BTL GIẢI TÍCH 2: DỰNG MÔ HÌNH VẬT THỂ BẰNG MIỀN GIỚI HẠN BỞI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

DỰNG MÔ HÌNH VẬT THỂ BẰNG MIỀN GIỚI HẠN BỞI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG MÔN GIẢI TÍCH 2 Giải tích là một bộ môn khoa học thú vị, có thể nói là một thành tựu vô cùng vĩ đại của văn minh loài người. Nhắc đến Toán học thì không thể không nhắc đến Giải tích, là một môn học được phân chia thành nhiều chuyên đề riêng biệt, được đưa vào chương trình giáo dục hiện hành và phát triển song song với các đầu ngành của bộ môn Đại số tuyến tính. Tuy nhiên, khác với Đại số tuyến tính, Giải tích không tập trung thiết lập và thống kê các ma trận hay giải các dạng toán ứng dụng liên quan đến việc biến hệ phương trình phức tạp thành các công thức ma trận đơn giản hơn, mà Giải tích áp dụng những công thức ví dụ như: đạo hàm, tích phân, hàm nhiều biến... rồi áp dụng những công thức đó vào thực tế, đặc biệt là trong máy móc và kỹ thuật, thậm chí là trong các bài toán kinh tế. Được biết đến như một bộ môn tiên quyết và là một phần không thể thiếu đối với sinh viên học các chuyên ngành Khoa học Tự nhiên và Kỹ thuật. Nếu Giải tích 1 tập trung nhiều đến phép biến đổi đạo hàm thì Giải tích 2 lại nghiêng về tính toán tích phân là chủ yếu, tuy vậy, cả hai phần giải tích đều là những công cụ ứng dụng được trong nhiều lĩnh vực khác nhau như hóa học, vật lý, sinh học,... Giải tích xây dựng nền móng cơ bản trong Toán học, từ đó phát triển thành nhiều luồng kiến thức mới, trải qua nhiều thế kỉ, hàng loạt các công thức vĩ đại đã được xây dựng nên và tổng hợp gói gọn trong các môn đại cương, nhờ có những môn học cô đọng như này mà góp phần có được công nghệ và kỹ thuật như hiện nay, đặc biệt là trong ngành Kỹ thuật số và Xây dựng.

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

- -

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI 09: DỰNG MÔ HÌNH VẬT THỂ BẰNG MIỀN

GIỚI HẠN BỞI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

19

Trang 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

19

Trang 3

i

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

3 Nguyễn Văn Nguyên 2114233 nguyen.nguyenvan@hcmut.edu.vn

4 Nguyễn Lê Thái Tuấn 2014950 tuan.nguyen19032002@hcmut.edu.vn

Trang 4

Trong quá trình làm bài, dù đã cố gắng và nỗ lực tìm hiểu rất nhiều nhưng cũng không thể nào tránh khỏi những sai sót, những thiếu hụt về mặt kỹ năng, kiến thức Do đó nhóm rất mong sẽ được đón nhận những ý kiến, góp ý từ Cô để bài làm được hoàn thiện hơn cả về nội dung lẫn hình thức

Lời cuối cùng, nhóm xin kính chúc Cô luôn có nhiều sức khỏe, hạnh phúc bên gia đình, thành công trong cuộc sống lẫn sự nghiệp của mình

Nhóm xin trân trọng cám ơn!

Trang 5

iii

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích là một bộ môn khoa học thú vị, có thể nói là một thành tựu vô cùng

vĩ đại của văn minh loài người Nhắc đến Toán học thì không thể không nhắc đến Giải tích, là một môn học được phân chia thành nhiều chuyên đề riêng biệt, được đưa vào chương trình giáo dục hiện hành và phát triển song song với các đầu ngành của

bộ môn Đại số tuyến tính

Tuy nhiên, khác với Đại số tuyến tính, Giải tích không tập trung thiết lập và thống kê các ma trận hay giải các dạng toán ứng dụng liên quan đến việc biến hệ phương trình phức tạp thành các công thức ma trận đơn giản hơn, mà Giải tích áp dụng những công thức ví dụ như: đạo hàm, tích phân, hàm nhiều biến rồi áp dụng những công thức đó vào thực tế, đặc biệt là trong máy móc và kỹ thuật, thậm chí là trong các bài toán kinh tế Được biết đến như một bộ môn tiên quyết và là một phần không thể thiếu đối với sinh viên học các chuyên ngành Khoa học Tự nhiên và Kỹ thuật

Nếu Giải tích 1 tập trung nhiều đến phép biến đổi đạo hàm thì Giải tích 2 lại nghiêng về tính toán tích phân là chủ yếu, tuy vậy, cả hai phần giải tích đều là những công cụ ứng dụng được trong nhiều lĩnh vực khác nhau như hóa học, vật lý, sinh học,

Giải tích xây dựng nền móng cơ bản trong Toán học, từ đó phát triển thành nhiều luồng kiến thức mới, trải qua nhiều thế kỉ, hàng loạt các công thức vĩ đại đã được xây dựng nên và tổng hợp gói gọn trong các môn đại cương, nhờ có những môn học cô đọng như này mà góp phần có được công nghệ và kỹ thuật như hiện nay, đặc biệt là trong ngành Kỹ thuật số và Xây dựng

Trang 6

iv

MỤC LỤC

DANH SÁCH THÀNH VIÊN I LỜI CẢM ƠN……… II LỜI NÓI ĐẦU III MỤC LỤC IV DANH MỤC HÌNH ẢNH……… ……… VI

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1

1.1 TÍCH PHÂN KÉP 1

1.2 TÍCH PHÂN BỘI BA 3

1.3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 5

1.4 TÍCH PHÂN MẶT 5

CHƯƠNG 2: DỰNG VÀ TÍNH TOÁN VỚI KHỐI VẬT THỂ 7

GIỚI HẠN BỞI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG 7

2.1 DỰNG KHỐI VẬT THỂ THEO MÔ TẢ BẰNG PHẦN MỀM GEOGEBRA 7

2.2 TÍNH TOÁN THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH CỦA VẬT THỂ (PHƯƠNG TRÌNH ĐÃ CHO Ở MỤC 1) 9

2.2.1 Thể tích 9

2.2.2 Diện tích các mặt giới hạn 10

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ MÔ HÌNH TRONG THỰC 12

TẾ VÀ TÍNH TOÁN 12

3.1 CHIẾC NÓN BẢO HIỂM 12

3.1.1 Tính thể tích 12

3.1.2 Tính diện tích xung quanh 13

3.2 QUẢ BÓNG NỔI TRÊN MẶT NƯỚC 13

3.2.2 Tính diện tích các mặt xung quanh 15

3.3 CÁI GÁO DỪA 15

3.3.2 Tính diện tích vỏ bát 16

Trang 7

v

3.4 CÁI CHỤP ĐÈN HÌNH BÁN CẦU 16

3.4.2 Tính diện tích vỏ mây tre 17

3.5 MỘT SỐ CÁC VÍ DỤ THỰC TẾ KHÁC 17

CHƯƠNG 4: NHẬN XÉT………19

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

Trang 8

vi

DANH MỤC HÌNH ẢNH

CHƯƠNG 1

Hình 1.1 Hình minh họa bài toán tích phân kép 1

Hình 1.2 Hình minh họa lời giải tích phân kép 1

Hình 1.3 Hình minh họa công thức tích phân kép 2

Hình 1.4 Hình minh họa tích phân kép trong tọa độ cực 2

Hình 1.5 Hình minh họa bài toán tích phân bội ba 3

Hình 1.6 Hình minh họa lời giải tích phân bội ba 4

Hình 1.7 Biểu đồ bài toán tích phân đường 5

Hình 1.8 Hình minh họa bài toán tích phân mặt 5

CHƯƠNG 2 Hình 2.1 Hình vẽ cái lồng bàn có đáy bởi hàm surface trong Geogebra 7

Hình 2.2 Hình chiếu vật thể lên mặt phẳng Oxyz 8

Hình 2.3 Hình vẽ Geogebra khi thay cận của góc θ 8

Hình 2.4 Hình vẽ đáy của vật thể 9

Hình 2.5 Hình chiếu của vật thể lên mặt phẳng Oxy 10

Hình 2.6 Hình của vật thể khi thay cận của θ 11

CHƯƠNG 3 Hình 3.1 Ảnh minh họa chiếc nón bảo hiểm 12

Hình 3.2 Ảnh minh họa trái bóng nổi trên nước 13

Hình 3.3 Hình chiếu quả bóng lên mặt phẳng Oxy 14

Hình 3.4 Hình minh họa cái gáo dừa 15

Hình 3.5 Hình minh họa cái chụp đèn 16

Hình 3.6 Vẩy ốc sà cừ, ốc mặt trăng 17

Hình 3.7 Cái ca bằng gáo dừa 18

Hình 3.8 Miếng chanh bị cắt ra 18

Hình 3.9 Phần nón của một cây nấm 18

Trang 9

vii

BẢNG PHÂN CHIA CÔNG VIỆC

Họ và tên MSSV Công việc được giao

Mức độ hoàn thành

Trần Hồng Lam 2110309 Trình bày, chỉnh sửa; lời nói đầu;

Trang 10

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

GVHD: THS LÊ NGUYỄN HẠNH VY TRANG 1 NHÓM 19

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 TÍCH PHÂN KÉP

Hình 1.1 Hình minh họa bài toán tích phân kép

Bài toán: Cho z = f(x, y) > 0 là hàm hai biến xác định trên miền đóng D =

(x, y, z) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d Tính thể tích khối vật thể giới hạn bởi: Ω = (x, y, z) ∈ D : 0 ≤ z ≤ f(x, y), (x, y) ∈ D

Giải

Chia miền D bằng cách chia đoạn [a; b] thành các đoạn nhỏ ∆xi và đoạn [c, d]

thành các đoạn nhỏ ∆yi Chúng ta thu được hình chữ nhật nhỏ với diện tích ∆D = ∆x.∆y

Hình 1.2 Hình minh họa lời giải tích phân kép

Ta có thể xấp xỉ được thể tích V cần tìm bằng cách tính tổng các thể tích hình hộp chữ nhật nhỏ với đáy là Dij có diện tích ∆D ij = ∆x ij.∆yij và chiều cao là f (x ij∗,

Trang 11

yij∗) Khi cộng tất cả những thể tích của những hình hộp chữ nhật nhỏ, ta sẽ xấp

xỉ được thể tích V cần tìm:

Khi m, n → ∞, V dần đến một đại lượng tích phân gọi là tích phân kép:

Hình 1.3 Hình minh họa công thức tích phân kép

Định lý Fubini: Cho f(x, y) ≥ 0∀(x, y) ∈ D = (x, y, z) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤

y ≤ d

Tích phân kép trong hệ tọa độ cực:

Hình 1.4 Hình minh họa tích phân kép trong tọa độ cực

Trang 12

Hệ tọa độ cực (r, φ) xác định một điểm có tọa độ (x, y) như sau:

r2 = x2 + y2

x = r cos φ

y = r sin φ

Chuyển từ tọa độ Decartes sang tọa độ cực: Nếu hàm z = f(x, y) liên

tục và xác định trên miền D có 0 ≤ a ≤ r ≤ b, α ≤ φ ≤ β, khi đó:

Ứng dụng của tích phân kép:

• Tính diện tích miền D:

• Tính khối lượng mảnh phẳng:

với ρ(x, y)là hàm mật độ khối lượng

• Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi 2 mặt z = f(x, y) và z = 0 bao quanh

là các mặt trụ song song với trục Oz:

1.2 TÍCH PHÂN BỘI BA

Hình 1.5 Hình minh họa bài toán tích phân bội ba

Cho hàm 3 biến f(x, y, z) xác định trên miền đóng và bị chặn V trong không gian Oxyz Chia V thành n phần không giẫm lên nhau V1, V2, , Vn có thể tích

tương ứng là ∆V1, ∆V2, , ∆Vn

Trang 13

Hình 1.6 Hình minh họa lời giải tích phân bội ba

Ta có thể chia V bởi các mặt phẳng song song với các mặt tọa độ Khi ấy mỗi miền nhỏ là hình hộp chữ nhật nên ta có ∆V = ∆x∆y∆z = dxdydz

Khi đó ta xấp xỉ thể tích V bằng tổng thể tích của các miền nhỏ và đại lượng này khi có số khoảng chia càng lớn thì tiến dần đến đại lượng tích phân gọi là tích phân bội ba Định nghĩa:

Định lý Fubini cho tích phân bội ba: hàm f(x, y, z) xác định và liên tục trên

miền B = [a, b]x[c, d]x[r, s], khi đó:

Ứng dụng của tích phân bội ba:

• Tính thể tích khối Ω:

• Tính khối lượng vật thể:

với ρ(x, y, z) là hàm mật độ khối lượng

Trang 14

1.3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

Bài toán dẫn đến tích phân đường loại 1: Cho một cung C: y = y(x), a ≤ x

≤ b có khối lượng riêng theo độ dài ρ(x, y) Tìm khối lượng của cung C

Giải

• Chia C ra làm rất nhiều đoạn nhỏ bởi các điểm chia P0, P1, ., Pn Khi ta chia đủ nhỏ thì mỗi cung xem như một đoạn thẳng và khối lượng trên mỗi đoạn dây là không đổi

Hình 1.7 Biểu đồ bài toán tích phân đường

• Khối lượng của mỗi cung nhỏ là ρ(xi, yi).∆li với ∆li là độ dài cung [Pi−1, Pi]

và

• Từ đó, tổng khối lượng cung C được xấp xỉ bởi công thức:

• Khi n → ∞, ∆li → 0, Sn dần đến một đại lượng tích phân:

Ý nghĩa hình học: Tích phân đường loại một ∫c f(x, y)dl,(f(x, y) ≥ 0) là phần

diện tích giới hạn bởi đường cong C trong hệ trục tọa độ Oxy, các đường sinh song song với trục Oz và hình chiếu của đường cong C lên mặt cong z = f(x, y)

Trang 15

Giải

• Chia mặt S thành nhiều mảnh nhỏ Sijvới diện tích là ∆Sij và khối lượng riêng tương ứng là ρij = ρ(xij; yij; zij)

• Khối lượng mặt S được xấp xỉ bởi:

• Khi n, m → ∞, S dần đến một đại lượng tích phân:

• Giả sử một mảnh nhỏ dS có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là một hình chữ

nhật có diện tích dx.dy và tạo với mặt phẳng Oxy một góc φ Ta có:

Ta chuyển tích phân mặt về tích phân kép:

Trang 16

CHƯƠNG 2: DỰNG VÀ TÍNH TOÁN VỚI KHỐI VẬT THỂ

GIỚI HẠN BỞI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

2.1 DỰNG KHỐI VẬT THỂ THEO MÔ TẢ BẰNG PHẦN MỀM

GEOGEBRA

• Đầu tiên ta vẽ toàn bộ hình cầu và mặt phẳng để quan sát sự giao nhau một cách trực quan nhất:

+ Dùng hàm surface để vẽ các mặt cầu, mặt phẳng

+ Dùng hàm curve để vẽ giao tuyến

• Tham số hóa phương trình mặt phẳng: {𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣

𝑧 = 1 (∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑹)

• Hiện thực hóa các phương trình trên bằng hàm surface() trong Geogebra ta được phần vật thể bị giới hạn giống “một cái lồng bàn có đáy”:

Hình 2.1 Hình vẽ cái lồng bàn có đáy bởi hàm surface trong Geogebra

➢ Lệnh trong Geogebra:

a = Surface(2 sin(t) cos(k) , 2 sin(𝑡) sin(k) , 2 cos(t) , t, 0, π, k, 0, 2π

b = Surface(u, v, 1, u, −3, 3, v, −3, 3)

Trang 17

Chiếu vật thể lên mặt phẳng Oyz (x=0):

Hình 2.2 Hình chiếu vật thể lên mặt phẳng Oxyz

• Từ đó vẽ được phần trên của “cái lồng bàn” bằng cách thay cận của góc θ:

Hình 2.3 Hình vẽ Geogebra khi thay cận của góc θ

➢ Lệnh trong Geogebra:

a = Surface(2 sin(𝑡) cos(k) , 2 sin(𝑡) sin(k) , 2 cos(t) , t, 0,𝜋

3, k, 0, 2π)

Trang 18

• Cuối cùng vẽ đáy của khối vật thể:

b = Surface(r cos(t) , r sin(t) , 1, t, 0, 2π, r, 0, √3 )

2.2 TÍNH TOÁN THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH CỦA VẬT THỂ (phương trình đã cho ở mục 1)

∫ 𝑑𝜃

𝜋 3 0

∫ 𝜌2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜌 = ∫ 𝑑𝜑

2𝜋 0

∫1

3𝑠𝑖𝑛𝜃 (8 −

1 cos 3 𝜃) 𝑑𝜃

𝜋 3 0

2

1 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝛺

= ∫ 𝑑𝜑.1

3.

( ∫8𝑠𝑖𝑛𝜃

𝜋 3 0

𝑑𝜃 +∫ 1

cos 3 𝜃𝑑(𝑐𝑜𝑠𝜃)

𝜋 3

0

)

= 2𝜋3

(

∫8𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃

𝜋 3 0

+∫1

𝑡 3 𝑑𝑡

1 2

1

)

2𝜋

0

Trang 19

2.2.2 Diện tích các mặt giới hạn

❖ Diện tích xung quanh (phần bên trên vật thể):

Trang 20

√4 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟 = −2𝜋 ∫ 1

√4 − 𝑟2𝑑(4 − 𝑟2)

√3 0

2𝜋 0

√𝑡𝑑𝑡 = −2𝜋 2(1 − 2) = 4𝜋

1 4

(đvdt)

❖ Diện tích mặt đáy:

• Dễ dàng ta thấy mặt đáy là một hình tròn có bán kính bằng √3

• Suy ra: 𝑆Đ = 𝜋𝑅Đ2 = 3𝜋 (đvdt)

Khi cho mặt cầu giao nhau với mặt phẳng, thay vì lấy phần phía bên trên

ta lấy phần bên dưới (hình giống cái gáo dừa)

Bằng cách thay cân của 𝜃 thành từ 𝜋

3 đến 𝜋 ta được vật thể như sau:

Hình 2.6 Hình của vật thể khi thay cận của θ

Ta dễ thấy rằng: 𝑽dưới = 𝑽hình cầu− 𝑽trên và 𝑺dưới = S𝒎ặt cầu− 𝑺trên

Trang 21

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ MÔ HÌNH TRONG THỰC

TẾ VÀ TÍNH TOÁN

3.1 CHIẾC NÓN BẢO HIỂM

Hình 3.1 Ảnh minh họa chiếc nón bảo hiểm

Cho hình nón bảo hiểm như bên hình trên có hình dạng nửa mặt cầu bán kính 11cm Tưởng tượng có một hình tròn làm đáy chiếc nón bảo hiểm khi đó, tính thể tích và diện tích các mặt của vật thể

3.1.1 Tính thể tích

• Gắn hệ trục Oxyz vào chiếc nón Tâm nón trùng với gốc tọa độ Chiếc nón là vật thể giới hạn bởi mặt cầu 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 = 112 và phương trình mặt phẳng

𝑧 = 0

• Chiếu lên mặt phẳng Oxy (z=0) => 𝑥2+ 𝑦2 = 112

• Miền Dxy được giới hạn bởi đường tròn 𝑥2+ 𝑦2 = 112

Trang 22

√𝑡

0 121

3.2 QUẢ BÓNG NỔI TRÊN MẶT NƯỚC

Hình 3.2 Ảnh minh họa trái bóng nổi trên nước

Quả bóng chuyền đang trôi trên mặt nước, coi mặt nước là một mặt phẳng, phần phía trên của vật thể cho ta vật thể giới hạn bởi mặt cầu và mặt phẳng Biết rằng quả

Trang 23

cầu có đường kính 23 cm Tính thể tích của phần nổi trên mặt nước, diện tích mặt bóng nổi trên mặt nước

• Chọn trục tọa độ là tâm của quả bóng

• Theo số liệu thực tế ta thu được phương trình: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐+ 𝒛𝟐 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟐 (𝒄𝒎)

• Chọn mặt cắt 𝑧 = −6(𝑐𝑚)

• Phần nổi trên mặt là phần lớn vì vậy ta áp dụng công thức:

𝑽trên = 𝑽quả bóng− 𝑽dưới

∫ 𝑑𝜃

𝜋 2,12

2𝜋 0

11,5

−6 𝑐𝑜𝑠𝜃

Trang 24

= ∫ 𝑑𝜑.1

3.

2𝜋 0

( ∫ 11,53𝑠𝑖𝑛𝜃

𝜋 2,12

𝑑𝜃 − ∫ 6

3

cos 3 𝜃𝑑(𝑐𝑜𝑠𝜃)

𝜋 2,12

3.2.2 Tính diện tích các mặt xung quanh

Ta đi tính diện tích mặt xung quanh của phần quả bóng dưới mặt nước

2 𝜋(𝑐𝑚2)

• 𝑆trên = 𝑆𝑏ó𝑛𝑔 − 𝑆dưới = 4𝜋𝑅2− 𝑆dưới = 4𝜋 11,52−253

2 𝜋 = 402,5𝜋(𝑐𝑚2)

3.3 CÁI GÁO DỪA

Hình 3.4 Hình minh họa cái gáo dừa

Trong thực tế, gáo dừa khô có thể trở thành những vật dụng rất tiện lợi trong cuộc sống, đơn cử như cái bát làm từ gáo dừa ở trên Hình ảnh trên cho ta mô hình của một hình bán cầu Biết rằng đường kính miệng của cái bát là 15 cm, hay tính lượng nước mà cái bát này chứa tối đa và diện tích vỏ gáo dừa (coi độ dày vỏ không đáng kể)

• Chọn trục tọa độ là tâm của gáo dừa

Trang 25

• Theo số liệu thực tế ta thu được phương trình: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟕, 𝟓𝟐 (𝒄𝒎) với mặt cắt 𝑧 = 0 (𝑐𝑚)

⇒ 𝑉 = ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

Ω

= ∫ 𝑑𝜑

2𝜋 0

∫ 𝑑𝜃

𝜋 2 0

2𝜋 0

∫1

3𝑠𝑖𝑛𝜃 7,5

3𝑑𝜃

𝜋 2 0

7,5 0

𝜋 2 0

𝑑𝜃)

3( ∫ 7,53𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃

𝜋 2

0

)

3.4 CÁI CHỤP ĐÈN HÌNH BÁN CẦU

Hình 3.5 Hình minh họa cái chụp đèn

Cho cái chụp đèn dạng hình bán cầu có đường kính 40 cm Tính thể tích phần không gian bên trong cái chụp đèn và diện tích phần vỏ mây tre

Trang 26

• Chọn trục tọa độ là tâm của cái chụp đèn

• Theo số liệu thực tế ta thu được phương trình: 𝒙𝟐+ 𝒚𝟐+ 𝒛𝟐 =

∫ 𝑑𝜃

𝜋 2 0

2𝜋 0

∫1

3𝑠𝑖𝑛𝜃 20

3𝑑𝜃

𝜋 2 0

20 0

𝑑𝜃)

3( ∫ 203𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃

𝜋 2

0

)

Tiêu đề	Dựng Mô Hình Vật Thể Bằng Miền Giới Hạn Bởi Mặt Cầu Và Mặt Phẳng
Tác giả	Trần Hồng Lam, Nguyễn Văn Nguyên, Nguyễn Lê Thái Tuấn, Lê Quang Huy
Người hướng dẫn	ThS. Lê Nguyễn Hạnh Vy
Trường học	Đại Học Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Khoa Học Ứng Dụng
Thể loại	báo cáo bài tập lớn
Năm xuất bản	2022
Thành phố	TP. Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	1,41 MB