BTL GIẢI TÍCH 2: DỰNG MÔ HÌNH VẬT THỂ BẰNG MIỀN GIỚI HẠN BỞI PARABOLOID, MẶT NÓN VÀ TRỤ TRÒN

DỰNG MÔ HÌNH VẬT THỂ BẰNG MIỀN GIỚI HẠN BỞI PARABOLOID, MẶT NÓN VÀ TRỤ TRÒN Giải tích là một bộ môn khoa học thú vị, có thể nói là một thành tựu vô cùng vĩ đại của văn minh loài người. Nhắc đến Toán học thì không thể không nhắc đến Giải tích, là một môn học được phân chia thành nhiều chuyên đề riêng biệt, được đưa vào chương trình giáo dục hiện hành và phát triển song song với các đầu ngành của bộ môn Đại số tuyến tính. Tuy nhiên, khác với Đại số tuyến tính, Giải tích không tập trung thiết lập và thống kê các ma trận hay giải các dạng toán ứng dụng liên quan đến việc biến hệ phương trình phức tạp thành các công thức ma trận đơn giản hơn, mà Giải tích áp dụng những công thức ví dụ như: đạo hàm, tích phân, hàm nhiều biến... rồi áp dụng những công thức đó vào thực tế, đặc biệt là trong máy móc và kỹ thuật, thậm chí là trong các bài toán kinh tế. Được biết đến như một bộ môn tiên quyết và là một phần không thể thiếu đối với sinh viên học các chuyên ngành Khoa học Tự nhiên và Kỹ thuật. Nếu Giải tích 1 tập trung nhiều đến phép biến đổi đạo hàm thì Giải tích 2 lại nghiêng về tính toán tích phân là chủ yếu, tuy vậy, cả hai phần giải tích đều là những công cụ ứng dụng được trong nhiều lĩnh vực khác nhau như hóa học, vật lý, sinh học,... Giải tích xây dựng nền móng cơ bản trong Toán học, từ đó phát triển thành nhiều luồng kiến thức mới, trải qua nhiều thế kỉ, hàng loạt các công thức vĩ đại đã được xây dựng nên và tổng hợp gói gọn trong các môn đại cương, nhờ có những môn học cô đọng như này mà góp phần có được công nghệ và kỹ thuật như hiện nay, đặc biệt là trong ngành Kỹ thuật số và Xây dựng.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI 10: DỰNG MƠ HÌNH VẬT THỂ BẰNG MIỀN GIỚI HẠN BỞI PARABOLOID, MẶT NĨN VÀ TRỤ TRỊN GVHD: Lớp: Nhóm: Cơ Huỳnh Thị Vu L16 10 TP HỒ CHÍ MINH, NĂM 2022 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BỘ MƠN TOÁN ỨNG DỤNG - - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI 10: DỰNG MƠ HÌNH VẬT THỂ BẰNG MIỀN GIỚI HẠN BỞI PARABOLOID, MẶT NĨN VÀ TRỤ TRỊN GVHD: Lớp: Nhóm: Cơ Huỳnh Thị Vu L16 10 TP HỒ CHÍ MINH, NĂM 2022 DANH SÁCH THÀNH VIÊN STT Họ tên MSSV Email Trần Hồng Lam 2110309 lam.tran01@hcmut.edu.vn Nguyễn Thị Mỹ Kim 2113857 kim.nguyenkim2113857@hcmut.edu.vn Lý Quốc Kiệt 2113842 kiet.ly141003@hcmut.edu.vn Nguyễn Thúc Lễ 2112713 le.nguyen10012003@hcmut.edu.vn Nguyễn Chí Linh 2111645 linh.nguyenrabbitcute@hcmut.edu.vn i LỜI NĨI ĐẦU Giải tích mơn khoa học thú vị, nói thành tựu vơ vĩ đại văn minh lồi người Nhắc đến Tốn học khơng thể khơng nhắc đến Giải tích, mơn học phân chia thành nhiều chuyên đề riêng biệt, đưa vào chương trình giáo dục hành phát triển song song với đầu ngành môn Đại số tuyến tính Tuy nhiên, khác với Đại số tuyến tính, Giải tích khơng tập trung thiết lập thống kê ma trận hay giải dạng toán ứng dụng liên quan đến việc biến hệ phương trình phức tạp thành công thức ma trận đơn giản hơn, mà Giải tích áp dụng cơng thức ví dụ như: đạo hàm, tích phân, hàm nhiều biến áp dụng cơng thức vào thực tế, đặc biệt máy móc kỹ thuật, chí toán kinh tế Được biết đến môn tiên phần thiếu sinh viên học chuyên ngành Khoa học Tự nhiên Kỹ thuật Nếu Giải tích tập trung nhiều đến phép biến đổi đạo hàm Giải tích lại nghiêng tính tốn tích phân chủ yếu, vậy, hai phần giải tích công cụ ứng dụng nhiều lĩnh vực khác hóa học, vật lý, sinh học, Giải tích xây dựng móng Tốn học, từ phát triển thành nhiều luồng kiến thức mới, trải qua nhiều kỉ, hàng loạt công thức vĩ đại xây dựng nên tổng hợp gói gọn mơn đại cương, nhờ có mơn học đọng mà góp phần có cơng nghệ kỹ thuật nay, đặc biệt ngành Kỹ thuật số Xây dựng ii MỤC LỤC DANH SÁCH THÀNH VIÊN I LỜI NÓI ĐẦU II MỤC LỤC III CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 TÍCH PHÂN KÉP .1 1.2 TÍCH PHÂN BỘI BA .3 1.3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1.4 TÍCH PHÂN MẶT CHƯƠNG CÁC MƠ HÌNH 2.1 MƠ HÌNH CÂY BÚT CHÌ .7 2.1.1 Tính thể tích V mơ hình .7 2.1.2 Tính diện tích bề mặt mơ hình 2.1.3 Mơ hình thực tế 2.2 MƠ HÌNH HỘP BÁNH 2.2.1 Tính thể tích V mơ hình .10 2.2.2 Tính diện tích bề mặt mơ hình 10 2.2.3 Mơ hình thực tế: 11 2.3 MƠ HÌNH TONDER 11 2.3.1 Tính thể tích V mơ hình .12 2.3.2 Tính diện tích bề mặt mơ hình 12 2.3.3 Mơ hình thực tế .14 2.4 MÔ HÌNH ĐỒ GỌT BÚT CHÌ 14 2.4.1 Tính thể tích V mơ hình .15 2.4.2 Tính diện tích bề mặt mơ hình 16 2.4.3 Mơ hình thực tế .17 CHƯƠNG BÀI TẬP 18 3.1 YÊU CẦU ĐỀ BÀI 18 3.2 CODE MATLAB 18 iii 3.3 ĐOẠN CODE VÀ KẾT QUẢ THỂ TÍCH THU ĐƯỢC .18 3.4 MƠ HÌNH VẬT THỂ .19 CHƯƠNG NHẬN XÉT 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 iv BẢNG PHÂN CHIA CÔNG VIỆC Họ tên Công việc giao MSSV Mức độ hoàn thành Trần Hồng Lam 2110309 Cơ sở lý thuyết; lời nói đầu; tập; tổng hợp chỉnh sửa file Đạt Nguyễn Thị Mỹ Kim 2113857 Mơ hình hộp bánh, tính thể tích, diện tích mặt mơ hình; tập Đạt Lý Quốc Kiệt 2113842 Mơ hình tonder, tính thể tích, diện tích mặt mơ hình; tập; nhận xét Đạt Nguyễn Thúc Lễ 2112713 Mơ hình bút chì, tính thể tích, diện tích mặt mơ hình; tập Đạt Nguyễn Chí Linh 2111645 Mơ hình gọt bút chì, tính thể tích, diện tích mặt mơ hình; tập Đạt v BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Tích phân kép Bài toán: Cho z = f(x, y) > hàm hai biến xác định miền đóng D = (x, y, z) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d Tính thể tích khối vật thể giới hạn bởi:Ω = (x, y, z) ∈ D : ≤ z ≤ f(x, y), (x, y) ∈ D Giải Chia miền D cách chia đoạn [a; b] thành đoạn nhỏ ∆xi đoạn [c, d] thành đoạn nhỏ ∆yi Chúng ta thu hình chữ nhật nhỏ với diện tích ∆D = ∆x.∆y Ta xấp xỉ thể tích V cần tìm cách tính tổng thể tích hình hộp chữ nhật nhỏ với đáy Dij có diện tích ∆Dij = ∆xij.∆yij chiều cao làf (xij ∗ , yij ∗ ) Khi cộng tất thể tích hình hộp chữ nhật nhỏ, ta xấp xỉ thể tích V cần tìm: GVHD: CƠ HUỲNH THỊ VU TRANG NHÓM 10 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH Khi m, n → ∞, V dần đến đại lượng tích phân gọi tích phân kép: Định lý Fubini: Cho f(x, y) ≥ 0∀(x, y) ∈ D = (x, y, z) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d Tích phân kép hệ tọa độ cực: Hệ tọa độ cực (r, φ) xác định điểm có tọa độ (x, y) sau: GVHD: CÔ HUỲNH THỊ VU TRANG NHĨM 10 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH r = x2 + y2 x = r cos φ y = r sin φ Chuyển từ tọa độ Decartes sang tọa độ cực Nếu hàm z = f(x, y) liên tục xác định miền D có ≤ a ≤ r ≤ b, α ≤ φ ≤ β, đó: • Tính diện tích miền D: • Tính khối lượng mảnh phẳng: với ρ(x, y)là hàm mật độ khối lượng • Tính thể tích vật thể giới hạn mặt z = f(x, y) z = bao quanh mặt trụ song song với trục Oz: 1.2 Tích phân bội ba Cho hàm biến f(x, y, z) xác định miền đóng bị chặn V khơng gian Oxyz Chia V thành n phần không giẫm lên V1, V2, , Vn tích tương ứng ∆V1, ∆V2, , ∆Vn GVHD: CÔ HUỲNH THỊ VU TRANG NHĨM 10 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH CHƯƠNG CÁC MƠ HÌNH 2.1 Mơ hình bút chì Ta có mơ hình giới hạn bởi: x + y  − z + 10( paraboloid ) z2 (nón) x + y  0.25(hình tru ) x2 + y  Mơ hình vật thể vẽ Geogebra 2.1.1 Tính thể tích V mơ hình • Ta có: Tọa độ cực miền (là đường trịn bán kính 0.5): x = r cos  y = r sin     2  r  0.5 • Thể tích mơ hình là: V =  1dxdydz =  (  D 10 − x − y  x +9 y 1dz )dxdy =  (10 − x − y − x + y )dxdy D 2 0.5 =  d  (10 − r − 3r )rdr 0 = GVHD: CÔ HUỲNH THỊ VU 71  64 TRANG NHÓM 10 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2.1.2 Tính diện tích bề mặt mơ hình 2.1.2.1 Phần mặt paraboloid 2 • S: z = 10 − x − y bị chắn trụ: x + y = 0.25 • dS = + x + y dxdy • Tọa độ cực miền D: x = r cos  y = r sin     2  r  0.5 • Diện tích: S paraboloid =  1dS =  + x + y dxdy S 2 =  d  D 0.5 + 4r rdr = 0.95736 2.1.2.2 Phần mặt nón • S: z = x + y bị chắn trụ: x2 + y = 0.25 •  x dS = +   x2 + y  • Tọa độ cực miền D:   y  + 9   x2 + y     = 10dxdy   x = r cos  y = r sin     2  r  0.5 • Diện tích: GVHD: CƠ HUỲNH THỊ VU TRANG NHÓM 10 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH S nón =  1dS =  10dxdy S = D 2 0.5 0  d  10rdr = 2.48365 2.1.2.3 Phần bề mặt trụ • x2 + y = 0.25 với R=0.5 • Diện tích: 2.1.3 Mơ hình thực tế 2.2 Mơ hình hộp bánh Ta có mơ hình giới hạn bởi: 𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 = −√𝑥 + 𝑦 − GVHD: CÔ HUỲNH THỊ VU TRANG NHĨM 10 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH Mơ hình vật thể vẽ Geogebra 2.2.1 Tính thể tích V mơ hình 2𝜋 cos(𝑥)2 −sin(𝑥)2 𝑉 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟𝑑𝑟 0 ∫ 2𝜋 𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟(cos(𝑥)2 − sin(𝑥)2 + 𝑟 + 4)𝑑𝑟 −𝑟−4 0 2𝜋 2𝜋 = ∫ cos(𝑥)2 − sin(𝑥)2 𝑑𝜑 ∫ 𝑟𝑑𝑟 + ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟(𝑟 + 4)𝑑𝑟 = 0 0 115𝜋 24 2.2.2 Tính diện tích bề mặt mơ hình 2.2.2.1 Phần mặt nón • 𝑧 = −√𝑥 + 𝑦 − −𝑥 • 𝑧′𝑥 = 2 ; 𝑧′𝑦 = √𝑥 +𝑦 −𝑦 √𝑥 +𝑦 • 𝑑𝑆 = √1 + (𝑧 ′ 𝑥)2 + (𝑧 ′ 𝑦)2 = √2𝑑𝑥𝑑𝑦 • 𝐷 ∈ 𝑂𝑥𝑦 ∶ 𝑥 + 𝑦 ≤ • Diện tích: 2𝜋 𝑆 = ∬ 𝑑𝑆 = ∫ ∫ √2𝑟𝑑𝑟 = 16√2𝜋 0 2.2.2.2 Phần mặt parabolic hyperbolic • 𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2 • 𝑧 ′ 𝑥 = 2𝑥 ; 𝑧 ′ 𝑦 = −2𝑦 • 𝑑𝑆 = √1 + (𝑧 ′ 𝑥)2 + (𝑧 ′ 𝑦)2 = √1 + 4𝑥 + 4𝑦 • Diện tích: GVHD: CƠ HUỲNH THỊ VU TRANG 10 NHĨM 10 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2𝜋 𝑆 = ∫ ∫ √1 + 4𝑟 𝑟𝑑𝑟 = 2𝜋 0 (−1 + 5√5) 12 2.2.2.3 Phần mặt trụ lấy mặt • 𝑥 + 𝑦 = → 𝑦 = √1 − 𝑥 • 𝐼 = ∬𝑆 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 • 𝑛⃗ = ( −𝑥 √𝑥 +𝑦 ; −1; 0) • Diện tích: 𝑆 = −∬ −𝑥 𝑦 √1 − 𝑥 2𝜋 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫ 𝑟 (cos(𝑥))2 𝑑𝑟 = 0 𝜋 2.2.3 Mơ hình thực tế: 2.3 Mơ hình tonder Ta có mơ hình giới hạn bởi: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ − √𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ − 𝑥 GVHD: CƠ HUỲNH THỊ VU TRANG 11 NHĨM 10 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH Mơ hình vật thể vẽ Geogebra 2.3.1 Tính thể tích V mơ hình 0≤𝑟≤2 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡 ) Ta có: { → { ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛(𝑡 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝑡 6−[𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡)]2 𝑉 = ∬𝐷 𝑟𝑑𝑟𝑑𝑡 ∫2−𝑟 𝑑𝑧 2𝜋 2 2𝜋 2𝜋 = ∫0 𝑑𝑡 ∫0 𝑟 [4 − (𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡 )) + 𝑟]𝑑𝑟 = ∫0 𝑑𝑡 ∫0 𝑟 (4 + 𝑟)𝑑𝑟 − ∫0 [cos(𝑡 )]2 𝑑𝑡 ∫0 𝑟 𝑑𝑟 = 2𝜋 (2𝑟 + = 52 𝑟3 )| − ( 𝑡+sin(2𝑡) )| 2𝜋 𝑟4 ∙ ( )| 𝜋 2.3.2 Tính diện tích bề mặt mơ hình 2.3.2.1 Phần mặt nón 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡) • → 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛(𝑡) 0≤𝑟≤2 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝑡 • 𝑆𝑛ó𝑛 = ∫ 𝑑𝑆𝑛ó𝑛 = ∬𝐷: 𝑥2 +𝑦2≤4 √1 + (𝑧𝑥′ )2 + (𝑧𝑦′ ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑧𝑥′ = • Ta có: { ′ 𝑧𝑦 = GVHD: CƠ HUỲNH THỊ VU −𝑥 √𝑥 +𝑦 −𝑦 √𝑥 +𝑦 TRANG 12 NHÓM 10 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 → √1 + (𝑧𝑥′ )2 + (𝑧𝑦′ ) = √1 + ( −𝑥 √𝑥 + 𝑦2 )2 + ( 2𝜋 −𝑦 √𝑥 + 𝑦 ) = √2 • Thể tích: 𝑆𝑛ó𝑛 = ∬𝐷 𝑟√2𝑑𝑟𝑑𝑡 = √2 ∫0 𝑑𝑡 ∫0 𝑟𝑑𝑟 = 4√2 𝜋 2.3.2.2 Phần mặt trụ [ 2] • Gọi S1 phần mặt trụ: {𝑦 = √4 − 𝑥 , 𝑥 ∈ −2; ≤ 𝑧 ≤ − 𝑥2 • 𝑆𝑡𝑟ụ = ∫ 𝑑𝑆𝑡𝑟ụ = ∫𝑦≥0 𝑑𝑆1 = ∬𝐷 √1 + (𝑦𝑥′ )2 + (𝑦𝑧′ )2 𝑑𝑥𝑑𝑧 • Ta có: { 𝑦𝑥′ 𝑥𝑧 𝑥 = − √4−𝑥2 𝑦𝑧′ = → √1 + (𝑦𝑥′ )2 + (𝑦𝑧′ )2 = √1 + 𝑥2 = − 𝑥 √4 − 𝑥 • Diện tích: 𝑆𝑡𝑟ụ = ∫ = 6−𝑥 2 √4 − 𝑥2 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑧 = ∫ −2 12 ∫−2 √4−𝑥2 𝑑𝑥 −2 2 √4 − 𝑥2 ∙ (6 − 𝑥 )𝑑𝑥 −2𝑥 + ∫−2 √4−𝑥2 𝑑𝑥 𝑥 2 −2 = [12 sin−1 ( )]| 𝑥 2 −2 + [ 𝑥√4 − 𝑥 − sin−1 ( )| = 24𝜋 − 8𝜋 = 16𝜋 2.3.2.3 Phần mặt para • 𝑆𝑝𝑎𝑟𝑎 = ∫ 𝑑𝑆𝑝𝑎𝑟𝑎 = ∬𝐷: 𝑥2 +𝑦2≤4 √1 + (𝑧𝑥′ )2 + (𝑧𝑦′ ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 • Ta có: 𝑧𝑥′ = −2𝑥 { ′ 𝑧𝑦 = √1 + (𝑧𝑥′ )2 + (𝑧𝑦′ ) = √1 + 4𝑥 → 0≤𝑟≤2 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡) ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 { →{ 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛(𝑡) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝑡 • Diện tích: 𝑆𝑝𝑎𝑟𝑎 = ∬ 𝑟√1 + 4(𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡 )) 𝑑𝑟𝑑𝑡 𝐷 2𝜋 2 = ∫ 𝑑𝑡 ∫ 𝑟√1 + 4(𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡 )) 𝑑𝑟 GVHD: CƠ HUỲNH THỊ VU TRANG 13 NHĨM 10