BTL GIẢI TÍCH 2: DỰNG MÔ HÌNH VẬT THỂ BẰNG MIỀN GIỚI HẠN BỞI PARABOLOID, MẶT NÓN VÀ TRỤ TRÒN

DỰNG MÔ HÌNH VẬT THỂ BẰNG MIỀN GIỚI HẠN BỞI PARABOLOID, MẶT NÓN VÀ TRỤ TRÒN Giải tích là một bộ môn khoa học thú vị, có thể nói là một thành tựu vô cùng vĩ đại của văn minh loài người. Nhắc đến Toán học thì không thể không nhắc đến Giải tích, là một môn học được phân chia thành nhiều chuyên đề riêng biệt, được đưa vào chương trình giáo dục hiện hành và phát triển song song với các đầu ngành của bộ môn Đại số tuyến tính. Tuy nhiên, khác với Đại số tuyến tính, Giải tích không tập trung thiết lập và thống kê các ma trận hay giải các dạng toán ứng dụng liên quan đến việc biến hệ phương trình phức tạp thành các công thức ma trận đơn giản hơn, mà Giải tích áp dụng những công thức ví dụ như: đạo hàm, tích phân, hàm nhiều biến... rồi áp dụng những công thức đó vào thực tế, đặc biệt là trong máy móc và kỹ thuật, thậm chí là trong các bài toán kinh tế. Được biết đến như một bộ môn tiên quyết và là một phần không thể thiếu đối với sinh viên học các chuyên ngành Khoa học Tự nhiên và Kỹ thuật. Nếu Giải tích 1 tập trung nhiều đến phép biến đổi đạo hàm thì Giải tích 2 lại nghiêng về tính toán tích phân là chủ yếu, tuy vậy, cả hai phần giải tích đều là những công cụ ứng dụng được trong nhiều lĩnh vực khác nhau như hóa học, vật lý, sinh học,... Giải tích xây dựng nền móng cơ bản trong Toán học, từ đó phát triển thành nhiều luồng kiến thức mới, trải qua nhiều thế kỉ, hàng loạt các công thức vĩ đại đã được xây dựng nên và tổng hợp gói gọn trong các môn đại cương, nhờ có những môn học cô đọng như này mà góp phần có được công nghệ và kỹ thuật như hiện nay, đặc biệt là trong ngành Kỹ thuật số và Xây dựng.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG

- -

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI 10: DỰNG MÔ HÌNH VẬT THỂ BẰNG MIỀN

GIỚI HẠN BỞI PARABOLOID, MẶT NÓN VÀ TRỤ TRÒN

10

10

i

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

1 Trần Hồng Lam 2110309 lam.tran01@hcmut.edu.vn

2 Nguyễn Thị Mỹ Kim 2113857 kim.nguyenkim2113857@hcmut.edu.vn

3 Lý Quốc Kiệt 2113842 kiet.ly141003@hcmut.edu.vn

4 Nguyễn Thúc Lễ 2112713 le.nguyen10012003@hcmut.edu.vn

5 Nguyễn Chí Linh 2111645 linh.nguyenrabbitcute@hcmut.edu.vn

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích là một bộ môn khoa học thú vị, có thể nói là một thành tựu vô cùng

vĩ đại của văn minh loài người Nhắc đến Toán học thì không thể không nhắc đến Giải tích, là một môn học được phân chia thành nhiều chuyên đề riêng biệt, được đưa vào chương trình giáo dục hiện hành và phát triển song song với các đầu ngành của

bộ môn Đại số tuyến tính

Tuy nhiên, khác với Đại số tuyến tính, Giải tích không tập trung thiết lập và thống kê các ma trận hay giải các dạng toán ứng dụng liên quan đến việc biến hệ phương trình phức tạp thành các công thức ma trận đơn giản hơn, mà Giải tích áp dụng những công thức ví dụ như: đạo hàm, tích phân, hàm nhiều biến rồi áp dụng những công thức đó vào thực tế, đặc biệt là trong máy móc và kỹ thuật, thậm chí là trong các bài toán kinh tế Được biết đến như một bộ môn tiên quyết và là một phần không thể thiếu đối với sinh viên học các chuyên ngành Khoa học Tự nhiên và Kỹ thuật

Nếu Giải tích 1 tập trung nhiều đến phép biến đổi đạo hàm thì Giải tích 2 lại nghiêng về tính toán tích phân là chủ yếu, tuy vậy, cả hai phần giải tích đều là những công cụ ứng dụng được trong nhiều lĩnh vực khác nhau như hóa học, vật lý, sinh học,

Giải tích xây dựng nền móng cơ bản trong Toán học, từ đó phát triển thành nhiều luồng kiến thức mới, trải qua nhiều thế kỉ, hàng loạt các công thức vĩ đại đã được xây dựng nên và tổng hợp gói gọn trong các môn đại cương, nhờ có những môn học cô đọng như này mà góp phần có được công nghệ và kỹ thuật như hiện nay, đặc biệt là trong ngành Kỹ thuật số và Xây dựng

iii

MỤC LỤC

DANH SÁCH THÀNH VIÊN I LỜI NÓI ĐẦU II MỤC LỤC III

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1

1.1 TÍCH PHÂN KÉP 1

1.2 TÍCH PHÂN BỘI BA 3

1.3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 5

1.4 TÍCH PHÂN MẶT 5

CHƯƠNG 2 CÁC MÔ HÌNH 7

2.1 MÔ HÌNH CÂY BÚT CHÌ 7

2.1.1 Tính thể tích V của mô hình 7

2.1.2 Tính diện tích các bề mặt của mô hình 8

2.1.3 Mô hình trong thực tế 9

2.2 MÔ HÌNH HỘP BÁNH 9

2.2.1 Tính thể tích V của mô hình 10

2.2.2 Tính diện tích các bề mặt của mô hình 10

2.2.3 Mô hình trong thực tế: 11

2.3 MÔ HÌNH TONDER 11

2.3.1 Tính thể tích V của mô hình 12

2.3.2 Tính diện tích các bề mặt của mô hình 12

2.3.3 Mô hình trong thực tế 14

2.4 MÔ HÌNH ĐỒ GỌT BÚT CHÌ 14

2.4.1 Tính thể tích V của mô hình 15

2.4.2 Tính diện tích các bề mặt của mô hình 16

2.4.3 Mô hình trong thực tế 17

CHƯƠNG 3 BÀI TẬP 18

3.1 YÊU CẦU ĐỀ BÀI 18

3.2 CODE MATLAB 18

3.3 ĐOẠN CODE VÀ KẾT QUẢ THỂ TÍCH THU ĐƯỢC 18

3.4 MÔ HÌNH VẬT THỂ 19

CHƯƠNG 4 NHẬN XÉT 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO 21

v

BẢNG PHÂN CHIA CÔNG VIỆC

Nguyễn Chí Linh 2111645 Mô hình gọt bút chì, tính thể tích,

diện tích mặt mô hình; bài tập

Đạt

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Tích phân kép

Bài toán: Cho z = f(x, y) > 0 là hàm hai biến xác định trên miền đóng D =

(x, y, z) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d Tính thể tích khối vật thể giới hạn bởi: Ω = (x, y, z) ∈ D : 0 ≤ z ≤ f(x, y), (x, y) ∈ D

Giải

Chia miền D bằng cách chia đoạn [a; b] thành các đoạn nhỏ ∆xi và đoạn [c, d]

thành các đoạn nhỏ ∆yi Chúng ta thu được hình chữ nhật nhỏ với diện tích ∆D = ∆x.∆y

Ta có thể xấp xỉ được thể tích V cần tìm bằng cách tính tổng các thể tích hình hộp chữ nhật nhỏ với đáy là Dij có diện tích ∆D ij = ∆x ij.∆yij và chiều cao là f (x ij∗,

yij∗) Khi cộng tất cả những thể tích của những hình hộp chữ nhật nhỏ, ta sẽ xấp

xỉ được thể tích V cần tìm:

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

Khi m, n → ∞, V dần đến một đại lượng tích phân gọi là tích phân kép:

Định lý Fubini: Cho f(x, y) ≥ 0∀(x, y) ∈ D = (x, y, z) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c

≤ y ≤ d

Tích phân kép trong hệ tọa độ cực:

Hệ tọa độ cực (r, φ) xác định một điểm có tọa độ (x, y) như sau:

r2 = x2 + y2

x = r cos φ

y = r sin φ

Chuyển từ tọa độ Decartes sang tọa độ cực Nếu hàm z = f(x, y) liên

tục và xác định trên miền D có 0 ≤ a ≤ r ≤ b, α ≤ φ ≤ β, khi đó:

• Tính diện tích miền D:

• Tính khối lượng mảnh phẳng:

với ρ(x, y)là hàm mật độ khối lượng

• Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi 2 mặt z = f(x, y) và z = 0 bao quanh

là các mặt trụ song song với trục Oz:

1.2 Tích phân bội ba

Cho hàm 3 biến f(x, y, z) xác định trên miền đóng và bị chặn V trong không gian Oxyz Chia V thành n phần không giẫm lên nhau V1, V2, , Vn có thể tích

tương ứng là ∆V1, ∆V2, , ∆Vn

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

Ta có thể chia V bởi các mặt phẳng song song với các mặt tọa độ Khi ấy mỗi miền nhỏ là hình hộp chữ nhật nên ta có ∆V = ∆x∆y∆z = dxdydz

Khi đó ta xấp xỉ thể tích V bằng tổng thể tích của các miền nhỏ và đại lượng này khi có số khoảng chia càng lớn thì tiến dần đến đại lượng tích phân gọi là tích phân bội ba Định nghĩa:

Định lý Fubini cho tích phân bội ba: hàm f(x, y, z) xác định và liên tục

trên miền B = [a, b]x[c, d]x[r, s], khi đó:

Ứng dụng của tích phân bội ba:

• Tính thể tích khối Ω:

• Tính khối lượng vật thể:

với ρ(x, y, z) là hàm mật độ khối lượng

1.3 Tích phân đường

Bài toán dẫn đến tích phân đường loại 1: Cho một cung C: y = y(x), a ≤ x

≤ b có khối lượng riêng theo độ dài ρ(x, y) Tìm khối lượng của cung C

Giải

• Chia C ra làm rất nhiều đoạn nhỏ bởi các điểm chia P0, P1, ., Pn Khi ta chia đủ nhỏ thì mỗi cung xem như một đoạn thẳng và khối lượng trên mỗi đoạn dây là không đổi

• Khối lượng của mỗi cung nhỏ là ρ(xi, yi).∆li với ∆li là độ dài cung [Pi−1, Pi]

và

• Từ đó, tổng khối lượng cung C được xấp xỉ bởi công thức:

• Khi n → ∞, ∆li → 0, Sn dần đến một đại lượng tích phân:

Ý nghĩa hình học: Tích phân đường loại một ∫c f(x, y)dl,(f(x, y) ≥ 0) là phần

diện tích giới hạn bởi đường cong C trong hệ trục tọa độ Oxy, các đường sinh song song với trục Oz và hình chiếu của đường cong C lên mặt cong z = f(x, y)

1.4 Tích phân mặt

Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại 1: Cho mặt cong S : z = z(x; y) có mật độ khối lượng là ρ(x, y, z) Tính khối lượng mặt cong này

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

Giải

• Chia mặt S thành nhiều mảnh nhỏ Sijvới diện tích là ∆Sij và khối lượng riêng tương ứng là ρij = ρ(xij; yij; zij)

• Khối lượng mặt S được xấp xỉ bởi:

• Khi n, m → ∞, S dần đến một đại lượng tích phân:

• Giả sử một mảnh nhỏ dS có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là một hình chữ

nhật có diện tích dx.dy và tạo với mặt phẳng Oxy một góc φ Ta có:

Ta chuyển tích phân mặt về tích phân kép:

Tính chất:

• Diện tích mặt S được tính bởi công thức:

• Khối lượng mặt cong:

)( u

hình tr

+  − ++ + 

Mô hình vật thể được vẽ trên Geogebra

2.1.1 Tính thể tích V của mô hình

• Ta có: Tọa độ cực của miền (là đường tròn bán kính 0.5):

cossin

2 0

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

2.1.2 Tính diện tích các bề mặt của mô hình

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

Mô hình vật thể được vẽ trên Geogebra

2𝜋

0

= ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟(cos(𝑥)2− sin(𝑥)2+ 𝑟 + 4)𝑑𝑟

1 0

2𝜋 0

= ∫ cos(𝑥)2− sin(𝑥)2𝑑𝜑 ∫ 𝑟𝑑𝑟

1 0

+ ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟(𝑟 + 4)𝑑𝑟

1 0

2𝜋 0

2𝜋 0

=115𝜋24

2.2.2 Tính diện tích các bề mặt của mô hình

2𝜋 0

𝑆 = ∫ ∫ √1 + 4𝑟2𝑟𝑑𝑟

1 0

2𝜋 0

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

Mô hình vật thể được vẽ trên Geogebra

𝑉 = ∬ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝑡𝐷 ∫6−[𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡)]2𝑑𝑧

2−𝑟 = ∫ 𝑑𝑡 ∫ 𝑟 [4 − (𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡))02𝜋 02 2+ 𝑟]𝑑𝑟

∫ 𝑟√1 + 4(𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡))2

2 0

𝑑𝑟

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

= ∫ 2

3∙

18(cos(𝑡))2𝑑𝑡 ∙ [1 + 4(𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡))2]

3 2

|𝑟=0

𝑟=2 2𝜋

0

= ∫ 2

3∙

18(cos(𝑡))2∙ [(1 + 16(cos(𝑡))2)32− 1]

Mô hình vật thể được vẽ trên Geogebra

𝑉1 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟𝑑𝑟 ∫ 𝑑𝑧

3𝑟+5 0

0,9655 0

2𝜋 0

= ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟(3𝑟 + 5)𝑑𝑟

0,9655 0

𝑉2 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟𝑑𝑟 ∫ 𝑑𝑧

8−𝑟920

3 0,9655

2𝜋 0

= ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟(8 −𝑟

2

9)𝑑𝑟

3 0,9655

2𝜋

0

= 60,0908𝜋

• 𝑉 = 𝑉1+ 𝑉2 = 6,4610 𝜋 + 60,0908 𝜋 = 66,5518 𝜋

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

2.4.2 Tính diện tích các bề mặt của mô hình

2𝜋 0

7 0

= 63𝜋

2.4.3 Mô hình trong thực tế

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

CHƯƠNG 3 BÀI TẬP

3.1 Yêu cầu đề bài

Tự vẽ lại và tính thể tích hình bên dưới bằng phần mềm bất kỳ đã biết

3.3 Đoạn code và kết quả thể tích thu được

Matlab xuất ra kết quả thể tích

3.4 Mô hình vật thể

Mô hình vật thể được vẽ trên Matlab

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

• Hiểu rõ hơn về tích phân bội, tích phân kép và các hệ tọa độ

• Biết cách lập mô hình bằng Geogebra, xác định được miền giới hạn của vật thể

• Kết hợp các phương trình mặt được học để tạo nên mô hình vật thể trong thực tế

• Biết cách tổ chức công việc nhóm, kết hợp giúp đỡ lẫn nhau để hoàn thành

đề tài được giao

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Howard Anton, CALCULUS EARLY TRANSCENDENTALS, 10TH, 2012 [2] (STEWART, MULTIVARIABLE CALCULUS.SEVENTH EDITION, 2010 [3] Tan, MULTIVARIABLE CALCULUS -BROOKS COLE , 2009)

[4] TS.LÊ XUÂN ĐẠI,SÁCH GIẢI TÍCH 2,2018

[5] Multiple Integrals Internet: https://g2.by/courseslumenlearning

[6] Multiple Integration Internet: https://tiny.one/Multiple-Integration