(Luận văn thạc sĩ) sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình maxwell trong lý thuyết tán xạ

BáGI ODệCV TRìNG OT O I HC Sì PH M TH NH PHă H CH MINH Nguyn Thanh Tú SĩTNT IV DUYNH TNGHI M CHO PH×ÌNG TR NH MAXWELL TRONG Lị THUY T T N X Chuyản ng nh: ToĂn gi£i t‰ch M¢ sŁ: 846 01 02 LU NV NTH CS TO NH¯C NG×˝I HײNG D N KHOA H¯C: TS NGUY N TH NH NH N Th nh ph Hỗ Ch‰ Minh - 2020 Líi cam oan Tỉi xin cam oan Ơy l lun vôn chnh tổi thỹc hiằn dữợi sỹ hữợng dÔn khoa hồc ca TS Nguyn Th nh NhƠn CĂc ni dung nghiản cứu v kt quÊ tham khÊo lun vôn ữổc trch dÔn v liằt k¶ ƒy ı mưc T i li»u tham kh£o Th nh ph Hỗ Ch Minh, ng y 25 thĂng 05 nôm 2020 Hồc viản Nguyn Thanh Tú Lới cÊm ỡn Lới u tiản, tổi xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc nhĐt tợi Thy TS Nguyn Th nh NhƠn, ngữới  tn tnh hữợng dÔn v giúp ï ” tæi câ th” ho n th nh lu“n vôn n y Tổi xin cÊm ỡn quỵ thy cổ Hi ỗng chĐm lun vôn  ồc v gõp ỵ giúp cho lun vôn ữổc ho n chnh hỡn Xin chƠn th nh cÊm ỡn quỵ thy cổ Khoa To¡n - Tin håc tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m th nh ph Hỗ Ch Minh  truyãn t cho tổi nhng kin thức quỵ bĂu sut nhng nôm hồc vła qua, t⁄o cho tỉi mºt n•n t£ng vœng ch›c thỹc hiằn lun vôn Cui cũng, tổi cụng gòi líi c£m ìn gia …nh, b⁄n b– v t“p th” lợp ToĂn giÊi tch K28  ht lặng ng h v ºng vi¶n, gióp ï tỉi qu¡ tr…nh håc cụng nhữ quĂ trnh thỹc hiằn lun vôn n y Tuy nhi¶n, thíi gian câ h⁄n n¶n lun vôn cặn nhiãu hn ch v khổng trĂnh khọi nhng sai sõt V vy, tổi rĐt mong nhn ữổc sỹ õng gõp ỵ kin ca quỵ thy cổ v cĂc bn lun vôn ữổc ho n thiằn hỡn Xin chƠn th nh cĂm ỡn Th nh ph Hỗ Ch‰ Minh, ng y 25 th¡ng 05 n«m 2020 Håc vi¶n Nguy„n Thanh Tó Mºt sŁ k‰ hi»u R T“p sŁ thüc C T“p sŁ phøc Re a Phƒn thüc cıa a Im a Phƒn £o cıa a Mi•n bà chn ,@ Biản ca miãn E Cữớng iằn trữớng Ei Sõng tợi ca trữớng Es Sõng tĂn x ca trữớng H Cữớng t trữớng Hi Sõng tợi cıa tr÷íng tł Hs Sâng t¡n x⁄ cıa tr÷íng tł F+ Giợi hn t ngo i cho trữớng vectỡ hoc h mF F Giợi hn t cho tr÷íngvectì ho°c h mF " H‹ng sŁ i»n mỉi cıa mỉi tr÷íng i»n i»n H‹ng sŁ tł mỉi cıa mỉi tr÷íng T‰nh chiral cıa mỉi tr÷íng r , div To¡n tß divergence Trong tåa º Descartes, @ax @ay @x ra= @az @y + @z + r , curl, rot To¡n tò vectỡ mổ tÊ xoĂy ca trữớng vectỡ Trong tåa º Descartes, vỵi i, j, k l vectì curl a = @yz @a @zy @a i+ b ìn cıa c¡c tröc x, y, z, @z x @a @xz @a j+ b @x y @a @yx @a (= (x)) Vectỡ phĂp tuyn ỡn v ti x hữợng ngo i mi•n SŁ sâng (mang gi¡ trà thüc) k SŁ sâng (mang gi¡ trà phøc) s‡ câ c¡c gi¡ trà k ho°c ik T“p hæp c¡c sŁ sâng phøc := f C : 6= 0; Re0; Im0g Nghiằm cỡ bÊn Trữớng sõng tĂn x u ToĂn tò Laplace cıa u u To¡n tß Gradient r C¡c h m cõ giĂ tr vổ hữợng theo cĂch thổng thữớng, ữổc trang L (D) vợi R l RR bà chu'n kukL2(D) := D ju(x)j dx , D Khæng gian c¡c h m trìn câ gi¡ compact º i»n th'm ch¥n khỉng º tł th'm ch¥n khỉng C0 "0 M“t º i»n t‰ch J M“t º dỈng i»n c V“n tŁc ¡nh sĂng ! Tn s gõc F ToĂn tò trữớng sõng xa QL, QR C¡c tr÷íng Beltrami QL := E + iH v QR := E iH E1 PhŒ i»n tr÷íng cıa tr÷íng sâng xa H S PhŒ tł tr÷íng cıa tr÷íng sâng xa H…nh cƒu ìn m pn , qn o ữổc bĐt k cõ o d÷ìng m C¡c h» sŁ Fourier Mưc lưc Líi cam oan Líi c£m ìn Mºt sŁ k‰ hi»u M— U 1 Phữỡng trnh tch phƠn Lippmann-Schwinger 1.1 B i to¡n tł tr÷íng 1.1.1 Giỵi thi»u b i to¡n tł tr÷íng 1.1.2 Cỉng thøc bi‚n ph¥n 1.2 B i to¡n i»n tr÷íng 1.2.1 Giợi thiằu b i toĂn iằn trữớng 1.2.2 Cỉng thøc bi‚n ph¥n 1.3 Phữỡng trnh vi tch phƠn Sỹ tỗn ti v nhĐt nghiằm 14 19 2.1 Chứng minh sỹ tỗn ti nghiằm 19 2.2 Chøng minh t‰nh nh§t nghi»m 27 Bi”u di„n nghi»m qua chuỉi cĂc h m cu iãu hặa 3.1 Phữỡng trnh Maxwell hằ vectỡ cu iãu hặa 32 33 3.1.1 Ph trữớng sõng xa v toĂn tò trữớng sõng xa 33 3.1.2 Vectì h m cu iãu hặa 38 3.1.3 Ph÷ìng tr…nh Maxwell trản miãn achiral 41 3.1.4 B i to¡n truy•n sâng qu£ cƒu chiral 44 3.2 ToĂn tò trữớng sâng xa 47 3.2.1 ChuØi khai tri”n cıa sâng phflng 47 3.2.2 Tr÷íng hỉp achiral 51 3.2.3 Tr÷íng hỉp chiral 54 K‚t lu“n T i li»u tham kh£o 56 57 M— U Ph÷ìng trnh Maxwell l mt nhng phữỡng trnh cõ nhiãu ứng dửng Vt lỵ, c biằt l lỵ thuy‚t t¡n x⁄ i»n tł Ph÷ìng tr…nh n y nh“n ữổc khĂ nhiãu sỹ quan tƠm ca cĂc nh ToĂn håc Cho ‚n nay, nhi•u b i to¡n xung quanh phữỡng trnh n y vÔn l cĂc vĐn ã m CĂc nghiản cứu vã phữỡng trnh n y liản quan n sỹ tỗn ti v nhĐt nghiằm, cĂc tnh chĐt nghiằm, cĂc phữỡng phĂp giÊi tch v phữỡng phĂp sŁ ” gi£i ph÷ìng tr…nh Mºt nhœng k‚t qu£ hu ch gn Ơy l chứng minh sỹ tỗn ti v nhĐt nghiằm ca phữỡng trnh Maxwell bng cĂch ữa vã phữỡng trnh tch phƠn Lippmann-Schwinger T õ, thay cho viằc nghiản cứu phữỡng trnh Maxwell, cĂc nh toĂn hồc trung v o phữỡng trnh tch phƠn Lippmann-Schwinger Nghiản cứu vã phữỡng trnh tch phƠn n y cõ mt s thun lổi nhĐt nh Lun vôn trung tm hiu viằc chứng minh sỹ tỗn ti v nhĐt nghiằm ca phữỡng trnh Maxwell tng quĂt bng cĂch khÊo sĂt phữỡng trnh tch phƠn Lippmann-Schwinger, dỹa trản cĂc t i li»u tham kh£o ch‰nh [6], [8], [10], [11], [15], [16] B¶n c⁄nh â, t¡c gi£ tr…nh b y l⁄i bi”u di„n nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh Maxwell thỉng qua chuỉi cĂc h m cu iãu hặa cÊ trữớng hæp achiral v chiral C¡c bi”u di„n n y s‡ mang li giĂ tr cho ngữới nghiản cứu vã phữỡng ph¡p sŁ gi£i ph÷ìng tr…nh Maxwell Nºi dung ch‰nh cıa lun vôn ữổc trnh b y th nh chữỡng: Trong Chữỡng 1, u tiản tĂc giÊ giợi thiằu mt s kỵ hiằu v kin thức cỡ bÊn vã phữỡng trnh Maxwell lỵ thuyt tĂn x iằn t, ỗng thới mổ tÊ hai b i toĂn tữỡng ứng vợi quĂ trnh truyãn sõng iằn trữớng v sõng t trữớng CĂc lợp cổng thức bin phƠn tữỡng ứng vợi hai b i to¡n n y cơng ÷ỉc ÷a sau â Ti‚p theo, t¡c gi£ tr…nh b y kt quÊ vã sỹ tữỡng ữỡng ca cĂc dng bin phƠn vợi phữỡng trnh tch phƠn Lippmann-Schwinger Chữỡng 2, t¡c gi£ tr…nh b y c¡c k‚t qu£ v• sỹ tỗn ti v nhĐt nghiằm ca phữỡng trnh tch phƠn Lippmann-Schwinger, t õ thu ữổc sỹ tỗn ti v nh§t nghi»m cıa b i to¡n ban ƒu Chữỡng ca lun vôn trung xƠy dỹng cổng thức biu din ca cĂc i lữổng sõng tợi, sõng t¡n x⁄ thỉng qua chi c¡c h m vectì cƒu iãu hặa Cổng thức khai trin cử th trữớng hổp sõng tợi l sõng phflng cÊ trữớng hổp achiral v chiral ÷ỉc ÷a phƒn cuŁi cịng cıa lu“n v«n