(Luận văn thạc sĩ) một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình dạng divergence

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Quỳnh Như MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG DIVERGENCE h LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Quỳnh Như MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG DIVERGENCE h Chun ngành: Tốn giải Tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ với tên đề tài: “Một số kết quy nghiệm cho phương trình dạng Divergence” tơi thực hiện, hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thành Nhân Các nội dung nghiên cứu kết luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ tài liệu tham khảo TP Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Quỳnh Như h LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, lời tơi xin tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy TS Nguyễn Thành Nhân hướng dẫn tận tình đầy nhiệt tâm suốt trình viết luận văn Những nhận xét đánh giá thầy, đặc biệt gợi ý hướng giải vấn đề suốt trình nghiên cứu, thực học vô quý giá tơi khơng q trình viết luận văn mà hoạt động nghiên cứu chuyên môn sau Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu nhà trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, thầy giáo mơn Tốn q thầy giáo tận tình truyền đạt kiến thức thời gian tơi học tập tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu thực đề tài h Cuối tơi kính chúc quý thầy, cô giáo dồi sức khỏe thành công nghiệp cao quý Đồng thời xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình tất bạn bè giúp đỡ, động viên suốt trình học tập thực đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn! TP.Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Quỳnh Như MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu MỞ ĐẦU Chương KHÁI QUÁT VÀ CÁC KÝ HIỆU 1.1 Tính giải toán divergence 1.2 Định nghĩa số miền có liên quan 1.3 Một số kết tương đương miền quy Chương BÀI TOÁN DIVERGENCE TRÊN MIỀN HOLDER-𝜶 2.1 Bất đẳng thức dạng Korn miền Holder-𝛂 2.2 Nghiệm toán divergence miền Holder-𝛂 13 h 2.2.1 Hàm trọng bên trái 14 2.2.2 Hàm trọng hai bên 16 2.3 Một số miền Holder-𝛂 đặc biệt với đỉnh bên ngồi 17 Chương BÀI TỐN DIVERGENCE TRÊN MIỀN CHÍNH QUY 22 3.1 Lớp hàm Muckenhoupt 𝐀𝐩 22 3.2 Tốn tử divergence có trọng miền hình 22 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG 28 4.1 Sự tương đương với bất đẳng thức Korn 28 4.1.1 Bài toán divergence kéo theo bất đẳng thức Korn 30 4.1.2 Bất đẳng thức Korn kéo theo toán divergence 31 4.2 Ứng dụng vào phương trình Stokes 33 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU divergence hàm vector u 𝜕Ω biên miền Ω 𝜕u đạo hàm hàm u Diam 𝐹 đường kính tập 𝐹 rot/curl rota trường vector ∆u toán tử Laplace hàm vector u ∇u gradient hàm vector u ∇u ∶ ∇ũ tích tensor u ũ ℝ≥0 tập hợp số thực không âm ℝ>0 tập hợp số thực dương 𝑠𝑢𝑝𝑝 u support hàm u 𝐴𝑝 lớp hàm Muckenhoupt 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝜔) không gian Sobolev có hàm trọng 𝐿𝑝 (Ω, 𝜔) khơng gian Lebesgue có hàm trọng 𝐿20 (𝛀) khơng gian 𝐿2 với tích phân 𝐿1𝑙𝑜𝑐 (𝛀) khơng gian 𝐿1 khả tích địa phương h Div u / ∇ u 𝑝 𝐿𝑠𝑦𝑚 (Ω, 𝛾)2×2 khơng gian tensơ đối xứng khơng gian 𝐿𝑝 (Ω, 𝛾)2×2 ‖.‖ 𝑘,𝑝(𝛀) 𝑘,𝑝 ∞ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑊 𝑊0 (Ω) :=𝐶 (Ω) 𝑊 𝑘,2 (𝛀) ≔ 𝐻𝑘 (𝛀) H10 (Ω)𝑛 = 𝐻 ⏟01 × 𝐻01 × ⋯ × 𝐻01 n lần bao đóng 𝐶0∞ (Ω) 𝑊 𝑘,𝑝 (Ω) MỞ ĐẦU Ngày nay, lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu tính ứng dụng rộng rãi Các phương trình thường xây dựng từ mơ hình thực tế nên đơi phức tạp chưa tìm nghiệm giải tích Thay cho việc tìm nghiệm phương trình này, đánh giá định tính tồn tại, cấu trúc tập nghiệm, tính chất dáng điệu tiệm cận, ổn định, tính quy nghiệm trở nên có ích Một lớp phương trình đạo hàm riêng khảo sát phương trình dạng divergence Luận văn tập trung khảo sát số kết quy nghiệm phương trình đạo hàm riêng dạng divergence Các kết ứng dụng vào phương trình Stokes Mục tiêu thứ đề tài chứng minh tồn nghiệm h phương trình div u = 𝑓 khơng gian Sobolev có trọng số miền đặc biệt, có biên khơng trơn Cụ thể, với Ω ⊂ ℝ𝑛 miền bị chặn, ta muốn tìm hàm trọng 𝜔1 𝜔2 cho với 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (Ω, 𝜔2 ) có tích phân khơng, tồn 1,𝑝 nghiệm u ∈ 𝑊0 (Ω, 𝜔1 )𝑛 div u = 𝑓 thỏa mãn ‖u‖𝑊 1,𝑝(Ω,𝜔1)𝑛 ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝 (Ω,𝜔2 ) , với 𝐶 số dương phụ thuộc Ω, 𝑝, 𝜔1 , 𝜔2 Trong đó, với hàm trọng 𝜔 ∶ ℝ𝑛 → ℝ≥0 hàm khả tích địa phương, khơng gian Lebesgue có trọng 𝐿𝑝 (Ω, 𝜔) ứng với chuẩn ‖𝜑‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) =(∫Ω|𝜑(𝑥)|𝑝 𝜔(𝑥)𝑑𝑥 )𝑝 , khơng gian Sobolev có trọng 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝜔) ứng với chuẩn 𝑝 𝑛 ‖𝜑‖𝑊 𝑝(Ω,𝜔) = (∫ |𝜑(𝑥)|𝑝 𝜔(𝑥)𝑑𝑥 ) + (∑ ∫ | Ω 𝑖=1 Ω 𝑝 𝑝 𝜕𝜑(𝑥) | 𝜔(𝑥)𝑑𝑥 ) 𝜕𝑥𝑖 1,𝑝 Ta kí hiệu 𝑊0 (Ω, 𝜔1 ) bao đóng 𝐶0∞ (Ω) 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝜔) Mục tiêu thứ hai ứng dụng kết tìm khơng gian có hàm trọng vào việc đánh giá tính quy nghiệm phương trình Stokes bất đẳng thức Korn Trong luận văn này, tác giả đọc hiểu, tổng hợp trình bày cách chi tiết số báo khoa học liên quan đến tính quy nghiệm phương trình divergence Từ hướng đến vài ý tưởng mở rộng kết dựa nghiên cứu công bố gần Cơng việc địi hỏi phải vận dụng kiến thức học phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng giải tích hàm h Nội dung luận văn tập trung khảo sát số kết tính quy nghiệm phương trình dạng divergence với số ứng dụng Luận văn trình bày gồm chương: Chương Khái quát ký hiệu Nội dung chương trình bày phương trình divergence, với số định nghĩa khơng gian có hàm trọng, số miền miền Lipschitz, miền hình sao, miền John, miền Holder-𝛼, bất đẳng thức Korn, bổ đề Lions để làm tiền đề sử dụng cho chương Nội dung chương tham khảo tài liệu [1], [3], [5] Chương Nghiệm có trọng tốn divergence miền phẳng Nội dung chương nội dung luận văn giới thiệu nghiệm phương trình Divergence miền Holder-𝛼, hàm trọng bên trái, hàm trọng hai bên số miền Holder-𝛼 đặc biệt với đỉnh bên Nội dung chương tham khảo tài liệu [1], [2], [5] Chương Nghiệm có trọng tốn divergence miền quy Chương giới thiệu Lớp hàm Muckenhoupt 𝐴𝑝 , tốn tử Divergence có trọng miền hình Nội dung chương tham khảo tài liệu [6] Chương Một số ứng dụng Cuối ta nói tương đương bất đẳng thức Korn tốn Divergence có trọng tổng quát, toán Divergence kéo theo bất đẳng thức Korn, bất đẳng thức korn kéo theo toán Divergence ứng dụng vào phương trình Stokes Nội dung chương tham khảo tài liệu [2], [4], [7] h Chương KHÁI QUÁT VÀ CÁC KÝ HIỆU Trong luận văn ta nói tính giải tốn divergence khơng gian Sobolev có trọng với miền bị chặn Ta giới thiệu định nghĩa hàm trọng, khơng gian Sobolev có hàm trọng, tập m-chính quy, mặt nón, miền Lipschitz, miền hình ứng với cầu, miền John, miền Holder−𝛼, bổ đề Korn, bổ đề Lions 1.1 Tính giải tốn divergence Cho Ω ⊂ ℝn miền bị chặn < p < ∞ Ta nói (div)p giải 1,p Ω tồn nghiệm u ∈ W0 (Ω)n phương trình div u = 𝑓, (1.1) với 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (Ω) có trung bình tích phân 0, cho ‖u‖𝑊 1,𝑝(Ω) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω), (1.2) h với số 𝐶 phụ thuộc Ω 𝑝 Bây ta giới thiệu khơng gian Sobolev có hàm trọng Định nghĩa 1.1 ([5]) Ta nói hàm 𝜔 ℝ𝑛 hàm trọng khả tích địa phương nhận giá trị (0, ∞) hầu khắp nơi Vì thế, hàm trọng khơng tập Lebesgue có độ đo không Cho tập Ω ⊂ ℝ𝑛 , không gian Lebesgue có hàm trọng 𝐿𝑝 (Ω, 𝜔) với < 𝑝 < ∞ khơng gian có hàm khả tích địa phương 𝜑: Ω → ℝ trang bị chuẩn sau ‖𝜑‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) = (∫Ω|𝜑(𝑥)|𝑝 𝜔(𝑥)d𝑥)𝑝 Tương tự, cho hàm trọng 𝜔1 , 𝜔2 ∶ ℝ𝑛 → [0, ∞] ta định nghĩa khơng gian Sobolev có hàm trọng sau 25 ‖u‖𝑊 1,𝑝(ℝ𝑛,𝜔) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝 (𝑈,𝜔) (3.9) Chứng minh Ta có 𝐿𝑝 (𝑈, 𝜔) chứa 𝐿1 (𝑈) Do đó, nghiệm u xác định Với 𝐶 số chung phụ thuộc vào 𝑛, 𝑝, 𝜑, 𝜔, độc lập với 𝑓 u đường kính 𝑈 𝑑 Đầu tiên ta thấy u ∈ 𝐿𝑝 (ℝ𝑛 , 𝜔)𝑛 Từ (3.5) ta có 1 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 ≤ 𝐶 ∫ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 𝑛−1 𝑛−1 𝑈 |𝑥 − 𝑦| 𝐵(𝑥,𝑑) |𝑥 − 𝑦| |u(𝑥)| ≤ 𝐶 ∫ ∞ ≤ 𝐶∑∫ 𝑑 𝑑 𝑘=0 2𝑘+1 (4.7) Ngoài điều kiện tương đương với tồn nghiệm div v = 𝑓, với 𝑓 ∈ 𝐿20 (Ω), u ∈ 𝐻01 (Ω)𝑛 thỏa mãn ‖u‖𝐿20(Ω) ≤ 𝐶, khơng miền có đỉnh bên ngồi Với miền mà (4.7) không đúng, ta thay điều kiện điều kiện yếu Do ta làm việc với chuẩn trọng Xét không gian 𝐿2 (Ω, 𝜔−1 ) ⊂ 𝐿1 (Ω) với 𝜔 ∈ 𝐿1 (Ω) ∫Ω 𝑞𝜔 = với 𝑞 ∈ 𝐿2 (Ω, 𝜔) Do ta xác định khơng gian 𝐿2𝜔,0 (Ω, 𝜔) = {𝑞 ∈ 𝐿2 (Ω, 𝜔) ∶ ∫Ω 𝑞𝜔 = 0} h Định lí 4.3 ([7]) Cho 𝜔 ∈ 𝐿1 (Ω) hàm trọng dương Giả sử với 𝑓 ∈ 𝐿20 (Ω, 𝜔−1 ) tồn u ∈ 𝐻01 (Ω)𝑛 cho div u = 𝑓 ‖u‖𝐻 1(Ω) ≤ 𝐶1 ‖𝑓‖𝐿2 (Ω,𝜔−1) , với số 𝐶1 phụ thuộc Ω 𝜔 Khi đó, với f ∈ 𝐻−1 (Ω)𝑛 tồn nghiệm (u, 𝑝) ∈ 𝐻01 (Ω)𝑛 × 𝐿2𝜔,0 (Ω, 𝜔) toán Stokes (4.5) Hơn nữa, ‖u‖𝐻 (Ω) + ‖𝑝‖𝐿2 (Ω,𝜔) ≤ 𝐶2 ‖f ‖𝐻 −1(Ω) , với 𝐶2 phụ thuộc 𝐶1 Ω Chứng minh Xét áp suất ta xét không gian 𝑄 = 𝐿2𝜔,0 (Ω, 𝜔) với chuẩn ‖𝑞‖𝑄 = ‖𝑞‖𝐿2(Ω,𝜔) Vì thay đổi khơng gian áp suất, phải mở rộng chuẩn 𝐻1 không gian vận tốc để bảo tồn tính liên tục dạng song tuyến 𝑏 Khi đó, ta xét 36 𝑉 = {v ∈ 𝐻01 (Ω)𝑛 ∶ div u ∈ 𝐿2 (Ω, 𝜔−1 )} với ‖v‖2𝑉 = ‖v‖2𝐻 1(Ω) + ‖div v‖2𝐿2(Ω,𝜔−1) Vì ‖v‖𝐻 1(Ω) ≤ ‖v‖𝑉 , sử dụng bất đẳng thức Schwarz ta có tính liên tục 𝑎 𝑉 × 𝑉 Ngồi ra, từ định nghĩa không gian dễ dàng thấy 𝑏 liên tục 𝑉 × 𝑄 Mặt khác, coercivity 𝑎 theo chuẩn 𝑉 nhân toán tử 𝐵 sinh từ bất đẳng thức Poincare nhân chứa trường vecto tự phân kỳ Ta chứng minh ∫Ω 𝑞 div v > 0≠𝑞∈𝑄 0≠v∈𝑉 ‖𝑞‖𝑄 ‖v‖𝑉 inf sub Thật vậy, cho 𝑞 ∈ 𝑄 tồn u ∈ 𝐻01 (Ω)𝑛 cho div u = 𝑞𝜔 ‖u‖𝐻 1(Ω) ≤ 𝐶1 ‖ 𝑞𝜔‖𝐿2(Ω,𝜔−1) = 𝐶1 ‖𝑞‖𝑄 h Hơn nữa, ‖div u ‖𝐿2(Ω,𝜔−1) = ‖𝑞‖𝑄 ta có ‖u‖𝑉 ≤ 𝐶‖𝑞‖𝑄 , với 𝐶 phụ thuộc vào 𝐶1 Khi đó, ‖𝑞‖𝑄 = Do ta có (4.8) ∫Ω 𝑞 𝑞𝜔 ∫ 𝑞 div u ≤𝐶 Ω ‖𝑞‖𝑄 ‖u‖𝑉 (4.8) 37 h 38 KẾT LUẬN Luận văn khảo sát tính quy nghiệm phương trình dạng Divergence khơng gian hàm có trọng Cụ thể, khảo sát tính quy nghiệm phương trình div u = 𝑓 miền Holder−𝛼 với lớp hàm trọng lớp hàm lũy thừa khoảng cách lớp hàm trọng Muckenhoupt 𝐴𝑝 Kết định lí 2.1, định lí 2.6, định lí 2.9, định lí 2.10, định lí 3.1 Kết ứng dụng vào để chứng minh bất đẳng thức Korn với tính quy nghiệm phương trình Stokes Kết trình bày định lí 4.3 h 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G Acosta, R.G Duran and A Lombardi, Weighted Poincare and Korn inequalities for Holder- domains, Math Meth Appl Sci 29 (2006) 387400 [2] G Acosta, R.G Duran and F Lopez Garcia, Korn inequality and divergence operator: Counterexamples and optimality of weighted estimates, Proceedings of the American Mathematical Society 141 (2013), 217-232 [3] G Acosta R.G Duran and M A Muschietti, Solutions of the divergence operator on John Domains, Advances in Mathematics 206 (2006) 373401 [4] R Duran and F Lopez Garcia, Solutions of the divergence and analysis of the Stokes equations in planar domains, Math Mod Meth Appl Sci h 20 (1) (2010) 95-120 [5] R Duran and F Lopez Garcia, Solutions of the divergence and Korn inequalities on domains with an external cusp, Ann Acad Sci Fenn Math 35 (2010), 421-438 [6] R.G Duran and M A Muschietti, An explicit right inverse of the divergence operator which is continuous in weighted norms, Studia Math 148 (2001) 207-219 [7] G P Galdi, An introduction to the Mathematical theory of the NavierStokes equations, Linearized steady problems I, Springer (1994)