DỰNG MÔ HÌNH VẬT THỂ BẰNG MIỀN GIỚI HẠN BỞI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG MÔN GIẢI TÍCH 2 Giải tích là một bộ môn khoa học thú vị, có thể nói là một thành tựu vô cùng vĩ đại của văn minh loài người. Nhắc đến Toán học thì không thể không nhắc đến Giải tích, là một môn học được phân chia thành nhiều chuyên đề riêng biệt, được đưa vào chương trình giáo dục hiện hành và phát triển song song với các đầu ngành của bộ môn Đại số tuyến tính. Tuy nhiên, khác với Đại số tuyến tính, Giải tích không tập trung thiết lập và thống kê các ma trận hay giải các dạng toán ứng dụng liên quan đến việc biến hệ phương trình phức tạp thành các công thức ma trận đơn giản hơn, mà Giải tích áp dụng những công thức ví dụ như: đạo hàm, tích phân, hàm nhiều biến... rồi áp dụng những công thức đó vào thực tế, đặc biệt là trong máy móc và kỹ thuật, thậm chí là trong các bài toán kinh tế. Được biết đến như một bộ môn tiên quyết và là một phần không thể thiếu đối với sinh viên học các chuyên ngành Khoa học Tự nhiên và Kỹ thuật. Nếu Giải tích 1 tập trung nhiều đến phép biến đổi đạo hàm thì Giải tích 2 lại nghiêng về tính toán tích phân là chủ yếu, tuy vậy, cả hai phần giải tích đều là những công cụ ứng dụng được trong nhiều lĩnh vực khác nhau như hóa học, vật lý, sinh học,... Giải tích xây dựng nền móng cơ bản trong Toán học, từ đó phát triển thành nhiều luồng kiến thức mới, trải qua nhiều thế kỉ, hàng loạt các công thức vĩ đại đã được xây dựng nên và tổng hợp gói gọn trong các môn đại cương, nhờ có những môn học cô đọng như này mà góp phần có được công nghệ và kỹ thuật như hiện nay, đặc biệt là trong ngành Kỹ thuật số và Xây dựng.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG - - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI 09: DỰNG MƠ HÌNH VẬT THỂ BẰNG MIỀN GIỚI HẠN BỞI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG GVHD: Lớp: Nhóm: ThS Lê Nguyễn Hạnh Vy DT07 19 TP HỒ CHÍ MINH, NĂM 2022 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG - - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI 09: DỰNG MƠ HÌNH VẬT THỂ BẰNG MIỀN GIỚI HẠN BỞI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG GVHD: Lớp: Nhóm: ThS Lê Nguyễn Hạnh Vy DT07 19 TP HỒ CHÍ MINH, NĂM 2022 DANH SÁCH THÀNH VIÊN STT Họ tên MSSV Email Trần Hồng Lam 2110309 lam.tran01@hcmut.edu.vn Nguyễn Văn Nguyên 2114233 nguyen.nguyenvan@hcmut.edu.vn Nguyễn Lê Thái Tuấn 2014950 tuan.nguyen19032002@hcmut.edu.vn Lê Quang Huy 2113486 huy.le290603@hcmut.edu.vn i LỜI CẢM ƠN Sau giai đoạn dịch Covid – 19 diễn biến khó khăn nhóm vui Cơ hướng dẫn hoàn thành Báo cáo cuối kỳ Đầu tiên, nhóm xin cám ơn Cơ – ThS Lê Nguyễn Hạnh Vy suốt thời gian qua tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức môn học đến với chúng em Và nhờ mà nhóm hoàn thành Báo cáo Bài tập lớn lần Đây không tảng vững cho trình học tập, nghiên cứu mà cịn hành trang quý báu để nhóm ứng dụngvào thực tiễn làm việc Trong trình làm bài, dù cố gắng nỗ lực tìm hiểu nhiều khơng thể tránh khỏi sai sót, thiếu hụt mặt kỹ năng, kiến thức Do nhóm mong đón nhận ý kiến, góp ý từ Cơ để làm hồn thiện nội dung lẫn hình thức Lời cuối cùng, nhóm xin kính chúc Cơ ln có nhiều sức khỏe, hạnh phúc bên gia đình, thành cơng sống lẫn nghiệp Nhóm xin trân trọng cám ơn! ii LỜI NĨI ĐẦU Giải tích mơn khoa học thú vị, nói thành tựu vơ vĩ đại văn minh lồi người Nhắc đến Tốn học khơng thể khơng nhắc đến Giải tích, mơn học phân chia thành nhiều chuyên đề riêng biệt, đưa vào chương trình giáo dục hành phát triển song song với đầu ngành mơn Đại số tuyến tính Tuy nhiên, khác với Đại số tuyến tính, Giải tích không tập trung thiết lập thống kê ma trận hay giải dạng toán ứng dụng liên quan đến việc biến hệ phương trình phức tạp thành cơng thức ma trận đơn giản hơn, mà Giải tích áp dụng cơng thức ví dụ như: đạo hàm, tích phân, hàm nhiều biến áp dụng cơng thức vào thực tế, đặc biệt máy móc kỹ thuật, chí toán kinh tế Được biết đến môn tiên phần thiếu sinh viên học chuyên ngành Khoa học Tự nhiên Kỹ thuật Nếu Giải tích tập trung nhiều đến phép biến đổi đạo hàm Giải tích lại nghiêng tính tốn tích phân chủ yếu, vậy, hai phần giải tích công cụ ứng dụng nhiều lĩnh vực khác hóa học, vật lý, sinh học, Giải tích xây dựng móng Tốn học, từ phát triển thành nhiều luồng kiến thức mới, trải qua nhiều kỉ, hàng loạt công thức vĩ đại xây dựng nên tổng hợp gói gọn mơn đại cương, nhờ có mơn học đọng mà góp phần có cơng nghệ kỹ thuật nay, đặc biệt ngành Kỹ thuật số Xây dựng iii MỤC LỤC DANH SÁCH THÀNH VIÊN I LỜI CẢM ƠN…………………………………………………………… II LỜI NÓI ĐẦU III MỤC LỤC IV DANH MỤC HÌNH ẢNH………………………………………… ……… VI CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 TÍCH PHÂN KÉP .1 1.2 TÍCH PHÂN BỘI BA .3 1.3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1.4 TÍCH PHÂN MẶT CHƯƠNG 2: DỰNG VÀ TÍNH TỐN VỚI KHỐI VẬT THỂ GIỚI HẠN BỞI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG 2.1 DỰNG KHỐI VẬT THỂ THEO MÔ TẢ BẰNG PHẦN MỀM GEOGEBRA 2.2 TÍNH TỐN THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH CỦA VẬT THỂ (PHƯƠNG TRÌNH ĐÃ CHO Ở MỤC 1) .9 2.2.1 Thể tích 2.2.2 Diện tích các mặt giới hạn .10 CHƯƠNG 3: MỢT SỐ MƠ HÌNH TRONG THỰC 12 TẾ VÀ TÍNH TỐN 12 3.1 CHIẾC NÓN BẢO HIỂM 12 3.1.1 Tính thể tích .12 3.1.2 Tính diện tích xung quanh .13 3.2 QUẢ BĨNG NỞI TRÊN MẶT NƯỚC .13 3.2.1 Tính thể tích .14 3.2.2 Tính diện tích mặt xung quanh 15 3.3 CÁI GÁO DỪA .15 3.3.1 Tính thể tích .15 3.3.2 Tính diện tích vỏ bát 16 iv 3.4 CÁI CHỤP ĐÈN HÌNH BÁN CẦU .16 3.4.1 Tính thể tích .17 3.4.2 Tính diện tích vỏ mây tre 17 3.5 MỢT SỐ CÁC VÍ DỤ THỰC TẾ KHÁC 17 CHƯƠNG 4: NHẬN XÉT……………………………………………………19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 v DANH MỤC HÌNH ẢNH CHƯƠNG Hình 1.1 Hình minh họa tốn tích phân kép Hình 1.2 Hình minh họa lời giải tích phân kép Hình 1.3 Hình minh họa cơng thức tích phân kép Hình 1.4 Hình minh họa tích phân kép tọa độ cực Hình 1.5 Hình minh họa tốn tích phân bội ba .3 Hình 1.6 Hình minh họa lời giải tích phân bội ba .4 Hình 1.7 Biểu đồ tốn tích phân đường Hình 1.8 Hình minh họa tốn tích phân mặt CHƯƠNG Hình 2.1 Hình vẽ lồng bàn có đáy hàm surface Geogebra Hình 2.2 Hình chiếu vật thể lên mặt phẳng Oxyz .8 Hình 2.3 Hình vẽ Geogebra thay cận góc θ Hình 2.4 Hình vẽ đáy vật thể Hình 2.5 Hình chiếu vật thể lên mặt phẳng Oxy 10 Hình 2.6 Hình vật thể thay cận θ 11 CHƯƠNG Hình 3.1 Ảnh minh họa nón bảo hiểm 12 Hình 3.2 Ảnh minh họa trái bóng nước .13 Hình 3.3 Hình chiếu bóng lên mặt phẳng Oxy 14 Hình 3.4 Hình minh họa gáo dừa 15 Hình 3.5 Hình minh họa chụp đèn 16 Hình 3.6 Vẩy ốc sà cừ, ốc mặt trăng 17 Hình 3.7 Cái ca gáo dừa 18 Hình 3.8 Miếng chanh bị cắt 18 Hình 3.9 Phần nón nấm 18 vi BẢNG PHÂN CHIA CƠNG VIỆC Họ tên Cơng việc giao MSSV Mức độ hồn thành Trần Hồng Lam 2110309 Trình bày, chỉnh sửa; lời nói đầu; chương 1, Đạt Nguyễn Văn Nguyên 2114233 Tổng hợp nội dung; chương 2, Đạt Nguyễn Lê Thái Tuấn 2014950 Trích dẫn phụ lục; chương 3, Đạt Lê Quang Huy 2113486 Không tham gia vii Không đạt BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 TÍCH PHÂN KÉP Hình 1.1 Hình minh họa tốn tích phân kép Bài toán: Cho z = f(x, y) > hàm hai biến xác định miền đóng D = (x, y, z) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d Tính thể tích khối vật thể giới hạn bởi:Ω = (x, y, z) ∈ D : ≤ z ≤ f(x, y), (x, y) ∈ D Giải Chia miền D cách chia đoạn [a; b] thành đoạn nhỏ ∆xi đoạn [c, d] thành đoạn nhỏ ∆yi Chúng ta thu hình chữ nhật nhỏ với diện tích ∆D = ∆x.∆y Hình 1.2 Hình minh họa lời giải tích phân kép Ta xấp xỉ thể tích V cần tìm cách tính tổng thể tích hình hộp chữ nhật nhỏ với đáy Dij có diện tích ∆Dij = ∆xij.∆yij chiều cao làf (xij ∗ , GVHD: THS LÊ NGUYỄN HẠNH VY TRANG NHĨM 19 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH Giải • Chia mặt S thành nhiều mảnh nhỏ Sij với diện tích ∆Sij khối lượng riêng tương ứng ρij = ρ(xij; yij; zij) • Khối lượng mặt S xấp xỉ bởi: • Khi n, m → ∞, S dần đến đại lượng tích phân: • Giả sử mảnh nhỏ dS có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy hình chữ nhật có diện tích dx.dy tạo với mặt phẳng Oxy góc φ Ta có: Ta chuyển tích phân mặt tích phân kép: Tính chất: • Diện tích mặt S tính cơng thức: • • Khối lượng mặt cong: GVHD: THS LÊ NGUYỄN HẠNH VY TRANG NHÓM 19 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH CHƯƠNG 2: DỰNG VÀ TÍNH TỐN VỚI KHỐI VẬT THỂ GIỚI HẠN BỞI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG 2.1 DỰNG KHỐI VẬT THỂ THEO MƠ TẢ BẰNG PHẦN MỀM GEOGEBRA • Đầu tiên ta vẽ tồn hình cầu mặt phẳng để quan sát giao cách trực quan nhất: + Dùng hàm surface để vẽ mặt cầu, mặt phẳng + Dùng hàm curve để vẽ giao tuyến Cụ thể toán ta lấy phương trình mặt cầu 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟒 phương trình mặt phẳng 𝒛 = 𝟏 • 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜃 Tham số hóa phương trình mặt cầu: { 𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜃 , (0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, ≤ 𝜃 ≤ 𝑧 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜋) 𝑥=𝑢 • Tham số hóa phương trình mặt phẳng: {𝑦 = 𝑣 (∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑹) 𝑧=1 • Hiện thực hóa phương trình hàm surface() Geogebra ta phần vật thể bị giới hạn giống “một lồng bàn có đáy”: Hình 2.1 Hình vẽ lồng bàn có đáy hàm surface Geogebra ➢ Lệnh Geogebra: a = Surface(2 sin(t) cos(k) , sin(𝑡 ) sin(k) , cos(t) , t, 0, π, k, 0, 2π b = Surface(u, v, 1, u, −3, 3, v, −3, 3) GVHD: THS LÊ NGUYỄN HẠNH VY TRANG NHĨM 19 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH Chiếu vật thể lên mặt phẳng Oyz (x=0): Hình 2.2 Hình chiếu vật thể lên mặt phẳng Oxyz 𝒙 = 𝟎 ⇔ 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟒 Đườ ng trò n 𝑦 + 𝑧 = giao với đường 𝑧 = điểm A B ̂ = 𝑂𝐷 = 𝑂𝐷 = cos 𝛼 = cos 𝐵𝑂𝐶 𝑂𝐵 𝑅 ⇒ 𝛼= 𝜋 ⇒ 0≤𝜃≤ 𝜋 • Từ vẽ phần “cái lồng bàn” cách thay cận góc θ: Hình 2.3 Hình vẽ Geogebra thay cận góc θ ➢ Lệnh Geogebra: 𝜋 a = Surface(2 sin(𝑡 ) cos(k) , sin(𝑡 ) sin(k) , cos(t) , t, 0, , k, 0, 2π) GVHD: THS LÊ NGUYỄN HẠNH VY TRANG NHÓM 19 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH • Cuối vẽ đáy khối vật thể: Xét mặt z=1: 𝑧 = ⇔ 𝑥 + 𝑦 = ⇒ Giao tuyến đường trịn có R = √3 Đáy hình tròn bán kính √3 Hình 2.4 Hình vẽ đáy vật thể ➢ Lệnh Geogebra: b = Surface(r cos(t) , r sin(t) , 1, t, 0, 2π, r, 0, √3 ) 2.2 TÍNH TỐN THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH CỦA VẬT THỂ (phương trình cho mục 1) 2.2.1 Thể tích • Thể tích vật thể tích tích phần bội ba tọa độ cầu 𝑥 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜋 • Đặt: { 𝑦 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜃 , (0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, ≤ 𝜃 ≤ ) 𝑧 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃 • Xét mặt phẳng 𝑧 = 1: 𝑧 = ⇔ 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 = ⇔ 𝜌 = • Suy 𝜌 có cận từ 𝑐𝑜𝑠𝜃 2𝜋 𝑐𝑜𝑠𝜃 đến 𝜋 𝜋 2𝜋 1 ⇒ 𝑉 = ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑑𝜃 ∫ 𝜌2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜌 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑠𝑖𝑛𝜃 (8 − ) 𝑑𝜃 cos 𝜃 𝛺 2𝜋 𝜋 1 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜋 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 8𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃 + ∫ ( 0 GVHD: THS LÊ NGUYỄN HẠNH VY cos3 𝜃 𝑑(𝑐𝑜𝑠𝜃) ) TRANG = 𝜋 2𝜋 ∫ 8𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 + ∫ ( 𝑡3 𝑑𝑡 ) NHĨM 19 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN = GIẢI TÍCH 2𝜋 𝜋 4−1 5𝜋 (8 cos(0) − cos ( ) + )= (đvtt) 3 −2 2.2.2 Diện tích các mặt giới hạn ❖ Diện tích xung quanh (phần bên vật thể): Ta có phần vật thể phương trình 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = • Vì 𝑧 > ∶ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥 − 𝑦 • 𝑆𝑥𝑞 = ∬ 1𝑑𝑆 𝑆 • Mà: −𝑥 𝑑𝑆 = √1 + 𝑧 ′ (𝑥)2 + 𝑧 ′ (𝑦)2 = √1 + ( √4−𝑥 −𝑦 = √4 − 𝑥 − 𝑦 2 ) +( −𝑦 √4−𝑥 −𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 • Hình chiếu vật thể lên mặt phẳng Oxy hình trịn tâm O, bán kính R = √3 Hình 2.5 Hình chiếu vật thể lên mặt phẳng Oxy • Khi đó: 𝑆𝑥𝑞 = ∬ 𝐷𝑥𝑦 • √4 − 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 Chuyển sang tọa độ cực: GVHD: THS LÊ NGUYỄN HẠNH VY TRANG 10 NHÓM 19 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH √3 2𝜋 𝑆𝑥𝑞 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 0 = −2𝜋 ∫ ❖ Diện tích mặt đáy: √4 − 𝑟 √𝑡 √3 𝑟𝑑𝑟 = −2𝜋 ∫ √4 − 𝑟 𝑑(4 − 𝑟 ) 𝑑𝑡 = −2𝜋 2(1 − 2) = 4𝜋 (đvdt) • Dễ dàng ta thấy mặt đáy hình trịn có bán kính √3 • Suy ra: 𝑆Đ = 𝜋𝑅Đ2 = 3𝜋 (đvdt) Khi cho mặt cầu giao với mặt phẳng, thay lấy phần phía bên ta lấy phần bên (hình giống gáo dừa) 𝜋 Bằng cách thay cân 𝜃 thành từ đến 𝜋 ta vật thể sau: Hình 2.6 Hình vật thể thay cận θ Ta dễ thấy rằng: 𝑽dưới = 𝑽hình cầu − 𝑽trên 𝑺dưới = S𝒎ặt cầu − 𝑺trên GVHD: THS LÊ NGUYỄN HẠNH VY TRANG 11 NHÓM 19