Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 khối vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng

LỜI MỞ ĐẦU Giải tích 2 là môn học quan trọng cung cấp cho chúng em những kỹ năng và những kiến thức quý báu cho quá trình học tập.. Môn học cung cấp khá đầy đủ các kiến thức cơ bản về v

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

O00

BAO CÁO BÀI TẬP LỚN

MÔN GIẢI TÍCH 2

ĐÈ TÀI 3 Khối vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng

GVHD: LE NGUYEN HANH VY

LOP: L14 NHOM 3

TP HO CHi MINH, thang 04 nam 2022

A

Nguyễn Ngọc Như Huỳnh 2111377 huynh.nguyen0909@hemut.edu.vn

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

TP HO CHi MINH, thang 4 năm 2022

LỜI MỞ ĐẦU Giải tích 2 là môn học quan trọng cung cấp cho chúng em những kỹ năng và những kiến thức quý báu cho quá trình học tập Môn học cung cấp khá đầy đủ các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm nhiều biến, lý thuyết về chuỗi; trang bị những kỹ năng cơ bản cho người học tự phát triển khả năng áp dụng toán học vào các bài toán thực tế

Dưới đây là phan bai tập lớn mà nhóm em đã tìm hiểu về cách dựng mô hình vật thé cũng như tính thể tích, điện tích các mặt khối vật thể tạo bởi các mặt phẳng Chung em xin chân thành cảm ơn cô Lê Nguyễn Hanh Vy đã tận tình giúp đỡ, giảng dạy và định hướng chúng em trong cách tư duy và phát triển lối làm việc khoa học Đó là những góp ý quý báu, làm nền tảng để chúng em có thê hoàn thành tốt bài tập lớn này Tuy nhiên trong quá trình làm bài không thê không xảy ra những thiếu sót, chúng em mong thầy cô cho chúng

em những góp ý để chúng em có thể hoàn thiện hơn nữa Chúng em xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC DANH SÁCH THÀNH VIÊN 1

LỜI MỞ ĐẦU2

MỤC LỤC 3

BANG PHAN CONG CÔNG VIỆC 4 NOIDUNG 5

I Yêu cầu và cơ sở lý thuyết 5

A Yêu cầu 5

B Cơ sở lý thuyết 5

1 Tich phan kép 5

2 Tích phân bội ba 7

3 Tích phân bội ba trong tọa độ Đề-các 7

H Thực hành 11

1 Méhinh1 II

2 Méhinh2 12

HI Nhận xét 13

TAI LIEU THAM KHẢO 14

BANG PHAN CONG CONG VIEC

1 Khẩu NhiAnh 2112761 _ Soạn báo cáo 100%

2 Nguyễn Trung Dũng 2113068 Dựng mô hình, tính toán 100%

4 _ Nguyễn Tín Phát 2111984 Dựng mô hình, tính toán 100%

_—% _ Trương Minh Trưởng 2115160 Thuyết trình 100%

NỘI DUNG

I Yêu cầu và cơ sở lý thuyết

A Yêu cầu

Đề tài 3: Khối vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng

B Cơ sở lý thuyết

1 Tích phân kép

% Định nghĩa (ích phân kép:

Cho hàm f{x,y) xác định trong miền đóng, bị chặn D Chia miền D thành n phần không dẫm lên nhau (các phần không có phần chung) là D¡, D2 , D3, ., D, ; cac mién này có diện tích lần lượt la AS; , AS , AS3, ., AS, Trén mdi mién D, ta lay | diém Mk (x,y x ) tùy ý Lập tổng (gọi là tong tích phân kép của hàm Ẩ(x.y))

n

Sp = XY F(X KAS, k=1

Hiền nhiên tổng trén phy thudc vao cach chia miền D và cách

lay diém My

Ta gọi đường kính của miền D là khoảng cách lớn nhất giữa hai

điểm bất kỳ thuộc D, kí hiệu là d(D)

Cho max‡d(D„ )‡ >0 >n -»

Nếu tong S„ tiến đến giới hạn hữu hạn 5 mà không phụ thuộc vào cách chia miền D cũng nhu cach lay diém M, thì giới hạn S được gọi là tich phan kép cua ham f(x,y) trên miền D Vậy kí hiệu và biếu thức định nghĩa của tích phân kép là:

Í[f(xy)ds= _ lim D max{d(D, )|-»0 k=1 SF (XY, AS,

Hàm ƒ(x,y) được gọi là hàm dưới dấu tích phân, D là miền lấp tich phan, ds là yếu tổ diện tích

Khi ấy, ta nói ham f(x,y) kha tich trên miền D Chỉ một số ít các miền D, là các hình thang cong có diện tích xấp xỉ với diện tích hình chữ nhật nên ta có thê coi tất cả là hình chữ nhật điện tích là ASk =Ax,Ayx, do đó ta thay ds=dxdy Vậy ta

viết tích phân kép ở dạng:

Ï[f(x.y)qxdy

D

5

Tính chất : Cho f(x,y), g(x,y) là các hàm khả tích trên D

1 S(D)= [[ dxdy (S(D) là diện tích miền D)

D

2 _ [[[f(x,y)+ g(x,y)]dxdy =[[f(x,y)dxdy + [[ g(x, y)dxdy

D D D

3 [[Cf(x,y)dxdy =C[[f(x,y)dxdy

4 Chia D thành 2 miền không dẫm lên nhau là E, F thì

Jf(x,y)dxdy = Jf(x.y)dxdy + Jƒ(x,y)hdy

5 Nếu f(x,y)<g(x,y) trên D thì: Í[f(x,y)dxdy < [[g(x, y)dxdy

6 Trên D, hàm f(x,y) đạt GTLN f„„.=M, GTNN f,,,,=m thi

m.S(D) < {[ f(x, y)dxdy < M.S(D)

D

“ Dinh ly: (Gia tri trung bình )

Cho ham f(x,y) liên tục trong miền đóng, bị chặn, liên thông D Khi ấy trong D có ít nhất |

điểm (xo ,yo ) sao cho :

[J f(x y)dxdy = (x, Yo )S(D)

D

Đại lƯợng sau được gọi là giá trị trung binh cua ham f(x,y) trén mién D:

1

= spjJfxv)sy

a

Ý nghĩa hình học của tích phân kép: Phần hình trụ KÍN đường sinh song song với trục Oz

bị cắt bởi mp Oxy (mặt cắt là miền D), mặt cong z=f(x,y) (f(x,y)}>0.Y(x,y)< P) 66 thé tích được tính bởi

V = [[f(x,y)dxdy D

2 Tích phân bội ba

s Định nghĩa:

Tích phân bội ba là một loại tích phân xác định được mở rộng cho các hàm có ba biến thực: ƒ(x y, z) Tích phân của một hàm ba biến trên một miền của RỶ được gọi là tích phân

bội ba Kí hiệu là:

lÍ ƒ(x.y,z)d

Đồng thời, ta gọi hàm f{x,y,z) này là hàm khả tích trên miền V

JJJ, ƒ(x.y,z)dV = lim - Wier Dyer ket ƒ (Xi VỤ, 2Ù )AV

3 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề-các

a) Dinh ly Fubini

Cho f{x.y.z) là ham liên tục trên miền

Q= {(x y.Z) eRÌ:a<x<b,c<y<d,r<z< s}

Khi đó :

II (x, y, z)dxdydz = [ [ [ SI (x, y, z)dxdydz

Q

= a lÍ ƒŒ.y 2)d: ly

b) Tích phân bội ba trên miền bị chặn tổng quát ©

Cho 9 là miền bị chặn bất ki, tương tự như trong bài tích phân kép, ta có thế lấy hình hộp chữ nhật E chứa miền ©_ sau đó, chúng ta xây dựng một hàm mới

(x,y,z),(x,y,z) eQ

F(x, y,z) = Qs rn "

Khi đó, nếu F khả tích trên E thì ta định nghĩa

[J[7(x.v.z)dx4 = [Ï[ /(x y.z)dx4@ed=z

Như vậy, tương tự như tích phan kép, chúng ta cũng sẽ có định lý sau :

Cho miền @= Í(x,w,z):(x,w) 6 Ð,z,(x,w)<z<z,(x,y)} Trong do D là hình

chiếu '2_ xuống mặt phăng Oxy Khi đó

#;(x,x

IÏ f (x.y, 2)dxdydz = {I Ỉ ƒ(.y.z)dz |dả:

Chú ý: Khi tính tích phân bội ba, chúng ta phải xác dinh duoc hinh chiếu D của vật thê V

và chuyên về tính tích phân kép Khi tính tích phan ctia f(x,y,z) theo biến z thì ta xem z là biên số, còn x,y là hăng sô

yy (x2

[[7 (x.x.z)dvdydz = || Ỉ ƒ(x.y.z)đy |dvœ&

TS Bates |

-Các bước tinh:

chuyên tích phần ba lớp về tích phân hai lớp

Xác định hình chiêu của miền E lên mặt phẳng Oxy

Xác định biên dưới z = z¡ (x, y) và biên trên z = z¿ (x, y) của V,

Sử dung công thức

alxy) r= ff F(x.y.2)dxdyde = ff dxdy Í f (x,y,z) dz

z(x,y)

để hoàn tất việc chuyển đổi

Nguyên tắc chung:

(Tích phân ba lớp = Tích phân hai lớp = Tích phân lặp |

z= z(x,y)

Mi

<< z= 2i(x,y) fo-= b y

1

¢ Các tính chất cơ bản của tích phân bội ba

@ Tính chất tuyên tính

JII [of (x,y,z) + 3g (x, y, z)] dxdydz =

v

a fff fiona dxdydz + 3 [ff st» z) dxdydz

ø Tính chất cộng tính: Nêu V = Vy U V2 va Vj, V2 khéng giau nhau

(ngoại trừ phần biên) thì:

Vv

JJ f (x y,z) dxdydz + // f (x,y,z) dxdydz

So ® Tích phân bội ba trên miền đôi xứng:

@ V là miền dối xứng qua mặt phẳng z = 0

@ (f(x y.z) là hàm sô lẻ đỗi với z

thì [[ƒ f (x y,z) dxdydz = 0

V

Nếu

@ V là miễn dối xứng qua mặt phẳng z = 0

@ ((x.y.z) là hàm số lẻ đỗi với z

thì [[ƒ f (x y.z) dxdydz = 0

V

TTY

Nếu

@ V là miễn dối xứng qua mặt phẳng z = 0,

@ ((x y.z) là hàm số chẵn dối với z

thì [[ƒ f (x y.z) dxdydz = 2 [[ƒ f (x y.z) dxdydz, trong đó

V*~<Vn{z>0)

' Giải tích 1, [ f(x)dx = J f(x(u) 2u đu: ở đó x = x(u)

b d dx

Giải tích 1, ƒ f(x)dx = ƒ f(x(u))| —— du, ở đó x = x(u)

x =x(u.v)

Is F(x, y)dxdy = i f(x(u, v), y(u, v))|J|dudv, y=y(u,v)

b d dx

Giải tích 1, ƒ f(x)dx = ƒ f(x{u) Pl, ở đó x = x(u)

x = x(u,v),

[J Fx, y)dxdy = ff f(x(u, v), y(u, v))|J|dudy, ~ R s y=y(u,v)

Mong muôn,

JII f(x, y,z)dxdydz =

8

// f(x(u, v, w) y(u, v w} z(u, v w) | hệ số |dudvdw,

s

x = x(u,v,w),

ở đó 4 y = y(u, v w)

z =z(u.v,W)

Tinh | = [ff f (x,y,z) dxdydz Thực hiện phép đổi biến số

Vv

x = x(u,v,w)

z=z(u,v,w) thoả mãn

® x,y,z cùng với các đạo hàm riêng của nó liên tục trên Vi

ø Công thức (1) xác định song ánh VW„„„ —+ V

es= Bers # 0 trong Viw-

Khi đó

JJ fy,z)đdydz = [[ flx(.+:)„y(+¬.)„#(-« -)||J| dudvdw

H Thực hành

1 Mô hình I

M6 hinh kim tự tháp

s% Thể tích :

s Diện tích

- _ Diện tích mặt xung quanh:

[ƒ12S

s

H

- - Diện tích đáy:

- Diện tích tổng:

2 Mô Hình 2:

4% Thể tích:

% Dién tich cac mat:

Sl= =2

12

S3= =5,6568

S4= =5,6568

HI Nhận xét

- Ung dụng tích phân kép để tính diện tích các mặt cua vat thé

-_ Ứng dụng tích phân bội ba đề tính thé tích các vật thé trong không gian

13

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Calculus - James Stewart - 7 th Edition

Giáo trình GIẢI TÍCH II - NGUYÊN ĐÌNH HUY (chủ biên) - NXB ĐHQG TP Hồ Chí Minh Phan mém https://www.geogebra.org/

Video BKel

14