Dựng mô hình và tính thể tích khối vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng

Tích phân kếp và ứng dụng tích phân kép tính diện tích các mặt và thể tích vật thể 2.4 Tích phân bội ba và ứng dụng của tích phân bội ba tính thể tích vật thể.... Lời nói đầu Trong cuộc

khối vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng

Huynh Thi Vu Nguyễn Hoàng Chương 2010967 Dường Anh Cường 2112957 Nguyễn Đại Dương 2113094

Lê Khánh Duy 2113009

chuong.nguyenhemut0173@hemut.edu.vn cuong.duonganh@hemut.edu.vn duong.nguyendaiduonghcmut.edu.vn duy.le110cdt142@hemut.edu.vn

Tp Hồ Chí Minh, Tháng 4/2022

2.3 Tích phân kếp và ứng dụng tích phân kép tính diện tích các mặt và thể tích vật thể 2.4 Tích phân bội ba và ứng dụng của tích phân bội ba tính thể tích vật thể 2.5 Ứng dụng tích phân đường tính diện tích mặt c c c c s 2.6 Ứng dụng tích phân mặt tính diện tích co Các khối vật thể giới hạn bởi mặt phẳng

31 Mô hình 1: Mũi tin cu nà và vi v và vi g vi va va

3.3 Mô hình 3: Kim tự thấp LH Quà v k k k k kia

đà Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

Bảng phân công công việc

2010967 | Nguyễn Hoàng Chương | Trình bay, tong hop LaTeX 100%

2113094 | Nguyễn Đại Dương Nền tảng, cơ sở lí thuyết, kiểm tra kết quả -L thuyết trình | 100%

2113009 | Lê Khánh Duy Thực hành(vẽ & tính), dựng + tính thể tích bài tập phụ 100%

Đề bài tập lớn môn Giải Tích 2 (MT1008) - Niên khóa 2021-2022 Trang 2/28

Lời cảm ơn

Chúng em xin cảm ơn cô Huỳnh Thị Vu, người vừa là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Giải Tích

2, vừa là người định hướng, truyền đạt cho chúng em các kiến thức cần thiết để hoàn thành bài báo cáo này Một lần nữa, chúng em xin cảm ơn và trân trọng sự tận tâm của cô Chúc cô luôn có nhiều sức khỏel

Đề bài tập lớn môn Giải Tích 2 (MT1008) - Niên khóa 2021-2022 Trang 3/28

Lời nói đầu

Trong cuộc sống hằng ngày, chúng ta hay tiếp xúc hoặc quan sát thấy những vật thể có dạng hình khối được giới hạn bởi các mặt phẳng chẳng hạn như các loại hộp dựng, tủ quần áo, các tòa nhà hay các công trình kiến trúc khác Để tìm hiểu cách tạo hình cũng như diện tích và thể tích của chúng thì nhóm chúng em, được sự hướng dẫn của giảng viên là cô Huỳnh Thị Vu đã nghiên cứu và tìm hiểu về đề tài: “Dựng, tính diện tích các mặt và thê tích của khối vật thể được giới hạn bởi các mặt phẳng” Qua đề tài lần này, chúng ta sẽ biết được cách dựng hình bằng ứng dụng Geogebra, cách ứng dụng các kiến thức

đã học vào trong thực tế Do kiến thức và hiểu biết của nhóm chúng em có hạn, đồng thời trong quá trình thực hiện không thể tránh khỏi những sai xót có thể dẫn đến kết quả thiếu tính chính xác tuyệt đối, mong nhận được sự góp ý chân thành của cô

Đề bài tập lớn môn Giải Tích 2 (MT1008) - Niên khóa 2021-2022 Trang 4/28

IATEX được ra đời vào năm 1985, do giáo sư toán học Donald Knuth phát minh, là một phần mềm sắp chữ mã nguồn mở được Leslie Lamport phát triển dựa trên nền TEX Ngày nay, IATEX được sử dụng rộng rãi trên toàn thế giới, được dùng làm tiêu chuẩn chế bản cho các nhà in sách, tạp chí khoa học, các

ấn phẩm khác, được đưa vào chương trình giảng dạy, ứng dụng làm poster, viết bài báo khoa học, tạo file trình chiến hay làm luận văn Ngoài được ứng dụng trong lĩnh vực toán học, I4IEX hiện nay đã phát triển mạnh mẽ ở các ngành khoa học khác như vật lý, hóa học,

Định dạng văn bản đều, chuyên nghiệp và đẹp mắt

e Hỗ trợ soạn thảo các công thức toán, các hình vẽ, mã nguồn lập trình, tạo các cấu trúc phức tạp như chỉ mục, mục lục, phụ lục, tài liệu tham khảo một cách dễ dàng

Người sử dụng chỉ cần học một số lệnh dễ nhớ để xác định cấu trúc logic của tài liệu và gần như không phải suy nghĩ nhiều đến việc trình bày bản in Việc trình bày bản in được thực hiện một cách tự động bởi công cụ sắp chữ TEX

Có hệ thống định dạng, bố trí chuyên nghiệp, dễ dàng để người sử dụng có thể tập trung cho việc soạn thảo văn bản

Soạn thảo nội dung nhanh chóng, các bước thiết lập kiểu riêng biệt được thực hiện ở cuối, giúp tiết kiệm thời gian

Đề bài tập lớn môn Giải Tích 2 (MT1008) - Niên khóa 2021-2022 Trang 5/28

1.2 Geogebra

GeeGebra

Dynamic Mathematics for Everyone

GeoGebra là một phần mềm hình học động hỗ trợ giảng dạy trong trường học Tác gia Markus Hohenwarter khởi động dự án từ năm 2001 tại trường đại hoc Salzburg và hiện đang tiếp tục phát triển tại trường đại học Florida Atlantic GeoGebra được viết trên Java và vì thế là phần mềm đa nền 1.3 MatLab

Matlab (tên viết tắt của Matrix laboratory) là phần mềm cung cấp môi trường tính toán số và lập trình, do công ty MathWorks thiết kế Matlab cho phếp tính toán số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ thông tin, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trình máy tính viết trên nhiều ngôn ngữ lập trình khác

Matlab dùng để giải quyết các bài toán về giải tích số, xử lý tín hiệu số, xử lý đồ họa mà không phải lập trình cổ điển Hiện nay, Matlab có đến hàng ngàn lệnh và hàm tiện ích Ngoài các hàm cài sẵn trong chính ngôn ngữ, Matlab còn có các lệnh và hàm ứng dụng chuyên biệt trong các Toolbox để mở rộng môi trường Matlab, nhằm giải quyết các bài toán thuộc các phạm trù riêng Các Toolbox khá quan trọng và tiện ích cho người dùng như toán sơ cấp, xử lý tín hiệu số, xử lý ảnh, xử lý âm thanh, ma trận thưa, logic mờ

2_ Cơ sở lí thuyết

2.1 Vẽ vật thể giới hạn

Không gian ba chiều là một mô hình hình học có ba thông số (không tính đến thời gian), trong đó bao gồm tất cả các vật chất được chúng ta biết đến Ba chiều được nhắc đến ở đây thường là chiều dài, chiều rộng và chiều cao (hoặc chiều sâu) Ba hướng bất kì nào cũng có thể được chọn, miễn là chúng không nằm trong cùng một mặt phẳng

Trong vật lý và toán học, một chuỗi các con số n có thể được hiểu là một vị trí trong không gian n chiều Khi s = 3, tập hợp tất cả các vị trí đó được gọi là không gian Euclide 3 chiều, thường ký hiệu là R° Khong gian nay chỉ là một ví dụ trong một loạt các không gian ba chiều thường gọi là đa tạp ba chiều

1 Truc Ox 10

Truc Oy

2.2 Tích phân bội

Tích phân bội là một loại tích phân xác định được mở rộng cho các hàm có nhiều hơn một biến thực,

vi du, f(x, y) hoặc f{x, y, z) Các tích phân của một hàm hai biến trên một vùng trong không gian #2 được gọi là tích phân kép, và tích phân của hàm ba biến trên một miền của #3 được gọi là tích phân bội

ba

Tích phân bội có nhiều ứng dụng trong thực tiễn Trong bài báo cáo này chúng ta biết được cách sử dụng tích phân bội ( tích phân kép và tích phân bội ba) trong việc tính toán diện tích bề mặt vật thể và thể tích vật thể (Ap dụng cho Khối vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng)

2.3 Tích phân kép và ứng dụng tích phân kép tính diện tích các mặt và thé tích vật thể

e Định nghĩa

Tích phân kép của hàm số ƒ(z,/) trên miền 7 là:

JJ f(x,y) dx dy = JJ ƒ(œ,u)dA = lim J2) AwAy

b Tính thể tích vật thể Thể tích vật thể, cụ thể trong bài báo cáo là thể tích của khối vật thể giới hạn bởi miền D, giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song với trục Óz thì có công thức:

V= | [ ƒ(œ,) de dy 2.4 Tích phân bội ba và ứng dụng của tích phân bội ba tinh thể tích vật thể

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

° Ứng dụng của tích phân bội ba tính thể tích vật thể

Thể tích của vật thể được tính theo công thức

V= HỆ haua:

JJ sO 2.5 Ứng dụng tích phân đường tính diện tích mặt

Trudng hop y = y{x), a< a <b thi:

| fema- [ feu VIF OP a

Â_ Pm) án + 000) = + II — Su) 4e Dấu ” +” nêu chiều lẫy tích phân trùng với chiều dương quy ước Ngược lại, ta lây dâu ” —”

2.6 Ứng dụng tích phân mặt tính diện tích

e Diện tích mặt cong z = ƒ({#,y), có hình chiếu xuống mặt phẳng Ózy là D được tính theo công thức:

s= J V1 09? + 0/)294xay

Đề bài tập lớn môn Giải Tích 2 (MT1008) - Niên khóa 2021-2022 Trang 9/28

3 Các khối vật thể giới hạn bởi mặt phẳng

3.1 Mô hình 1: Mũi tiện

POWERED 8Y THE WOLFRAM LANGUAGE

e Diện tích khối Ka:

V6i 22 = 3+ 2,2 =0 Dién tich toan phần khối K› (không tính mặt cắt « = 2)

Đề bài tập lớn môn Giải Tích 2 (MT1005) - Niém khéa 2021-2022 Trang 12/28

JJ, Zora, Jees| | Vida} axe J? [1 dxay

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

tì Mì=

Thế cận tích phân, ta được:

Vo = [ [ 34+ wavy 2 p2

Jo Jo ) V2 = 16(em?

Đề bài tập lớn môn Giải Tích 2 (MT1008) - Niên khóa 2021-2022 Trang 15/28

z\i = V3 Khối lăng kính có giới hạn: 4 z2 = 3V 3 — v3

0<z<1;0<#<3

Do khối có tính đối xứng nên ta chia khối làm hai phần bằng nhau, mặt chia là mặt phẳng y = 2

z = VẦ z=0

Ta thực hiện tính toán trên khối £1 (Mot nita cia khéi ling kinh) ¢ x = 0

2 [* [rarayen [OP rayare [° [Pracay lọ l0 lọ

Result More digits

(assuming subintervals of equal length)

Indefinite integral Approximate form [Y Step-by-step solution

9Ý3x fra đx= + constant

Đề bài tập lớn môn Giải Tích 2 (MT1005) - Niém khéa 2021-2022 Trang 18/28

3

3 3(1 3(1 9al2

Assuming multiplication | Use a |ist instead

- VI? ƒ (1-x)dx = — ~ 0.68718

3 lo 6

Indefinite integral Approximate form [% Step-by-step solution

Diện tích xung quanh của kim tự thấp:

2V17

3 Sing =4DT =

by Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

3.4 Mô hình 4: Khối rubik

a Dựng hình trong Geogebra Tham số hóa

Đề bài tập lớn môn Giải Tích 2 (MT1008) - Niên khóa 2021-2022 Trang 23/28

VEL [PO raslay eve [PP raslars2 f"([ray)ax = 24

POWERED BY THE WOLFRAM LANGUAGE

= Diện tích toàn phần khéi rubik ” 2.24 ” 48

c Thé tich Với:

2 = 2/2 Q: 22 =0

2<a<4 w-2<y<6-2 V= II dadydz

Jd Jo Công thức:

Thể tích một nửa khối rubik:

Đề bài tập lớn môn Giải Tích 2 (MT1008) - Niên khóa 2021-2022 Trang 24/28

POWERED BY THE WOLFRAM LANGUAGE

= Thể tích toàn phần khéi Rubik = 2.8/2 = 16⁄2

Af[diff(x,u) diff(x,v) diff(x,r); diff(y,u) diff(y,v) diff(y,r); diff(z,u) diff(z,v) diff(z,r)];

Bidet (A);

Vint (int (int (B,r,0,1),v,0,2*pi),u,0,1);

fprintf(’Gia tri cua V” &d.\n’, V);

e Kết quả

Command Window

—cos (4*pi*u) *(r*cos(v) + 3)*(u - 1)

-sin(4*pi*u) *(r*cos(v) + 3)*(u - 1)

funx * G@(u,v) (1l—u).*(34+ cos{v)).* cos (4.* pi.*u);

funy * G@(u,v) (l—u).*(3+ cos{v)).*sin(4.* pi.*u);

Đề bài tập lớn môn Giải Tích 2 (MT1008) - Niên khóa 2021-2022 Trang 27/28

Tài liệu

[1] Nguyễn Đình Huy (2018) G¿ Tích 2, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Mình

[2] T.S Lé Xuan Dai Bai gidng điện tử Giải tích 2

[3] James Steward (2012) Calculus, Thomson Brooke/Cole

[4] H.Anton, I.Bivens, $.Davis (2012) Calculus Early Transcendentals, 10th edition, Wiley