CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT

CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Tích phân đường mở rộng tích phân xác định tích phân mặt mở rộng tích phân hai lớp Tích phân đường lấy tích phân cung cong thay cho đoạn thẳng, tích phân mặt lấy mặt cong thay cho miền phẳng, đồng thời tính tích phân cịn để ý đến việc định hướng đường cong mặt cong Hầu hết toán kỹ thuật liên quan đến trường véctơ liên quan đến tích phân đường, tích phân mặt Chẳng hạn: tính cơng lực, tính thơng lượng trường… Chính ý nghĩa thực tiễn tích phân đường, tích phân mặt lớn 7/4/2017 (1) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT NỘI DUNG Tích phân đƣờng loại Tích phân đƣờng loại Công thức Green định lý mệnh đề tƣơng đƣơng Tích phân mặt loại Tích phân mặt loại Cơng thức Stokes, Cơng thức Ostrogradsky 7/4/2017 (2) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT NỘI DUNG Tích phân đƣờng loại Tích phân đƣờng loại Công thức Green định lý mệnh đề tƣơng đƣơng Tích phân mặt loại Tích phân mặt loại Công thức Stokes, Công thức Ostrogradsky 7/4/2017 (3) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT 3.1 TÍCH PHÂN ĐƢỜNG LOẠI MỘT 3.1.1 Định nghĩa tích phân đƣờng loại Cho hàm số f ( x, y ) xác định cung phẳng AB Chia cung AB làm n cung nhỏ điểm chia y B A0  A, A1, , Ai 1, Ai , , An  B Ai Mi Ai 1 A  yi xi Ta gọi độ dài cung Ai 1 Ai si , (i  1, n) Lấy tuỳ ý n điểm M i ( xi , yi )  Ai 1 Ai , (i  1, n) x a o b n Tổng I n   f ( xi , yi )si i 1 gọi tổng tích phân đường loại hàm f ( x, y ) cung AB ứng với phân hoạch cách chọn tuỳ ý điểm M i ( xi , yi )  Ai 1 Ai , (i  1, n) 7/4/2017 (4) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Nếu n   cho max si  0, I n hội tụ số I không phụ thuộc cách chia cung AB cách chọn M i ( xi , yi )  Ai 1 Ai , (i  1, n) số I gọi tích phân đường loại f ( x, y ) dọc theo cung AB ký hiệu  f ( x, y )ds AB Vậy I n f ( xi , yi )si    max s 0 i 1 lim i f ( x, y )ds AB ds ký hiệu yếu tố độ dài cung hay vi phân cung Nếu f ( x, y, z ) khả tích cung AB  tích phân đường loại f ( x, y, z ) cung AB ký hiệu I  f ( x, y, z )ds AB 7/4/2017 (5) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Cung AB gọi cung trơn tiếp tuyến biến thiên liên tục Cung AB gọi cung trơn khúc chia cung AB thành hữu hạn cung trơn Có thể chứng minh được: Nếu cung AB trơn trơn khúc f ( x, y ) liên tục cung AB f ( x, y ) khả tích cung AB Tích phần đường loại có tính chất giống tích phân xác định  ( f   g )( x, y)ds    AB AB  AC 7/4/2017 f ( x, y )ds   f ( x, y )ds   AB f ( x, y )ds   g ( x, y)ds AB  f ( x, y )ds BC (6) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Nhận xét a) Từ định nghĩa ta thấy chiều cung AB khơng đóng vai trị In khơng phụ thuộc vào hướng cung AB Vậy   f ( x, y )ds  AB f ( x, y )ds BA b) Nếu gọi l độ dài cung AB l  ds AB 7/4/2017 (7) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT c) Nếu dây vật chất có dạng cung AB mật độ khối lượng  ( x, y ) khối lượng dây vật chất tính theo cơng thức M   ( x, y)ds AB Tọa độ trọng tâm G cung cho công thức xG  M 7/4/2017  AB x  ( x, y )ds, yG  M  y  ( x, y )ds AB (8) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT 3.1.2 Cơng thức tính tích phân đƣờng loại Đƣờng cong đồ thị hàm số AB : y  y ( x), a  x  b  b f ( x, y )ds   f ( x, y ( x))  y '2 ( x)dx a AB Đƣờng cong cho dƣới dạng phƣơng trình tham số  x  x(t ) AB  , t1  t  t2  y  y (t )  AB 7/4/2017 t2 f ( x, y )ds   f [ x(t ), y (t )] x '2 (t )  y '2 (t )dt t1 (9) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Đƣờng cong không gian  x  x(t )  AB  :  y  y (t ), t1  t  t2  z  z (t )   t2 f ( x, y, z )ds   f ( x(t ), y (t ), z (t )) x2 (t )  y2 (t )  z2 (t )dt t1 AB Đƣờng cong dạng tọa độ cực AB : r  r ( ), 1    2  x2 ( )  y2 ( )  r ( )  r2 ( )  f ( x, y )ds  AB 7/4/2017 2  f  r ( )cos  , r ( )sin   r ( )  r 2 ( )d 1 (10) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ví dụ 3.13 Tìm thông lượng trường véctơ F  ( z ,0, x ) qua phía mặt cong z  x  y , 1  x  1, 1  y  2 z    zdydz  x 2dxdy S S O x D y Do mặt cong S đối xứng qua mặt tọa độ Oyz nên S 1  x  Vậy    x dxdy   x dxdy ; D    y   S D 1 2    x dxdy   x dx  dy  D 1 1 7/4/2017  zdydz  (57) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ví dụ 3.14 Tính I   zdxdy S với S phía ngồi mặt cầu x  y  z  R Chia mặt cầu thành nửa S  nửa S  có phương trình 2 2 z  R  x  y z   R  x  y z Chiếu nửa mặt cầu lên Oxy ta R z  R2  x2  y2 D : x2  y  R2 -R x R R 2 y z  R  x  y 2 I   zdxdy   zdxdy  2 R  x  y dxdy S 2 2 S D R I   d  0 R  r r.dr   R 2 Cách khác 1 R  R 2 I   zdxdy   z cos  dS   z 2dS  ( x  y  z )dS   dS   R S 3R S S S S 7/4/2017 (58) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT NỘI DUNG Tích phân đƣờng loại Tích phân đƣờng loại Công thức Green định lý mệnh đề tƣơng đƣơng Tích phân mặt loại Tích phân mặt loại Công thức Stokes, Công thức Ostrogradsky 7/4/2017 (59) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT NỘI DUNG Tích phân đƣờng loại Tích phân đƣờng loại Cơng thức Green định lý mệnh đề tƣơng đƣơng Tích phân mặt loại Tích phân mặt loại Công thức Stokes, Công thức Ostrogradsky 7/4/2017 (60) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT 3.6 CƠNG THỨC STOKES, CƠNG THỨC ODSTROGRADSKY 3.6.1 Cơng thức Stokes Cơng thức Stokes mở rộng cơng thức Green, mối liên hệ tích phân đường loại hai khơng gian với tích phân mặt loại hai Định lý 3.7 (Stokes) Giả sử mặt cong S định hướng được, trơn mảnh có biên đường L trơn khúc hàm số P, Q, R liên tục với đạo hàm riêng cấp chúng mặt cong S Khi  R Q   Q P   P R   Pdx  Qdy  Rdz    y  z  dydz   z  x  dzdx   x  y  dxdy L S tích phân đường vế trái lấy theo hướng dương L Hướng dương L quy ước: theo hướng mặt cong S phía tay trái mặt cong S định hướng véc tơ pháp tuyến n hướng từ chân lên đầu 7/4/2017 (61) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Nhận xét 3.6 Khi thay z  0, R( x, y, z )  vào công thức Stokes ta nhận công thức Green Cho trường véc tơ F  ( P, Q, R) ;  R Q P R Q P  rot F   ; F     ,  ,    y z z x x y  Công thức Stokes viết dạng dydz dxdz dxdy  Pdx  Qdy  Rdz   rot F n.dS   L S S  x P  y Q  z R Xuất phát từ công thức Stokes, ta nhận định lý bốn mệnh đề tương đương xét khơng gian 7/4/2017 (62) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Định lý 3.8 Giả sử hàm P, Q, R liên tục với đạo hàm riêng cấp chúng miền đơn liên V Khi bốn mệnh đề sau tương đương R Q P R Q P 1)  ,  ,  , ( x, y, z ) V y z z x x y 2)  Pdx  Qdy  Rdz  , L L đường cong kín nằm miền V 3)  Pdx  Qdy  Rdz , AB  V , AB không phụ thuộc vào dạng cung AB 4) Biểu thức Pdx  Qdy  Rdz vi phân toàn phần hàm u ( x, y, z ) miền V  Pdx  Qdy  Rdz  u( B)  u( A) 7/4/2017 AB (63) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ví dụ 3.15 Tính I   ydx  zdy  xdz C với C đường tròn, giao mặt cầu x  y  z  R mặt phẳng x  y  z  hướng C ngược chiều kim đồng hồ nhìn phía z  Mặt phẳng x  y  z  qua tâm mặt cầu, giao tuyến đường trịn lớn có véc tơ n pháp tuyến hướng z  n  (1,1,1) 2 2 (1,1,1) Áp dụng công thức Stokes với n0  i j k rot F   / x  / y  / z  (1, 1, 1) y z x I  C 7/4/2017 ydx  zdy  xdz   rot F n0 dS    dS   3 R S S (64) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT 3.6.2 Cơng thức Gauss - Ostrogradsky Định lý 3.9 (Gauss – Ostrogradski) Giả sử hàm số P, Q, R liên tục với đạo hàm riêng cấp chúng miền giới nội V  kín S trơn mảnh Khi có biên mặt  P Q R   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy    x  y  z  dxdydz S V mặt lấy tích phân định hướng phía ngồi 7/4/2017 (65) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Nhận xét 3.8 Bằng cách xét P  x, Q  y, R  z ta nhận cơng thức tính thể tích vật thể V nhờ vào tích phân mặt loại hai V   xdydz  ydzdx  zdxdy S S định hướng phía ngồi miền V Có thể coi công thức Gauss – Ostrogradsky mở rộng công thức Green từ không gian hai chiều ba chiều Đơi tính tích phân mặt S khơng kín, ta thêm mặt cong để áp dụng công thức Gauss –Ostrogradsky Cho trường véc tơ F  ( P, Q, R) ; Công thức Gauss – Ostrogradsky viết dạng  F n.dS   div Fdxdydz S 7/4/2017 V (66) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Hệ 3.10 Giả sử hàm số P, Q, R liên tục với đạo hàm riêng cấp chúng miền giới nội V  có biên ngồi mặt kín S , biên mặt kín S1 trơn mảnh Khi  Pdydz  Qdzdx  Rdxdy   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy S S1  P Q R       dxdydz  x y z  V  P Q R Đặc biệt    x y z  Pdydz  Qdzdx  Rdxdy   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy S 7/4/2017 S1 (67) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ví dụ 3.16 Tính I   xzdydz  yxdzdx  zydxdy S lấy theo phía ngồi mặt S biên hình chóp z x  0, y  0, z  0, x  y  z  1 Áp dụng công thức Gauss-Odstrogradsky I   ( z  x  y )dxdydz D O x V y 1 x  y I   dxdy  D 1 x  y 1 x ( x  y  z )dz   1 2 I   dxdy  ( x  y ) z  z  dx  ( x  y ) dy        z  D   0 y 1 x  1  1  1 3   dx  y  ( x  y )    1  x   x  dx     3  y 0  7/4/2017 (68) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ví dụ 3.17 q.r Tính thơng lượng trường điện từ F  qua phía ngồi r 2 2 mặt cầu: x  y  z  R q điện tích đặt gốc toạ độ, r  xi  y j  zk x y z P  q , Q  q , R  q , ( x, y, z )  (0,0,0) r r r Không thể áp dụng cơng thức Gauss–Odstrogradsky hình cầu   q  S ( xdydz  ydzdx  zdxdy ) r Tuy nhiên áp dụng cơng thức Gauss–Odstrogradsky cho tích phân q  R 7/4/2017 q q  ( xdydz  ydzdx  zdxdy)  R3  3dxdydz  R3 3  R S V    4 q (69) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ví dụ 3.18 3 Tính thơng lượng trường véc tơ F ( x , y , z ) qua phía ngồi phần mặt trụ x  y  R , x  0, y  ,  z  h 2    x3dydz  y 3dxdz  z 3dxdy S  k   x dydz  y 3dxdz  z 3dxdy 1    3  Sk    h3dxdy  h D  R   ; D  ( x, y ) : x  y  R , x  0, y  Áp dụng công thức Gauss-Odstrogradsky ta   1    3    3 ( x  y  z )dxdydz  RV 0 h 2 2 ( x  y  z ) dxdydz  d  rdr ( r  z )dz      V   3( 7/4/2017  hR  h R 12 )h  hR 3 hR    h3 R 12  R (70) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ta tính trực tiếp    x3dydz  y 3dxdz  z 3dxdy S x y  n   , ,0    z 3dxdy  R R  S y  dxdz   n   R2  x2 D1 Đổi biến  S R dxdz   x  R sin t R h Tương tự 7/4/2017   D1  R2  x2 R2  x2 R2  x2    dxdz h R dx  dz  h  0  /2 dx  hR   R2  x2  dx  hR cos tdt  16 4  hR  hR x  dydz  16    S (71) ... x  y OA 2 y )dx  ( x  yx  y e 2  y3 )dy   y e dy  1  y3  y3 1    e d ( y )   e  (1  )  J   (1  ) e 30 3 e 7/4/2017 (30 ) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Định...  C 3 x y 2  u   x y  3x   y  y  C 3 7/4/2017 (33 ) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ví dụ 3. 10 xdy  ydx Tính I   , A(1,1), B( 3, 3) 2 x y AB a) Cung AB cho phương trình: y... Stokes, Công thức Ostrogradsky 7/4/2017 (26) CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT 3. 3 CÔNG THỨC GREEN VÀ ĐỊNH LÝ BỐN MỆNH ĐỀ TƢƠNG ĐƢƠNG Định lý 3. 3 (Công thức Green ) Cho hàm số P( x, y ) , Q(