21 curl v + m 22 curl w.
Cuối cùng, với ∆ = ∇ div − curl 2 ,
và ∆ v, ∆ w tồn tại trong L 2 Có thể suy ra các ước lượng của dạng
Đối với các giá trị |v j|, |w j|, |∇ v j| và |∇ w j| với j = 1, 2, 3, chúng ta có thể áp dụng nguyên lý mở rộng duy nhất của Bổ đề 4.15 trong tài liệu [13] Điều này cho phép v (và w) triệt tiêu trong miền B ⊃ Ω Lập luận tương tự cũng áp dụng cho bài toán truyền sóng điện trường thuần nhất.
Biểu diễn nghiệm qua chuỗi các hàm cầu điều hòa
Trong tọa độ cầu, chúng ta có thể phát triển chuỗi nghiệm cho các phương trình Maxwell trong hệ vectơ cầu điều hòa Bài viết này tập trung vào việc nghiên cứu hiện tượng tán xạ ánh sáng bởi một quả cầu chiral đồng nhất, với tất cả các thông số vật liệu đều là giá trị thực.
[3] nghiên cứu một bài toán tương tự: tán xạ bằng cách dẫn một cách hoàn hảo quả cầu nằm trong môi trường chiral.
Trong phần đầu, chúng ta sẽ giải quyết bài toán truyền sóng thuận bằng cách nhắc lại các bước chính để suy ra vectơ cầu điều hòa, với kết quả được tham khảo từ tài liệu [5] Các hàm cầu Bessel và Hankel tạo thành các nghiệm cơ bản cho phương trình Maxwell, được gọi là hàm sóng vectơ Tiếp theo, chúng ta sẽ xử lý bài toán achiral, bắt đầu với chuỗi biểu diễn trường sóng tới và đưa ra các chuỗi khai triển cho trường sóng tán xạ, cũng như phổ trường sóng xa, phụ thuộc vào hệ số của trường sóng tới Đối với bài toán truyền sóng chiral, chúng ta sẽ áp dụng khai triển Bohren [4], trong đó điện trường và từ trường được phân tách thành tổng các trường Beltrami, thỏa mãn các phương trình achiral Maxwell cho các số sóng khác nhau, cho phép áp dụng trực tiếp các kết quả achiral cho trường hợp chiral.
Phần thứ hai của bài viết tập trung vào toán tử trường sóng xa, đặc biệt trong trường hợp hình cầu Chúng ta có thể biểu diễn toán tử trường sóng xa F một cách rõ ràng và tiến hành tính toán các giá trị riêng cùng với các hàm riêng liên quan.
Phương trình Maxwell trong hệ vectơ cầu điều hòa
Phổ trường sóng xa và toán tử trường sóng xa
Trong chương trước, chúng ta đã thảo luận về bài toán truyền sóng từ trường và cách tính toán điện trường từ từ trường là nghiệm cho bài toán này Ở phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu nghiệm (E s , H s ) cho bài toán truyền sóng Đặc biệt, chúng ta có thể suy ra dáng điệu tiệm cận của nghiệm ở vô cùng từ nghiệm cơ bản Φ k thông qua các công thức biểu diễn Stratton–Chu Khi nắm rõ các phổ trường sóng xa, chúng ta sẽ chọn các trường sóng tới đặc biệt, được xác định bởi các trường tiếp tuyến, nhằm biểu thị các vectơ phân cực và xác định ánh xạ toán tử trường sóng xa từ trường tiếp tuyến đến phổ trường sóng xa.
Các công thức được lấy từ các chứng minh của Định lý 2.5 và 6.8 trong [5].
Bổ đề 3.1 ([11]) (Dáng điệu tiệm cận (Asymptotic behavior) của Φ k ) Cho Ω là miền bị chặn với biên Γ
(a) Nghiệm cơ bản Φ k có dạng tiệm cận Φ k (x, y) = e ik|x|
, |x| → ∞ đều theo mọi hướng x ˆ := x/|x| với mọi y ∈ Γ.
(b) Với vectơ hằng số a ∈C 3 bất kì, đạo hàm của (a Φ k ) có dạng tiệm cận curl x a Φ k (x, y) = ik e ik|x|
Chúng ta tiếp tục khám phá các công thức Stratton–Chu nổi tiếng, trong đó họ đã mô tả nghiệm của phương trình Maxwell trên một miền thông qua các vết của chúng, theo tài liệu [5] Chứng minh cho dạng yếu có thể được tìm thấy trong sách của Monk [13], người cũng chỉ ra rằng các vết được xác định rõ Cụ thể, với miền Lipschitz bị chặn ChoD và pháp tuyến ngoài đơn vị ν, ánh xạ v 7→ ν × v| ∂D với v ∈ (C ∞ (D)) 3 có thể được khai triển liên tục thành ánh xạ tuyến tính liên tục từ H(curl, D) đến H − 1 2 (∂D) 3, như nêu trong Định lý 3.29 của tài liệu [13] Chúng ta sẽ bắt đầu với công thức Stratton–Chu trên miền bị chặn.
Bổ đề 3.2 ([5],[11],[13]) (Bên trong (Interior) Stratton–Chu)
Giả sử Ω là miền Lipschitz bị chặn, với ν là vectơ pháp tuyến đơn vị cho biên Γ của Ω hướng ra ngoài Xét hai trường điện từ E và H thuộc không gian H(curl, Ω), là nghiệm của phương trình Maxwell trong Ω, với các phương trình curl H = −ikE và curl E = ikH.
Khi đó ta có công thức Stratton–Chu
Monk đã lập luận rằng E(x) và H(x) (sự đánh giá của E và H tại điểm x ∈ Ω) là có nghĩa Hơn nữa, các tích phân biên cần được hiểu theo nghĩa ghép đôi giữa H − 1/2(Γ) và H 1/2(Γ) Đối với đạo hàm của phổ trường sóng xa, một công thức biểu diễn cho các miền bị chặn bên ngoài là cần thiết.
Bổ đề 3.3 ([5],[11],[13]) (Bên ngoài (Exterior) Stratton–Chu)
Giả sử Ω là miền Lipschitz bị chặn có phần bù liên thông Kí hiệu ν là vectơ pháp tuyến đơn vị cho biên Γ của Ω hướng ra bên ngoài Ω Cho E s , H s ∈ h
H loc (curl,R 3 r Ω) là nghiệm radiating của phương trình Maxwell trong R 3 r Ω curl H s = −ikE s và curl E s = ikH s Khi đó ta có công thức Stratton–Chu curl
Theo các công thức (3.2) và (3.3), sự phụ thuộc của các trường E s và H s trên x được thể hiện qua nghiệm cơ bản Để xác định dáng điệu tiệm cận, chỉ cần biết vết tiếp tuyến của chúng Dáng điệu tiệm cận của Φ k được trình bày trong Bổ đề 3.1, và có thể thay thế bằng định lý 6.8 trong tài liệu [5] cho trường hợp các hàm trong.
H loc (curl,R 3 ) : Định lý 3.4 ([5],[11]) (Phổ trường sóng xa (Far field pattern))
Mọi nghiệm radiating (yếu) E s , H s của bài toán truyền sóng (1.8), (1.9) cho vật tán xạ Ω với biên Γ có dạng tiệm cận
Khi |x| tiến tới vô cùng theo mọi hướng, ta có x̂ = x/|x| Các hàm E∞ và H∞ được xác định trên hình cầu đơn vị S², tương ứng được gọi là phổ điện trường và từ trường của sóng xa, thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Theo định lý 3.5, các phổ trường sóng xa được biểu diễn bằng các hàm giải tớch và các trường tiếp tuyến Cụ thể, chúng thỏa mãn điều kiện E ∞ (ˆ x) ã x ˆ = 0 và H ∞ (ˆ x) ã x ˆ = 0 với mọi x ˆ ∈ S 2 Hơn nữa, điều này cho thấy rằng với mọi x ˆ thuộc S 2, các đặc tính này vẫn được duy trì.
E ∞ (ˆ x) = H ∞ (ˆ x) × x ˆ và H ∞ (ˆ x) = −E ∞ (ˆ x) × x Để xác định toán tử trường sóng xa, cần chỉ rõ loại trường sóng tới nào gây ra trường sóng tán xạ và trường sóng xa Trong trường hợp trường sóng tới, ta xem xét sóng phẳng có dạng.
H i (x; d, p) được định nghĩa là pe ik dãx, trong khi E i (x; d, p) là −(d ì p)e ik dãx, với d ∈ S 2 và p ∈ C 3 là các vectơ hướng tới và vectơ hướng phân cực tương ứng Các vectơ này được chọn sao cho d ã p = 0, nhằm đảm bảo H i và E i tự do phân kỳ Các phổ trường sóng xa H ∞ và E ∞ của các trường sóng tán xạ H s cũng được đề cập trong bài viết.
E s cũng phụ thuộc vào d và p và lần lượt ký hiệu là H ∞ (ˆ x; d, p) và E ∞ (ˆ x; d, p).
Bài toán ngược trong quang học chiral cho phép xác định vật tán xạ từ dữ liệu trường sóng xa Trong bài toán thuận, chúng ta đã tính toán trường sóng tán xạ từ một sóng tới và vật chiral với các hàm vật liệu đã biết Khi có trường sóng tán xạ, việc tính toán trường sóng xa tương ứng trở nên đơn giản Bài toán ngược giúp tìm ra thông tin về vật tán xạ dựa trên số liệu trường sóng xa đã thu thập.
Bài toán 3 ([11]) (Bài toán ngược)
Để xác định vật tán xạ Ω, cho số sóng k > 0 và số liệu H ∞ (ˆ x; d, p) (phổ trường sóng xa) với mọi x, d ˆ ∈ S 2 và p ∈ C 3 với p ã d = 0 Trong nghiên cứu bài toán ngược, cần diễn đạt bằng thuật ngữ toán học, tức là định nghĩa toán tử ánh xạ từ một họ các vectơ phân cực p(d) đặc trưng cho trường sóng tới thành phổ trường sóng xa Họ các vectơ phân cực và phổ trường sóng xa đều là các trường tiếp tuyến trên hình cầu đơn vị.
Ta biểu diễn không gian con của các trường tiếp tuyến bằngL 2 t (S 2 ) ⊂ L 2 ( S 2 , C 3 ) ; đó là
L 2 t (S 2 ) := v ∈ L 2 (S 2 , C 3 ) : v(ˆ x) ã x ˆ = 0, x ˆ ∈ S 2 Toán tử trường sóng xa F : L 2 t (S 2 ) → L 2 t (S 2 ) được định nghĩa bởi
(a) Đối với các trường tiếp tuyến p ∈ L 2 t (S 2 ) , ta có đồng nhất thức d ì p(d) ì d = p(d) d ã d
(b) Phổ trường súng xa H ∞ (ã; d, p) phụ thuộc tuyến tớnh vào vectơ phõn cực p.
Nó liên tục như là một hàm của d Xem chứng minh của Định lý 6.32 trong [5].
F là một toán tử nguyên tuyến tính có hạt nhân liên tục, do đó F được coi là compact Hơn nữa, F p đại diện cho phổ trường sóng xa tương ứng với trường sóng tới (H p i, E p i).
Vectơ hàm cầu điều hòa
Trong nghiên cứu các nghiệm của phương trình Maxwell trong tọa độ cầu, chúng ta có thể xây dựng các nghiệm dạng vectơ hàm cầu từ các nghiệm của phương trình Helmholtz Trong hệ tọa độ cầu (ρ, θ, ϕ), với các biến x được xác định bởi x = (ρ sin θ cos ϕ, ρ sin θ sin ϕ, ρ cos θ), trong đó ρ ≥ 0, θ thuộc khoảng [0, π], và ϕ thuộc khoảng [0, 2π], phương trình Helmholtz sẽ có dạng cụ thể cần được phân tích.
Tách các biến u(ρ, θ, ϕ) = u 1 (ρ)u 2 (θ, ϕ) dẫn đến hàm cầu điều hòa và hàm cầu Bessel Các hàm cầu điều hòa được cho bởi
(n + |m|)! P n |m| (cos θ)e imϕ với m = −n, , n và n = 0, 1, 2, Ở đây P n m là kí hiệu của đa thức Legendre liên kết
P n m (t) := (1 − t 2 ) m 2 d m P n (t) dt m , m = 0, , n, và là nghiệm của phương trình vi phân Legendre liên kết
P n là đa thức Legendre thỏa mãn phương trình vi phân Legendre
Phần tia của phương trình Helmholtz được mô tả bởi phương trình vi phân cầu Bessel, với công thức t^2 f''(t) + 2tf'(t) + [t^2 - n(n + 1)]f(t) = 0 Các hàm cầu Bessel và Neumann, ký hiệu lần lượt là j_n và y_n, là những nghiệm của phương trình này, với n bắt đầu từ 0 và tiếp tục đến vô cùng.
Tổ hợp tuyến tính cho hàm cầu Hankel của loại thứ nhất h n = h (1) n với h n := j n + i y n , n = 0, 1, 2,
Các hàm sau đây là nghiệm của phương trình Helmholtz trong tọa độ cầu: với n ∈ N₀ và −n ≤ m ≤ n, hàm uₘₙ(x) = jₙ(k|x|)Yₙₘ(ˆx) là nghiệm nguyên, trong khi hàm vₘₙ(x) = hₙ(k|x|)Yₙₘ(ˆx) là nghiệm radiating cho phương trình Helmholtz trong R³ \ {0}.
Ta sử dụng chúng để xây dựng các nghiệm như vậy cho các phương trình Maxwell curl E = ikH và curl H = −ikE.
M n m (x) := 1 pn(n + 1) curl [x u m n (x)] , 1 ik curl M n m (x) là nghiệm nguyên cho phương trình Maxwell và
N n m (x) := 1 pn(n + 1) curl [x v n m (x)] , 1 ik curl N n m (x) là nghiệm radiating cho phương trình Maxwell trong R 3 \ {0} Định nghĩa các điều hòa cầu vectơ U n m và V n m trên hình cầu đơn vị S 2 với n = 0, 1, 2, và m = −n, , n bởi
U n m (ˆ x) := 1 pn(n + 1) Grad Y n m (ˆ x), V n m (ˆ x) := ˆ x × U n m (ˆ x) với x ˆ ∈S 2 h với bề mặt gradient Grad.U n m và V n m là các trường tiếp tuyến trên hình cầu đơn vị Do đó,
Các vết tiếp tuyến được cho bởi ˆ x × M n m (x) = j n (k|x|)U n m (ˆ x), (3.5) ˆ x × N n m (x) = h n (k|x|)U n m (ˆ x) (3.6) và ˆ x × curl M n m (x) = 1
Cuối cùng, ta có biểu diễn sau cho phổ trường sóng xa: GọiH s là một nghiệm radiating cho các phương trình Maxwell được đưa ra dưới dạng chuỗi
H s =X a m n N n m + b m n 1 ik curl N n m Phổ trường sóng xa được cho bởi
Từ đây đến hết chương này, viết gọn
3.1.3 Phương trình Maxwell trên miền achiral
Bài toán truyền sóng bắt đầu với thiết lập một quả cầu B = B(0, 1) có bán kính 1, nằm tại gốc tọa độ, với chân không bao quanh Quả cầu này được cấu thành từ vật liệu không hao tổn, có hằng số điện môi ε khác ε0 và hằng số từ tính μ khác μ0 Số súng được xác định trong bối cảnh này.
Bên ngoài B, quả cầu được chiếu sáng bởi trường sóng tớiH i là một nghiệm của phương trình Maxwell curl 2 H i − k 2 H i = 0 trong B c
Trường sóng tổng hợp H bên trong quả cầu thỏa mãn các phương trình Maxwell cho số sóng κ, curl 2 H − κ 2 H = 0 trong B.
Trường sóng tán xạ H s ở bên ngoài B thỏa mãn các phương trình Maxwell cho số sóng k và điều kiện bức xạ Silver-M¨ uller. curl 2 H s − k 2 H s = 0 trong B c , radiating.
Trên biên {|x| = 1}, các điều kiện truyền sóng được xác định bởi tính liên tục của vết tiếp tuyến, với các phương trình: ˆ x × H i (ˆ x) + ˆ x × H s (ˆ x) = ˆ x × H(ˆ x) và 1 k x ˆ × curl H i (ˆ x) + 1 k x ˆ × curl H s (ˆ x) = 1 k x ˆ × curl H(ˆ x) Trong bối cảnh này, các trường sóng có thể được khai triển thành chuỗi các hàm sóng vectơ.
H s (x) = X c m n N n m (x, k) + d m n 1 ik curl N n m (x, k) trong B c, và H(x) = X a m n M n m (x, κ) + b m n 1 iκ curl M n m (x, κ) trong B h Từ đó, chúng ta suy ra các hệ phương trình tuyến tính để xác định các hệ số a m n, c m n và b m n, d m n cho n ∈ N 0 và m = −n, , n Việc tính toán các vết tiếp tuyến của chuỗi được thực hiện với sự bổ sung của các vết tiếp tuyến cho các hàm sóng vectơ (3.5) - (3.8) Cuối cùng, ta có ˆ x × H i (ˆ x) = X α m n j n (k)U n m (ˆ x) + 1 ik β n m j n (k) + kj n 0 (k).
Thay vào các điều kiện truyền (3.9), (3.10) cho ta c m n h n (k) + α m n j n (k) = ! a m n j n (κ), d m n 1 ik h n (k) + kh 0 n (k)
, d m n 1 i h n (k) + β n m 1 i j n (k) = ! b m n 1 i j n (κ) với n ∈N0 và m = −n, , n Kết quả của hai hệ tuyến tính có thể được tóm tắt lại như sau
α m n β n m với định thức det n (κ) = 1 κ − 1 k h n (k)j n (κ) + h n (k)j n 0 (κ) − h 0 n (k)j n (κ) h và định thức nghịch đảo
Do đó, nghiệm được cho bởi
Chứng minh Giả sử ngược lại det n (κ) = 0 Khi đó det n (κ) = 1 κ − 1 k h n (k)j n (κ) + h n (k)j n 0 (κ) − h 0 n (k)j n (κ)
H i (x) = X α m n M n m (x, k) + β n m 1 ik curl M n m (x, k), trường sóng tổng hợp bên trong vật tán xạ B được cho bởi
X 1 det n (κ) h α m n M n m (x, κ) + 1 iκ β n m curl M n m (x, κ)i và trường sóng tán xạ bên ngoài vật tán xạ được cho bởi
H s (x) = −XRe det n (κ) det n (κ) h α m n N n m (x, k) + 1 ik β n m curl N n m (x, k) i h
Phổ trường sóng xa được cho bởi
Ta áp dụng những kết quả này cho các trường Beltrami xuất hiện trong các bài toán truyền sóng chiral.
Bài toán truyền sóng trong quả cầu chiral
Các thiết lập tương tự như trong mục trước, nhưng môi trường bên trong quả cầu hiện là đồng nhất, không tổn hao và có tính chiral Cụ thể, hằng số điện môi, hằng số thấm từ và tính chiral được xác định bởi ε =.
0 trong B c , β B trong B. với hằng số thực ε B , à B , β B Định nghĩa số súng
Khi đó, các phương trình Maxwell chiral là curl 2 U − 2 κ 2
1 − κ 2 β 2 U = 0 trong B với U = E hoặc U = H và các trường xuất hiện trong bài toán truyền sóng của chúng ta thỏa mãn các phương trình sau curl 2 U i − k 2 U i = 0 trong B c , curl 2 U s − k 2 U s = 0 trong B c ,radiating, curl 2 U − 2 κ 2
Trong bài toán truyền sóng achiral, phương trình 1 − κ 2 β 2 U = 0 trong môi trường B với U có thể là E hoặc H cho phép phân tích điện trường và từ trường đối với các vật liệu đồng nhất Các kết quả thu được từ phân tích này có thể được tham khảo trong tài liệu [2].
Trong không gian B, ta định nghĩa Q L := E + iH và Q R := E − iH, với Q L và Q R là các trường Beltrami Các trường này thỏa mãn điều kiện curl Q L = κ L Q L và curl Q R = −κ R Q R, đồng thời tuân theo các phương trình Maxwell achiral cho các số sóng κ L và κ R, cụ thể là curl 2 Q L − κ 2 L Q L = 0 và curl 2 Q R − κ 2 R Q R = 0.
Do đó, ta có thể áp dụng kết quả của mục trước cho các trườngQ L và Q R và suy ra các chuỗi biểu diễn cho các trườngE và H, từ đó
Ta bắt đầu với các trường sóng tới H i và E i :
Ta giới thiệu các trường sóng tới: Q i L := E i + iH i và Q i R := E i − iH i :
Trường sóng tổng hợp Q L , Q R phía trong B được cho bởi
− 1 iκ R det n (κ R ) (α m n + iβ n m ) curl M n m (x, κ R ) h và trường sóng tổng hợp E và H có thể được tính
Lúc này, ta có thể thấy rằng các trường E và H nhận được từ mở rộng của những hạng tử trong các hàm sóng vectơ cho các số sóng κ L và κ R
Các trường sóng tán xạ Q s L , Q s R có các chuỗi khai triển
− Re det n (κ L ) ik det n (κ L ) (α m n − iβ n m ) curl N n m (x, k),
− Re det n (κ R ) ik det n (κ R ) (α m n + iβ n m ) curl N n m (x, k). Đặt c L := Re det n (κ L ) det n (κ L ) và c R := Re det n (κ R ) det n (κ R ) Khi đó
Do đó, chuỗi khai triển cho trường điện trường và từ trường là
(c L − c R )α m n − (c L + c R )iβ n m curl N n m (x, k). Cuối cùng, phổ trường sóng xa được cho bởi
Toán tử trường sóng xa
Chuỗi khai triển của sóng phẳng
Để khai triển sóng phẳng, chúng ta cần biểu diễn nó dưới dạng chuỗi các hàm sóng vectơ M n m và curl M n m Việc này đòi hỏi xác định các hệ số a m n và b m n trong chuỗi pe ik dãx = X a m n M n m (x, k) + b m n 1 ik curl M n m (x, k).
S 2 e ik|x| yãd ˆ (d ì p ì d) ã U n m (ˆ y) ds(ˆ y) trong đú ta sử dụng p = d ì p ì d vỡ p ã d = 0 và |d| = 1.
Trong phần tiếp theo, ta tính toán các hệ số Fourier ở vế phải Chính xác hơn, ta tính toán phần phức liên hợp:
Công thức Stratton - Chu được áp dụng trên quả cầu có bán kính cho phép chúng ta nhận diện phổ trường sóng xa của curl 2p Φ k (z, |x|ˆ y) với z = |z|d Trong đó, S 2 e −ik|x| yãd ˆ (d ì p ì d) ã U n m (ˆ y) ds(ˆ y) đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích trường sóng.
R Do đó, ta giới thiệu các toán tử C 1 và C 2 được xác định cho các trường vectơ tiếp tuyếnϕ:
|x|=R ϕ(y) Φ k (x, y) ds(y) Khi đó công thức Stratton–Chu 3.2 và 3.3 là
Ta áp dụng công thức bên trong Stratton–Chu cho M n m , 1 ik curl M n m và công thức bên ngoài cho N n m , 1 ik curl N n m với x ∈ B (0, R) c
Tức là, sử dụng các biểu thức cho vết tiếp tuyến (3.5)–(3.8) được tìm thấy trong mục đầu và viết tắt j n = j n (kR), h n = h n (kR), y n = y n (kR),
Dùng h n = j n + iy n ta kết luận
Nhân phương trình thứ nhất với iy n = iy n (kR) và phương trình thứ hai với j n, sau đó trừ cho nhau, ta áp dụng Công thức Wronskij n y 0 n − j n 0 y n = 1 k 2 R 2 để thu được i k 3 R 2 C 2 [V n m ] = j n N n m Tương tự, khi tính toán cho phương trình thứ ba và thứ tư, chúng ta có i kR 2 C 2 [U n m ] = −h 1.
Từ hai phương trình cuối, ta kết luận cho vectơ p ∈C 3 :
S 2 curl 2 y p Φ(x, R y) ˆ ã V n m (ˆ y) ds(ˆ y) = −ik 3 j n (kR)p ã N n m (x) hay
S 2 curl 2 y p Φ(x, R y) ˆ ã V n m (ˆ y) ds(ˆ y) = ik 3 j n (kR)h n (k|x|)p ã V n m (ˆ x) (3.12) Các số hạng lần lượt phụ thuộc vào x và |x|, có dáng điệu tiệm cận sau: curl 2 y p Φ(x, R y) ˆ
= k 2 4π|x| e ik|x| (ˆ x ì p ì x)e ˆ −ikR x㈠ˆ y + O(|x| −2 ), h n (k|x|) = 1 i n+1 k|x| e ik|x| + O(|x| −2 ), h 0 n (k|x|) = 1 i n k|x| e ik|x| + O(|x| −2 ).
Do đó, cho |x| → ∞ trong phương trình (3.11) và (3.12) cho ta
Bây giờ ta có thể quay lại khai triển của sóng phẳng: pe ik dãx =X a m n M n m (x, k) + b m n 1 ik curl M n m (x, k) với
Cuối cùng, pe ik xãd = 4πX i n h 1 ik p ã U n m (d) curl M n m (x) − p ã V n m (d)M n m (x) i
Như một hệ quả, ta tìm thấy chuỗi khai triển của sóng phẳng có dạng
(d ì p)e ik dãx = 1 ik curl pe ik dãx
(d ì p)e ik xãd =X a m n M n m (x, k) + b m n 1 ik curl M n m (x, k) với a m n = −4πi n p ã U n m (d), b m n = −4πi n p ã V n m (d).
Trường hợp achiral
Đối với bài toán ngược, ta coi sóng phẳng như là trường sóng tới:
H i (x; d, p) = p e ik xãd Ta đó tớnh toỏn chuỗi khai triển của súng phẳng như vậy với hướng tới d và hướng phân cực p,
Trường sóng bị tán xạ bởi hình cầu B(0, 1) với số sóng κ bên trong và k bên ngoài Phổ trường sóng xa H ∞ (ˆ x; d, p) của sóng tán xạ do H i gây ra được mô tả qua chuỗi.
XRe det n (κ) det n (κ) h p ã V n m (d)V n m (ˆ x) + p ã U n m (d)U n m (ˆ x) i Nhắc lại định nghĩa của toán tử trường sóng xa:
XRe det n (κ) det n (κ) h p m n V n m + q n m U n m i trong đó các hệ số Fourier p m n :=
S 2 p(θ) ã U n m (θ) ds(θ) và trường tiếp tuyến p ∈ L 2 t (S 2 ) có khai triển p =X p m n V n m + q n m U n m
Cuối cùng, ta có thể xác định một hệ riêng củaF Trong trường hợp achiral, giá trị riêng của F được cho bởi λ n = (4π) 2 k
Chúng có bội số2n + 1và các vectơ cầu điều hòa U n m và V n m là các hàm riêng. Bây giờ, chúng ta có thể tính toán chuỗi
Khi đó φ z = Grad ˆ x e −ikˆ xãz
+ ˆ x × Grad x ˆ e −ikˆ xãz và ta đã biết chuỗi đại diện củae −ikˆ xãz từ khai triển Jacobi–Anger, cụ thể e −ik xãz ˆ = 4πX
Do đó, φ z có chuỗi khai triển φ z (ˆ x) = 4πX
Các hệ số Fourier của φ z được cho bởi
Như trong trường hợp vô hướng (đối chiếu phần 1.5 trong [9]) n
Ở đõy p!! := 1 ã 3 ã 5 p cho số lẻ p bất kỡ Ta tiếp tục với dỏng điệu tiệm cận của các giá trị riêng λ n = (4π) 2 i k
+ j n 0 (κ) j n (κ) − h 0 n (k) h n (k) j n , h n , j n 0 và h 0 n có các dáng điệu tiệm cận sau: j n (t) = t n
h Đơn giản phân thức thứ hai ở vế phải ta được
Ta kết luận rằng chuỗi (3.13) hội tụ nếu và chỉ nếu |z| < 1, nghĩa là z nằm trong quả cầu B(0, 1).
Trường hợp chiral
Trong trường hợp chiral, ta tìm thấy một dạng tường minh cho F theo cách tương tự: Cho trường tiếp tuyến p ∈ L 2 t (S 2 ) : p =
Trong trường hợp chiral, hai hằng số κ L = κ
1 + κ β xuất hiện như là dạng của số sóng cho các trường Q L và Q R Ta tính phổ trường sóng xa là
− c R i n+1 (β n m − iα m n )V n m (ˆ x) + (α m n + iβ n m )U n m (ˆ x) với cỏc hệ số α m n = −4πi n p ã V n m (d), β n m = 4πi n p ã U n m (d) và cỏc hằng số c L = Re det n (κ L ) det n (κ L ) , c R = Re det n (κ R ) det n (κ R ) h
Như trong trường hợp achiral, ta kết luận
Xc L (p m n − iq n m )(U n m + iV n m ) − c R (p m n + iq m n )(U n m − iV n m ).
Ta quan sát thấy rằng U n m + iV n m , m = −n, , n, là các hàm riêng cho giá trị riêng λ n = (4π) 2 i k
Re det n (κ L ) det n (κ L ) và U n m − iV n m , m = −n, , n, là các hàm riêng cho giá trị riêng λ n = − (4π) 2 i k
Re det n (κ R ) det n (κ R ) với n ∈N0 Một lần nữa, giá trị riêng có bội số 2n + 1 Sự ước lượng của chuỗi
|λ j | cho hàm đặc trưng của vật tán xạ là hoàn toàn tương tự với trường hợp achiral. h
Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của nghiệm phương trình Maxwell thông qua biểu diễn tương đương với phương trình tích phân Lippmann-Schwinger, áp dụng cho cả môi trường achiral và chiral Tác giả cũng trình bày các biểu diễn dạng chuỗi cho nghiệm của phương trình Maxwell sử dụng hệ cơ sở là các hàm cầu điều hòa Ví dụ về chuỗi khai triển được đưa ra trong trường hợp sóng phẳng, hỗ trợ nghiên cứu các phương pháp số giải phương trình Maxwell, đặc biệt khi khó tìm nghiệm giải tích và dữ liệu đáng tin cậy để kiểm tra kết quả số, ngay cả trong những trường hợp đơn giản Các kết quả tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [6], [8], [10], [11], [15], [16].
Mặc dù chưa có kết quả mới, luận văn này đóng góp quan trọng bằng cách tổng hợp và trình bày chi tiết các kết quả liên quan đến sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của phương trình Maxwell Phương trình này là một hệ phương trình có nhiều ứng dụng trong lý thuyết tán xạ và trong lĩnh vực Vật lý nói chung.
Lớp phương trình này có nhiều ứng dụng, nhưng tác giả nhận thấy sự phức tạp trong quá trình thực hiện luận văn Vì vậy, tác giả hy vọng luận văn sẽ trở thành tài liệu tham khảo bằng tiếng Việt, hữu ích cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh, giúp họ dễ dàng tiếp cận khi tìm hiểu về chủ đề này.
[1] H Ammari and J C Nédélec,Time-harmonic fields in chiral media, Meth. Verf Math Phys., 42 (1997), pp 395–423.
[2] C Athanasiadis, P A Martin, and I G Stratis, Electromagnetic scatter- ing by a homogeneous chiral obstacle: boundary integral equations and low- chirality approximations, SIAM J Appl Math., 59 (1999), pp 1745–1762.
[3] Nikolaos M Berketis and C Athanasiadis, Direct and inverse scattering problems for spherical electromagnetic waves in chiral media, ArXiv e- prints, 2008.
[4] Craig F Bohren, Light scattering by an optically active sphere, Chemical Physics Letters, 29 (1974), pp 458 – 462.
[5] David L Colton and Rainer Kress, Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory, Springer, 2nd ed., 1998.
[6] David L Colton and Rainer Kress, Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory, Applied Mathematical Sciences, Volume 93, Third Edi- tion, 2013.
[7] Andreas Kirsch, The factorization method for Maxwell’s equations, Inverse Problems, 20 (2004), pp S117–S134.
[8] Andreas Kirsch and Frank Hettlich,The Mathematical Theory of Maxwell’s Equations Expansion integral and variational methods, Applied Mathemat- ical Sciences, Volume 190, Springer, 2015.