Báo cáo BTL Đại số tuyến tính

NÊU CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHÂN TÍCH SVD. ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH SVD ĐỂ NÉN DỮ LIỆU Mục đích của việc nén ảnh số là mã hoá các dữ liệu ảnh về một dạng thu gọn, tối thiểu hoá cả số bit dùng để biểu diễn ảnh lẫn các sai khác do quá trình nén gây ra. Tầm quan trọng của vấn đề nén ảnh có thể thấy rõ qua các số liệu cụ thể: với một bức ảnh trắng đen kích thước 512x512 pixels, mỗi pixel được biểu diễn bởi 8 bits (biểu diễn một trong 256 giá trị mức xám), cần khoảng 256 Kbytes dữ liệu. Với ảnh màu cần gấp ba lần con số này. Với các dữ liệu video, cần 25 frames trên một giây, như vậy một đoạn video chỉ 30s phải cần đến 540MB dữ liệu, một con số quá lớn. Do đó vấn đề nén ảnh là hết sức cần thiết. Nói chung, các phương pháp nén ảnh chủ yếu được phân thành 2 nhóm: nhóm không tổn hao và nhóm có tổn hao. Các phương pháp nén ảnh không tổn hao cho phép biểu diễn ảnh với chất lượng hoàn toàn ngang bằng với ảnh gốc. Các phương pháp này dựa trên các giải thuật nén được áp dụng cho tất cả các đối tượng dữ liệu nói chung chứ có sự đánh đổi giữa dung lượng ảnh với chất lượng ảnh. không chỉ riêng dữ liệu ảnh, ví dụ mã Huffman, mã số học, mã Golomb, ... Tuy nhiên, các phương pháp này không lợi dụng được những đặc tính riêng của dữ liệu ảnh và tỷ lệ nén rất thấp. Do đó, trong thực tế, các phương pháp nén có tổn hao là các phương pháp được sử dụng chủ yếu. Với các phương pháp này, luôn có sự đánh đổi giữa dung lượng ảnh với chất lượng ảnh.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA CƠ KHÍ - - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI 7: NÊU CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHÂN TÍCH SVD ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH SVD ĐỂ NÉN DỮ LIỆU GVHD: Lớp: Nhóm: SVTH: ThS Nguyễn Xuân Mỹ L11 07 Nguyễn Minh Khánh Nguyễn Đăng Khoa Dương Trọng Khơi Nguyễn Hồng Kim Trần Hồng Lam Nguyễn Hữu Lâm Lê Xuân Lĩnh TP HỒ CHÍ MINH, NĂM 2022 2111493 2113764 2113786 2111617 2110309 2113881 2113920 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA CƠ KHÍ - - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI 7: NÊU CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHÂN TÍCH SVD ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH SVD ĐỂ NÉN DỮ LIỆU GVHD: Lớp: Nhóm: SVTH: ThS Nguyễn Xuân Mỹ L11 07 Nguyễn Minh Khánh Nguyễn Đăng Khoa Dương Trọng Khơi Nguyễn Hồng Kim Trần Hồng Lam Nguyễn Hữu Lâm Lê Xuân Lĩnh TP HỒ CHÍ MINH, NĂM 2022 2111493 2113764 2113786 2111617 2110309 2113881 2113920 LỜI CẢM ƠN Sau giai đoạn dịch Covid – 19 diễn biến khó khăn nhóm vui Cơ hướng dẫn hồn thành Báo cáo cuối kỳ Đầu tiên nhóm xin cám ơn Cô – ThS Nguyễn Xuân Mỹ suốt thời gian qua tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức môn học đến với chúng em Và nhờ mà nhóm hồn thành đượcBáo cáo Bài tập lớn lần Đây không tảng vững cho trình học tập, nghiên cứu mà cịn hành trang q báu để nhóm ứng dụngvào thực tiễn làm việc Trong trình làm bài, dù cố gắng nỗ lực tìm hiểu nhiều tránh khỏi sai sót, thiếu hụt mặt kỹ năng, kiến thức Do nhóm mong đón nhận ý kiến, góp ý từ Cơ để làm hồn thiện nội dung lẫn hình thức Lời cuối cùng, nhóm xin kính chúc Cơ ln có nhiều sức khỏe, hạnh phúc bên gia đình, thành cơng sống lẫn nghiệp Nhóm xin trân trọng cám ơn! LỜI NĨI ĐẦU Mục đích việc nén ảnh số mã hoá liệu ảnh dạng thu gọn, tối thiểu hoá số bit dùng để biểu diễn ảnh lẫn sai khác trình nén gây Tầm quan trọng vấn đề nén ảnh thấy rõ qua số liệu cụ thể: với ảnh trắng đen kích thước 512x512 pixels, pixel biểu diễn bits (biểu diễn 256 giá trị mức xám), cần khoảng 256 Kbytes liệu Với ảnh màu cần gấp ba lần số Với liệu video, cần 25 frames giây, đoạn video 30s phải cần đến 540MB liệu, số lớn Do vấn đề nén ảnh cần thiết Nói chung, phương pháp nén ảnh chủ yếu phân thành nhóm: nhóm khơng tổn hao nhóm có tổn hao Các phương pháp nén ảnh không tổn hao cho phép biểu diễn ảnh với chất lượng hoàn toàn ngang với ảnh gốc Các phương pháp dựa giải thuật nén áp dụng cho tất đối tượng liệu nói chung có đánh đổi dung lượng ảnh với chất lượng ảnh khơng riêng liệu ảnh, ví dụ mã Huffman, mã số học, mã Golomb, Tuy nhiên, phương pháp khơng lợi dụng đặc tính riêng liệu ảnh tỷ lệ nén thấp Do đó, thực tế, phương pháp nén có tổn hao phương pháp sử dụng chủ yếu Với phương pháp này, ln có đánh đổi dung lượng ảnh với chất lượng ảnh BẢNG PHÂN CHIA CƠNG VIỆC I GIỚI THIỆU CHUNG • Nguyễn Minh Khánh II CƠ SỞ LÝ THUYẾT • Nguyễn Đăng Khoa • Nguyễn Hồng Kim III ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH SVD ĐỂ NÉN DỮ LIỆU IV VÍ DỤ *Tổng hợp: Trần Hồng Lam, Dương Trọng Khơi • • • • Lê Xuân Lĩnh Trần Hồng Lam Nguyễn Hữu Lâm Dương Trọng Khơi DANH MỤC HÌNH ẢNH Hình 4.1 Ảnh gốc ảnh nén giải thuật SVD……………………………………8 Hình 4.2 Độ nét ảnh với giá trị k khác nhau…………………………… Hình 4.3 Ví dụ SVD cho ảnh……………………………………………………………… 10 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU CHUNG Phương pháp phân tích SVD phương pháp thuộc nhóm matrix factorization (ma trận phân loại) phát triển lần đầu nhà hình học vi phân Ban đầu mục đích phương pháp tìm phép xoay khơng gian cho tích vơ hướng vector không thay đổi Từ mối liên hệ khái niệm ma trận trực giao hình thành để tạo phép xoay đặc biệt Phương pháp SVD phát triển dựa tính chất ma trận trực giao ma trận đường chéo để tìm ma trận xấp xỉ với ma trận gốc Phương pháp SVD tìm lớp ma trận xấp xỉ tốt với ma trận cho trước dựa khoảng cách ma trận Người ta chứng minh ma trận xấp xỉ tốt biểu diễn dạng tích ma trận đặc biệt bao gồm ma trận trực giao ma trận đường chéo Quá trình nhân ma trận thực chất trình biến đổi điểm liệu ma trận gốc thông qua phép xoay trục (rotation) phép thay đổi độ lớn (scaling) từ tạo điểm liệu không gian Điều đặc biệt ma trận đường chéo phần tử giá trị riêng ma trận gốc Những điểm liệu không gian giữ 100% thơng tin ban đầu giữ phần lớn thông tin liệu ban đầu thông qua phép truncate SVD Bằng cách xếp trị riêng theo thứ tự giảm dần đường chéo thuật tốn SVD thu ma trận xấp xỉ tốt mà đảm bảo giảm hạng ma trận sau biến đổi kích thước ma trận nhân tử nằm giới hạn cho phép Do tiết kiệm thời gian chi phí tính tốn đồng thời tìm giá trị dự báo cho ma trận gốc với mức độ xác cao GVHD: THS NGUYỄN XUÂN MỸ TRANG NHÓM BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VECTOR RIÊNG CỦA MA TRẬN 2.1.1 Định nghĩa Cho A ma trận vuông cấp 𝑛, 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛) 𝑥 ∈ ℝn 𝑥 ∈ ℂn, 𝑥 ≠(0,0, 0) Nếu có số 𝜆 (thực phức) thỏa mãn: 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥, tức 𝐴[𝑥] = 𝜆[𝑥] với [𝑥] ma trận đặt dọc 𝑥, thì: o 𝜆 gọi giá trị riêng ma trận 𝐴 o x gọi ma trận riêng ma trận 𝐴, tương ứng với giá trị riêng 𝜆 2.1.2 Tính chất o Tính chất 1: Mỗi vector riêng có giá trị riêng o Tính chất 2: Nếu 𝑥 vector riêng ứng với giá trị riêng 𝜆 ma trận vng 𝐴 thì𝑘𝑥 vector riêng ứng với 𝜆: 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 ⟺ 𝐴(𝑘𝑥) = 𝜆(𝑘𝑥) o Tính chất 3: Nếu 𝜆 giá trị riêng ma trận vng 𝐴 𝜆n giá trị riêng ma trận 𝐴𝑛 o Tính chất 4: Giá trị riêng ma trận vuông 𝐴 nghiệm phương trình: 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = o Tính chất 5: Ma trận vng A có giá trị riêng 𝜆 họ vector riêng ứng với 𝜆 nghiệm của: (𝐴 − 𝜆𝐼)𝑥 = o Tính chất 6: Một ma trận đối xứng vector riêng vng góc với 2.2 CHÉO HĨA MA TRẬN 2.2.1 Định nghĩa Cho ma trận vuông 𝐴, tồn ma trận khả nghịch cho −1 𝑃 𝐴𝑃 ma trận đường chéo ta nói ma trận 𝐴 chéo hóa ma trận 𝑃 chéo hóa ma trận 𝐴 hay ma trận 𝐴 đưa dạng chéo hóa nhờ ma trận 𝑃 o Định lý 1: Điều kiện cần đủ để ma trận vuông 𝐴 cấp 𝑛 chéo hóa có 𝑛 vectơ riêng độc lập tuyến tính o Định lý 2: Nếu ma trận 𝐴 vuông cấp 𝑛 đưa dạng chéo hóa 𝐵 phần tử đường chéo 𝐵 giá trị riêng ma trận 𝐴 GVHD: THS NGUYỄN XUÂN MỸ TRANG NHÓM BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Chú ý: Nếu 𝐴 ma trận chéo hóa ta ln tìm ma trận 𝑃 ma trận chéo 𝐵 phương pháp : 𝐴 = 𝑃𝐵𝑃−1 Khi đó: 𝐴2 = 𝐴 𝐴 = (𝑃𝐵𝑃−1)(𝑃𝐵𝑃−1) = 𝑃𝐵(𝑃𝑃−1)𝐵𝑃−1 = 𝑃𝐵2𝑃−1 𝐴3 = 𝐴2 𝐴 = (𝑃𝐵2𝑃−1)(𝑃𝐵𝑃−1) = 𝑃𝐵2(𝑃𝑃−1)𝐵𝑃−1 = 𝑃𝐵3𝑃−1 … 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 −1 𝐴 = 𝐴 𝐴 = (𝑃𝐵 𝑃 )(𝑃𝐵𝑃−1) = 𝑃𝐵𝑛−1(𝑃𝑃−1)𝐵𝑃−1 = 𝑃𝐵𝑛𝑃−1 2.2.2 Chéo hóa đa thức ma trận Cho A ma trận vuông cấp 𝑛, hàm số 𝑓(𝐴) đa thức ma trận 𝐴 Giả sử ma trận 𝐴 có trị riêng 𝜆1, 𝜆2, … 𝜆𝑛, ma trận chéo hóa dạng chéo hóa 𝐴 là: Khi 𝑓(𝜆1), 𝑓(𝜆2), … 𝑓(𝜆𝑛), giá trị riêng đa thức ma trận 𝑓(𝐴) 𝑓(𝐴) chéo hóa sau: 2.3 SINFULAR VALUE DECOMPOSITION (SVD) 2.3.1 Giới thiệu Singular Value Decomposition phương pháp phân tích ma trận 𝐴 kích thước 𝑚 × 𝑛 thành dạng tích ma trận: 𝐴 = 𝑈𝑆𝑉𝑇 Trong đó: • 𝑈 ma trận kích thước 𝑚 × 𝑟 cho vector cột tạo thành hệ trực chuẩn • 𝑆 ma trận đường chéo kích thước 𝑟 × 𝑟 (𝑟 hạng 𝐴) • 𝑉 ma trận kích thước 𝑛 × 𝑟 cho vector cột tạo thành hệ trực chuẩn Đặt 𝑈 = (𝜐1, 𝜐2 , , 𝜐𝑟), 𝑉 = (𝜈1, 𝜈2, , 𝜈𝑟), 𝑆 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜎1, 𝜎2, , 𝜎𝑟) ta có dạng tương đương 𝐴 = 𝑈𝑆𝑉𝑇 sau: GVHD: THS NGUYỄN XUÂN MỸ TRANG NHÓM BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH • Các vector 𝜐1, 𝜐2 , , 𝜐𝑟 gọi left singular vector • Các vector ν1,ν2, ,νr gọi right singular vector • Các số σ1,σ2, ,σr gọi singular value 2.3.2 Tính chất Giả sử ta có phân tích SVD ma trận A sau: A=σ1υ1ν1T+σ2υ2ν2T+…+σrυrνrT, 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥… ≥ 𝜎𝑟.Với ≤ 𝑘 ≤ 𝑟, đặt A =σ1υ1ν1T+σ2υ2ν2T+…+σKυKνKTthì rõ ràng Ak có hạng k Có thể thấy Ak tích ba ma trận: k cột đầu U, ma trận vng k×k S k hàng đầu VT Ta có tính chất sau: o Tính chất 1: Ta có: 𝜈1 = 𝑎𝑟𝑔𝑚𝑎𝑥 ||𝐴𝑥|| (||𝑥|| = 1), 𝜈𝑖 = 𝑎𝑟𝑔𝑚𝑎𝑥||𝐴𝑥|| (||𝑥|| = 1, 𝑥 ꓕ 𝜈1,𝜈2, … ,𝜈𝑖−1) Giả sử 𝑥 = ∑𝑟𝑖=1 𝛼𝑖 𝑣𝑖 ‖𝐴𝑥‖ = ‖∑𝑟𝑖=1 𝛼𝑖 𝐴𝑣𝑖 ‖ = ‖∑𝑟𝑖=1 𝛼𝑖 𝜎𝑖 𝑣𝑖 ‖ = √∑𝑟𝑖=1 𝛼𝑖 𝜎𝑖 Khi để ||Ax|| lớn √∑𝑟𝑖=1 𝛼𝑖 𝜎𝑖 lớn nhất, mà ∑𝑟𝑖=1 𝛼𝑖 = 𝜎𝑗 ≤ 𝜎𝑖 nên ‖𝐴𝑥‖ ≤ 𝜎1 dấu xảy 𝑥 = 𝑣1 Tiếp theo 𝑥 = ∑𝑟𝑖=1 𝛼𝑖 𝑣𝑖 mà 𝑥ꓕ𝑣1 α1 =0, ‖𝐴𝑥‖ = √∑𝑟𝑖=2 𝛼𝑖 𝜎𝑖 ≤ 𝜎2 dấu xảy 𝑥 = 𝑣2 Cứ tiếp tục ta thu kết o Tính chất 2: Trong tất ma trận X có hạng bé k ||A - X||F đạt giá trị nhỏ X = Ak Ta thấy ||A – X|| F tổng bình phương độ dài vector hàng A - X Các vector hàng A - X đạt giá trị nhỏ độ dài vector hàngtương ứng X hình chiếu vector hàng tương ứng A không gian sinh cácvector hàng X Do ||A - X||F nhỏ vector hàng X hình chiếu vector hàng A Cuối cùng, nhận xét Ak hình chiếu vector hàng A lên không gian sinh vector hàng Ak, hiển nhiên sở ν1,ν2, ,νk GVHD: THS NGUYỄN XUÂN MỸ TRANG NHÓM BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2.3.3 Nhận xét • Phần định nghĩa giới thiệu SVD cách phân tích ma trận qua dạngSVD cách tính giá trị riêng vector riêng ATA AAT • Theo tính chất 2, ta phần nói Ak ma trận xấp xỉ nhấtvới A tất ma trận hạng bé k, với k cao xấp xỉ • Một cách hình học, Vk =span({ν1,ν2, ,νk}) khơng gian k chiều khít A Vềbản chất, có lẽ định hướng hình học nguyên nhân sinh SVD • Tuy nhiên từ hướng chưa có khó chút nên theo hướng ngược lại để viết ngắn *Các hàm hỗ trợ tính SVD: - Python, hàm tính SVD U, s, V = np.linalg.svd( ) - Octave, Matlab [U, s, V] = svd( ) GVHD: THS NGUYỄN XUÂN MỸ TRANG NHÓM BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH SVD ĐỂ NÉN DỮ LIỆU 3.1 NÉN ẢNH SỐ Bằng cách phân tích ma trận ảnh A dạng A=USVT , ta biểu diễn xấp xỉ ma trận A phần tử Nếu hạng ma trận A r [U,S,V] = svd(A) Chúng ta sử dụng hàm kết hợp với phương trình (4.2) để viết hàm nén ảnh dùng giải thuật SVD Ví dụ hàm svdcompr Cú pháp là: >> im = svdcompr (infile,singvals,outfile) Trong đó, infile outfile tên file ảnh gốc ảnh nén, singvals số trị riêng lớn giữ lại 3.2 GIẢM CHIỀU DỮ LIỆU (PCA) Giả sử ta có tập liệu nhiều ảnh có kích thước lớn Khả lưu trữ server có hạn Trong tình làm thể để giảm kích thước ảnh vừa với dung lượng server mà thông tin ảnh giữ lượng lớn Câu trả lời có sau khi ta thực hành nén ảnh thuật toán truncate SVD Để lưu ảnh với Truncated SVD, ta lưu ma trận Tổng số phần tử phải lưu r(m+n+1) với ý ta cần lưu giá trị đường chéo Sr Giả sử phần tử lưu số thực byte, số byte cần lưu trữ 4r(m+n+1) Nếu so giá trị với ảnh gốc có kích thước mn, giá trị số nguyên byte, tỉ lệ nén là: Khi r≪m,n ta tỉ lệ nhỏ Chú ý ma trận S, giá trị đường chéo không âm giảm dần Thông thường, lượng nhỏ mang giá trị lớn, giá trị lại thường nhỏ gần Khi ta có GVHD: THS NGUYỄN XUÂN MỸ TRANG NHÓM BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN thể xấp xỉ ma trận A tổng ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ma trận có rank 1: Dưới định lý thú vị Định lý nói sai số cách xấp xỉ bậc hai tổng bình phương singular values mà ta bỏ qua phần cuối S Ở sai số định nghĩa Frobineous norm hiệu hai ma trận: Định lý: Thay k=0 ta có: Từ đó: Như vậy, sai số xấp xỉ nhỏ phần singular values bị truncated có giá trị nhỏ so với phần singular values giữ lại Đây định lý quan trọng giúp xác định việc xấp xỉ ma trận dựa lượng thơng tin muốn giữ lại Ví dụ, ta muốn giữ lại 90% lương thơng tin A, trước hết ta tính , sau chọn k số nhỏ cho: GVHD: THS NGUYỄN XUÂN MỸ TRANG NHÓM BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG IV: CÁC VÍ DỤ CỦA ỨNG DỤNG SVD ĐỂ NÉN DỮ LIỆU BẰNG MATLAB 4.1 VÍ DỤ Thực giải thuật nén SVD dùng hàm svdcompr: Trong ví dụ ta giữ lại 30 số hạng phương trình (4.2) in = imread('a2.jpg') ; out=svdcompr('a2.jpg',30,'svd.jpg'); subplot(1,2,1) imshow(in),title('hinh goc'); subplot(1,2,2) imshow(out),title('k = 30'); Hình 4.4 Ảnh gốc ảnh nén giải thuật SVD 4.2 VÍ DỤ in = imread('a1.jpg') ; ranks=[5,10,20,60,100]; for i=1:length(ranks) out=svdcompr('a1.jpg',ranks(i),sprintf('svd%d.jpg',ranks(i))); pause(1); imshow(out),title(sprintf('k = %d',ranks(i))); pause(2); end; subplot(2,3,1) imshow('a1.jpg'),title('anh goc') subplot(2,3,2) imshow('svd5.jpg'),title('k = 5') subplot(2,3,3) GVHD: THS NGUYỄN XUÂN MỸ TRANG NHÓM BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH imshow('svd100.jpg'),title('k = 100') imshow('svd10.jpg'),title('k = 10') subplot(2,3,4) imshow('svd20.jpg'),title('k = 20') subplot(2,3,5) imshow('svd60.jpg'),title('k = 60') subplot(2,3,6) Dưới kết đoạn chương trình với giá trị k (số vịng lặp, số trị b riêng giữ lại) khác nhau: Hình 4.5 Độ nét ảnh với giá trị k khác Trong hình vẽ 4.2, hình b ứng với số trị riêng giữ lại 5, ảnh tiết kiệm 99,9% dung lượng so với ảnh gốc chất lượng kém, thấy dạng ảnh mà không thấy rõ chi tiết Nếu giữ lại 60 trị riêng lớn nhất, chất lượng ảnh đạt gần với ảnh gốc (hình e) ta tiết kiệm khoảng 84% dung lượng Khi tăng số lần lặp lên 100, chất lượng ảnh tốt (hình f) mà tiết kiệm 55% so với ảnh gốc GVHD: THS NGUYỄN XUÂN MỸ TRANG NHÓM BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 4.3 VÍ DỤ Hình 4.6 Ví dụ SVD cho ảnh a) Bức ảnh gốc ảnh xám, ma trận cỡ 960×1440960×1440 b) Giá trị singular values ma trận ảnh theo logscale Có thể thấy singular value giảm nhanh khoảng k=200k=200 c) Biểu diễn lượng thông tin giữ lại chọn kk khác Có thể nhận thấy từ khoảng k=200k=200, lượng thông tin giữ lại gần Vậy ta xấp xỉ ma trận ảnh ma trận có rank nhỏ Hình 4.3 mô tả chất lượng ảnh chọn giá trị kk khác Khi kk gần 100, lượng thông tin rơi vào khoảng nhỏ 2%, ảnh thu có chất lượng gần ảnh gốc GVHD: THS NGUYỄN XUÂN MỸ TRANG 10 NHÓM BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Singular Value Decomposition - Stanford University [2] Singular Value Decomposition - Princeton [3] CS168: The Modern Algorithmic Toolbox Lecture #9: The Singular Value Decomposition (SVD) and Low-Rank Matrix Approximations - Stanford [4] The Moore-Penrose Pseudoinverse (Math 33A - UCLA) GVHD: THS NGUYỄN XUÂN MỸ TRANG 11 NHÓM PHẦN BÁO CÁO CỦA NHÓM ĐẾN ĐÂY LÀ HẾT CHÚNG EM XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN CÔ!