(Luận văn) phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THIÊN QUANG lu an n va p ie gh tn to PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi lm ul nf va an lu Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên – 2017 ac th si ii Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình TS Trương Minh Tun, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc chân thành tới thầy lu an Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, thầy n va khoa Toán - Tin tham gia giảng dạy, truyền thụ kiến thức cho tn to Đặc biệt PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy dạy bảo động viên tơi gh hồn thành tốt nhiệm vụ trình học tập nghiên cứu p ie trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Diêm Điền nl w đồng nghiệp gia đình giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho d oa suốt thời gian qua oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Mục lục lu Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv an Chương Một số kiến thức chuẩn bị n va Mở đầu ie gh tn to 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert p 1.2 Ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu không gian 10 1.2.1 Ánh xạ không giãn 10 1.2.2 Nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 14 d oa nl w Hilbert lu 16 va an 1.2.3 Toán tử đơn điệu 22 2.1 Phương pháp chiếu co hẹp 22 2.2 Phương pháp lai chiếu 31 2.3 Một số ví dụ minh họa 35 oi lm chung họ ánh xạ không giãn z at nh ul nf Chương Một số phương pháp lai ghép tìm điểm bất động z 39 l gm 40 m co Tài liệu tham khảo @ Kết luận an Lu n va ac th si iv Một số ký hiệu viết tắt lu an n va p ie gh tn to H không gian Hilbert X khơng gian Banach h., i tích vơ hướng H k.k chuẩn H ∪ phép hợp ∩ phép giao tập số thực không âm R+ đồ thị toán tử A D(A) miền xác định toán tử A d oa nl w G(A) lu miền ảnh toán tử A toán tử đồng oi lm ∅ toán tử ngược toán tử A ul I nf A−1 va an R(A) tập rỗng z at nh với x ∃x tồn x αn & α0 dãy số thực {αn } hội tụ giảm α0 xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 z ∀x m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn hay vô hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert hay không gian Banach trường hợp riêng tốn chấp nhận lồi: "Tìm phần tử thuộc giao khác lu an rỗng họ hữu hạn hay vô hạn tập lồi đóng {Ci }i∈I n va khơng gian Hilbert H hay không gian Banach E", với I tập số tn to Bài toán có nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực khoa học khác gh như: Xử lí ảnh, khơi phục tín hiệu, vật lý, y học Khi Ci = F (Ti ), p ie với F (Ti ) tập điểm bất động ánh xạ không giãn Ti , i = 1, 2, , N , có nhiều phương pháp đề xuất dựa phương pháp lặp nl w cổ điển tiếng Đó phương pháp lặp Kranoselskii, Mann, Ishikawa, an lu phẳng cắt d oa Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm hay phương pháp sử dụng siêu Năm 2008, tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R đưa va ul nf số phương pháp lai ghép bao gồm phương pháp lai chiếu phương oi lm pháp chiếu co hẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [6] cho tốn tìm điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn không gian z at nh Hilbert Ở đây, họ xây dựng điều kiện (điều kiện NST (I)) mô tả mối liên hệ hai họ ánh xạ không giãn Thông qua điều kiện z @ tốn tìm điểm bất động chung họ ánh xạ khơng giãn (có thể l gm hữu hạn hay vô hạn) đưa tốn tìm điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn m co Mục đích luận văn trình bày lại cách có hệ thống kết an Lu tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R tài liệu [6] Ngoài ra, luận văn chúng tơi xây dựng hai ví dụ số đơn giản n va ac th si lập trình thử nghiệm phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho phương pháp lặp Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương luận văn tập trung trình bày làm rõ số đặc trưng không gian Hilbert thực (các đẳng thức bất đẳng thức bản, phép chiếu mêtric, định lý tách tập lồi, tính đóng yếu tập lồi đóng), ánh xạ khơng giãn, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn tốn lu tử đơn điệu không gian Hilbert an va Chương Một số phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung n họ ánh xạ không giãn gh tn to Nội dung chương trình bày lại kết tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R đưa số phương pháp ie p lai ghép bao gồm phương pháp lai chiếu phương pháp chiếu co hẹp kết nl w hợp với phương pháp lặp Mann [6] cho tốn tìm điểm bất động oa chung họ ánh xạ không giãn không gian Hilbert với d ứng dụng chúng oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu an n va Chương bao gồm hai mục Mục 1.1 đề cập đến số đặc tn to trưng không gian Hilbert thực, Mục 1.2 giới thiệu sơ lược số kết ánh xạ khơng giãn, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn toán tử đơn gh p ie điệu Nội dung chương phần lớn tham khảo từ tài liệu [1] Một số đặc trưng không gian Hilbert d oa 1.1 nl w [2] lu an Ta giả thiết H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng ul nf va kí hiệu h., i chuẩn kí hiệu k.k oi lm Mệnh đề 1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau kx − yk2 + kx − zk2 = ky − zk2 + 2hx − y, x − zi, z at nh với x, y, z ∈ H z gm @ Chứng minh Thật vậy, ta có ky − zk2 + 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi l m co = [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi] + [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi] n va Vậy ta điều phải chứng minh an Lu = kx − yk2 + kx − zk2 ac th si Mệnh đề 1.2 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H λ ∈ [0, 1], ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 (1.1) Chứng minh Ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λ2 kxk2 + 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2 kyk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)(kxk2 − 2hx, yi + kyk2 ) = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 lu an Ta điều phải chứng minh va n Mệnh đề 1.3 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với gh tn to x, y ∈ H thỏa mãn điều kiện p ie |hx, yi| = kxk.kyk, tức bất đẳng thức Schwars xảy dấu hai véc tơ x y phụ w oa nl thuộc tuyến tính d Chứng minh Giả sử ngược lại x 6= λy với λ ∈ R Khi đó, từ tính lu va an chất tích vơ hướng, ta có oi lm ul nf < kx − λyk2 = λ2 kyk2 − 2λhx, yi + kxk2 , z at nh với λ ∈ R Ta thấy y = 0, hiển nhiên x y phụ thuộc hx, yi tuyến tính Giả sử y 6= 0, với λ = , bất đẳng thức trở kyk2 thành z |hx, yi| < kxk.kyk, @ l gm điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy x y phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề chứng minh m co Nhắc lại rằng, dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ n va lim hxn , yi = hx, yi, n→∞ an Lu yếu phần tử x ∈ H, ac th si với y ∈ H Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn * x Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn xét không gian  P∞ l2 = {xn } ⊂ R : |x | < ∞ {en } ⊂ l2 , cho n n=1 en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n với n ≥ Khi đó, en * 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ X lu |hen , yi|2 < kyk2 < ∞ an n=1 n va Suy limn→∞ hen , yi = 0, tức en * Tuy nhiên, {en } không hội tụ Ta biết không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial, gh tn to 0, ken k = với n ≥ p ie tính chất thể mệnh đề đây: Mệnh đề 1.4 Cho H không gian Hilbert thực {xn } ⊂ H nl w dãy thỏa mãn điều kiện xn * x, n → ∞ Khi đó, với y ∈ H d oa y 6= x, ta có n→∞ (1.2) n→∞ an lu lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk nf va Chứng minh Vì xn * x, nên {xn } bị chặn oi lm ul Ta có kxn − yk2 = kxn − xk2 + kx − yk2 + 2hxn − x, x − yi z at nh > kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi Vì x 6= y, nên z n→∞ = lim inf kxn − xk2 n→∞ m co l gm n→∞ @ lim inf kxn − yk2 > lim inf kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi Do đó, ta nhận n→∞ n va Mệnh đề chứng minh n→∞ an Lu lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk ac th si Mệnh đề 1.5 Mọi khơng gian Hilbert thực H có tính chất Kadec-Klee, tức {xn } ⊂ H dãy H thỏa mãn điều kiện xn * x kxn k → kxk, xn → x, n → ∞ Chứng minh Ta có kxn − xk2 = kxn k2 − 2hxn , xi + kxk2 → 0, n → ∞ lu Suy xn → x, n → ∞ Mệnh đề chứng minh an n va Mệnh đề 1.6 Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert tn to thực H Khi đó, với x ∈ H, tồn phần tử PC x ∈ C cho ie gh kx − PC xk ≤ kx − yk với y ∈ C p Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf kx − uk Khi đó, tồn {un } ⊂ C u∈C oa nl w cho kx − un k −→ d, n −→ ∞ Từ ta có d kun − um k2 = k(x − un ) − (x − um )k2 lu un + um k ≤ 2(kx − un k2 + kx − um k2 ) − 4d2 −→ 0, oi lm ul nf va an = 2kx − un k2 + 2kx − um k2 − 4kx − n, m −→ ∞ Do {un } dãy Cauchy H Suy tồn z at nh u = lim un ∈ C Do chuẩn hàm số liên tục nên kx − uk = d Giả sử n→∞ tồn v ∈ C cho kx − vk = d Ta có z gm @ ku − vk2 = k(x − u) − (x − v)k2 m co l u+v k = 2(kx − uk + kx − vk ) − 4kx − ≤ an Lu Suy u = v Vậy tồn phần tử PC x ∈ C cho n va kx − PC xk = inf u∈C kx − uk ac th si 26 thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với T Đặt C1 = C, u1 = PC1 x0 xác định dãy {un } C sau:    y = αn un + (1 − αn )Tn un ,   n Cn+1 = {z ∈ Cn : kyn − zk ≤ kun − zk},    u =P x , n ∈ N, n+1 (2.3) Cn+1 ≤ αn ≤ a < với n ∈ N Khi đó, dãy {un } hội tụ mạnh z0 = PF (T ) x0 lu an Chứng minh Trước hết, ta F (T ) ⊂ Cn với n ≥ quy nạp va n Hiển nhiên F (T ) ⊂ C1 Giả sử F (T ) ⊂ Ck với k ≥ Khi đó, với gh tn to u ∈ F (T ) ⊂ Ck , ta có p ie kyk − uk = kαk uk + (1 − αk )Tk uk − uk ≤ αk kuk − uk + (1 − βk )kTk uk − uk oa nl w ≤ αk kuk − uk + (1 − βk )kuk − uk = kuk − uk d lu an u ∈ Ck+1 Từ suy F (T ) ⊂ Cn với n ≥ nf va Tiếp theo, ta Cn lồi đóng với n ≥ Hiển nhiên C1 = C oi lm ul tập lồi đóng (theo giả thiết) Giả sử Ck tập lồi đóng với k ≥ Với z ∈ Ck , ta có kyk − zk ≤ kuk − zk tương đương với z at nh huk − yk , uk − zi ≤ kyk − uk k2 z Do đó, Ck+1 tập lồi đóng Suy Cn tập lồi đóng với @ m co l Từ un = PCn x0 , ta có gm n ≥ Như dãy {un } hoàn toàn xác định hx0 − un , un − yi ≥ 0, ∀y ∈ Cn an Lu Vì F (T ) ⊂ Cn , nên ta có va hx0 − un , un − ui ≥ 0, với u ∈ F (T ) n ≥ (2.4) n ac th si 27 Suy với u ∈ F (T ), ta có ≤ hx0 − un , un − ui = hx0 − un , un − x0 + x0 − ui = −kx0 − un k2 + kx0 − un k.kx0 − uk Suy kx0 − un k ≤ kx0 − uk, lu với u ∈ F (T ) n ≥ an Từ un = PCn x0 un+1 = PCn+1 x0 ∈ Cn+1 ⊂ Cn , ta có va n hx0 − un , un − un+1 i ≥ (2.5) tn to ie gh Từ (2.5), suy p ≤ hx0 − un , un − un+1 i nl w = hx0 − un , un − x0 + x0 − un+1 i d oa = −kx0 − un k2 + kx0 − un k.kx0 − un+1 k, lu kx0 − un k ≤ kx0 − un+1 k, nf va an ta nhận oi lm ul với n ≥ Kết hợp với tính bị chặn {kx0 − un k}, suy tồn giới hạn hữu hạn z at nh limn→∞ kx0 − un k = l Ta kun − un+1 k → Thật vậy, từ (2.5), ta có z gm @ kun − un+1 k2 = kun − x0 + x0 − un+1 k2 = kun − x0 k2 + 2hun − x0 , x0 − un+1 i + kx0 − un+1 k2 l + kx0 − un+1 k2 m co = kun − x0 k2 + 2hun − x0 , x0 − un + un − un+1 i an Lu = −kun − x0 k2 + 2hun − x0 , un − un+1 i + kx0 − un+1 k2 n va ≤ −kun − x0 k2 + kx0 − un+1 k2 , ac th si 28 kết hợp với limn→∞ kx0 − un k = l, ta nhận kun − un+1 k → Mặt khác, từ un+1 ∈ Cn+1 ⊂ Cn , suy kyn − un+1 k ≤ kun − un+1 k (2.6) Từ định nghĩa yn , ta có kyn − un k = (1 − αn )kTn un − un k Do đó, từ (2.6), ta nhận lu an kyn − un k − αn ≤ kyn − un k 1−a kyn − un+1 + un+1 − un k = 1−a ≤ kun+1 − un k 1−a kTn un − un k = n va p ie gh tn to nl w (2.7) oa Từ (2.4), (2.5), (2.7) Định lý 2.1, suy dãy {un } hội tụ mạnh d z0 = PF (T ) x0 lu va an Định lý chứng minh ul nf Từ Định lý 2.2, Takahashi cộng đưa kết oi lm cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn hay nửa nhóm ánh xạ khơng giãn tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn z at nh điệu cực đại không gian Hilbert z Định lý 2.3 Cho H không gian Hilbert thực C tập lồi, @ gm đóng, khác rỗng H Cho T ánh xạ không giãn từ C vào an Lu    y = αn un + (1 − αn )T un ,   n m co sau: l với F (T ) 6= ∅ x0 ∈ H Với C1 = C u1 = PC1 x0 , xác định dãy {un } n va Cn+1 = {z ∈ Cn : kyn − zk ≤ kun − zk},    u n+1 = PCn+1 x0 , n ∈ N, ac th si 29 ≤ αn ≤ a < với n ∈ N Khi đó, dãy {un } hội tụ mạnh z0 = PF (T ) x0 Chứng minh Với n ≥ 1, đặt Tn = T Hiển nhiên {Tn } thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với T Do đó, từ Định lý 2.2, suy điều phải chứng minh Định lý chứng minh Định lý 2.4 Cho H không gian Hilbert thực C tập lồi, đóng, khác rỗng H Cho T ánh xạ không giãn từ C vào lu với F (T ) 6= ∅ x0 ∈ H Với C1 = C u1 = PC1 x0 , xác định dãy {un } an sau: n va 
  y = α u + (1 − α ) β u + (1 − β )T u n n n n n n n ,   n Cn+1 = {z ∈ Cn : kyn − zk ≤ kun − zk},    u =P x , n ∈ N, gh tn to Cn+1 p ie n+1 ≤ αn ≤ a < < b ≤ βn ≤ c < với n ∈ N Khi đó, dãy oa nl w {un } hội tụ mạnh z0 = PF (T ) x0 d Chứng minh Với n ≥ 1, đặt nf va an lu Tn x = βn x + (1 − βn )T x, oi lm ul với x ∈ C Theo Mệnh đề 1.12, {Tn } thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với T Do đó, từ Định lý 2.2, suy điều phải chứng minh z at nh Định lý chứng minh Định lý 2.5 Cho H không gian Hilbert thực C tập lồi, z đóng, khác rỗng H Cho S T hai ánh xạ khơng giãn từ C vào @ gm với F (S) ∩ F (T ) 6= ∅ x0 ∈ H Với C1 = C u1 = PC1 x0 , xác m co l định dãy {un } sau: 
  y = α u + (1 − α ) β Su + (1 − β )T u n n n n n n n ,   n an Lu n va Cn+1 = {z ∈ Cn : kyn − zk ≤ kun − zk},    u n+1 = PCn+1 x0 , n ∈ N, ac th si 30 ≤ αn ≤ a < < b ≤ βn ≤ c < với n ∈ N Khi đó, dãy {un } hội tụ mạnh z0 = PF (S)∩F (T ) x0 Chứng minh Với n ≥ 1, đặt Tn x = βn Sx + (1 − βn )T x, với x ∈ C Theo Mệnh đề 1.13, {Tn } thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với {S, T } Do đó, từ Định lý 2.2, suy điều phải chứng minh lu Định lý chứng minh an va Định lý 2.6 Cho H không gian Hilbert thực C tập lồi, n đóng, khác rỗng H Cho T = {T (s) : ≤ s < ∞} nửa nhóm tn to ánh xạ khơng giãn từ C vào với F (T ) 6= ∅ x0 ∈ H Với C1 = C p ie gh u1 = PC1 x0 , xác định dãy {un } sau:  R λn   T (s)un ds, y = α u + (1 − α )  n n n n  λn  Cn+1 = {z ∈ Cn : kyn − zk ≤ kun − zk},     un+1 = PC x0 , n ∈ N, n+1 w d oa nl (2.8) an lu nf va ≤ αn ≤ a < 1, < λn < ∞ với n ∈ N λn → ∞ Khi đó, oi lm ul dãy {un } hội tụ mạnh z0 = PF (T ) x0 Chứng minh Với n ≥ 1, đặt z at nh Tn x = λn Z λn T (s)xds, z gm @ với x ∈ C Theo Mệnh đề 1.14, {Tn } thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với T Do đó, từ Định lý 2.2, suy điều phải chứng minh m co l Định lý chứng minh an Lu Định lý 2.7 Cho H không gian Hilbert thực cho A : H −→ 2H toán tử đơn điệu cực đại Với u1 = x0 ∈ H C1 = H, xác định dãy n va ac th si 31 {un } sau:    y = αn un + (1 − αn )JλAn un ,   n Cn+1 = {z ∈ Cn : kyn − zk ≤ kun − zk},    u =P x , n ∈ N, n+1 (2.9) Cn+1 ≤ αn ≤ a < 1, < λn < ∞ với n ∈ N λn → ∞ Khi đó, dãy {un } hội tụ mạnh z0 = PA−1 x0 lu Chứng minh Với n ≥ 1, đặt Tn x = JλAn x với x ∈ C Theo Mệnh đề an va 1.16, {Tn } thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với J A = (I + A)−1 Do đó, từ n Định lý 2.2, suy điều phải chứng minh ie gh tn to Định lý chứng minh p 2.2 Phương pháp lai chiếu w oa nl Năm 2003, Nakajo Takahashi [3] chứng minh định lý đây: d Định lý 2.8 Cho H không gian Hilbert thực C tập lồi, lu an đóng, khác rỗng H Cho T ánh xạ khơng giãn từ C vào oi lm ul nf va với F (T ) 6= ∅ Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác định dãy {xn } sau   yn = αn xn + (1 − αn )T xn ,      Cn = {z ∈ C : kyn − zk ≤ kxn − zk},   Qn = {z ∈ C : hxn − z, x − xn i ≥ 0},     x n+1 = PCn ∩Qn x1 , n ≥ 1, z at nh (2.10) z gm @ đó, dãy {xn } hội tụ mạnh PF (T ) x1 , n → ∞ m co l {αn } dãy số thực thỏa mãn điều kiện αn ⊂ [0, a), với a < Khi Ngoài ra, Nakajo Takahashi [3] chứng minh định lý an Lu cho tốn tìm điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng n va giãn ac th si 32 Định lý 2.9 Cho H không gian Hilbert thực C tập lồi, đóng, khác rỗng H Cho T = {T (s) : ≤ s < ∞} nửa nhóm ánh xạ không giãn C cho F (T ) 6= ∅ Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác định lu dãy {xn } sau  R λn   y = α x + (1 − α )  n n n n T (s)xn ds,  λ  n   C = {z ∈ C : ky − zk ≤ kx − zk}, n n n   Qn = {z ∈ C : hxn − z, x − xn i ≥ 0},      xn+1 = PC ∩Q x1 , n ≥ 1, n n (2.11) an va n {αn } dãy số thực thỏa mãn điều kiện αn ⊂ [0, a), với a < tn to {λn } dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện λn → ∞ Khi đó, dãy {xn } gh hội tụ mạnh PF (T ) x1 , n → ∞ p ie Sử dụng Định lý 2.1, Takahashi, Takeuchi Kubota đưa tổng nl w quát Định lý 2.8 Định lý 2.9, sau: oa Định lý 2.10 Cho H không gian Hilbert thực C tập lồi, d đóng, khác rỗng H Cho {Tn } T hai họ ánh xạ khơng giãn từ C lu an vào cho ∩∞ n=1 F (Tn ) = F (T ) 6= ∅ cho x0 ∈ H Giả sử {Tn } nf va thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với T Đặt C1 = C, u1 = PC1 x0 xác oi lm ul định dãy {un } C sau:   yn = αn un + (1 − αn )Tn un ,      Cn = {z ∈ C : kyn − zk ≤ kun − zk},   Qn = {z ∈ C : hx0 − un , un − zi ≥ 0},     u n+1 = PCn ∩Qn x0 , n ∈ N, z at nh (2.12) z gm @ z0 = PF (T ) x0 m co l ≤ αn ≤ a < với n ∈ N Khi đó, dãy {un } hội tụ mạnh an Lu n va Chứng minh Ta biểu diễn lại tập Cn Qn dạng đây: Cn = C ∩ {z ∈ H : hun − yn , zi ≥ (kun k2 − kyn k2 )}, ac th si 33 Qn = C ∩ {z ∈ H : hun − x0 , zi ≥ hun − x0 , un i} Vì C tập lồi, đóng {z ∈ H : hun − yn , zi ≥ (kun k2 − kyn k2 )}, {z ∈ H : hun − x0 , zi ≥ hun − x0 , un i} nửa không gian đóng H, nên Cn Qn tập lồi đóng Lấy u ∈ F (T ) Khi đó, với n ≥ 1, ta có lu an kyn − uk = kαn un + (1 − αn )Tn un − uk n va ≤ αn kyn − uk + (1 − αn )kTn un − Tn uk tn to ≤ αn kyn − uk + (1 − αn )kun − uk ie gh = kyn − uk p Suy u ∈ Cn với n ≥ Do đó, ta nhận F (T ) ⊂ Cn với nl w n ≥ oa Tiếp theo, ta F (T ) ⊂ Qn với n quy nạp Thật vậy, từ d u1 = PC x0 , ta có lu va an hx0 − u1 , u1 − yi ≥ 0, ul nf với y ∈ C, suy Q1 = C Do F (T ) ⊂ Q1 oi lm Giả sử F (T ) ⊂ Qk với k ≥ Từ uk+1 = PCk ∩Qk x0 , ta có với y ∈ Ck ∩ Qk z at nh hx0 − uk+1 , uk+1 − yi ≥ 0, z gm @ Do F (T ) ⊂ Ck ∩ Qk , nên ta nhận m co l hx0 − uk+1 , uk+1 − ui ≥ 0, với u ∈ F (T ) Suy ra, F (T ) ⊂ Qk+1 Như vậy, ta nhận F (T ) ⊂ Qn an Lu với n ≥ Tóm lại, ta có F (T ) ⊂ Cn ∩ Qn với n ≥ dãy {un } hồn n va tồn xác định ac th si 34 Vì F (T ) ⊂ Qn từ định nghĩa Qn , ta có hx0 − un , un − ui ≥ 0, (2.13) với u ∈ F (T ) Từ un+1 = PCn ∩Qn x0 ∈ Qn , ta có hx0 − un , un − un+1 i ≥ (2.14) Mặt khác, un+1 = PCn ∩Qn x0 ∈ Cn , nên từ định nghĩa Cn , ta nhận kyn − un+1 k ≤ kun − un+1 k lu an Từ cách xác định yn , ta có va n kyn − un k = (1 − αn )kTn un − un k p ie gh tn to Tương tự chứng minh Định lý 2.2, ta nhận kyn − un k ≤ kun − un+1 k (2.15) kTn un − un k ≤ − αn 1−a Từ (2.13)-(2.15) Định lý 2.1, suy dãy {un } hội tụ mạnh z0 = PF (T ) x0 w oa nl Định lý chứng minh d Tương tự Định lý 2.7, ta có kết cho tốn xác lu an định khơng điểm toán tử đơn điệu cực đại nf va Định lý 2.11 Cho H không gian Hilbert thực cho A : H −→ 2H {un } sau: oi lm ul toán tử đơn điệu cực đại Với u1 = x0 ∈ H C1 = H, xác định dãy z at nh   yn = αn un + (1 − αn )JλAn un ,      Cn = {z ∈ C : kyn − zk ≤ kun − zk}, z (2.16) l gm @   Qn = {z ∈ C : hx0 − un , un − zi ≥ 0},     u n+1 = PCn ∩Qn x0 , n ∈ N, an Lu dãy {un } hội tụ mạnh z0 = PA−1 x0 m co ≤ αn ≤ a < 1, < λn < ∞ với n ∈ N λn → ∞ Khi đó, Nhận xét 2.1 Từ Nhận xét 1.1, ta thấy Định lý 2.11 n va cho trường hợp dãy {λn } thỏa mãn điều kiện inf n {λn } = λ > ac th si 35 2.3 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.1 Xét tốn tìm điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ không giãn T = {T (s) : ≤ s < ∞} từ R3 vào R3 xác định    cos s − sin s x    1   T (s)x =   sin s cos s 0 x2  , 0 x3 lu với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 với s ≥ an Ta biết T nửa nhóm ánh xạ khơng giãn F (T ) = {(0, 0, a) : va n a ∈ R} (xem Ví dụ 1.4) Dưới ta mơ tả hội tụ dãy lặp {xn } xác định Định lý gh tn to Với x0 = (1, 2, 3), ta có z0 = PF (T ) x0 = (0, 0, 3) p ie 2.6 Định lý 2.9 thông qua đánh giá khoảng cách nghiệm xấp xỉ xn w nghiệm xác z0 oa nl Áp dụng Định lý 2.6 Định lý 2.9 với x0 = (1, 2, 3), αn = n+1 d λn = n, ta nhận bảng kết đây: lu kxn − x∗ k 7.66 × 10−5 9.89 × 10−6 9.04 × 10−7 oi lm ul z at nh Phương pháp lặp (2.11) n kxn − x∗ k 595 9.23 × 10−5 1591 9.36 × 10−6 3642 8.47 × 10−7 z xn (3.1 × 10−5 , × 10−5 , 3) (2.67 × 10−6 , 9.52 × 10−6 , 3) (7.06 × 10−6 , 5.65 × 10−6 , 3) xn (−1.39 × 10−5 , 9.13 × 10−5 , 3) (−3.02 × 10−6 , 8.86 × 10−6 , 3) (−1.86 × 10−6 , 8.26 × 10−6 , 3) l gm @ TOL 10−4 10−5 10−6 n 34 43 50 nf va TOL 10−4 10−5 10−6 an Phương pháp lặp (2.8) m co Bảng 2.1: Nghiệm xác (0, 0, 3) an Lu Sự hội tụ dãy nghiệm xấp xỉ cho phương pháp lặp (2.8) n va (2.10) mơ tả hình đây: ac th si 36 lu an n va tn to Hình 2.1: Nghiệm xác z0 = (0, 0, 3) ie gh p Ví dụ 2.2 Xét tốn tìm phần tử x∗ ∈ S = argminx∈R3 f (x), nl w f xác định d oa f (x) = hAx, xi + hB, xi + C, an lu với  va  oi lm ul nf 1 −1       A =  1 −1 , B = −4 −4 , C số tùy ý −1 −1 z at nh Ta có 52 f = 2A Do A ma trận nửa xác định dương nên f hàm lồi R3 Ngồi ra, f hàm thường, liên tục R3 , nên ∂f z sau: Tìm phần tử x∗ ∈ (∂f )−1 6= ∅ m co l gm @ toán tử đơn điệu cực đại Như vậy, toán tương đương với toán an Lu Dễ dàng kiểm tra tập nghiệm toán n va S = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + x2 − x3 = 2} ac th si 37 Với x0 = (2, 0, −3) z = (a, b, a + b − 2) ∈ S với a, b ∈ R, ta có kz − x0 k2 = (a − 2)2 + b2 + (a + b + 1)2 Khi đó, z = PS x0 g(a, b) = (a − 2)2 + b2 + (a + b + 1)2 đạt giá trị nhỏ Dễ thấy, g(a, b) đạt giá trị nhỏ a = b = −1 Suy z0 = PS x0 = (1, −1, −2) lu an Chú ý 2.1 Ta tìm hình chiếu z0 x0 lên tập S cách sử va dụng đặc trưng phép chiếu mêtric (xem Mệnh đề 1.7), tức z0 = PS x0 n tn to ie gh hx0 − z0 , z0 − zi ≥ 0, p với z ∈ S d oa nl với w Gỉa sử z0 = (a0 , b0 , a0 + b0 − 2) Khi bất đẳng thức tương đương an lu (2 − a0 )(a0 − a) − b0 (b0 − b) − (1 + a0 + b0 )(a0 + b0 − a − b) ≥ 0, nf va với a, b ∈ R Điều tương đương với z at nh với a, b ∈ R oi lm ul (2a0 + b0 − 1)a + (a0 + 2b0 + 1)b + a0 − b0 − 2(a20 + a0 b0 + b20 ) ≥ 0, z Bất đẳng thức xảy    2a + b0 − = 0,   a0 + 2b0 + = 0,    a − b − 2(a2 + a b + b2 ) ≥ 0 0 0 m co l gm @ an Lu Suy z0 = PS x0 = (1, −1, −2) Áp dụng Định lý 2.7 Định lý 2.11 với x0 = (2, 0, −3), αn = n va λn = n, ta nhận bảng kết đây: n+1 ac th si 38 Phương pháp lặp (2.9), (2.16) n kxn − x∗ k 18 9.17 × 10−5 22 7.08 × 10−6 26 5.29 × 10−7 TOL 10−4 10−5 10−6 xn (1.000052, −0.999947, −2.000052) (1.000004, −0.999995, −2.000004) (1, −0.999999, −2) Bảng 2.2: Nghiệm xác z0 = (1, −1, −2) Chú ý 2.2 Trong trường hợp phương pháp lặp (2.9) (2.16) lu an cho ta kết n va gh tn to Từ Nhận xét 2.1, áp dụng Định lý 2.7 Định lý 2.11 với x0 = (2, 0, −3), λn = với n ≥ 1, ta nhận bảng kết đây: αn = n+1 Phương pháp lặp (2.9) ie p TOL 10−4 10−5 10−6 xn (1.000051, −0.999948, −2.000051) (1.000003, −0.999996, −2.000003) (1, −0.999999, −2) n kxn − x∗ k 30 9.32 × 10−5 37 × 10−6 43 7.48 × 10−7 xn (1.000053, −0.999946, −2.000053) (1.000004, −0.999995, −2.000004) (1, −0.999999, −2) d oa nl w n kxn − x∗ k 21 8.86 × 10−5 26 6.26 × 10−6 30 7.38 × 10−7 oi lm ul nf va TOL 10−4 10−5 10−6 an lu Phương pháp lặp (2.16) z at nh Bảng 2.3: Nghiệm xác (1, −1, −2) z phương pháp lai chiếu (2.16) m co l gm @ Nhận xét 2.2 Phương pháp chiếu co hẹp (2.9) cho ta kết tốt an Lu n va ac th si 39 Kết luận Luận văn trình bày lại cách chi tiết hệ thống vấn đề sau: lu • Một số tính chất đặc trưng khơng gian Hilbert, ánh xạ khơng giãn an nửa nhóm ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu khơng gian va n Hilbert; [6] cho tốn tìm điểm bất động chung họ ánh xạ không p ie gh tn to • Các kết Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R tài liệu w giãn; oa nl • Xây dựng ví dụ số đơn giản dựa phần mềm MATLAB nhằm d minh họa thêm cho phương pháp oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 40 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer lu [2] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Convex Analysis and Monotone an Operator Theory in Hilbert spaces, Springer n va tn to [3] Nakajo K., Takahashi W (2003), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups", J Math Anal p ie gh Appl., 279, pp 372-379 [4] Nakajo K., Shimoji K., Takahashi W (2007), "Strong convergence to w oa nl common fixed points of families of nonexpansive mappings in Banach d spaces", J Nonlinear Convex Anal., 8, pp 11-34 lu va an [5] Shimizu N., Takahashi W (1997), "Strong convergence to common fixed oi lm pp 71-83 ul nf points of families of nonexpansive mappings", J Math Anal Appl., 211, [6] Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R (2008), "Strong convergence z at nh theorems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in z Hilbert spaces", J Math Anal Appl., 341, pp 276-286 m co l gm @ an Lu n va ac th si