Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 Đề tài 7 Ứng dụng của tích phân Đường

Giới thiệu tích phân đường: cách hình thành và cách tính.. Đưa ra ứng dụng của tích phân đường, ít nhất 5 ví dụ thực tế Đưa ra số liệu cụ thểtrên thực tế.. Vì đây không phải là lần đầu l

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG

————————————

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

MÔN: GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI 7: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN

Ths Lê Nguyễn Hạnh Vy

HK232 - L22 - NHÓM 16

TPHCM, ngày 25 tháng 05 năm 2024

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCMTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOAKHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

STT MSSV HỌ TÊN MAIL LIÊN HỆ GHI CHÚ

1 2210165 Bùi Hồng Ân an.buihong25024@hcmut.edu.vn

2 2313228 Bùi Tích Thiện thien.bui2109@hcmut.edu.vn

3 2310194 Cao Việt Bách bach.cao123456789@hcmut.edu.vn

4 2310116 Ng Phan Quốc Anh anh.nguyenquoc3110@hcmut.edu.vn

5 2310511 Phạm Nhật Duy duy.pham19042005@hcmut.edu.vn

6 2311309 Trần Thanh Hùng hung.tran75205@hcmut.edu.vn

7 2310612 Trần Tùng Dương duong.tranfbking@hcmut.edu.vn

NỘI DUNG ĐỀ TÀI

1 Giới thiệu tích phân đường: cách hình thành và cách tính

2 Đưa ra ứng dụng của tích phân đường, ít nhất 5 ví dụ thực tế (Đưa ra số liệu cụ thểtrên thực tế) Nêu cách tính thực tế mỗi ứng dụng được trình bày

3 Viết code tính diện tích mặt trụ đứng, có biên nằm bên trong mặt cong z = f (x, y),biên dưới nằm trên mặt phẳng Oxy Ứng dụng này có thể tính diện tích tường không thẳngtrong xây dựng (phần tường dưới cầu gầm thanh) Về tính toán có thể mô phỏng hàm f hoặc

đo đạc để dùng tổng Riemann ước tính diện tích

TPHCM, ngày 25 tháng 05 năm 2024

NHẬN XÉT CỦA GVHD

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 6

1.1 Tham số hoá đường cong: 6

1.1.1 Tham số hoá đường cong phẳng dạng tổng quát: 6

1.1.2 Tham số hoá đường cong phẳng dạng toạ độ cực r = r(φ): 6

1.1.3 Tham số hoá đường cong trong không gian: 6

1.2 Tích phân đường loại 1: 6

1.2.1 Cách hình thành tích phân đường loại 1: 6

1.2.2 Tính chất: 9

1.2.3 Cách tính tích phân đường loại 1: 9

1.3 Tích phân đường loại 2: 9

1.3.1 Cách hình thành tích phân đường loại 2: 9

1.3.2 Tính chất: 11

1.3.3 Cách tính tích phân đường loại 2: 11

1.3.4 Định lý Green: 11

1.3.5 Tích phân không phụ thuộc vào đường đi: 13

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 14 2.1 Ứng dụng của tích phân đường loại 1: 14

2.1.1 Ứng dụng 1: Tính quãng đường, chu vi, độ dài đường cong: 14

2.1.2 Ứng dụng 2: Tính khối lượng, khối tâm và moment quán tính: 15

2.1.3 Ứng dụng 3: Tính giá trị trung bình: 16

2.1.4 Ứng dụng 4: Tính diện tích bờ tường, hàng rào: 16

2.2 Ứng dụng của tích phân đường loại 2: 17

2.2.1 Ứng dụng 1: Tính công sinh ra bởi một lực F: 17

2.2.1 Ứng dụng 2: Tính diện tích các sản phẩm: 17

CHƯƠNG 3: MATLAB 19 3.1 Tổng quan về MATLAB: 19

3.2.Chương trình code MATLAB: 19

3.2.1 Các lệnh MATLAB được sử dụng để viết code tính diện tích mặt trụ đứng: 19 3.2.2 Đoạn code tính diện tích mặt trụ đứng: 20

3.2.3 Kết quả một số ví dụ minh hoạ: 20

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, với tình cảm sâu sắc và chân thành nhất, cho phép nhóm được bày tỏ lòngbiết ơn đến cô Lê Nguyễn Hạnh Vy và thầy Nguyễn Trọng đã tận tình giảng dạy và hướngdẫn các sinh viên trong suốt thời gian môn học Nhờ có những lời hướng dẫn, dạy bảo củacác Thầy Cô nên đề tài của nhóm mới có thể hoàn thiện tốt đẹp Với vốn kiến thức đượctiếp thu trong quá trình học không chỉ là nền tảng cho nhóm nói riêng và tất cả các bạn sinhviên khác nói riêng khi làm bài tập lớn mà còn là hành trang quý báu để bước vào đời mộtcách vững chắc và đầy tự tin Vì đây không phải là lần đầu làm bài tập lớn của nhóm, nhưngtuy vậy vẫn có thể có nhiều sai sót để nhìn nhận, cải thiện và hoàn thành tốt hơn trong tương lai.Tiếp đến, nhóm xin gửi lời tri ân tới các thầy cô trường Đại học Bách Khoa – ĐHQGThành phố Hồ Chí Minh – những người đã cùng góp sức truyền đạt kiến thức để giúp các bạn

có được nền tảng tốt như ngày hôm nay Ngoài ra, không thể không nhắc tới gia đình, bạn

bè người thân đã là hậu phương vững chắc, là chỗ dựa tinh thần của các sinh viên trong thờigian qua Bên cạnh đó là cảm ơn sự nỗ lực của từng thành viên trong nhóm để nhóm có thểhoàn thành nội dung bài tập và đạt được kết quả tốt Sự thành công của bài tập lớn không thểkhông kể đến công ơn của mọi người

Do chưa có nhiều kinh nghiệm làm đề tài cũng như những hạn chế về kiến thức, trongbài chắc chắn sẽ không tránh khỏi nhiều thiếu sót Nhưng sau tất cả, nhóm nhận thức rằng vớilượng kiến thức và kinh nghiệm ít ỏi của mỗi thành viên, chắc chắn bài luận sẽ khó tránh khỏithiếu sót Rất mong quý thầy cô thông cảm và đưa ra sự nhận xét, ý kiến đóng góp, phê bình

để bài tập lớn của nhóm được hoàn thiện hơn

Cuối cùng xin kính chúc các thầy Cô sức khỏe dồi dào, gia đình hạnh phúc, gặp nhiềumay mắn và sự nghiệp nở hoa trên con đường nhà giáo cao quý Một lần nữa nhóm xin chânthành cảm ơn thầy cô!

LỜI MỞ ĐẦU

Giải tích là môn học đại cương có tầm quan trọng đối với sinh viên các ngành thuộc khốiKhoa học kỹ thuật – Công nghệ nói chung và sinh viên Đại học Bách Khoa Tp.HCM nói riêng.Giải tích ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực của đời sống như: khoa học, kinh tế, môi trường,

xử lí tín hiệu, đồ họa, công nghệ máy tính, trí tuệ nhân tạo, Do đó, việc dành nhiều thời giancho môn học này là điều tất yếu để giúp cho sinh viên có được cơ sở vững chắc về các mônkhoa học tự nhiên và làm tiền đề để học tốt các môn học khác Sự phát triển của toán tin rađời đã hỗ trợ rất lớn trong quá trình phát triển của giải tích Việc ứng dụng tin học trong quátrình giải thích các cơ sở dữ liệu của đại số, giải các bài toán đại số đã làm cho thời gian bỏ rađược rút ngắn lại và mang lại hiệu quả cao hơn

Trong chương trình học, giải tích tập trung xoay quanh các nội dung như: giới hạn, liêntục, đạo hàm, vi phân, tích phân và chuỗi Nhưng, tích phân có lẽ là vấn đề luôn được nhiềuhọc sinh/ sinh viên quan tâm, vì đây là nội dung khá khó, mới mẻ và chiếm khối lượng kiếnthức rộng lớn Hơn thế nữa, tích phân đường còn là một phạm trù mới hoàn toàn mà ở bậcTHPT chúng ta chưa từng được tiếp cận nhưng lại có ứng dụng rất nhiều trong thực tế (nhưtính khối lượng một sợi dây mỏng hay tính công do một lực thực hiện trên một đường cong, )

Ở bài tập lớn này, nhóm chúng em thực hiện nội dung “Ứng dụng của tích phân đường”.Đây là một đề tài không dễ để có thể hoàn thành nhưng nhóm hi vọng sau đề tài này sẽ giúpcác bạn học sinh/ sinh viên đến gần hơn với tích phân và không còn cảm thấy khô khan, khóhiểu khi giải những bài tập liên quan đến tích phân, đặc biệt là tích phân đường

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾTYêu cầu 1 Giới thiệu tích phân đường: cách hình thành và cách tính.

1.1 Tham số hoá đường cong:

Có 3 dạng tham số hoá đường cong thường gặp trong đường cong phẳng:

- Theo toạ độ Descartes: tham số là x hoặc y

- Theo tham số dạng tổng quát t

- Theo toạ độ cực: tham số là r hoặc ϕ

1.1.1 Tham số hoá đường cong phẳng dạng tổng quát:

y = b + R sin t với 0 ≤ t ≤ 2π (hoặc −π ≤ t ≤ π)

- TH3: Phương trình tham số của ellipse: x

Chúng ta có thể tham số hoá đường cong phẳng dạng toạ độ cực như sau:

Nguyên tắc: Tham số hóa cho 2 biến trong mặt phẳng để suy ra tham số cho biến thứ 3

- Bước 1: Chiếu đường cong lên mặt phẳng thích hợp

- Bước 2: Tham số hóa cho đường cong trong hình chiếu (trong mặt phẳng)

- Bước 3: Tham số hóa cho biến còn lại

1.2 Tích phân đường loại 1:

1.2.1 Cách hình thành tích phân đường loại 1:

Cho bài toán sau: Cho một hàng rào có dạng theo hàm số z = f (x, y) ≥ 0 và đường cong(C) trong mặt phẳng tọa độ Oxy Hãy tính diện tích của hàng rào đó dọc theo đường (C) cóchiều cao tại mỗi điểm (x, y) là f (x, y)

Hình 1.1 Hàng rào dọc theo (C) có chiều cao tại mỗi điểm (x, y) là f (x, y).

Cách tính: Đặt đường cong (C) = AB liên tục và xác định trong mặt phẳng Oxy Ta sẽchia AB thành những cung nhỏ⌢ Ak−1⌢Ak bởi những điểm A0 ≡ A, A1, , Ak−1Ak, , An ≡ B

Độ dài của những cung nhỏ

AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia:

A0 ≡ A, A1, , Ai−1, Ai, , An≡ B, gọi độ dài cung Ai−1⌢Ai là ∆si (i = 1, n)

Hình 1.3 Chia cung AB thành những cung nhỏ

b) Nếu gọi L là độ dài cung AB thì L =⌢

Z

⌢

AB

1ds

x = x(t)

y = y(t)

z = z(t)

với t1 ≤ t ≤ t2:Z

+ Phương trình tổng quát y = y(x), với a ≤ x ≤ b:

Z

C

f (x, y)ds =

Z b a

f x, y(x)

q

1 +y′(x)2

dx+ Phương trình tổng quát x = x(y), với c ≤ x ≤ d:

Z

C

f (x, y)ds =

Z d c

f x(y), y

q

1 +x′(y)2dyd) TH4: (C) có phương trình trong hệ toạ độ cực: r = r(φ):

Phương trình (C) trong dạng toạ độ cực:

Z

C

f (x, y)ds =

Z β α

f r(φ) cos φ, r(φ) sin φ

q

r(φ)2+r′(φ)2dφ1.3 Tích phân đường loại 2:

1.3.1 Cách hình thành tích phân đường loại 2:

Cho bài toán sau: Một chất điểm M di chuyển dọc theo một cung phẳng từ điểm A đếnđiểm B dưới tác dụng của lực −→

Cách tính: chia cungAB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia: A⌢ 0, A1, , Ai−1, Ai, , An.Gọi ∆si là độ dài cung

⌢

Ai−1Ai và các thành phần vectơ −−−−→

Ai−1Ai là ∆xi, ∆yi, i = 1, n

Hình 1.4 Chia cung AB thành những cung nhỏ⌢ Ai−1⌢Ai và các thành phần vectơ−−−−→

Ai−1Ai.Lấy tuỳ ý Mi(xi, yi) thuộc cung

⌢

Ai−1Ai Nếu cung

⌢

Ai−1Ai khá nhỏ có thể coi nó xấp xỉdây cung Ai−1Ai và−→

F (M) không đổi (cả chiều và độ lớn) trên cung đó Vì vậy, có thể coi rằngcông của lực sinh ra khi chất điểm di chuyển từ Ai−1 đến Ai theo cung Ai−1⌢Ai sẽ xấp xỉ bằng

Ý tưởng tính công của lực dẫn đến định nghĩa của tích phân đường loại 2

Tương tự như vậy, ta định nghĩa tích phân đường loại 2 như sau:

- Cho hai hàm số P (x, y) và Q(x, y) xác định trên cung AB.⌢

- Chia cung

⌢

AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia: A0 ≡ A, A1, , Ak−1Ak, , An≡ B,gọi toạ độ của vectơ −−−−→

Ai−1Ai là ∆xi, ∆yi và độ dài cung Ai−1⌢Ai là ∆si (i = 1, n)

- Lấy tuỳ ý Mi(xi, yi) thuộc cung

Ai−1Ai thì số I chính là tích phân đường loại 2 của các hàm

P (x, y), Q(x, y) dọc theo cung

+ Phương trình tổng quát y = y(x), với x = a là điểm đầu, x = b là điểm cuối:

Z

C

P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

Z b a

h

P x, y(x)
+ Q x, y(x)
y′

(x)idx+ Phương trình tổng quát x = x(y), với y = c là điểm đầu, y = d là điểm cuối:

Z

C

P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

Z b a

h

P x(y), y
x′

(y) + Q x(y), y
dy1.3.4 Định lý Green:

1 Điểm M (x, y) của đường cong (C) được xác định bởi

nx = x(t)

y = y(t)với a⩽ t ⩽ b được gọi

là điểm bội hay điểm tự cắt của đường cong (C)

2 Đường cong (C) không chứa điểm bội được gọi là đường cong đơn giản

3 Đường cong (AB) được gọi là đường cong khép kín, nếu điểm đầu A và điểm cuối

B trùng nhau

4 Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu như với hai điểm bất kỳ A, B ∈ Dthì tồn tại một đường cong nối A, B cũng thuộc D

5 Miền phẳng D được gọi là miền đơn liên khi thỏa mãn tính chất:

a Miền phẳng D là miền liên thông;

b Nếu đường cong đơn giản khép kín (C) nằm trọn trong miền D thì miền D’ có biên làđường cong (C) sẽ nằm trọn trong D

6 Miền phẳng D không phải là miền đơn liên, được gọi là miền đa liên

7 Chiều dương của đường cong đơn giản, khép kín (C) là chiều ngược chiều kim đồng

hồ Chiều âm của đường cong đơn giản, khép kín (C) là chiều cùng chiều kim đồng hồ

Hình 1.5 Các đường cong trong mặt phẳng

Hình 1.6 Miền đơn liên, miền đa liên

Hình 1.7 Chièu dương chiều âm của đường cong đơn giản, khép kín

8 Đường cong (C) được xác định bởi

nx = x(t)

y = y(t)với a⩽ t ⩽ b được gọi là được gọi là trơntừng khúc nếu (C) có thể chia thành nhiều đoạn nhỏ và trên mỗi đoạn nhỏ này x(t), y(t) lànhững hàm liên tục

Định lý Green: Trong mặt phẳng Oxy, cho miền D là miền đóng có biên là đường congđơn giản, khép kín trơn từng khúc (C) và các hàm P (x, y), Q(x, y) liên tục cùng với các đạohàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trong D Khi đó ta có:

Dấu "+" là chiều lấy tích phân trùng với chiều dương quy ước, ngược lại, ta lấy dấu "-".1.3.5 Tích phân không phụ thuộc vào đường đi:

Cho các hàm P (x, y), Q(x, y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liêntục trong miền mở đơn liên D chứa cung

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = u(xB, yB) − u(xA, yA)

⇔ Tích phân trên mọi chu tuyến kín C, trơn từng khúc trong D bằng 0:

I =I

C

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

Yêu cầu 2 Đưa ra ứng dụng của tích phân đường, ít nhất 5 ví dụ thực tế (số liệu cụ thểtrên thực tế) Nêu cách tính thực tế mỗi ứng dụng được trình bày

2.1 Ứng dụng của tích phân đường loại 1:

2.1.1 Ứng dụng 1: Tính quãng đường, chu vi, độ dài đường cong:

Ví dụ:

a) Để viền cổ áo đẹp, không bị bai dão hay dúm, chúng ta cần phải tính chính xác đượcchiều dài đường cổ áo Mẫu cổ áo hình tim có hình dạng của parabol Ví dụ khi hạ cổ áo hình timvới chiều cao là 12,5cm, chiều rộng là 5cm thì đường cổ áo chính là parabol y = x

2

2 , −5 ⩽ x ⩽ 5với đơn vị hệ Oxy trục là cm Hãy tính chiều dài cung đường cổ áo từ điểm A tới điểm B đểviền cổ chiếc áo đẹp

+ Điểm thấp nhất của sợi cáp chính cách mặt biển khoảng 97m → h = 97

+ Chiều dài nhịp chính (khoảng cách giữa hai tháp) là 1991m → −995, 5⩽ x ⩽ 995, 5+ Hai tháp cao 297m tính từ mặt biển, khi đó x = ±995, 5, y = 297

→ 297 = a(995, 5)2+ 97 → a = 800

19912

Vậy hàm số của sợi cáp chính là đường parabol y = 800

19912x2+ 97Chiều dài của sợi cáp chính được xác định như sau:

2.1.2 Ứng dụng 2: Tính khối lượng, khối tâm và moment quán tính:

Ví dụ: Cho sợ dây mảnh có hình dạng một phần của parabol x = y2−y +1 với 0 ⩽ y ⩽ 2.Hàm mật dộ khối lượng của dây là p(x, y) = √

x − 0.5 Hãy tính khối lượng, khối tâm và ment quán tính của sợi dây, bỏ qua đơn vị tính

3

=

Z 2 0

(y2− y + 1)py2− y + 1 − 0.5p1 + (2y − 1)2dy

103

= 4625

+ yG =

Z

C

yp(x, y)dsZ

3

=

Z 2 0

ypy2− y + 1 − 0.5p1 + (2y − 1)2dy

103

= 75

- Moment quán tính của sợi dây được xác định như sau:

y2py2− y + 1 − 0.5p1 + (2y − 1)2dy = 112

15 ≈ 7, 47+ Iy =

(y2− y + 1)2p

y2− y + 1 − 0.5p1 + (2y − 1)2dy = 454

35 ≈ 12, 972.1.3 Ứng dụng 3: Tính giá trị trung bình:

Ví dụ: Cho một dây dẫn nhiệt được uốn cong theo một đường cong (C) có phương trìnhtham số x(t) = 2t, y(t) = 3t2 với t ∈ [0, 1] và nhiệt độ tại mỗi điểm trên dây được mô tả bởimột hàm số T (x, y) = x2+ y2 phụ thuộc vào tọa độ của điểm đó Hãy tính giá trị trung bìnhcủa nhiệt độ dọc theo đoạn dây này, bỏ qua đơn vị tính

T =

Z

C

T (x, y)dsZ

q

x′(t)2+y′(t)2dt

Z t 2

t 11

1p22+ (6t)2dt

= 5, 273

2.1.4 Ứng dụng 4: Tính diện tích bờ tường, hàng rào:

Ví dụ: Trong khuôn viên một nhà hàng, ban quản lý làm một tiểu cảnh hình trái timnhư trong hình vẽ dưới đây Trong đó, phần phía dưới được bao bởi đường hình tim màu xanhtrồng cỏ xanh có phương trình là: x(t) = (1 + cos t) cos t, y(t) = (1 + cos t) sin t, 0⩽ t ⩽ 2π,

phía trên (kết đèn màu vàng) là giao tuyến của mặt phẳng z = 2 − x và mặt trụ, xung quanhlàm thành bức tường hoa màu hồng Đơn vị tính trên các trục là mét Tính diện tích bức tườnghoa hồng.

| 2 − (1 + cos t) cos t | p(− sin x − sin 2x)2+ (cos x + cos 2x)2dt = 9, 6 m2

2.2 Ứng dụng của tích phân đường loại 2:

2.2.1 Ứng dụng 1: Tính công sinh ra bởi một lực F:

Ví dụ: Tính công trường lực −→

F (x, y) = (y2− arctan x)−→i + (3x − sin y)−→

j khi một chấtđiểm di chuyển dọc biên miền D = {(x, y) ∈ R2, x2 ⩽ y ⩽ 4} theo chiều kim đồng hồ, bỏ quađơn vị tính

Z 2

−2

(x4− 3x2− 4)dx = 19.22.2.1 Ứng dụng 2: Tính diện tích các sản phẩm:

Giải:

Ta có:  x(t) = 10 cos3t

y(t) = 10 sin3t với 0⩽ t ⩽ 2π → x

′(t) = −30 cos2x sin x

y′(t) = 30 sin2x cos x+ Diện tích miền D bị giới hạn:

S = 4, 5.75π

2 =

675π

4 ≈ 530, 14 cm2