BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 ĐỀ TÀI PHƯƠNG PHÁP SỐ EULER GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

PHƯƠNG PHÁP EULER CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 2.1 Phương pháp Euler 2.2 Sai số trong phương pháp Euler 2.3 Phương pháp Euler trong phương trình vi phân thường 2.4 Một số bài toán tì

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG – BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG

🙞···☼···🙞

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1

ĐỀ TÀI PHƯƠNG PHÁP SỐ EULER GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Danh sách thành viên:

Nguyễn Phạm Đăng Dương 2310601

Nguyễn Ngọc Kim Khánh 2311521 Nguyễn Song Minh Luân 2311987

Giảng viên hướng dẫn: Đặng Văn Vinh Lớp: L13

Nhóm: 8

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2023

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

LỜI MỞ ĐẦU

DANH MỤC BẢNG BIỂU VÀ HÌNH ẢNH

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

1.1 Định nghĩa

1.2 Phương trình vi phân cấp 1

2 PHƯƠNG PHÁP EULER CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

THƯỜNG

2.1 Phương pháp Euler

2.2 Sai số trong phương pháp Euler

2.3 Phương pháp Euler trong phương trình vi phân thường

2.4 Một số bài toán tìm nghiệm gần đúng với phương pháp xấp xỉ Euler trong phương trình vi phân cấp 1

LỜI CẢM ƠN

DANH MỤC BẢNG BIỂU VÀ HÌNH ẢNH

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

1.1 Định nghĩa

Một phương trình vi phân thường có dạng tổng quát:

F(x , y , y ' , y ' ' , … , y(n))=0

trong đó x là biến độc lập của phương trình, y là ẩn hàm, y ' , y ' ' , … , y(n) là các đạo hàm của hàm y

Cấp của một phương trình vi phân thường là cấp cao nhất của đạo hàm (hay vi phân) thực sự có nghiệm trong phương trình

Phương trình vi phân thường cấp n có dạng tổng quát:

F(x , y , y ' , y ' ' , … , y(n))=0

được gọi là phương trình vi phân cấp n Trong đó y = y(x) là hàm cần tìm

1.2 Phương trình vi phân cấp 1

1.2.1 Phương trình vi phân tách biến

Là phương trình vi phân có dạng:

φ ( y ) dy=f ( x )dx ay ℎay f1( x) g1( y )dx =f2( x ) g2( y ) dy

⇔ f2(x) g1(y )=0 ay ℎay f1( x )

f2(x ) dx=

g2(y ) dy

⇔ f2(x) g1(y )=0 ay ℎay ∫ f1( x )

g2 (y ) dy

1

1.2.2 Phương trình đẳng cấp cấp 1

Là phương trình vi phân có dạng:

y '=f(x y)⇔dy=f( y x)dx

Đặt u= y

udx + xdu=f (u) dx

⇔ x|f (u )−u|=0 ayℎay du

f (u) −u=

dx x

1.2.3 Phương trình tuyến tính cấp 1

Là phương trình vi phân có dạng:

y '

+p ( x ) y=q (x)

Trong đó p ( x ), q (x) là các hàm số liên tục

 Nếu q ( x )=0 ⇔ y=C e −∫p(x)dx

 Nếu q ( x ) ≠ 0 ⇔ y=e −∫p(x)dx

(∫q ( x) e∫p(x)dx

dx +C)

1.2.4 Phương trình Bernoulli

Là phương trình vi phân có dạng:

y '

+p ( x ) y=q (x ) y ∝ , 0 ≠∝ ≠1

Đặt z= y 1 − ∝

⇒ phương trình trở thành: z '+(1 −∝) p (x) z=(1− ∝)q ( x )

2

2 PHƯƠNG PHÁP EULER CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

2.1 Phương pháp Euler

2.1.1 Giới thiệu:

Phương pháp số Euler là một phương pháp toán học cơ bản và mạnh

mẽ được sử dụng để giải các phương trình vi phân Phương trình vi phân là một công cụ quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, từ vật lý đến kinh tế, sinh học, và nhiều lĩnh vực khác Giải phương trình vi phân giúp chúng ta hiểu sự biến đổi và tương tác của các hệ thống theo thời gian

Tuy nhiên, việc giải phương trình vi phân một cách chính xác có thể là một thách thức, đặc biệt là đối với các phương trình phức tạp và không thể giải phân tích Phương pháp số Euler là một cách tiếp cận đơn giản và hiệu quả để tiếp cận vấn đề này bằng cách sử dụng xấp xỉ để đơn giản hóa quá trình giải

Phương pháp số Euler là một phương pháp giải phương trình vi phân bằng cách tận dụng xấp xỉ tuyến tính Phương pháp này đơn giản và dễ hiểu,

và nó thường được sử dụng để giải các vấn đề giải tích số cơ bản

2.1.2 Công thức của phương pháp Euler:

{dy dx=f ( x , y )

y(x0)=y0

Vấn đề được đặt ra của bài toán là tìm gần đúng hàm nghiệm y(x) tại một số điểm x1, x2, x3, , tức là tính các giá trị xấp xỉ y1, y2, y3, (giá trị chính xác là y(x1), y(x2), y (x3), tại các điểm x1, x2, x3,, )

3

Nếu các điểm chiax n ,n=0,1,2, càng nhiều thì ta càng có hình ảnh gần đúng của hàm nghiệm y(x) Xét trường hợp các bước cách đều, tức là

x n+1 − x n=h , n=0,1, 2,

Từ khai triển Taylor,giữ lại hai số hạng đâu ta có:

y(x1)=y(x0)+y '(x0)

y(x1)=y0+ℎay f(x0, y0)

)

Vậy ta có thể có :

y n+ 1 ≈ y n+ℎay f(x n , y n)

1!

Ta nhận được công thức của phương pháp Euler như sau:

y n+ 1 ≈ y n+ℎay f(x n , y n)

Ví dụ:

Dùng phương pháp Euler để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán giá trị ban đầu:

y '=x − y , y (0 )=1

Với ℎay=0,5

Áp dụng công thức Euler:

y n+ 1=y n+ℎay f(x n , y n)

y1=y0+ℎay f(x0− y0)=1+0,5(0− 1)=0,5

Tại các điểm x0, x1, x2, x3, x4, x5ta có các giá trị xấp xỉ tương ứng được thể hiện qua bảng

4

Giá trị xấp xỉ y 1,000

0

0,500 0

0,500 0

0,750 0

1,125 0

1,562 5

2.2 Sai số trong phương pháp Euler

2.3 Phương pháp Euler trong phương trình vi phân thường

Mở đầu nhiều bài toán khoa học kỹ thuật chủ đạo là (hệ) phương trình

vi phân và điều kiện ban đầu Nghiệm đúng của chúng thường chỉ áp dụng cho một số lớp bài toán rất hạn chế, đa số các bài toán là phải tìm nghiệm gần đúng Trong phương pháp số có phương pháp Euler- là phương pháp một bước tính nghiệm gần đúng y n+ 1 thông qua y n với f(x n , y n) thường được dùng

để giải các bài toán về phương trình vi phân cấp 1 và hệ phương trình vi phân thường Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiếu cách giải các bài toán đó

Xét bài toán:

{dy dx=f ( x , y )

y(x0)=y0

Áp dụng phương pháp Euler với bước lặp h, ta có công thức:

y n+ 1=y n+ℎay f(t n , y n)

để tính các nghiệm xấp xỉ trong khoảng [a , b]

Xét bài toán:

x '

=f (t , x ) , x(t0)=x0

x=(x1, x2, x3, … , x n +1), f =(f1, f2, … , f n +1)

Đây là hệ gồm m phương trinh vi phân cấp một

5

Công thức lặp của phương pháp Euler ứng với hệ phương trình vi phân là:

X n+1=X n+ℎay f(t n , X n)

2.4 Một số bài toán tìm nghiệm gần đúng với phương pháp xấp xỉ Euler trong phương trình vi phân cấp 1

 Tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình vi phân sau bằng phương pháp Euler y '

y ,0 ≤ x ≤ 1với điều kiện ban đầu y (0)=1 và chia đoạn [0;1] thành 10 đoạn bằng nhau Hãy so sánh kết quả nghiệm gần đúng (lấy 4 chữ số thập phân)

Ta tìm được nghiệm chính xác của bài toán trên là : Type equation ere ℎay ,

Ta có f = y − 2 x

y , nên ta áp dụng công thức của phương pháp Euler là :

y n+ 1=y n+ℎay( y n − 2 x n

y n )

Với ℎay=0,1 ta có:

y1=y0+ℎay f(y0− 2 x0

y2=y1+ℎay f(y1− 2 x1

y3=y2+ℎay f(y2− 2 x2

y4=y3+ℎay f(y3− 2 x3

Từ các giá trị tìm được ta lập bảng thể hiện các giá trị xấp xỉ và chính xác

6