Dựng mô hình Khối vật thể giới hạn bởi mặt cầu và mặt mặt phẳng GIẢI TÍCH 2

Dựng mô hình Khối vật thể giới hạn bởi mặt cầu và mặt mặt phẳng GIẢI TÍCH 2 1. Dựng mô hình Khối vật thể giới hạn bởi mặt cầu và mặt mặt phẳng. (phương trình cụ thể tự cho). Có thể sử dụng: Matlab hoặc Geogebra , . . . 2. Từ đó tính thể tích của vật và diện tích các mặt tạo nên vật thể đó. Sử dụng số liệu thực tế có được từ mô hình thực tế 3. Tự vẽ lại và tính thể tích hình bên dưới bằng bất kỳ phần mềm đã biết Giải tích 2 là một trong những môn đại cương rất quan trọng và thiết yếu cho sinh viên kỹ thuật. Vì thế để có thể nắm chắc được kiến thức nền tảng nhằm ứng dụng vào nghiên cứu học tập các môn chuyên ngành, thì thực hành là điều cần có để cho sinh viên có thể làm quen với việc ứng dụng kiến thức đã học và nâng cao kỹ năng giải quyết vấn đề. Qua đó cũng tạo thêm những kinh nghiệm, trải nghiệm có ích trong quá trình học đại học. Và chúng em xin chân thành cảm ơn thầy Tăng Lâm Tường Vinh đã tận tình hướng dẫn chúng em trong bộ môn giải tích 2, Không chỉ cung cấp cho chúng em những kiến thức về chuyên môn của bộ môn giải tích, mà qua các video của thầy chúng em còn được học thêm về cách sử dụng cơ bản các phần mềm hữu ích như Geogebra và Latex, từ đó sẽ hỗ trợ rất nhiều cho chúng em trong các bài tập lớn sau này hay đồ án tốt nghiệp.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

GVHD: Tăng Lâm Tường Vinh

NHÓM: GT2-L29-09

Ngày 30 tháng 4 năm 2022

Danh sách nhóm

1 Trần Xuân Hải 2113301

2 Phùng Thái Khang 2111462

3 Hà Anh Khoa 2113747

4 Nguyễn Hoàng Mỹ 2114105

5 Nguyễn Bảo Việt 2115273

Nội dung câu hỏi

1 Dựng mô hình Khối vật thể giới hạn bởi mặt cầu và mặt mặt phẳng (phương trình cụ thể tự cho) Có thể sử dụng: Matlab hoặc Geogebra ,

2 Từ đó tính thể tích của vật và diện tích các mặt tạo nên vật thể đó Sử dụng

số liệu thực tế có được từ mô hình thực tế

3 Tự vẽ lại và tính thể tích hình bên dưới bằng bất kỳ phần mềm đã biết

Mục lục

1.1 Tích phân kép 4

1.2 Tích phân bội 3 4

1.3 Tích phân mặt loại 1 4

Lời Mở Đầu

Giải tích 2 là một trong những môn đại cương rất quan trọng và thiết yếu cho sinh viên kỹ thuật Vì thế để có thể nắm chắc được kiến thức nền tảng nhằm ứng dụng vào nghiên cứu học tập các môn chuyên ngành, thì thực hành là điều cần có để cho sinh viên có thể làm quen với việc ứng dụng kiến thức đã học và nâng cao kỹ năng giải quyết vấn đề Qua đó cũng tạo thêm những kinh nghiệm, trải nghiệm có ích trong quá trình học đại học

Và chúng em xin chân thành cảm ơn thầy Tăng Lâm Tường Vinh đã tận tình hướng dẫn chúng em trong bộ môn giải tích 2, Không chỉ cung cấp cho chúng em những kiến thức về chuyên môn của bộ môn giải tích, mà qua các video của thầy chúng em còn được học thêm về cách sử dụng cơ bản các phần mềm hữu ích như Geogebra và Latex, từ đó sẽ hỗ trợ rất nhiều cho chúng em trong các bài tập lớn sau này hay đồ án tốt nghiệp

Tuy nhiên chúng em vẫn còn thiếu sót do sự hạn chế về kiến thức và kỹ năng nên không thể hoàn thành tuyệt đối các nội dung bài tập, xin thầy góp ý để chúng

em có thể ngày càng phát triển hơn

1 Cơ Sở Lý Thuyết

1.1 Tích phân kép

ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong miền D đóng và bị chận Phân hoạch D thành các miền con D1, D2, , Dn ∆Sk là diện tích của miền con Dk d(Dk) = đường kính Dk = khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm trong Dk Đường kính phân hoạch Mk được chọn tùy ý trong Dk

Khi f khả tích, việc tính tích phân không phụ thuộc vào phân hoạch Do đó có thể phân hoạch D theo các đường song song Ox, Oy Dk là hình chữ nhật với các cạnh ∆x, ∆y :

∆Sk =∆x∆y

Thay cách viết tích phân kép

Z Z

D

f (x, y)dxdy =

Z Z

S

f (x, y)ds

ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH VẬT THỂ

Z Z

D

1dxdy

1.2 Tích phân bội 3

ĐỊNH NGHĨA

Cho Ω đóng và bị chặn trong R3 Hàm f(x,y,z) xác định trong Ω

Phân hoạch Ω thành những miền con Ωk với thể tích V(Ωk), d là đường kính phân hoạch Trên mỗi miền con, lấy điểm Mk tùy ý, gọi tổng tích phân là:

Sn =

n

X

k=1

f (Mk)V (Ω)

Z Z Z

Ω

f (x, x, z)dxdydz = lim

d→ 1 Sn

ÚNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ

Z Z Z

Ω

1dxdydz

1.3 Tích phân mặt loại 1

ĐỊNH NGHĨA

S là mặt cong trongR 3, f(x,y,z) xác định trên S

Phân hoạch S thành các mảnh con Sk có diện tích ∆Sk, Mk ∈ Sk

Tổng tích phân:

Sn =

n

X

k=1

f (Mk)∆sk

Tích phân mặt loại 1 trên f của S

Z Z

S

f (x, y, z)ds = lim

n→∞ Sn

ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CONG

Nếu S là phần mặt hữu hạn, có phương trình z = z(x, y), hình chiếu của S lên Oxy là miền D, khi đó vi phân mặt:

ds =

q

1 + (zx′) 2 + (z′y) 2 dxdy

Z Z

S

f (x, y, z)ds =

Z Z

D

f (x, y, z(x, y))

q

1 + (zx′) 2 + (z′y) 2 dxdy

2 Mô Hình 1

Mô hình giới hạn bởi: x2+ y2+ z2 = 4, z ≥ 0

Hàm tích phân : z =p4 − x 2 − y 2,z > 0

D:hình chiếu Oxy : x2+ y2≤ 4

Thể tích:

V (Ω) =

Z Z Z

Ω

dxdydz

V (Ω) =

Z 2π 0

dφ

Z 2 0

rdr

Z

√

4−x 2 −y 2

0

dz

V (Ω) =

Z 2π 0

dφ

Z 2 0

p

4 − r 2 rdr

V (Ω) = 16π

3

Diện tích:

Diện tích mặt cong

zx′= √ −x

4−x 2 −y 2 zy′=√ −y

4−x 2 −y 2 D:hình chiếu Oxy : x2+ y2≤ 4

Sc =

Z Z

D

r

1 + x

2

4 − x 2 − y 2 + y

2

4 − x 2 − y 2 dxdy

Sc =

Z Z

D

2

p

4 − x2− y 2 dxdy

S c =

Z 2π 0

dφ

Z 2 0

2r

√

4 − r2dr = 8π

Diện tích đáy

D :



z ≥ 0

p

4 − x 2 − y 2

Hình chiếu Oxy: x2+ y2 ≤ 4

Sd =

Z 2π 0

dφ

Z 2 0

rdr = 4π

Diện tích các mặt tạo thành: S = Sd+ Sc = 4π + 8π = 12π

3 Mô Hình 2

Mô hình giới hạn bởi: x2+ y2+ z2 = 4, y ≥ 0

Hàm tích phân : y = √

4 − z 2 − x 2,y > 0

D: hình chiếu Oxz : z2+ x2 ≤ 4

Thể tích:

V (Ω) =

Z Z Z

Ω

dxdydz

V (Ω) =

Z 2π 0

dφ

Z 2 0

rdr

Z

√

4−x 2 −y 2

0

dy

V (Ω) =

Z 2π 0

dφ

Z 2 0

p

4 − r2rdr

V (Ω) = 16π

3

Diện tích:

Diện tích mặt cong

y′x= √ −x

4−x 2 −z 2 yz′=√ −z

4−x 2 −z 2 D: hình chiếu Oxz : z2+ x2 ≤ 4

S c =

Z Z

D

r

1 + x

2

4 − x 2 − z 2 + z

2

4 − x 2 − z 2 dxdz

Sc =

Z Z

D

2

√

4 − x 2 − z 2 dxdz

Sc =

Z 2π 0

dφ

Z 2 0

2r

√

4 − r 2 dr = 8π

Diện tích đáy

D :



z ≥ 0

√

4 − x 2 − z 2

Hình chiếu Oxy: x2+ z2 ≤ 4

Sd =

Z 2π 0

dφ

Z 2 0

rdr = 4π

Diện tích các mặt tạo thành: S = Sd+ Sc = 4π + 8π = 12π

4 Mô Hình 3

Mô hình giới hạn bởi: x2+ y2+ z2 = 4, x ≥ 0, y ≥ 0

W Là ¼ mặt cầu cầu

Hàm tích phân : x =p4 − y 2 − z 2,x = 0

W: x2+ y2+ z2 = 4, x ≥ 0, y ≥ 0

Thể tích: (lấy hình chiếu Oyz)

V (Ω) =

Z Z Z

Ω

dxdydz

V (Ω) =

Z π 0

dθ

Z 2 0

rdr

Z

√

4−y 2 −z 2

0

dx

V (Ω) =

Z π 0

dθ

Z 2 0

p

4 − r 2 rdr

V (Ω) = 8π

3

Diện tích:

Diện tích mặt cong

x′z= √ −z

4−z 2 −y 2 x′y=√ −y

4−z 2 −y 2

D :



y ≥ 0

z ≤p4 − y 2

Sc=

Z Z

D

r

1 + z

2

4 − z2− y 2 + y

2

4 − z2− y 2 dzdy

S c =

Z Z

D

2

p

4 − z 2 − y 2 dzdy

Sc =

Z π 0

dθ

Z 2 0

2r

√

4 − r 2 dr = 4π

Diện tích 2 mặt bên

Sb1 = Sb2 =R

π 2

−π 2

dφR02rdr = 2π

Sb12 = S1+ S2 = 4π

Diện tích các mặt tạo thành

S = Sc+ Sb12 = 4π + 4π = 8π

5 Mô Hình 4

Mô hình giới hạn bởi: x2+ y2+ z2 = 4, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 1

Hàm tích phân : z =p4 − x 2 − y 2,z = 1

D:hình chiếu Oxy : x2+ y2≤ 3,y ≥ 0,x ≥ 0

Thể tích:

V (Ω) =

Z Z

D

p

4 − x 2 − y 2 − 1dxdy

V (Ω) =

Z π2

0

dφ

Z

√ 3 0

(p4 − r 2 − 1)rdr

V (Ω) = 13π

30

Diện tích:

Diện tích mặt cong

zx′= √ −x

4−x 2 −y 2 zy′=√ −y

4−x 2 −y 2

D :







x ≥ 0

y ≥ 0

x2+ y2≤ 3

S c =

Z Z

D

r

1 + x

2

4 − x 2 − y 2 + y

2

4 − x 2 − y 2 dxdy

Sc =

Z Z

D

2

p

4 − z 2 − y 2 dzdy

Sc =

Z π2

0

dφ

Z

√ 3 0

2r

√

4 − r 2 dr = π

Diện tích 2 mặt bên

Sb1 = Sb2 =R02√

4 − x 2 dx = 2π3 −

√ 3 2

S12 = S1+ S2 = 4π3 −√3

Diện tích đáy Sd = π4( √

3)2= 3π4

Diện tích các mặt tạo thành

S = S12+ Sc+ Sd = 37π12 −√3

Kết luận

1 Trần Xuân Hải 2113301 làm mô hình

2 Phùng Thái Khang 2111462 Trình bày latex và nội dung văn bản

3 Hà Anh Khoa 2113747 làm mô hình

4 Nguyễn Hoàng Mỹ 2114105 làm mô hình

5 Nguyễn Bảo Việt 2115273 làm mô hình

Các thành viên nhóm đã hoàn thành tốt nhiệm vụ được giao, hoàn thành việc dựng mô hình và tính toán thể tích, diện tích các mặt tạo thành

Qua bài báo cáo nhóm đã biết được thao tác cơ bản trên geogebra và matlab, nâng cao kinh nghiệm kỹ năng học tập, nâng cao sự hứng thú dành cho môn học

Tham Khảo

[1] Video Vẽ 3D trong Geogebra - Giải tích

2-https://youtu.be/cERVa23itQc

[2] Video Vẽ 3D trong Geogebra - Giải tích 2

(tt)-https://www.youtube.com/watch?v=9QOYmQqkAXk

[3] Video Latex Tutorial | How to Write Equations in LaTeX | Math Equations

in LaTeX

https://youtu.be /HL9J_I9-wwg

[4] Slide bài giảng Tích phân kép, Tích Phân bội 3, Tích phân đường loại 1 -Trần Ngọc Diễm