BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2

Phương trình tham số đường thẳng pháp tuyến: .... Mặt phẳng thẳng đứng đi qua P theo hướng véc tơ ?⃗⃗ sẽ cắt mặt cong S theo đường cong C.. Hệ số góc tiếp tuyến T với đường cong C tại đi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI: 5 GVHD: Nguyễn Thị Hoài Thương Lớp: L34

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2023

Lời cảm ơn

Để hoàn thành đề tài bài tập lớn lần này, trước hết nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn, giúp đỡ, quan tâm từ quý thầy cô, anh chị và bạn bè

Đặc biệt, nhóm xin gửi đến cô Nguyễn Thị Hoài Thương, người đã ra sức truyền đạt, chỉ dẫn chúng em đề tài báo cáo lần này lời cảm ơn sâu sắc nhất.Không thể không nhắc tới sự hợp tác, đoàn kết của các thành viên trong nhóm, xin cảm ơn mọi người đã cùng góp sức, góp lực để hoàn thành bài báo cáo này

Vì còn tồn tại những hạn chế về mặt kiến thức, trong quá trình trao đổi, hoàn thành bài tập lớn này, chúng em không tránh khỏi những sai sót, kính mong nhận được sự đóng góp từ quý thầy, cô Những góp ý từ thầy cô sẽ là động lực

để chúng em hoàn thiện hơn Một lần nữa, nhóm 5 – L34 xin gửi lời biết ơn chân thành đến thầy, cô vì đã giúp chúng em đạt được kết quả này

Mục Lục

Phần I: Cơ sở lý thuyết 1

I Đạo hàm riêng: 1

1 Định nghĩa: 1

II Đạo hàm theo hướng: 1

1 Định nghĩa: 1

2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm theo hướng: 2

III Vector Gradient: 3

1 Định nghĩa: 3

2 Ví dụ: 3

IV Phương trình mặt phẳng tiếp diện: 3

1 Định nghĩa: 3

V Phương trình tham số đường thẳng pháp tuyến: 5

1 Định nghĩa: 5

2 Ví dụ: 5

Phần II: Thực hiện yêu cầu bài toán 6

I Bài 30: 6

II Bài 31 6

III Bài 34: 8

IV Bài 35: 10

V Bài 36: 11

VII Bài 47-48: 12

a) Bài 47: 12

b) Bài 48 15

VIII Bài 64: 17

Phần III: Tài liệu tham khảo 19

1) Đạo hàm riêng – Wikipedia tiếng Việt 19

2) Gradient – Wikipedia tiếng Việt 19

3) Giáo trình Giải tích 2 ĐHBK trang 38-43 19

4) Tài liệu tham khảo của các anh chị khóa trước 19

Phần I: Cơ sở lý thuyết

I Đạo hàm riêng:

1 Định nghĩa:

Giả sử, chúng ta có một hàm f (x, y), phụ thuộc vào hai biến x và y, trong

đó x và y độc lập với nhau Khi đó ta nói rằng hàm f phụ thuộc một phần vào x

và y Bây giờ, nếu chúng ta tính đạo hàm của f, thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f Nếu chúng ta phân biệt hàm f với x thì lấy y làm hằng số và nếu chúng ta phân biệt f với y thì lấy x làm hằng số

II Đạo hàm theo hướng:

1 Định nghĩa:

Đạo hàm theo hướng véc-tơ đơn vị →−u = (a, b) , (a2 +b2 = 1) của hàm

số z = f (x, y) tại điểm (x0, y0, f (x0, y0)) là giới hạn

𝑓′𝑢(𝑥0, 𝑦0) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥0 + ℎ𝑎, 𝑦0 + ℎ𝑎) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)

ℎnếu giới hạn này tồn tại

2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm theo hướng:

Giả sử chúng ta cần tìm tốc độ thay đổi của hàm số z = f(x,y) tại điểm (𝑥0, 𝑦0) theo hướng của véctơ đơn vị 𝑢⃗⃗ = (𝑎, 𝑏) (a2 + b2 = 1) Hàm

số z = f(x, y) có đồ thị là mặt cong S Cho P(𝑥0, 𝑦0, f(𝑥0,𝑦0)) là một điểm nằm trên mặt cong S Mặt phẳng thẳng đứng đi qua P theo hướng véc tơ

𝑢⃗⃗ sẽ cắt mặt cong S theo đường cong C Hệ số góc tiếp tuyến T với

đường cong C tại điểm P chính là tốc độ thay đổi của hàm số z = f(x, y) theo hướng của véc tơ 𝑢⃗⃗

Ý nghĩa hình học: đạo hàm theo hướng là hệ số góc tiếp tuyến T với đường cong C tại điểm P

Nếu Q(x,y,f(x,y)) là một điểm khác thuộc C và P’,Q’ lần lượt là hình chiếu của P,Q xuống mặt phẳng Oxy thì véc tơ 𝑃′𝑄′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sẽ song song với véc

tơ 𝑢⃗⃗ Do đó

𝑃′𝑄′

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ℎ𝑢⃗⃗ = (ℎ𝑎, ℎ𝑏), ℎ ∈ 𝑅 → 𝑥 − 𝑥0 = ℎ𝑎, 𝑦 − 𝑦0 = ℎ𝑏 → 𝑥

= 𝑥0 + ℎ𝑎, 𝑦 = 𝑦0 + ℎ𝑏 Khi đó:

Lấy giới hạn khi h→ 0 ta được tốc độ thay đổi của hàm z = f(x, y)

theo hướng của véc tơ 𝑢⃗⃗ và ta gọi đó là đạo hàm hàm số z = f(x, y) theo

hướng của véc tơ 𝑢⃗⃗

III Vector Gradient:

đổi theo thời gian) Trong trường hợp này, tại mỗi điểm trong căn phòng, gradient

của T tại điểm đó cho biết hướng mà theo đó nhiệt độ tăng lên nhanh nhất Độ lớn của gradient cho biết nhiệt độ thay đổi nhanh đến mức nào nếu ta đi theo hướng đó

IV Phương trình mặt phẳng tiếp diện:

1 Định nghĩa:

Cho z = f(x, y) có đồ thị là mặt cong S Hàm số f có đạo hàm riêng cấp một liên tục và cho P(x0, y0, f(x0, y0)) là một điểm trên mặt cong S C1, C2 lần lượt là những đường cong giao tuyến của mặt phẳng y = y0 và x = x0 với mặt cong S T1, T2 lần lượt là những tiếp tuyến với đường cong C1, C2 tại điểm P

Định nghĩa 1.9 Mặt phẳng tiếp diện với mặt cong S tại điểm P(x0, y0, f(x0, y0)) là mặt phẳng chứa 2 tiếp tuyến T1 và T2

Định lý 1.3 Giả sử hàm số f(x, y) có đạo hàm riêng cấp một liên tục thì phương trình mặt phẳng tiếp diện với mặt cong z = f(x, y) tại điểm P(x0,

y0,f(x0,y0)) là:

𝑧− f(𝑥0, 𝑦0) = 𝑓𝑥′(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) +𝑓𝑦′(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0) Phương trình mặt phẳng tiếp diện với mặt cong z = f(x, y) đi qua điểm P(x0, y0, z0) có dạng:

𝐴(𝑥 − 𝑥0) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0) + 𝐶(𝑧 − 𝑧0) = 0 Trong đó C≠0 vì nếu C = 0 mặt phẳng tiếp diện sẽ cắt mặt cong theo nhiều điểm khác nhau (trái với định nghĩa mặt phẳng tiếp diện chỉ cắt mặt cong tại 1 điểm duy nhất) Chia hai vế của phương trình này cho C và đặt a = − −𝐴

𝐶 , b

= −𝐵

𝐶 , ta được

z − z0 = a(x − x0) + b(y − y0)

Vì mặt phẳng tiếp diện chứa tiếp tuyến T1 mà tiếp tuyến T1 nằm trong mặt phẳng y = y0 nên phương trình tiếp tuyến T1 là

z − z0 = a(x − x0), y = y0 Tiếp tuyến T1 này có hệ số góc bằng a và theo ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng thì a =𝑓𝑥′(𝑥0, 𝑦0) Lập luận tương tự cho tiếp tuyến T2 ta cũng được b

=𝑓𝑦′(𝑥0, 𝑦0)

V Phương trình tham số đường thẳng pháp tuyến:

Phần II: Thực hiện yêu cầu bài toán

I Bài 30:

Ở gần một cái phao, độ sâu của hồ nước tại điểm có tọa độ (𝑥, 𝑦) là 𝑧 = 200 + 0.02𝑥2 – 0.001𝑦3, với 𝑥, 𝑦, 𝑧 đo bằng mét Một người đánh cá bắt đầu từ điểm (80, 60) và tiến về phía cái phao – được đặt tại vị trí (0, 0) Hỏi khi ông ấy xuất phát thì nước sẽ trở nên sâu hơn hay cạn hơn? Giải thích

(a) Tìm mức độ thay đổi của 𝑇 tại (1,2,2) theo hướng đến điểm (2,1,3)

(b) Chứng minh rằng tại mọi điểm trên quả cầu, hướng tăng nhiệt độ lớn nhất

là một vector hướng vào gốc tọa độ

Bài giải (a)

Vì nhiệt độ tỷ lệ nghịch với khoảng cách nên ta có:

𝑟 là khoảng cách từ điểm đang xét đến tâm 𝑂

Đề bài cho 𝑇(1,2,2) = 120°, suy ra:

Đạo hàm theo hướng vector 𝑣:

= −40√3

9 ≈ −7.698 Vậy nhiệt độ tại (1,2,2) theo hướng đến (2,1,3) giảm 7.698°/đơn vị độ dài (b)

Ta có vector gradient của 𝑇:

Giả sử bạn đang leo lên một cái đồi có hình dạng được cho bởi phương trình

𝑧 = 1000 – 0.005𝑥2 – 0.01𝑦2, với 𝑥, 𝑦, 𝑧 tính bằng mét, và bạn đang đứng tại điểm có tọa độ (60,40,966) Chiều dương trục Ox theo hướng Đông, chiều dương trục Oy theo hướng Bắc

(a) Nếu bạn đi về hướng Nam thì đồi sẽ cao lên hay hạ thấp xuống? Với mức độ như thế nào?

(b) Nếu bạn đi về hướng Tây Bắc thì đồi sẽ cao lên hay hạ thấp xuống? Với mức độ như thế nào?

(c) Hướng nào có độ dốc lớn nhất? Hướng đó hợp với trục hoành một góc bao nhiêu?

Vector đơn vị theo hướng Nam là 𝑠 = < 0, −1 >

Đạo hàm tại điểm (60,40,966) theo hướng vector 𝑠 là:

𝑧′𝑠(60,40,966) = 𝐺𝑟𝑎𝑑(60,40,966) × 𝑠 = 0.8 Vậy nếu đi về hướng Nam 1m thì độ cao của đồi sẽ tăng 0.8m

Vector đơn vị theo hướng 𝐺𝑟𝑎𝑑(60,40,966) là:

𝑔 = < −0.6, −0.8 >

√(−0.6)2+ (−0.8)2 = < −0.6, −0.8 >

Đạo hàm tại điểm (60,40,966) theo hướng vector 𝑔 là:

𝑧′𝑠(60,40,966) = 𝐺𝑟𝑎𝑑(60,40,966) × 𝑔 = 1

Vậy nếu đi về hướng vector 𝑔 1m thì độ cao của đồi sẽ tăng 1m

Gọi 𝛼 là góc hợp giữa vector 𝑔 và trục hoành, ta có:

Bài giải 𝐴𝐵

V Bài 36:

Bên dưới là bản đồ địa hình của Blue River Pine Provincial Park ở British Columbia Vẽ những đường dốc nhất theo chiều hướng giảm độ cao địa hình từ điểm A (xuống đến Mud Lake) và từ điểm B

Bài giải Những đường dốc nhất là những đường có độ cao giảm nhanh nhất, hay nói cách khác, đó là đường đi ngắn nhất từ một đường mức đến đường mức có giá trị thấp hơn Do đó, đường dốc nhất sẽ vuông góc với các đường mức trên đường đi của nó

VII Bài 47-48:

Dùng máy tính vẽ mặt cong, tiếp diện, và đường thẳng pháp tuyến trong cùng hình ảnh Lựa chọn miền cẩn thận để tránh các mặt phẳng thẳng đứng không thỏa Lựa chọn góc nhìn phù hơp để có thể nhìn thấy cả 3 đối tượng

%% Tìm phương trình tham số của đường thẳng pháp tuyến:

% Ta có hệ số của phương trình tiếp diện tạo thành một vector pháp tuyến

%% Tìm phương trình tham số của đường thẳng pháp tuyến:

% Ta có hệ số của phương trình tiếp diện tạo thành một vector pháp tuyến

t = -5:0.1:5;

xN = x0 + Dx.*t;

yN = y0 + Dy.*t;

zN = z0 - t;

VIII Bài 64:

(a) Mặt phẳng 𝑦 + 𝑧 = 3 giao với mặt trụ 𝑥2 + 𝑦2 = 5 theo một đường ellipse Tìm phương trình tham số của đường tiếp tuyến của hình ellipse này tại điểm (1,2,1)

(b) Vẽ mặt trụ, mặt phẳng, và đường tiếp tuyến trong cùng một hình

Bài giải (a) Chúng ta sẽ tham số hóa tọa độ thành một vector:

figure('name','Câu 64','numbertitle','off');

titletext = "The cylinder, the plane, and the tangent line";

%% Vẽ hình trụ:

ezsurf(sqrt(5)*cos(u),sqrt(5)*sin(u),v,[0 2*pi 0 5]); hold on;

Phần III: Tài liệu tham khảo

3) Giáo trình Giải tích 2 ĐHBK trang 38-43

4) Tài liệu tham khảo của các anh chị khóa trước