B i to¡n tł tr÷íng
Giợi thiằu b i toĂn tł trữớng
Trong lu“n vôn n y, chúng tổi khÊo sĂt hằ phữỡng tr…nh Maxwell cõ d⁄ng nh÷ sau: curl H = ik"(E + curl E); curl E = ik (H + curl H);
X¥y düng b i to¡n thu“n. trong mi•n R n n , trong õ 2 C 2 l biản cıa mi•n bà ch°n R 3 , k > 0 l sŁ sõng, cĂc h m ", , 2 C 1 (R 3 n lƒn lữổt °c trững cho h‹ng sŁ iằn mổi, h‹ng sŁ tł mổi v t‰nh chiral cıa mổi trữớng Lữu ỵ r‹ng cĂc ⁄i lữổng n y l cĂc h m phức khổng phử thuºc thới gian v s‡ cõ giĂ trà l h‹ng sŁ khi cĂc v“t liằu l ỗng nhĐt Mổi trữớng ữổc gồi l achiral trong trữớng hổp = 0,
3 v ngữổc l⁄i gồi l mổi trữớng chiral CĂc ⁄i lữổng E v H l nghiằm cıa hằ phữỡng tr…nh, lƒn lữổt °c trững cho sõng iằn trữớng v sõng tł trữớng.
QuĂ tr…nh tĂn x⁄ sõng iằn trữớng v sõng tł trữớng xÊy ra khi sõng tợi ữổc truy•n qua mºt v“t, giÊ sò ữổc °t trong mổi trữớng chƠn khổng, nghắa l " = = 1 v = 0 n‹m bản ngo i mi•n GiÊ sò " 6= 0 v 6= 0, °t q := 1 v q := 1 " 1
CĂc ⁄i lữổng sõng tợi v sõng tĂn x⁄ cıa trữớng iằn v trữớng " tł lƒn lữổt ữổc kỵ hiằu l E i , H i , E s , H s Khi õ sõng to n phƒn E, H ch‰nh l sõng tŒng hổp cıa sõng tợi v sõng tĂn x⁄, tức l
B‹ng cĂch thay trữớng iằn E trong (1.1) v o trữớng tł H trong (1.2), ta thu ữổc phữỡng tr…nh sau curl h
" trong mi•n R n n Theo ành nghắa cıa cĂc h m tham sŁ ", v , phữỡng tr…nh trản bi”u thà cĂc phữỡng tr…nh Maxwell d⁄ng achiral bản ngo i v cĂc phữỡng tr…nh d⁄ng chiral bản trong Khi õ trữớng sõng tợi H i thọa mÂn phữỡng tr…nh Maxwell trong chƠn khổng, nghắa l curl 2 H i k 2 H i = 0; trong R 3 : (1.4)
PhƠn t‰ch sõng tŒng hổp trong (1.3) th nh sõng tợi H i v sõng tĂn x⁄ H s , ta ữổc
Rút gồn bi”u thức trản v sò dửng 1.4, ta nh“n ữổc
= curl q " + k curl H + k curl H + curl H + k q H; (1.5) trong mi•n R 3 n vợi q = 1 v q" = 1 " 1
Ti‚p theo ta xĂc ành cĂc i•u kiằn truy•n sõng K‰ hiằu = (x) l vectỡ phĂp tuy‚n ỡn và t⁄i x 2 = @ hữợng ra ngo i mi•n Trong phƒn ti‚p theo, tĐt cÊ cĂc phữỡng tr…nh liản quan ‚n vectỡ ti‚p tuy‚n ữổc phĂt bi”u trản
Ta kỵ hiằu F + v F lƒn lữổt l giợi h⁄n tł bản ngo i v bản trong cho trữớng vectỡ ho°c h m F
CĂc th nh phƒn ti‚p tuy‚n cıa E v H liản tửc trản cĂc m°t phƠn cĂch, nghắa l
H+ = H v E+ = E trản : (1.6) i•u n y dÔn ‚n cĂc i•u kiằn truy•n sõng trản biản cıa V‰ dử ti‚p theo minh hồa viằc xĂc ành cĂc i•u kiằn truy•n sõng.
V‰ dử 1.1 ( i•u kiằn truy•n sõng trong trữớng hổp achiral)
Trong mổi trữớng khổng tł t‰nh achiral ( = 0; = 0) cĂc phữỡng tr…nh
Maxwell (1.1), (1.2) câ d⁄ng curl H = ik"E v curl E = ikH trong R 3 n :
GiÊ sò cho " nhữ trản, nghắa l " = 1 trong R 3 n Ta cõ th” vi‚t cĂc i•u kiằn liản tửc (1.6) theo H dữợi d⁄ng cĂc phữỡng tr…nh Maxwell nhữ sau
" Ơy l cĂc i•u kiằn truy•n sõng cho trữớng sõng tŒng hổp Do õ i•u kiằn truy•n cho trữớng sõng tĂn x⁄ H s = H H i ữổc suy ra tł ph†p trł cıa trữớng sõng tŒng hổp cho i•u kiằn
=curl H i ta ữổc curl H s curl H + s H + s =H s v " 1 " curl H : i
BƠy giớ, ta s‡ xĂc ành cĂc i•u kiằn truy•n sõng cho trữớng hổp chiral CĂc giợi h⁄n cıa E xuĐt hiằn trong i•u kiằn liản tửc (1.6) cõ th” ữổc bi”u di„n b‹ng H theo cĂc phữỡng tr…nh chiral (1.1) v (1.2) CĂc i•u kiằn mi•n bản ngo i, ta câ = 0 v " = 1 Tł â ta suy ra i 1
E + = k curl H + v E = i k" k 2 curl H ik( ) H v i•u kiằn truy•n tữỡng ứng l
B‹ng ph†p trł ta cõ ữổc cĂc i•u kiằn truy•n theo trữớng sõng tĂn x⁄
CĂc cổng thức n y cõ vã khĂ phức t⁄p Những ” phĂt tri”n cĂc cổng thức bi‚n phƠn ta s‡ sò dửng nhœng bi”u thức n y, chúng xuĐt hiằn trong cĂc t‰ch phƠn trản biản khi ta thỹc hiằn t‰ch phƠn tłng phƒn.
Cổng thức bi‚n phƠn
GiÊ sò r‹ng "1 j ; "j ; 1 j ; j ; j 2 L 1 ( ) V• þ t÷ðng, ta s‡ nh¥n ph÷ìng tr…nh(1.5) vợi h m thò v sò dửng t‰ch phƠn tłng phƒn ta suy ra cổng thức bi‚n ph¥n cho H s °t:
Lữu ỵ r‹ng M i v m i bà triằt tiảu trong R 3 n Khi õ i•u kiằn truy•n (1.7) ch¿ cặn
M s M + s =M i trản v ph÷ìng tr…nh t¡n x⁄ (1.5) l curl M s m s = curl M i + m i :
Trản cÊ hai v‚ cıa phữỡng tr…nh n thò 2 C 0 1 (B; C 3 ) cho quÊ cƒu B
ZZ y, ta h…nh th nh t‰ch vổ hữợng vợi h m bĐt ký Khi õ t‰ch phƠn trản B l ZZ curl M s m s dx = curl M i + m i dx:
Ta chia mi•n lĐy t‰ch phƠn cıa bi”u thức bản trĂi th nh B n v , v Ăp dửng ành lỵ Green dữợi d⁄ng
@D( v) w ds vợi lƒn lữổt D = B n v D = Khi õ, ta cõ
( M i ) ds:CĂc t‰ch phƠn trản biản bà triằt tiảu do i•u kiằn truy•n sõng Tức l vợi mồi h m thò cõ giĂ compact Thay cĂc bi”u thức cho M s ; m s ; M i v m i ta câ d⁄ng bi‚n ph¥n cıa ph÷ìng tr…nh t¡n x⁄:
+ k 2 ZZ H i curl + curl H i dx (1.8) vợi mồi cõ giĂ compact Ta xĂc ành cĂc khổng gian h m cho H s ; H i v sau khi h…nh th nh i•u kiằn truy•n sõng y‚u tữỡng ứng.
B i toĂn iằn trữớng
Giợi thiằu b i toĂn iằn trữớng
Ta có thể thấy rằng các phương trình bậc hai cho E và H là giống nhau khi ta để chỉ số "v" và "s" Tương tự như trường hợp từ trường, ta có thể xây dựng biểu thức truyền sóng cho trường điện Ta tìm được kết quả: Một lần nữa trường sóng tới E i là một nghiệm riêng cho các phương trình Maxwell trong chân không 2 E i k 2 E i = 0 trong R 3 và phương trình cho trường sóng tại điểm x ∈ E s = E E i l curl k 2 " 2 curl E s k 2 [curl (" E s ) + " curl E s ] k 2 "E s
= curl p + k 2 " 2 curl E i + k 2 curl " E i + " curl E i + k 2 p " E i trong R 3 n vợi p " := " 1 v p = 1
= (p + k 2 " 2 )curl E i + k 2 (" )E i trản Nh›c l⁄i r‹ng k‰ hiằu l vectỡ phĂp tuy‚n ỡn và trản hữợng ra bản ngo i mi•n
Cổng thức bi‚n phƠn
Tữỡng tỹ b i toĂn tł trữớng, ta cụng giÊ sò r‹ng "1 j ; "j ; 1 j ; j ; j 2 L 1 ( ) Mºt lƒn nœa, ta cõ th” thu ữổc cổng thức bi‚n phƠn cıa phữỡng tr…nh tĂn x⁄ b‹ng cĂch nhƠn vợi h m thò v t‰ch phƠn tłng phƒn,
ZZ 1 k 2 ZZ " [E s curl + curl E s ] dx
" E i curl + curl E i dx (1.9) vợi mồi cõ giĂ compact Ta  tr…nh b y hai phữỡng tr…nh bi‚n phƠn cho b i toĂn tĂn x⁄ Ta phÊi xĂc ành khổng gian ” giÊi chúng ành nghắa ƒu tiản dữợi Ơy giÊi th‰ch ỵ nghắa cıa toĂn tò curl y‚u trong b i toĂn n y ành nghắa thứ hai ữa ra khĂi niằm v• t‰nh chĐt hữợng ngo⁄i cıa nghiằm (outgoing solutions).
Nhữ trong [14], vợi bĐt ký t“p con o ữổc D R 3 vợi º o dữỡng, khổng gian h m L 2 (D) ữổc xĂc ành cho cĂc h m cõ giĂ trà vổ hữợng theo cĂch thổng thữớng, ữổc trang bà chu'n
— Ơy v trản to lữổng vổ hữợng v n lu“n vôn, kỵ hiằu j j l giĂ trà tuyằtŁi tữỡng ứng vợi ⁄i j j l chu'n Euclid tữỡng ứng vợi ⁄i lữổng vectỡ. ành nghắa 1.2 ([11])(Curl y‚u)
(b) Vợi v 2 L 2 (D; C 3 ), ta nõi v 2 H(curl; D) cho
Khi õ, ta kỵ hiằu curl v := w, ữổc gồi l curl y‚u cıa v.
(c) Hloc(curl; R 3 ) := fv : R 3 ! C 3 8B R 3 : vjB 2 H(curl; B)g, trong õ B kỵ hiằu quÊ cƒu trong R 3
H c (curl; R 3 ) := : R 3 ! C 3 j 9B R 3 : suppB; j B 2 H(curl; B) : ành nghắa 1.3 ([11]) (Nghiằm Radiating (Radiating solution))
Mºt nghiằm (E s ; H s ) cho cĂc phữỡng tr…nh Maxwell trong R 3 n ữổc gồi l RADIATING n‚u nõ thọa mÂn mºt trong cĂc i•u kiằn bức x⁄ Silver Muller
— Ơy j j l chu'n Euclid V… ta s‡ l m viằc vợi mºt trong cĂc trữớng nản ta ữa ra cĂc bi”u thức tữỡng ữỡng b‹ng cĂch sò dửng trữớng v curl cıa nõ.
Mằnh • 1.4 ([11]) Mºt nghiằm U cho cĂc phữỡng tr…nh Maxwell cõ d⁄ng curl 2 U k 2 U = 0 ữổc gồi l radiating n‚u v ch¿ n‚u U thọa mÂn mºt trong hai i•u kiằn: curl U x^ ikU = O(jxj 2 ) khi jxj ! 1 ho°c ikU x^ + curl U = O(jxj 2 ) kh i jxj ! 1
” chứng minh, ta nhƠn (1.10) vợi ik v dũng curl H s = ikEs i•u n y cho tai•u kiằn ƒu tiản cıa mằnh • Tữỡng tỹ vợi i•u kiằn thứ hai (nhƠn i•u kiằn thứ hai trong ành nghắa vợi ik v dũng curl H s = ikE s ).
Trong quá trình chứng minh tiếp theo, ta sẽ giới thiệu về hai công thức quan trọng của phương trình, tập trung vào một trong hai công thức - công thức cho H Dựa vào kết quả duy nhất và các phương trình định nghĩa cho phương pháp Nhân tổ hợp, ta sẽ làm việc với sự giãn nở và co lại của một nghiệm (E s ; H s ) cho bài toán truyền sóng Bước tiếp theo chỉ ra rằng với một nghiệm H s trong bài toán truyền sóng co lại về trước, ta có thể xác định nghiệm tương ứng với ngữ cảnh lùi.
BŒ • 1.5 ([11]) (Sỹ tữỡng ữỡng cıa cổng thức bi‚n phƠn) Hai cổng thức bi‚n phƠn l tữỡng ữỡng nhau theo nghắa sau.
(a) Cho H i l trữớng sõng tợi N‚u H s 2 H loc (curl; R 3 ) l mºt nghiằm radiating cıa phữỡng tr…nh (1.8) vợi mồi 2 H c(curl; R 3 ) th… E s 2 Hloc(curl; R 3 ) ữổc x¡c ành bði
1 ikE s := " k 2 2 curl H s k 2 H s (q" +k 2 2 ) curl H i k 2 H i (1.11) l mºt nghiằm radiating cıa (1.9) vợi mồi 2 H c (curl; R 3 ) vợi ikE i := curl H i : (1.12)
(b) Cho E i l trữớng sõng tợi N‚u E s 2 H loc (curl; R 3 ) l mºt nghiằm radiating cıa phữỡng tr…nh (1.9) vợi mồi 2 H c(curl; R 3 ) th… H s 2 Hloc(curl; R 3 ) ữổc x¡c ành bði ikH s := k 2 " 2 curl E s k 2 " E s (p + k 2 " 2 ) curl E i k 2 " E i l mºt nghiằm radiating cıa (1.8) vợi mồi 2 H c(curl; R 3 ) vợi ikH i := curl E i :
(a) Theo ành nghắa cıa E s phữỡng tr…nh (1.8) ch¿ ra r‹ng curl E s tỗn t⁄i àa phữỡng theo nghắa y‚u v ik curl E s = k 2 ( curl H s + H s ) + k 2 curl H i + k 2 q H i (1.13) ta câ ikE s = curl H s v theo nghắa y‚u Vợi mồi x 2= ik curl E s = k 2 H s , curl E s = ikH s :
Theo Mằnh • 1.4, ta d„ d ng ki”m tra ữổc vợi H s cụng nhữ E s l radiating.
Sò dửng cĂc trữớng sõng tŒng hổp H = H s + H i v E = E s + E i , phữỡng tr…nh (1.11) - (1.13) cho ta
@ k k A@ H A ành thức cıa ma tr“n hằ sŁ l det = k 2 " (1 k 2 " 2 ) + k 4 2 2 = k 2 " 2 L 1 ( ) v ma trƠn nghàch Êo ữổc ữa ra bði
Ta nhƠn phữỡng tr…nh (1.14) vợi ma tr“n nghàch Êo:
@ H A @ k " A@ curl E A ữa v o ành nghắa cıa curl y‚u, ta ữổc
ZZ R 3 H curl curl H dx = 0 vợi mồi 2 C 0 1(R 3 ; C 3 ); v sò dửng l⁄i E = E s + E i vợi curl 2 E i k 2 E i = 0 cho ta phữỡng tr…nh (1.9). Chứng minh tữỡng tỹ cho mằnh • (b).
Chúng ta k‚t thúc phƒn n y vợi mºt cổng thức ch‰nh xĂc cıa b i toĂn truy•n sâng tł tr÷íng m ta muŁn gi£i ¥y l sü mð rºng cıa b i to¡n truy•n sâng tł trữớng (1.8) ð hai phữỡng diằn:
Trong ⁄o h m cıa cổng thức bi‚n phƠn, ta thĐy sỹ hỉ trổ ð v‚ phÊi cıa phữỡng tr…nh tĂn x⁄ chứa trong Ta cõ th” hi”u Ơy l mºt dœ liằu ƒu v o v cho ph†p cĂc dœ liằu ƒu v o tŒng quĂt hỡn (g; h).
SŁ sõng (thỹc) k 2 = ! 2 " 0 0 > 0 xuĐt hiằn trong mºt v i sŁ h⁄ng cıa phữỡng tr…nh (1.8) Khi ph¥n t‰ch b i to¡n truy•n sâng trong c¡c phƒn sau, ta phÊi cho ph†p cĂc giĂ trà phức t⁄i mºt sŁ và tr‰ õ l lỵ do t⁄i sao ta giợi thiằu tham sŁ cõ giĂ trà phức thay th‚ sŁ sõng khi cƒn thi‚t ( s‡ cõ cĂc gi¡ trà k ho°c ik.)
GiÊ thi‚t 1.6 ([11]) (CĂc tham sŁ v“t liằu)
Cho R 3 l mi•n Lipschitz bà ch°n Ta thła nh“n cĂc h‹ng sŁ iằn mổi phức " v h‹ng sŁ tł mổi phức những giÊ sò t‰nh chiral nh“n giĂ trà thỹc. Ch‰nh x¡c hìn, 1
B i to¡n 1 ([11]) (B i to¡n truy•n sâng tł y‚u)
Cho k > 0 v 2 Cho trữợc dœ liằu g; h 2 L 2 ( ; C 3 ) Vợi giÊ thi‚t 1.6, xĂc ành v 2 H loc (curl; R 3 ) sao cho v l radiating v thọa mÂn
= 2 g + h curl dx (1.15) vợi mồi 2 H c (curl; R 3 ).
Thảm nœa, ta phĂt bi”u b i toĂn truy•n sõng iằn y‚u Trong trữớng hổp n y ta khổng cƒn tŒng quĂt hõa b i toĂn cho cĂc sŁ sõng phức.
GiÊ thi‚t 1.7 ([11]) (CĂc tham sŁ v“t liằu)
Cho R 3 l mi•n Lipschitz bà ch°n Ta thła nh“n cĂc h‹ng sŁ iằn mổi phức " v h‹ng sŁ tł mổi phức những giÊ sò t‰nh chiral nh“n giĂ trà thỹc.
B i toĂn 2 ([11]) (B i toĂn truy•n sõng iằn y‚u)
Cho k > 0 v 2 Cho trữợc dœ liằu g; h 2 L 2 ( ; C 3 ) Vợi giÊ thi‚t 1.7, xĂc ành v 2 H loc (curl; R 3 ) sao cho v l radiating v thọa mÂn
=ZZ k 2 g + h curl dx (1.16) vợi mồi 2 H c (curl; R 3 )
Ph÷ìng tr…nh vi t‰ch ph¥n
Ngữới ta sò dửng phữỡng tr…nh vi t‰ch phƠn ” ữa ra mºt cổng thức thay th‚ cho b i toĂn truy•n sõng tŒng quĂt ð trản Mửc ‰ch l Ăp dửng lỵ thuy‚t
Fredholm V… lỵ do õ ta giợi thiằu cĂc th‚ và vectỡ nhĐt ành, ” dÔn ‚n phữỡng tr…nh vi t‰ch phƠn v chứng minh sỹ tữỡng ữỡng.
Nghiằm cỡ bÊn cho phữỡng tr…nh vổ hữợng Helmholtz õng mºt vai trặ quan trồng Nõ s‡ l h m h⁄t nhƠn cho cĂc th‚ và vectỡ cıa chúng ta. ành nghắa 1.8 ([11]) (Nghiằm cỡ bÊn)
Vợi 2 nghiằm cỡ bÊn cıa phữỡng tr…nh vổ hữợng Helmholtz trong R 3 u + 2 u = 0 ữổc xĂc ành bði
BŒ • ti‚p theo cung c§p c¡c th‚ và vectì cì b£n ” gi£i c¡c ph÷ìng tr…nh
(a) Vợi f 2 L 2 ( ; C 3 ), trữớng vectỡ u(x) = curl ZZ f(y) (x; y) dy; x 2 R 3 ; xĂc ành mºt h m trong H loc (curl; R 3 ) thọa mÂn curl 2 u 2 u = curl f theo nghắa bi‚n phƠn; tức l ,
ZZ R 3 curl u curl 2 u dx = ZZ f curl dx vợi mồi 2 H c (curl; R 3 ) Hỡn nœa u l radiating v thu hàp uj cıa u trản xĂc ành toĂn tò bà ch°n tł L 2 ( ; C 3 ) v o H(curl; ).
(b) Vợi f 2 L 2 ( ; C 3 ), trữớng vectỡ u(x) = ( 2 + r div) ZZ f(y) (x; y) dy; x 2 R 3 ; xĂc ành mºt h m trong H loc (curl; R 3 ) thọa mÂn curl 2 u 2 u = 2 f theo nghắa bi‚n phƠn; tức l ,
ZZ R 3 curl u curl 2 u dx = 2 ZZ f dx vợi mồi 2 H c (curl; R 3 ) Hỡn nœa u l radiating v thu hàp uj cıa u trản xĂc ành toĂn tò bà ch°n tł L 2 ( ; C 3 ) v o H(curl; ).
Ta thiết lập một phương trình vi phân tuyến tính phi đồng nhất Do đó, ta xây dựng lời giải tổng quát truyển sâng (1.15) sao cho dãy biến phân của phương trình vi phân tuyến tính phi đồng nhất (1.12) là dãy con của dãy biến phân của phương trình vi phân tuyến tính đồng nhất (1.14).
+ZZ (q " + k 2 2 ) curl v + k 2 v + h curl dx vợi mồi x 2
Ta nh“n ra cĂc phữỡng tr…nh tł bŒ • trữợc vợi lƒn lữổt l f = (q" + k 2 2 ) curl v + k 2 v + h v f = q v + curl v + g:
Lữu ỵ suppf trong cÊ hai trữớng hổp i•u ch¿nh cĂc th‚ và trong bŒ • trữợc cho ta ph÷ìng tr…nh vi t‰ch ph¥n cho v. v(x) = ( 2 + r div) ZZ
(q " + k 2 2 ) curl v + k 2 v + h (x; ) dy (1.17) vợi x 2 Ta vi‚t gồn
Chúng ta phÊi ch¿ ra r‹ng viằc giÊi phữỡng tr…nh vi t‰ch phƠn n y tữỡng ữỡng vợi giÊi b i toĂn truy•n sõng. ành lþ 1.10 ([11]) (Sü t÷ìng ÷ìng)
(a) Cho v 2 H loc (curl; R 3 ) l mºt nghiằm radiating cıa (1.15) Khi õ vj 2 H(curl; ) l nghiằm cıa (1.17).
(b) Cho v 2 H(curl; ) l mºt nghiằm cıa (1.17) Khi õ v cõ th” ữổc thĂc tri”n th nh mºt nghiằm radiating cıa (1.15).
Trong chứng minh n y, tĐt cÊ cĂc phữỡng tr…nh vi phƠn tłng phƒn phÊi ữổc hi”u theo nghắa y‚u.
(a) ành nghắa v 1 v v 2 bði v 1 (x) := ( 2 + r div) ZZ
(q " + k 2 2 ) curl v + k 2 v + h (x; ) dy vợi x 2 R 3 Tł õ v 2 H loc (curl; R 3 ) l mºt nghiằm y‚u cıa b i toĂn truy•n sõng, cĂc h m q v + curl v + g v (q " + k 2 2 ) curl v + k 2 v + h l khÊ t‰ch b“c 2 trản v theo BŒ • 1.9, v 1 v v2 lƒn lữổt l cĂc nghiằm radiating trong H loc (curl; R 3 ) cıa curl 2 v1 2 v 1 = 2 [q v + curl v + g] v
= curl 2 v 2 v " trong R 3 Do cÊ v 1 + v 2 v v •u l nghiằm radiating nản w = v v 1 v 2 l radiating v l nghiằm cıa phữỡng tr…nh curl 2 w 2 w trong R 3 Ta k‚t lu“n r‹ng w = 0 v do õ v = v 1 + v 2 thọa mÂn phữỡng tr…nh vi t‰ch phƠn (1.17). (b) Cho v 2 H(curl; ) l mºt nghiằm cıa (1.17) Ta khai tri”n v theo v‚ phÊi th nh h m v~ trản R 3 Khi õ v~j = v v theo BŒ • 1.9, v~ 2 H loc (curl; R 3 ) l mºt nghiằm radiating cıa curl 2 v~ 2 v~ = 2 [q v + curl v + g] + curl (q" + k 2 2 ) curl v + k 2 v + h :
Trản ta cõ v~ = v nản ta cõ th” vi‚t curl 2 v~ 2 v~ = 2 [q v~ + curl v~ + g] + curl (q " + k 2 2 ) curl v~ + k 2 v~ + h :
Tł õ suy ra v~ l mºt nghiằm radiating cıa (1.15). ành lþ n y cho ph†p chóng ta t“p trung v o ph÷ìng tr…nh vi t‰ch ph¥n khi nghiản cứu t‰nh giÊi ữổc cıa b i toĂn Theo cĂch tữỡng tỹ, chúng ta cõ th” xƠy dỹng mºt phữỡng tr…nh vi t‰ch phƠn cho b i toĂn truy•n sõng iằn, nhữ sau:
Phữỡng tr…nh vi phƠn t‰ch phƠn tữỡng ữỡng vợi b i toĂn truy•n sõng iằn trữớng (B i toĂn 2) ữổc hi”u l
Sỹ tỗn t⁄i v duy nhĐt nghiằm
Mửc tiảu cıa chúng ta l giÊi b i toĂn truy•n sõng tł trữớng (B i toĂn 1) cho = k
> 0 Trong phƒn trữợc ta  phĂt tri”n mºt cổng thức tữỡng ữỡng, cử th” l phữỡng tr…nh vi ph¥n t‰ch ph¥n Lippmann-Schwinger (1.17)
Cõ ỵ tữðng tł lỵ thuy‚t Fredholm, ta di„n tÊ phữỡng tr…nh n y vợi cĂc toĂn tò ữổc xĂc ành mºt cĂch th‰ch hổp ” nghiản cứu sỹ tỗn t⁄i v duy nhĐt nghiằm cıa b i toĂn Trong phƒn ƒu tiản, chúng ta tr…nh b y l⁄i phữỡng tr…nh vi t‰ch phƠn nhữ mºt phữỡng tr…nh toĂn tò
(I A k T A B k T B )v = f vợi v‚ phÊi f v ch¿ ra r‹ng I A k T A B k T B l mºt nhi„u compact cıa mºt flng cĐu — Ơy, mºt lƒn nœa k bi”u thà sŁ sõng Phƒn thứ hai cõ hai k‚t quÊ v• t‰nh duy nhĐt: mºt cho cĂc tham sŁ v“t liằu phức v mºt cho cĂc h m tham sŁ trỡn V• t‰nh ƒy ı, phƒn cuŁi cũng b n v• b i toĂn truy•n sõng iằn trữớng(1.9) cıa chóng ta.
Chứng minh sỹ tỗn t⁄i nghiằm
Nhữ  • c“p trong phƒn giợi thiằu cıa phƒn n y, ta xĂc ành hai toĂn tò A ; B v• cỡ bÊn l cĂc th‚ và vectỡ tł BŒ • 1.9 v hai toĂn tò phử T A ; T B i•u
19 ch¿nh c¡c th‚ và vectì cho ph÷ìng tr…nh vi t‰ch ph¥n cıa chóng ta H m f bao gỗm cĂc sŁ h⁄ng khổng phử thuºc v o v. ành nghắa 2.1 ([11])
Cho k > 0 v 2 XĂc ành cĂc toĂn tò tuy‚n t‰nh A ; B : L 2 ( ; C 3 ) ! H(curl; ) v TA; TB : H(curl; ) ! L 2 ( ; C 3 ) bði
T B v := (q " + k 2 2 ) curl v + k 2 v v h m g(y) k(x; y) dy + curl ZZ f(x) := (k 2 + r div) ZZ h(y) k(x; y) dy vợi x 2
Vợi cĂc toĂn tò n y, phữỡng tr…nh (1.17) trản d„ d ng xĂcành (I
Trong phƒn ti‚p theo, ta ch¿ ra r‹ng phữỡng tr…nh toĂn tò n y l tŒng cıa mºt flng cĐu bà ch°n v mºt toĂn tò compact Ta sò dửng cĂc toĂn tò A ik v
B ik vợi k > 0 ” phƠn chia phữỡng tr…nh:
(I AikTA BikTB)v + (Aik Ak)TAv + (Bik Bk)TBv = f:
Ta ch¿ ra r‹ng phƒn ƒu tiản ð v‚ trĂi tữỡng ứng vợi mºt phữỡng tr…nh bi‚n phƠn cho v nh“n mºt nghiằm duy nhĐt theo bŒ • Lax-Milgram Phƒn thứ hai ⁄i diằn cho cĂc toĂn tò compact.
Hai bŒ • sì bº ti‚p theo d¤n ‚n mºt k‚t qu£ t÷ìng ÷ìng ành chu'n v d⁄ng cì bÊn cıa toĂn tò compact m ta ang sò dửng: cĂc toĂn tò t‰ch phƠn vợi cĂc h m h⁄t nh¥n ký dà y‚u.
BŒ • 2.2 ([11]) Cho R 3 l mi•n bà ch°n v g 2 L 1 ( ) Vợi v = (v 1 ; v 2 ) 2
L 2 ( ; C 3 ) 2 , hai chu'n k k L 2 ( ;C 3 ) 2 v k k g l tữỡng ữỡng vợi kvk 2
L 2 ( ;C 3 ) v k k g ữổc ành nghắa bði kvk 2 g := kv1 + gv2k 2 L 2 ( ;C 3 ) + kv2k 2 L 2 ( ;C 3 ) : Chứng minh.
Ta dũng bĐt flng thức a 2 + b 2 (a + b) 2 2(a 2 + b 2 ) vợi a; b 0. kv 1 + gv 2 k 2 (kv 1 k + kgk L 1 kv 2 k) 2
2 (1 + kgkL 1 ) 2 kv1 + gv2k 2 + kv2k 2 : ành nghắa 2.3 ([11]) (Th‚ và "th” t‰ch" (Volume potential))
Cho d = 2 ho°c d = 3 v cho R d l mi•n bà ch°n ành nghắa th‚ và "th” t‰ch" cho mºt h m h⁄t nh¥n G : ! C l
H⁄t nhƠn G ữổc gồi l ký dà y‚u b“c 2
[0; d) sao cho G liản tửc vợi mồi x; y 2 n‚u tỗn t⁄i h‹ng sŁ dữỡng M v vợi x 6= y v jG(x; y)j Mjx yj :
Lữu ỵ r‹ng, ð v‚ trĂi th… j j l giĂ trà tuyằt Łi cıa mºt sŁ phức v v‚ phÊi j j l k‰ hiằu chu'n Euclid trản R d
2 Khi â th‚ và "th” t‰ch"
L 2 ( ) v o L 2 ( ). ho°c d = 3 Cho G l h⁄t nh¥n ký dà y‚u b“c V [G] xĂc ành toĂn tò tuy‚n t‰nh compact tł
Nhữ trong chứng minh cıa ành lỵ 2.21 trong [12], cõ th” cho thĐy t‰nh compact cıa toĂn tò t‰ch phƠn V [G] tł (C( ); k k L 2 ( ) ) v o (C( ); k k L 2 ( ) ) Trong bữợc thứ hai, tĂc giÊ Ăp dửng k‚t quÊ phi‚m h m giÊi t‰ch sau Ơy K‰ hiằu khổng gian ành chu'n (X; k k) l khai tri”n cıa X Cho hai khổng gian~ ành chu'n X; Y v toĂn tò compact A : X ! Y Khi õ toĂn tò duy nhĐt
A : X ! Y sao cho Ax = Ax vợi x 2 X v kAk = kAk cụng compact Ta k‚t lu“n r‹ng V [G] l compact tł L 2 ( ) v o L 2 ( ).
CĂc i•u kiằn theo õ ta ữa ra ành lỵ ch‰nh khĂ tiảu chu'n v Êm bÊo t‰nh cữùng bức cıa d⁄ng nòa song tuy‚n t‰nh xuĐt hiằn trong chứng minh khi Ăp dửng bŒ • Lax-Milgram.
GiÊ thi‚t 2.5 ([11]) Cho sŁ sõng k > 0 v M cõ giĂ trà thỹc Ngo i ra vợi giÊ thi‚t 1.6, giÊ sò r‹ng tỗn t⁄i cĂc h‹ng sŁ dữỡng c 1 ; c 2 v c 3 2 [0; 1) sao cho
Hai i•u kiằn ƒu tiản cõ nghắa l cĂc tham sŁ v“t liằu xuĐt hiằn s‡ ữổc giợi h⁄n tł 0 i•u kiằn thứ ba l Łi xứng trong v " v cụng phử thuºc v o sŁ sõng k 2 Nõ ữổc thỹc hiằn khi k 2 2 ı nhọ ho°c th“m ch‰ = 0 (trữớng hổp achiral). ành lỵ 2.6 ([5],[11]) GiÊ sò cõ giÊ thi‚t 2.5 Khi õ:
(a) CĂc toĂn tò T A ; T B l bà ch°n tł H(curl; ) v o L 2 ( ; C 3 ).
(b) CĂc toĂn tò A k Aik v Bk Bik l compact tł L 2 ( ; C 3 ) v o H(curl; ).
(c) ToĂn tò I AikTA BikTB l cõ nghàch Êo bà ch°n trong H(curl; ).
(a) T A v = q v + curl v ¡nh gi¡ trüc ti‚p cho ta kT A vk L 2 = kq v + curl vk L 2 kq k L 1 kvk L 2 + k k L 1 kcurl vk L 2 maxfkq kL 1 ; k kL 1 gkvkH(curl; ):
T÷ìng tü óng cho T B v = (q " + k 2 2 )curl v + k 2 v.
(b) Ta chứng tọ t‰nh compact cıa A k A ik :
((A k A ik )u) (x) = k 2 ZZ u(y) k(x; y) dy + k 2 ZZ u(y) ik(x; y) dy
+ r div ZZ u(y) ( k(x; y) ik(x; y)) dy: Hai t‰ch phƠn ƒu tiản ⁄i diằn cho cĂc vectỡ ba chi•u cıa cĂc th‚ và "th” t
‰ch" v xĂc ành mºt h m trong H 2 ( ; C 3 ) ( Łi chi‚u [5]) H 2 ( ; C 3 ) ữổc nhúng compact trong H 1 ( ; C 3 ) Do õ, hai t‰ch phƠn ƒu tiản ⁄i diằn cho mºt toĂn tò compact tł L 2 ( ; C 3 ) v o H 1 ( ; C 3 ), h m þ t‰nh compact tł L 2 ( ; C 3 ) v o H(curl; ).
Vợi sŁ h⁄ng thứ ba, ta cõ
ZZ ZZ r div u ( k(x; ) ik (x; )) dy = r 2 x ( k(x; ) ik (x; )) u dy
Ta x†t cĂc ⁄o h m cĐp hai cıa h⁄t nhƠn chi ti‚t hỡn Sò dửng khai tri”n exp(z) = 1 + z + z 2
(i + 1) jx yj + jx yj 2 R(jx yj)
X j trong õ chuỉi lụy thła R(z) = =0r j z j vợi cĂc hằ sŁ khổng Œi r j ; j 2 N 0 Ta t‰nh gradient rx
⁄o h m cĐp hai ữổc cho bði ma tr“n (3 3) r x 2 [( k ik )(x; y)] = k 2
+ [2R(jx yj) + jx yjR 0 (jx yj)]I
Do â, c¡c ⁄o h m c§p hai cıa k ik ký dà y‚u b“c 1, t⁄o ra t‰nh compact cho A k Aik nhữ toĂn tò tł L 2 v o L 2 V… curl(r div (: : :)) = 0 nản ta cụng cõ t‰nh compact tł L 2 ( ; C 3 ) v o H(curl; ) Do õ, A k Aik compact nhữ toĂn tò tł L 2 ( ; C 3 ) v o H(curl; ).
T‰nh compact cıa B k Bik theo sau tữỡng tỹ: Bk Bik ⁄i diằn cho mºt vectỡ ba chi•u cıa cĂc th‚ và "th” t‰ch" vợi h m h⁄t nhƠn l ký dà y‚u b“c 0 ( Łi chi‚u r x jx yj) Hỡn nœa, curl(B k B ik ) ⁄i diằn cho mºt vectỡ ba chi•u cıa cĂc th‚ và
"th” t‰ch" vợi h m h⁄t nhƠn l ký dà y‚u b“c 1 ( Łi chi‚u r 2 x jx yj) Ta k‚t lu“n r‹ng
(c) Vợi mồi f 2 H(curl; ) x†t phữỡng tr…nh v AikTAv BikTBv = f:
LĐy w = v f ta ữổc w A ik T A w B ik T B w = A ik T A f + B ik T B f, hay rê r ng
+ curl (q" + k2 2 ) curl(w + f) + k 2 (w + f) ik (x; ) dy vợi x 2 Phữỡng tr…nh n y cõ d⁄ng cıa (1.17) vợi = ik v cĂc h m g v h (trong phữỡng tr…nh vi t‰ch phƠn) ữổc cho bði g := q f + curl f v h := (q " + k 2 2 ) curl f + k 2 f:
Do õ, theo inh l‰ 1.10, w cõ th” ữổc khai tri”n th nh nghiằm radiating cıa b i to¡n
1 k 2 2 curl w k 2 wi curl + k 2 [ curl w + w] dx
=ZZ k 2 g + h curl dx (2.1) vợi mồi 2 H c (curl; R 3 ) (vợi cĂc h m g v h nhữ trản) Theo ành nghắa, w = A ik T A v + B ik T B v Tł d⁄ng n y v ành nghắa cıa ik , ta k‚t lu“n r‹ng w phƠn r theo cĐp sŁ nhƠn khi jxj ti‚n tợi vổ cũng V“y w 2 H(curl; R 3 ) v phữỡng tr…nh bi‚n phƠn úng vợi mồi 2 H(curl; R 3 ) ” Ăp dửng bŒ • Lax-Milgram, ta ành nghắa d⁄ng nòa song tuy‚n t‰nh trản H(curl; R 3 ) H(curl; R 3 ) v d⁄ng tuy‚n t‰nh liản hổp trản H(curl;
1 ja(w; )j " L 1 + k 2 k 2 kL 1 kcurl wk L 2 kcurl kL 2
+ k kL 1 (kcurl kL k kL + k kL kcurl kL ) + k 2 k k L 1 kwk L 2 k k L 2
H(curl R 3 ) jb( )j p 2maxfkhk L 2 ; k 2 kgk L 2 g k k H(curl; ) p vợi x; y 0 Ta chứng x + y2 tọ t‰nh cữùng bức cıa a: a(w; w) = ZZ R 3 " j curl wj 2 k 2 2 jcurl wj 2 + k 2 jwj 2
= " j curl wj 2 k 2 2 jcurl wj 2 + k 2 jwj 2
Ta lĐy phƒn thỹc cıa phữỡng tr…nh n y v sò dửng nhà thức jx + iyj 2 jxj 2 + 2Im(xy ) + jyj 2 (Nh›c l⁄i r‹ng l gi¡ trà thüc.)
Re " jcurl wj 2 k 2 Re ( ) 2 jcurl wj 2
+ k 2 Re ( ) jwj 2 + 2Re Im (w curl w) # dx
:= min c2(1 c3); k 2 c 1 w 2 k k trong õ k k l chu'n tữỡng ữỡng vợi k k H(curl; R ) theo BŒ • 2.2 vợi v 1 w; v2 = curl w v g = i Im
B¥y gií chóng ta quay trð l⁄i ph÷ìng tr…nh ban ƒu
Vợi f 2 H(curl; ) Â cho, ta xĂc ành nghiằm (duy nhĐt) w cıa (2.1) v ành nghắa v := wj + f Khiõ v f = A ik T A v B ik T B v Vợi ành lỵ n y, tĐt cÊ cĂc i•u kiằn cho ành lỵ thay phiản Fredholm •u ữổc thọa mÂn Ta cõ th” tr…nh b y k‚t quÊ tỗn t⁄i trong hằ quÊ ti‚p theo.
Hằ quÊ 2.7 ([11]) Vợi mồi (g; h) 2 L 2 ( ; C 3 ) L 2 ( ; C 3 ), tỗn t⁄i duy nhĐt mºt nghiằm radiating v 2 H loc (curl; R 3 ) cıa (1.15) vợi i•u kiằn l b i toĂn thuƒn nhĐt ch¿ nh“n nghiằm tƒm thữớng Trong trữớng hổp õ, vợi t“p compact B bĐt ký tỗn t⁄i h‹ng sŁ C > 0 sao cho kvk H(curl;B) Ck(g; h)k L 2 ( ) 2 8(g; h) 2 L 2 ( ; C 3 ) 2 :
Ta i•u ch¿nh cĂc giÊ thi‚t trong 2.5 v ữa ra k‚t quÊ tỗn t⁄i cho b i toĂn truy•n sõng iằn trữớng trong hằ quÊ thứ hai cho ành lỵ trản:
GiÊ thi‚t 2.8 ([11]) Cho sŁ sõng k > 0 v M cõ giĂ trà thỹc Ngo i ra vợi giÊ thi‚t 1.7, giÊ sò r‹ng tỗn t⁄i cĂc h‹ng sŁ dữỡng c 1 ; c 2 v c3 2 [0; 1) sao cho
Hằ quÊ 2.9 ([11]) GiÊ sò cõ giÊ thi‚t 2.8 Khi õ, vợi mồi dœ liằu ƒu v o
(g; h) 2 L 2 ( ; C 3 ) L 2 ( ; C 3 ), tỗn t⁄i duy nhĐt mºt nghiằm radiating v 2 Hloc(curl; R 3 ) cıa (1.16), vợi giÊ sò v• sỹ duy nhĐt nghiằm Ngo i ra, ta cụng thu ữổc mºt Ănh giĂ tữỡng tỹ cho v trong hằ quÊ trản.
Chứng minh t‰nh duy nhĐt nghiằm
K‚t quÊ tỗn t⁄i dỹa trản giÊ thi‚t r‹ng b i toĂn thuƒn nhĐt ch¿ nh“n nghiằm tƒm thữớng Ta ữa ra hai k‚t quÊ v• t‰nh duy nhĐt nghiằm. ành lþ 2.10 ([9],[11])
Ta giÊ sò cõ giÊ thi‚t 2.5 v Im " > 0, Im 0 hƒu kh›p nỡi trong Khi õ, b i toĂn truy•n sõng tł trữớng thuƒn nhĐt (1.15) cõ khổng quĂ mºt nghiằm (nghắa l cõ duy nhĐt nghiằm).
GiÊ sò v l mºt nghiằm cıa b i toĂn truy•n sõng tł trữớng thuƒn nhĐt, cử th” l B i toĂn 3 vợi = k v v l nghiằm cıa (1.15) vợi g = 0 v h = 0 T“p = v trong (1.15) trong õ 2 C 0 1 (R 3 ) l cĂc "mollifier" vợi (x) = 1 n‚u jxj R v (x) = 0 n‚u jxj 2R, R ữổc chồn sao cho jxj < R vợi mồi x 2 Khi õ, theo cổng thức Green k 2 vi curl v k 2 [ curl v + v] v dx
ZZ jxj 0 v Im0 cho ta
Tł Ơy, ta ữợc lữổng
2 2 curl v + k v ds 2k Im (curl v ) v ds
Z jcurl vj 2 + k 2 jvj 2 ds: jxj=R
Nhữ trong chứng minh cıa ành lỵ 5.5 trong [9], ta k‚t lu“n r‹ng v triằt tiảu bản ngo i BƠy giớ, phữỡng tr…nh (2.2) ch¿ cặn
1 jcurl vj 2 k 2 j curl v + vj 2 dx = 0:
L§y phƒn £o cho ta curl v = 0 trong v do â curl v + v = 0 tł v = 0 trong
Hằ quÊ 2.11 ([11]) GiÊ sò cõ giÊ thi‚t 2.8, v Im > 0, Im " 0 hƒu kh›p nỡi trong Khi õ, b i toĂn truy•n sõng iằn trữớng thuƒn nhĐt (1.16) cõ khổng quĂ mºt nghiằm.
GiÊ sò giÊ thi‚t 2.5 v 2.8 ữổc thọa mÂn GiÊ sò thảm r‹ng "; ; 2 C (R ) v k 2 " 2 6= 1 trong R 3 Khi â, c£ hai b i to¡n truy•n sâng tł tr÷íng thuƒn nh§t(1.15) v truy•n sõng iằn trữớng thuƒn nhĐt (1.16) cõ khổng quĂ mºt nghiằm.
Chứng minh n y dỹa theo tĂc giÊ Ammari v N†d†lec trong [1] v l“p lu“n ch‰nh l nguyản lỵ mð rºng duy nhĐt trong [5] GiÊ sò r‹ng v l mºt nghiằm cıa b i toĂn truy•n sõng tł trữớng thuƒn nhĐt vợi = k; nghắa l v l radiating v l nghiằm cıa (1.15) vợi g = h = 0 Nhữ trong chứng minh cıa ành lỵ trữợc, ta k‚t lu“n r‹ng v triằt tiảu bản ngo i XĂc ành h m w b‹ng ikw :1 k 2 2 curl v k 2 v:
Theo cổng thức y‚u cıa b i toĂn thuƒn nhĐt: w 2 H loc (curl; R 3 ) Khi õ theo
BŒ • 1.5, w l mºt nghiằm radiating cıa b i toĂn truy•n sõng iằn trữớng thuƒn nh§t v ta câ ikcurl w = k 2 2 curl v + k 2 v:
Tł hai ph÷ìng tr…nh cuŁi còng, ta câ th” suy ra curl v k 2 " v ik
BƠy giớ, ta ti‚n h nh nhữ trong [1] Tł hằ n y, ta t‰nh curl 2 v, curl 2 w, div v v div w Sau õ ta dũng vectỡ ỡn và = r div curl 2 v Ăp dửng nguyản lỵ mð rºng duy nhĐt tł [5] trong phiản bÊn cıa BŒ • 4.15 trong [13]: Vi‚t gồn
@ ik k " A k 2 " 6= 0 Khi õ, cĂc phữỡng tr…nh trản ch¿ cặn
LĐy div hai v‚, ta thu ữổc
Tł hai ph÷ìng tr…nh cuŁi còng, ta k‚t lu“n
1 1 div w = k 2 " ( m21rm11 + m11rm21) v + k 2 " ( m21rm12 + m22rm22) w: V… v triằt tiảu ð bản ngo i nản w cụng triằt tiảu ð bản ngo i , v‚tv vw cụng triằt tiảu trản @B vợi quÊ cƒu B bĐt ký Do õ, vợi quÊ cƒu
B bĐt ký: curl v 2 L 2 (B; C 3 ); div v 2 L 2 (B) v v = 0 trản @B Ta k‚t lu“n v 2 H 1 (B; C 3 ) T÷ìng tü óng cho w T‰nh
@ curl curl v = rm11 v + rm12 w + m11 curl v + m12 curl w; curl w = rm 21 v + rm 22 w + m 21 curl v + m 22 curl w:
CuŁi cũng, vợi = r div curl 2 ,
@ @wAA @wA @ curl w A v v, w tỗn t⁄i trong L 2 Cõ th” suy ra cĂc ữợc lữổng cıa d⁄ng
X 3 j v j j c jv j j + jw j j + jr v j j + jr w j j; l=13 j w j j c jv j j + jw j j + jr v j j + jr w j j l=1 vợi j = 1; 2; 3 hƒu kh›p nỡi trong B v ta cõ th” Ăp dửng nguyản lỵ mð rºng duy nhĐt cıa BŒ • 4.15 trong [13], i•u n y cho ta v (v w) triằt tiảu trong B L“p lu“n tữỡng tỹ cho b i toĂn truy•n sõng iằn trữớng thuƒn nhĐt.
Bi”u di„n nghiằm qua chuỉi cĂc h m cƒu i•u hặa
Trong tồa º cƒu, cõ th” ữa ra cĂc chuỉi khai tri”n cho cĂc nghiằm cıa cĂc phữỡng tr…nh Maxwell trong hằ vectỡ cƒu i•u hặa Ta nghiản cứu sỹ tĂn x⁄ bði mºt quÊ cƒu chiral ỗng nhĐt TĐt cÊ cĂc thổng sŁ v“t liằu l giĂ trà thỹc Trong
[3] nghiản cứu mºt b i toĂn tữỡng tỹ: tĂn x⁄ b‹ng cĂch dÔn mºt cĂch ho n hÊo quÊ cƒu n‹m trong mổi trữớng chiral.
Trong phƒn ƒu, ta s‡ giÊi quy‚t b i toĂn truy•n sõng thu“n Trữợc tiản l nh›c l⁄i cĂc bữợc ch‰nh ” suy ra cĂc vectỡ cƒu i•u hặa Chúng tổi ch¿ ữa ra k‚t quÊ, cĂc l“p lu“n cõ th” tham khÊo [5] Cũng vợi cĂc h m cƒu Bessel v Hankel, chúng t⁄o th nh cĂc nghiằm cỡ bÊn cho phữỡng tr…nh Maxwell: cĂc h m sõng vectỡ Sau õ ta xò lỵ b i toĂn achiral: B›t ƒu vợi sỹ bi”u di„n b‹ng chuỉi cıa trữớng sõng tợi, ta ữa ra cĂc chuỉi khai tri”n cho trữớng sõng tĂn x⁄ v phŒ trữớng sõng xa tũy thuºc v o hằ sŁ cıa trữớng sõng tợi Łi vợi b i toĂn truy•n sõng chiral, ta s‡ sò dửng khai tri”n Bohren [4]: iằn trữớng v tł trữớng ữổc phƠn tĂch th nh tŒng cĂc trữớng Beltrami, thọa mÂn cĂc phữỡng tr…nh achiral Maxwell cho cĂc sŁ sõng khĂc nhau V… v“y, chúng ta cõ th” trỹc ti‚p Ăp dửng cĂc k‚t quÊ achiral cho trữớng hổp chiral.
Phƒn thứ hai ữổc d nh cho toĂn tò trữớng sõng xa Trong trữớng hổp h…nh cƒu, chúng ta cõ th” bi”u thà toĂn tò trữớng sõng xa F mºt cĂch rê r ng v t‰nh toĂn cĂc giĂ trà riảng v cĂc h m riảng.
Phữỡng tr…nh Maxwell trong hằ vectỡ cƒu i•u hặa
PhŒ trữớng sõng xa v toĂn tò trữớng sõng xa
Trong chữỡng trữợc ta  thÊo lu“n v• b i toĂn truy•n sõng tł trữớng Những cõ th” d„ d ng t‰nh toĂn iằn trữớng tł tł trữớng l nghiằm cho b i toĂn truy•n sõng.
V… v“y, trong phƒn n y ta b n v• nghiằm (E s ; H s ) cho b i toĂn truy•n sõng Cõ th” suy ra dĂng iằu tiằm c“n cıa nghiằm ð vổ cũng tł nghiằm cỡ bÊn k vợi sỹ trổ giúp cıa cĂc cổng thức bi”u di„n Stratton Chu Khi bi‚t cĂc phŒ trữớng sõng xa, ta chồn cĂc trữớng sõng tợi °c biằt ữổc xĂc ành bði cĂc trữớng ti‚p tuy‚n bi”u thà cĂc vectỡ phƠn cỹc v xĂc ành Ănh x⁄ toĂn tò trữớng sõng xa tł tr÷íng ti‚p tuy‚n ‚n phŒ tr÷íng sâng xa.
CĂc cổng thức ữổc lĐy tł cĂc chứng minh cıa ành lỵ 2.5 v 6.8 trong [5].
BŒ • 3.1 ([11]) (DĂng iằu tiằm c“n (Asymptotic behavior) cıa k)
Cho l mi•n bà ch°n vợi biản
(a) Nghiằm cỡ bÊn kcõ d⁄ng tiằm c“n k (x; y) =
•u theo mồi hữợng x^ := x=jxj vợi mồi y 2
(b) Vợi vectỡ h‹ng sŁ a 2 C 3 bĐt k…, ⁄o h m cıa (a k ) cõ d⁄ng tiằm c“n e ik x e ik x^ y (^x a) + O
; curl x a k(x; y) = ik 4 jxj j j jxj e ik x e ik x^ y (^x a x^) + O
4 jxj jxj khi jxj ! 1 •u vợi mồi y 2
Ta ti‚p tửc vợi cĂc cổng thức Stratton Chu nŒi ti‚ng Hồ Â mổ tÊ nghiằm cıa phữỡng tr…nh Maxwell trản mºt mi•n b‹ng v‚t cıa chúng, tł t i liằu [5] Chứng minh cho d⁄ng y‚u cõ th” ữổc t…m thĐy trong sĂch cıa Monk [13] Monk cụng ch¿ ra r‹ng cĂc v‚t ữổc xĂc ành rê: Cho D l mi•n Lipschitz bà ch°n vợi phĂp tuy‚n ngo i ỡn và , Ănh x⁄ v 7! vj @D vợi v 2 (C 1 (D)) 3 cõ th” ữổc khai tri”n liản tửc th nh Ănh x⁄ tuy‚n t‰nh liản tửc tł H(curl; D) ‚n H 1 (@D) 3
2 trong ành lỵ 3.29 cıa t i liằu [13] Ta b›t ƒu vợi cổng thức Stratton Chu trản mi•n bà ch°n.
BŒ • 3.2 ([5],[11],[13]) (Bản trong (Interior) Stratton Chu)
GiÊ sò l mi•n Lipschitz bà ch°n K‰ hiằu l vectỡ phĂp tuy‚n ỡn và cho biản cıa hữợng ra bản ngo i Cho E; H 2 H(curl; ) l nghiằm cıa phữỡng tr…nh Maxwell trong curl H = ikE v curl E = ikH: (3.1)
Khi õ ta cõ cổng thức Stratton Chu curl Z
(sü ¡nh gi¡ cıa 2 ) l cõ nghắa Hỡn nœa, cĂc t‰ch phƠn biản phÊi ữổc hi”u theo nghắa gh†p ổi
1 1 giœa H 2 ( v H 2 ( Łi vợi ⁄o h m cıa phŒ trữớng sõng xa th… cõ mºt cổng
BŒ • 3.3 ([5],[11],[13]) (Bản ngo i (Exterior) Stratton Chu)
GiÊ sò l mi•n Lipschitz bà ch°n cõ phƒn bũ liản thổng K‰ hiằu l vectỡ phĂp tuy‚n ỡn và cho biản cıa hữợng ra bản ngo i Cho E s ; H s 2
H loc (curl; R 3 r ) l nghiằm radiating cıa phữỡng tr…nh Maxwell trong R 3 r curl H s = ikE s v curl E s = ikH s : Khi õ ta cõ cổng thức Stratton Chu curl Z
: Theo cĂc cổng thức (3.2) v (3.3), sỹ phử thuºc cıa cĂc trữớng E s v H s trản x ữổc bi”u di„n b‹ng nghiằm cỡ bÊn ” xĂc ành dĂng iằu tiằm c“n, ta ch¿ cƒn bi‚t v‚t ti‚p tuy‚n cıa chúng v dĂng iằu tiằm c“n cıa k ữổc ữa ra trong BŒ • 3.1. Thay b‹ng ành lỵ 6.8 trong [5] cho trữớng hổp cĂc h m trong H loc (curl; R 3 ): ành lþ 3.4 ([5],[11]) (PhŒ tr÷íng sâng xa (Far field pattern))
Mồi nghiằm radiating (y‚u) E s ; H s cıa b i toĂn truy•n sõng (1.8), (1.9) cho v“t tĂn x⁄ vợi biản cõ d⁄ng tiằm c“n
H s (x) = 4 j j x j j H 1 (^x)+ O jxj ; jxj! 1 e ik x 1 và S lƒn lữổt ữổc gồi l phŒ iằn trữớng trữớng sõng xa v tł trữớng trữớng sõng xa thọa mÂn
E 1 (^x) = ik x^ ( E s )(y)e ik x^ y ds(y) + ik x^ ( H s )(y)e ik x^ y ds(y) x;^
H 1 (^x) = ik x^ ( H s )(y)e ik x^ y ds(y) ik x^ ( E s )(y)e ik x^ y ds(y) x^
Nh“n x†t 3.5 Tł ành lỵ n y, ta thĐy ữổc r‹ng cĂc phŒ trữớng sõng xa l cĂc h m giÊi t‰ch v cĂc trữớng ti‚p tuy‚n: Chúng lƒn lữổt thọa mÂn E 1 (^x) x^ = 0 v H 1 (^x) x^ = 0 vợi mồi x^ 2 S 2 Hỡn nœa, ta d„ d ng thĐy r‹ng vợi x^ 2 S 2 ,
Để xác định nguyên nhân sâu xa của tình trạng nước biển dâng, ta cần nghiên cứu các nguyên nhân gây ra tình trạng nước biển dâng trong quá khứ và hiện tại Những nguyên nhân chính bao gồm sự nóng lên toàn cầu dẫn đến tan chảy băng ở hai cực, sự giãn nở nhiệt của nước biển và sự thay đổi trong lưu lượng nước biển.
H i (x; d; p) := pe ik d x ; E i (x; d; p) := (d p)e ik d x trong õ cĂc vectỡ d 2 S 2 v p 2 C 3 lƒn lữổt l vectỡ hữợng tợi v vectỡ hữợng phƠn cỹc Chúng ữổc chồn sao cho d p = 0 ” Êm bÊo r‹ng H i v E i tỹ do phƠn ký
CĂc phŒ trữớng sõng xa H 1 v E 1 cıa cĂc trữớng sõng tĂn x⁄ H s v E s cụng phử thuºc v o d v p v lƒn lữổt kỵ hiằu l H 1 (^x; d; p) v E 1 (^x; d; p).
BƠy giớ ta cõ th” h…nh th nh b i toĂn ngữổc Nh›c l⁄i b i toĂn thu“n: Cho mºt sõng tợi v mºt v“t chiral vợi cĂc h m v“t liằu  bi‚t t‰nh toĂn trữớng sõng tĂn x⁄ N‚u ta bi‚t tr÷íng sâng t¡n x⁄, ta câ th” d„ d ng t‰nh to¡n tr÷íng sâng xa tữỡng ứng B i toĂn ngữổc xĂc ành v“t tĂn x⁄ cho sŁ liằu trữớng sõng xa Ch
Cho sŁ sõng k > 0 v sŁ liằu H 1 (^x; d; p) (phŒ trữớng sõng xa), vợi mồi x;^ d 2 S 2 v p 2 C 3 vợi p d = 0 ta xĂc ành ữổc v“t tĂn x⁄ Łi vợi viằc nghiản cứu b i toĂn ngữổc, ta phÊi di„n ⁄t nõ b‹ng thu“t ngœ toĂn hồc; nghắa l , ta ành nghắa toĂn tò m Ănh x⁄ cıa mºt hồ cĂc vectỡ phƠn cỹc p(d) °c trững cho trữớng sõng tợi th nh phŒ trữớng sõng xa Hồ cĂc vectỡ phƠn cỹc v phŒ trữớng sõng xa •u l cĂc trữớng ti‚p tuy‚n trản h…nh cƒu ỡn và. ành nghắa 3.6 ([11]) (ToĂn tò trữớng sõng xa (Far field operator))
Ta bi”u di„n khổng gian con cıa cĂc trữớng ti‚p tuy‚n b‹ng L 2 t (S 2 ) L 2 (S 2 ; C 3 ); õ l
ToĂn tò trữớng sõng xa F : L 2 t (S 2 ) ! L 2 t (S 2 ) ữổc ành nghắa bði
(a) Łi vợi cĂc trữớng ti‚p tuy‚n p 2 L 2 t (S 2 ), ta cõ ỗng nhĐt thức d ( ) d = ( ) =1 (=0 p d p d d d d p d)
(b) PhŒ trữớng sõng xa H 1 ( ; d; p) phử thuºc tuy‚n t‰nh v o vectỡ phƠn cỹc p.
Nõ liản tửc nhữ l mºt h m cıa d Xem chứng minh cıa ành lỵ 6.32 trong [5].
(c) V… v“y, F l mºt toĂn tò nguyản tuy‚n t‰nh vợi mºt h⁄t nhƠn liản tửc Do õ F compact Hỡn nœa, Fp l phŒ trữớng sõng xa tữỡng ứng vợi trữớng sõng tợi (H p i ; E p i ) vợi
Vectỡ h m cƒu i•u hặa
Ta ang t…m cĂc nghiằm cıa phữỡng tr…nh Maxwell trong cĂc tồa º cƒu.
Cõ th” xƠy dỹng cĂc nghiằm nhữ v“y(cĂc vectỡ h m cƒu) tł cĂc nghiằm cıa phữỡng tr…nh Helmholtz Trong tồa º cƒu ( ; ; ’) vợi x = ( sin cos ’; sin sin ’; cos ) > 2 R 3 ; trong â 0; 2 [0; ]; ’ 2 [0; 2 ], ph÷ìng tr…nh Helmholtz câ d⁄ng
T¡ch c¡c bi‚n u( ; ; ’) = u 1 ( )u 2 ( ; ’) dÔn ‚n h m cƒu i•u hặa v bði
( ; ’) :h m cƒu Bessel CĂc h m cƒu i•u hặa ữổc cho r 2n + 1 (n j mj)!
4 (n + jmj)! vợi m = n; : : : ; n v n = 0; 1; 2; : : : — Ơy Pn m l k‰ hiằu cıa a thức Legendre liản k‚t d m P n(t)
2 dt m v l nghiằm cıa phữỡng tr…nh vi phƠn Legendre liản k‚t
P n l a thức Legendre thọa mÂn phữỡng tr…nh vi phƠn Legendre
Phƒn tia cıa phữỡng tr…nh Helmholtz ữổc cho bði phữỡng tr…nh vi phƠn cƒu Bessel t 2 f 00 (t) + 2tf 0 (t) + [t 2 n(n + 1)]f(t) = 0 ữổc thọa mÂn bði cĂc h m cƒu Bessel v Neumann lƒn lữổt l j n v y n , vợi n = 0; 1; 2; : : :
TŒ hổp tuy‚n t‰nh cho h m cƒu Hankel cıa lo⁄i thứ nhĐt h n = h n (1) vợi hn := jn + i yn; n = 0; 1; 2; : : : CuŁi cũng, cĂc h m sau l cĂc nghiằm cıa phữỡng tr…nh Helmholtz trong tồa º cƒu: Vợi n 2 N0 v n m n u m n (x) = j n (kjxj)Y n m (^x) l nghiằm nguyản cho phữỡng tr…nh Helmholtz v v n m (x) = h n (kjxj)Y n m (^x) l nghiằm radiating cho phữỡng tr…nh Helmholtz trong R 3 n f0g.
Ta sò dửng chúng ” xƠy dỹng cĂc nghiằm nhữ v“y cho cĂc phữỡng tr…nh Maxwell curl E = ikH v curl H = ikE:
Mn m(x) : pn(n + 1)curl [x u n l nghiằm nguyản cho phữỡng tr…nh Maxwell v
Nn m(x) : pn(n + 1)curl [x v ik 1 curl M n m (x) ik 1 curl N n m (x) l nghiằm radiating cho phữỡng tr…nh Maxwell trong R 3 n f0g. ành nghắa cĂc i•u hặa cƒu vectỡ U n m v V n m trản h…nh cƒu ỡn và S 2 vợi n = 0; 1; 2; : : : v m = n; : : : ; n bði
U n m (^x) :1Grad Y n m (^x); V n m (^x) := x^ U n m (^x) vợi x^ 2 S 2 p n(n + 1) vợi b• m°t gradient Grad U n m v V n m l cĂc trữớng ti‚p tuy‚n trản h…nh cƒu ỡn và.
(x) = h n (kjxj)V n m (^x) v m 1 0 m curl M n (x) = h j n (kjxj) + kjxjj n (kjxj)i
U n (^x); jxj m 1 0 m curl N n (x) = h h n (kjxj) + kjxjh n (kjxj) i
CĂc v‚t ti‚p tuy‚n ữổc cho bðijxj x^ M n m (x) = j n (kjxj)U n m (^x); (3.5) x^ Nn m
V n (^x); (3.7) jxj m 1 0 m x^ curl N n (x) = hh n (kjxj) + kjxjh n (kjxj)i
V n (^x) (3.8) jxj CuŁi cũng, ta cõ bi”u di„n sau cho phŒ trữớng sõng xa: Gồi H s l mºt nghiằm radiating cho cĂc phữỡng tr…nh Maxwell ữổc ữa ra dữợi d⁄ng chuỉi
1 curl N n m : PhŒ trữớng sõng xa ữổc cho bði ik
Tł Ơy ‚n h‚t chữỡng n y, vi‚t gồnj
3.1.3 Phữỡng tr…nh Maxwell trản mi•n achiral
Ta b›t ƒu vợi cĂc thi‚t l“p cıa b i toĂn truy•n sõng V“t cÊn ng⁄i tĂn x⁄ xuyản qua l quÊ cƒu B = B(0; 1) vợi bĂn k‰nh 1 n‹m ð gŁc tồa º — bản ngo i cõ chƠn khổng.
QuÊ cƒu gỗm cõ h‹ng sŁ v“t liằu khổng hao tŒn vợi " 6= " 0 ho°c
6= 0 SŁ sõng ữổc cho bði
Bản ngo i B, quÊ cƒu ữổc chi‚u sĂng bði trữớng sõng tợi H i l mºt nghiằm cıa ph÷ìng tr…nh Maxwell curl 2 H i k 2 H i = 0 trong B c :
Trữớng sõng tŒng hổp H bản trong quÊ cƒu thọa mÂn cĂc phữỡng tr…nh
Maxwell cho sŁ sâng , curl 2 H 2 H = 0trong B:
Trữớng sõng tĂn x⁄ H s ð bản ngo i B thọa mÂn cĂc phữỡng tr…nh Maxwell cho sŁ sõng k v i•u kiằn bức x⁄ Silver-Muller. curl 2 H s k 2 H s = 0 trong B c ; radiating:
Trản biản fjxj = 1g cĂc i•u kiằn truy•n sõng ữổc cho bði t‰nh liản tửc cıa v‚t ti‚p tuy‚n (^x 2 S 2 ): x^ H i (^x) + x^ H s (^x) = x^ H(^x); (3.9)
Trong sỹ thi‚t l“p n y, ta cõ th” khai tri”n cĂc trữớng sõng trong chuỉi cĂc h m sâng vectì,
H(x) = X a n M n (x; ) + b n i curl M n (x; ) trong B v suy ra cĂc hằ phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh ” xĂc ành cĂc hằ sŁ a m n ; c m n v b m n ; d m n cho n 2 N0 v m = n; : : : ; n Ta t‰nh toĂn cĂc v‚t ti‚p tuy‚n cıa chuỉi vợi sỹ thảm v o cıa cĂc v‚t ti‚p tuy‚n cho cĂc h m sõng vectỡ (3.5) - (3.8). x^ H i (^x) x^ H s (^x) = x^ H(^x) X n m j n (k)U n m (^x) + ik 1 n m j n (k) + kj n 0 (k) V n m (^x);
Thay v o cĂc i•u kiằn truy•n (3.9), (3.10) cho ta c m n h n (k) + n m j n (k) = ! a m n j n ( ); d m n ik1 hn(k) + kh 0 n(k) + n m ik1 jn(k) + kjn 0
( ) v c m n k1 h n (k) + kh 0 n (k) + n m k1 j n (k) + kj n 0 (k) = ! a m n 1 j n ( ) + j n 0 ( ) ; d m n 1 i h n (k) + n m 1 i j n (k) = ! b m n 1 i j n ( ) vợi n 2 N0 v m = l⁄i nh÷ sau
( ) n; : : : ; n K‚t quÊ cıa hai hằ tuy‚n t‰nh cõ th” ữổc tõm t›t
1 1 n m n m h n (k) a n m b n m j n (k) h n (k) + h n 0 (k)A@ c n d n A @ j n (k) + j n 0 (k)A k k vợi ành thức det n ( ) 1 1 h n (k)j n ( ) + h n (k)j n 0 ( ) h n 0 (k)j n ( ) k v ành thức nghàchÊo
Do õ, nghiằm ữổc cho bði
Chứng minh GiÊ sò ngữổc l⁄i det n ( ) = 0 Khi õ det n ( ) = 1 1 h n (k)j n ( ) + h n (k)j 0 ( ) h 0 (k)j n ( )
(x; k) + n m curl M n m (x; k); trữớng sõng tŒng hổp bản trong v“t tĂn x⁄ B ữổc cho bðiik i 1 1
H(x) v trữớng sõng tĂn x⁄ bản ngo i v“t tĂn x⁄ ữổc cho bði
PhŒ trữớng sõng xa ữổc cho bði
Ta Ăp dửng nhœng k‚t quÊ n y cho cĂc trữớng Beltrami xuĐt hiằn trong cĂc b i to¡n truy•n sâng chiral.
B i to¡n truy•n sâng trong qu£ cƒu chiral
CĂc thi‚t l“p tữỡng tỹ nhữ trong mửc trữợc Những bƠy giớ, mổi trữớng bản trong quÊ cƒu l ( ỗng nhĐt, khổng tŒn hao v ) chiral Ch‰nh xĂc hỡn, cho h‹ng sŁ iằn mổi, h‹ng sŁ thĐm tł v t‰nh chiral ữổc xĂc ành bði
> > > vợi h‹ng: sŁ thüc " B ; B ; B ành: nghắa sŁ sõng :
Khi â, c¡c ph÷ìng tr…nh Maxwell: chiral l curl 2 U 2
1 1 vợi U = E ho°c U = H v cĂc trữớng xuĐt hiằn trong b i toĂn truy•n sõng cıa chúng ta thọa mÂn cĂc phữỡng tr…nh sau curl 2 U i curl 2 U s curl 2 U k 2 U i = 0 trong B c ; k 2 U s = 0 trong B c ; radiating;
1 1 Łi vợi cĂc v“t liằu ỗng nhĐt, cõ th” phƠn t‰ch iằn trữớng, tł trữớng v sò dửng cĂc k‚t quÊ tł b i toĂn truy•n sõng achiral Łi chi‚u [2] õ l phƠn t‰ch
:k Khi â: °t Q L := E + iH v nghắa l trong B; v R := 81 + trong B; trong c >k trong c :
QR:=E iH Khi â QL; QR l c¡c tr÷íng Beltrami, curl Q L = LQ L v curl Q R = R Q R v chúng thọa mÂn cĂc phữỡng tr…nh Maxwell achiral cho lƒn lữổt cĂc sŁ sâng Lv R: curl 2 Q L 2 L Q L = 0 v curl 2 Q R 2 R Q R = 0:
Do õ, ta cõ th” Ăp dửng k‚t quÊ cıa mửc trữợc cho cĂc trữớng Q L v Q R v suy ra cĂc chuỉi bi”u di„n cho cĂc trữớng E v H, tł õ
Ta b›t ƒu vợi cĂc trữớng sõng tợi H i v E i :
Ta giợi thiằu cĂc trữớng sõng tợi: Q L := v Q R :=E iH i X m m m m m 1 m i m m m m m 1 m
( n i n )Mn (x; k) ( n + i n ) ik curl Mn (x; k):Trữớng sõng tŒng hổp Q L ; Q R ph‰a trong B ữổc cho bði
R n v trữớng sõng tŒng hổp E v H cõ th” ữổc t‰nh
Lúc n y, ta cõ th” thĐy r‹ng cĂc trữớng E v H nh“n ữổc tł mð rºng cıa nhœng h⁄ng tò trong cĂc h m sõng vectỡ cho cĂc sŁ sõng L v R.
CĂc trữớng sõng tĂn x⁄ Q s L ; Q s R cõ cĂc chuỉi khai tri”n
(x; k): ik det n ( R ) °t c L := Re det n ( L ) v c R := Re det n ( R ) det n ( L ) det n ( R )
QR(x) = i n )Nn (x; k) ik ( n + i n ) curl Nn (x; k):
Do õ, chuỉi khai tri”n cho trữớng iằn trữớng v tł trữớng l
(c L c R ) n (c L + c R )i n curl N n (x; k): CuŁi cũng, phŒ trữớng sõng xa ữổc cho bðiik
ToĂn tò trữớng sõng xa
Chuỉi khai tri”n cıa sõng phflng
ƒu tiản, ta phÊi khai tri”n sõng phflng th nh chuỉi cĂc h m sõng vectỡ M n m v curl M n m ; tức l , ta phÊi xĂc ành cĂc hằ sŁ a n m v b n m trong chuỉi pe ik d x = X 1 a n m M n m (x; k) + b n m ik curl M n m (x; k)
= X a n m ( 1)j n (kjxj)V n m (^x) + b n m ik jxj j n (kjxj) + kj n 0
S 2 e ik x y^ d ik b n jxjj n (kjxj) + kj n 0 j j (d p d) Un m
1 m 1 ik x y^ d trong õ ta sò dửng p = d p d v… p d = 0 v jdj = 1.
Trong phƒn ti‚p theo, ta t‰nh toĂn cĂc hằ sŁ Fourier ð v‚ phÊi Ch‰nh xĂc hỡn, ta t‰nh toĂn phƒn phức liản hổp:
Ứng dụng định lý Stratton-Chu vào giản đồ cầu cơ bản, ta có phương trình điện áp trên điện trở theo tọa độ phức: Z = jZjd.
R Do õ, ta giợi thiằu cĂc toĂn tò C1 v C2 ữổc xĂc ành cho cĂc trữớng vectỡ ti‚p tuy‚n ’:
Khi õ cổng thức Stratton Chu 3.2 v 3.3 l
Ta Ăp dửng cổng thức bản trong Stratton Chu cho M n m ; 1 curl M n m v cổng ik
1 c thức bản ngo i cho N n m ; ik curl N n m vợi x 2 B(0; R) k1
Tức l , sò dửng cĂc bi”u thức cho v‚t ti‚p tuy‚n (3.5) (3.8) ữổc t…m thĐy trong mửc ƒu v vi‚t t›t j n = j n (kR); h n = h n (kR); y n = y n (kR); : : :
R NhƠn phữỡng tr…nh thứ nhĐt vợi iy n = iy n (kR) , phữỡng tr…nh thứ hai vợi j n , sau õ trł cho nhau, ỗng thới dũng Cổng thức Wronski j n y n 0 j n 0
C 2 k 3 R 2 T‰nh toĂn tữỡng tỹ cho phữỡng tr…nh thứ ba v thứ tữ cho ta
Tł hai ph÷ìng tr…nh cuŁi, ta k‚t lu“n cho vectì p 2 C 3 :
Z S2 curl y 2 p (x; Ry^) U n m (^y) ds(^y) = ik h R j n (kR) + kj n 0 (kR) i p curl N n m (x);
Z curl y 2 p (x; Ry^) V n m (^y) ds(^y) = ik 3 j n (kR)p N n m (x)
= ik R j n (kR) + kj n 0 (kR) jxj h n (kjxj) + kh n 0 h 1 i 1 v
Z curl y 2 p (x; Ry^) V n m (^y) ds(^y) = ik 3 j n (kR)h n (kjxj)p V n m (^x) (3.12)
CĂc sŁ h⁄ng lƒn lữổt phử thuºc v o x v jxj, cõ dĂng iằu tiằm c“n sau: curl 2 k 2 p (x; Ry^) = e ikjxj (^x p x^)e ikR x^ y^ + (x j
Do â, cho jxj ! 1 trong ph÷ìng tr…nh (3.11) v (3.12) cho ta
ZS 2 e ikR x^ y^ (^x p x^) V n m (^y) ds(^y) = in j n (kR)p V n m (^x):
B¥y gií ta câ th” quay l⁄i khai tri”n cıa sâng phflng: pe ik d x = X a m n M n m (x; k) + b m n ik1 curl M n m (x; k) vợi a n j n (kjxj) = Z
S 2 e ik x y^ d ik b n jxjj n (kjxj) + kj n 0 j j (d p d) U n m (^y) ds(^y):
= j n (kjxj) + kj n 0 (kjxj) p Un m k i n jxj (d):
CuŁi còng, pe ik x d = 4 X i n h ik1 p U n m (d) curl M n m (x) i p V n m (d)M n m (x) :
Nhữ mºt hằ quÊ, ta t…m thĐy chuỉi khai tri”n cıa sõng phflng cõ d⁄ng (d p)e ik d x = ik1 curl pe ik d x , cử th” l
Trữớng hổp achiral
Łi vợi b i toĂn ngữổc, ta coi sõng phflng nhữ l trữớng sõng tợi: H i (x; d; p) = p e ik x d Ta  t‰nh toĂn chuỉi khai tri”n cıa sõng phflng nhữ v“y vợi hữợng tợi d v hữợng phƠn cỹc p, i n
Trữớng sõng tợi bà tĂn x⁄ bði mºt h…nh cƒu B(0; 1) vợi sŁ sõng ð bản trong v k ð bản ngo i PhŒ trữớng sõng xa tữỡng ứng H 1 (^x; d; p) cıa trữớng sõng tĂn x⁄ do H i gƠy ra ữổc cho bði chuỉi
Nh›c l⁄i ành nghắa cıa toĂn tò trữớng sõng xa:
Fp Re det n ( ) k detn( ) trong õ cĂc hằ sŁ Fourier p n m := Z
V n m ( ) v U n m( ) v tr÷íng ti‚p tuy‚n p 2 L 2 t (S 2 ) câ khai tri”n
CuŁi cũng, ta cõ th” xĂc ành mºt hằ riảng cıa F Trong trữớng hổp achiral, giĂ trà riảng cıa F ữổc cho bði
Chúng cõ bºi sŁ 2n + 1 v cĂc vectỡ cƒu i•u hặa U n m v V n m l cĂc h m riảng. BƠy giớ, chúng ta cõ th” t‰nh toĂn chuỉi n j( z ; U n m ) L t 2 (S 2 )j 2 + n j( z ; V n m ) L t 2 (S 2 )j 2 (3.13)
Vợi z 2 R 3 , ta chồn ik (^x z x^) + (^x z) e ikx^ z : z (^x) :=
Khi õ z = Grad x^ e ikx^ z + x^ Grad x^ e ikx^ z v ta  bi‚t chuỉi ⁄i diằn cıa e ikx^ z tł khai tri”n Jacobi Anger, cử th”
Do õ, zcõ chuỉi khai tri”n z (^x) = 4 X ( i) n j n (kjzj) Grad Y n m (^x) + x^ Grad Y n m (^x) :
(^x) = x^ U n m (^x): p n(n + 1) CĂc hằ sŁ Fourier cıa z ữổc cho bði
Nhữ trong trữớng hổp vổ hữợng ( Łi chi‚u phƒn 1.5 trong [9]) n (k z ) 2n 1 m= n j ( z ; U n m ) Lt2( S 2 ) j 2 = 4 (2n + 1) [(2nj+j1)!!] 2 1 + O n
— Ơy p!! := 1 3 5 : : : p cho sŁ lã p bĐt k… Ta ti‚p tửc vợi dĂng iằu tiằm c“n cıa cĂc giĂ trà riảng
(4 ) 2 i Re detn( ) (4 ) 2 i jn(k) + n = k j n ( ) j n (k) k det n ( ) k h n (k) 1 1 + j n 0 ( ) h n 0 (k) : k j n ( ) h n (k) jn; hn; jn 0 v hn 0 cõ cĂc dĂng iằu tiằm c“n sau: j n (t) = t n
(2n + 1)!! n (2n + 1)!! n ; hn(t) = (2n 1)!! 1 + O 1 ; h n 0 (t) = (n + 1)(2n 1)!! 1 + O 1 : it n it n Thay v o 1 ta ữổc n
+ n k k ỡn giÊn phƠn thức thứ hai ð v‚ phÊi ta ữổc
Ta k‚t lu“n r‹ng chuỉi (3.13) hºi tử n‚u v ch¿ n‚u jzj < 1, nghắa l z n‹m trong qu£ cƒu B(0; 1).
Trữớng hổp chiral
Trong trữớng hổp chiral, ta t…m thĐy mºt d⁄ng tữớng minh cho F theo cĂch
X t÷ìng tü: Cho tr÷íng ti‚p tuy‚n p 2 L t 2 (S 2 ) : p = pn m
Trong trữớng hổp chiral, hai h‹ng sŁ L = v R = xuĐt hiằn
1 nh÷ l d⁄ng cıa sŁ sâng cho c¡c tr÷íng Q L v Q R Ta t‰nh phŒ tr÷íng sâng xa l X i n c R
( n i n )Vn (^x) + ( n + i n )Un (^x) i n+1 vợi cĂc hằ sŁ n m = 4 i n p V n m (d) ; n m = 4 i n pU n m (d) v cĂc h‹ng sŁ c L = Re det n ( L ) ; c R = Re det n ( R ) detn( L) detn( R)
Nhữ trong trữớng hổp achiral, ta k‚t lu“n
Ta quan sĂt thĐy r‹ng U n m + iV n m ; m = n; : : : ; n, l cĂc h m riảng cho giĂ trà riảng
) n = n k detn( L) v U n m iV n m ; m = n; : : : ; n, l cĂc h m riảng cho giĂ trà riảng
(4 ) 2 i Re det ( ) n = n R k det n ( R ) vợi n 2 N0 Mºt lƒn nœa, giĂ trà riảng cõ bºi sŁ 2n + 1 Sỹ ữợc lữổng cıa chuỉi
X j( z ; j) L 2 t (S 2 )j 2 j2N j j j cho h m °c trững cıa v“t tĂn x⁄ l ho n to n tữỡng tỹ vợi trữớng hổp achiral.
Trong lu“n vôn n y, tĂc giÊ Â t“p trung t…m hi”u sỹ tỗn t⁄i v duy nhĐt nghiằm cıa phữỡng tr…nh Maxwell thổng qua mºt bi”u di„n tữỡng ữỡng vợi phữỡng tr…nh t‰ch phƠn Lippmann-Schwinger B i toĂn ữổc khÊo sĂt trản cÊ mổi trữớng achiral v chiral Bản c⁄nh õ, tĂc giÊ cặn t…m hi”u v tr…nh b y l⁄i cĂc bi”u di„n d⁄ng chuỉi cho nghiằm cıa phữỡng tr…nh Maxwell thổng qua hằ cỡ sð l cĂc h m cƒu i•u hặa Viằc xƠy dỹng chuỉi khai tri”n trong trữớng hổp trữớng sõng tợi l sõng phflng ữổc ữa ra nhữ mºt v‰ dử Khai tri”n n y hỉ trổ rĐt nhi•u cho viằc nghiản cứu cĂc phữỡng phĂp sŁ ” giÊi phữỡng tr…nh Maxwell, trong ho n cÊnh rĐt khõ t…m ữổc nghiằm giÊi t‰ch v dœ liằu Ăng tin c“y ” thò k‚t quÊ sŁ, ngay cÊ nhœng trữớng hổp ỡn giÊn nhĐt CĂc k‚t quÊ tham khÊo chı y‚u trong cĂc t i liằu [6], [8], [10], [11], [15], [16].
M°c dũ chữa cõ k‚t quÊ mợi, những õng gõp ch‰nh cıa lu“n vôn l tŒng hổp v tr…nh b y l⁄i mºt cĂch chi ti‚t cĂc k‚t quÊ liản quan ‚n sỹ tỗn t⁄i v t‰nh duy nhĐt nghiằm cıa phữỡng tr…nh Maxwell Ơy l mºt lợp hằ phữỡng tr…nh cõ rĐt nhi•u ứng dửng trong lỵ thuy‚t tĂn x⁄ nõi riảng v trong V“t lỵ nõi chung L lợp phữỡng tr…nh cõ nhi•u ứng dửng, những tĂc giÊ nh“n ra º phức t⁄p cıa hằ phữỡng tr…nh n y trong suŁt quĂ tr…nh thỹc hiằn lu“n vôn Do õ, tĂc giÊ mong r‹ng lu“n vôn s‡ l mºt t i liằu tham khÊo b‹ng ti‚ng Viằt, hœu ‰ch cho sinh viản, hồc viản cao hồc ho°c nghiản cứu sinh d„ ti‚p c“n hỡn khi bữợc ƒu t…m hi”u v• chı • n y.
[1] H Ammari and J C N†d†lec, Time-harmonic fields in chiral media, Meth Verf Math Phys., 42 (1997), pp 395 423.
[2] C Athanasiadis, P A Martin, and I G Stratis, Electromagnetic scatter-ing by a homogeneous chiral obstacle: boundary integral equations and low-chirality approximations, SIAM J Appl Math., 59 (1999), pp 1745 1762.
[3] Nikolaos M Berketis and C Athanasiadis, Direct and inverse scattering problems for spherical electromagnetic waves in chiral media, ArXiv e-prints, 2008.
[4] Craig F Bohren, Light scattering by an optically active sphere,
[5] David L Colton and Rainer Kress, Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory, Springer, 2nd ed., 1998.
[6] David L Colton and Rainer Kress, Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory, Applied Mathematical Sciences, Volume
[7] Andreas Kirsch, The factorization method for Maxwell’s equations, Inverse Problems, 20 (2004), pp S117 S134.
[8] Andreas Kirsch and Frank Hettlich, The Mathematical Theory of Maxwell’s Equations Expansion integral and variational methods, Applied Mathemat-ical Sciences, Volume 190, Springer, 2015.