File đầy đủ lý thuyết, bài tập và lời giải Chương 3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT Tích phân đường loại một Định nghĩa, tính chất và cách tính Tích phân đường loại 2 Định nghĩa, tính chất và cách tính Tích phân mặt loại 1 Định nghĩa, tính chất và cách tính Tích phân mặt loại 2 Định nghĩa, tính chất và cách tính
Chương TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT 3.1 Tích phân đường loại 3.1.1 Định nghĩa tích phân đường loại Bài toán vật lý dẫn đến khái niệm tích phân đường loại Giả sử mặt phẳng tọa độ Oxy có sợi dây AB mảnh (chỉ có độ dài,t cịn tiết diện khơng đáng kể) có khối lượng riêng điểm (x,y)AB biểu diễn hàm số f(x,y) đơn trị, liên tục không âm Yêu cầu tìm khối lượng m sợi dây AB Để tính m, ta thực sau: Chia AB thành n cung nhỏ tùy ý không dẫm lên điểm A A0, A1, A2, …, An-1, An B ký hiệu độ dài cung nhỏ Ai-1Ai si (1 i n) Trên cung Ai-1Ai lấy điểm (xi,yi) tùy ý, cung Ai-1Ai đủ nhỏ ta coi giá trị f(xi,yi) khơng đổi cung Ai-1Ai; đó, khối lượng cung nhỏ Ai-1Ai mi f(xi,yi).si Như vậy, cung Ai-1Ai (1 i n) đủ nhỏ coi khối lượng sợi dây AB n m = m1 + m2 + … + mn f(x1,y1).s1 + f(x2,y2).s2 + … + f(xn,yn).sn = f ( x i , y i ).s i i =1 n Tổng f ( x i , y i ).s i có độ xác cao, tức giá trị biểu thức gần khối lượng i =1 thực m sợi dây AB n lớn tất si (1 i n) bé Do đó, khối lượng m n sợi dây AB giới hạn tổng f ( x i , y i ).s i n → với độ dài cung nhỏ si (1 i =1 n i n) bé dần 0, tức m = lim f ( x i , y i ).s i = max si →0 n → i =1 1in Định nghĩa tích phân đường loại Cho đường cong phẳng L cung AB mặt phẳng tọa độ Oxy hàm số f(x,y) xác định, đơn trị liên tục với (x,y)AB Chia cung AB thành n cung nhỏ tùy ý không dẫm lên điểm A A0, A1, A2, …, An-1, An B ký hiệu độ dài cung nhỏ Ai-1Ai si (1 i n) Trên n cung Ai-1Ai lấy điểm (xi,yi) tùy ý lập tổng I n = f ( x i , y i ).s i i =1 Nếu n → cho = max si → mà In → I giá trị hữu hạn, không phụ thuộc vào 1in cách chia cung AB cách lấy điểm (xi,yi) cung Ai-1Ai giá trị hữu hạn I gọi tích phân đường loại hàm số f(x,y) cung AB (hay đường cong phẳng L) ký hiệu n I = f ( x, y)ds = f ( x, y)ds = lim I n = lim f ( x i , yi ).si AB n → L →0 i =1 Khi hàm số dấu tích phân f(x,y) gọi khả tích cung AB (hay đường cong L), ds gọi vi phân cung Nếu hàm số f(x,y) đơn trị liên tục với (x,y)L khả tích đường cong L Hồn tồn tương tự, ta định nghĩa tích phân đường loại đường cong L không gian chiều, tức I = f ( x , y, z )ds L 3.1.2 Tính chất tích phân đường loại Đối với tích phân đường loại đường cong phẳng (1) Tích phân đường loại khơng phụ thuộc vào chiều tính tích phân từ A đến B hay ngược lại, tức f ( x , y)ds = f ( x , y)ds AB BA Các tính chất khác tích phân đường loại giống tính chất tích phân xác định 138 (2) f ( x, y) + f ( x , y)ds = f ( x , y)ds + f ( x , y)ds L L L (3) f ( x , y)ds = f ( x , y)ds (hằng số R) L L L = L1 L (4) f ( x , y)ds = f ( x , y)ds + f ( x , y)ds L L = L L1 L2 Hoàn tồn tương tự tích phân đường loại đường cong không gian chiều 3.1.3 Cách tính tích phân đường loại Đối với tích phân đường loại đường cong phẳng x = x ( t ) (1) Nếu cung phẳng AB cho dạng tham số ( t ) y = y( t ) f ( x, y)ds = f (x ( t ), y( t ) ) x ' ( t ) + y' ( t ) dt AB (21) Nếu cung AB cho phương trình y = y(x) (a x b), lấy x làm tham số, tức b x = x (a x b) f ( x, y)ds = f (x, y( x ) ) + y' ( x ) dx y = y( x ) AB a (22) Nếu cung AB cho phương trình x = x(y) (c y d), lấy y làm tham số, tức d x = x ( y) (c y d) f ( x, y)ds = f (x ( y), y ) + x ' ( y) dy y = y AB c Hoàn toàn tương tự tích phân đường loại đường cong khơng gian chiều x = x ( t ) (1) Nếu cung AB không gian chiều cho dạng tham số y = y( t ) ( t ) z = z ( t ) f ( x, y, z)ds = f (x ( t ), y( t ), z( t ) ) x ' ( t ) + y' ( t ) + z' ( t ) dt AB 2 y = y( x ) (21) Nếu cung AB cho phương trình (a x b), lấy x làm tham z = z ( x ) x = x b 2 số, tức y = y( x ) (a x b) f ( x, y, z)ds = f (x, y( x ), z( x ) ) + y' ( x ) + z' ( x ) dx AB a z = z ( x ) x = x ( y) (22) Nếu cung AB cho phương trình (c y d), lấy y làm tham z = z ( y ) x = x ( y) d 2 số, tức y = y (c y d) f ( x, y, z)ds = f (x ( y), y, z( y) ) + x ' ( y) + z' ( y) dy AB c z = z ( y ) x = x (z) (23) Nếu cung AB cho phương trình (e z f), lấy z làm tham số, y = y( z ) x = x (z) f 2 tức y = y(z) (e z f) f ( x, y, z)ds = f (x (z), y(z), z ) + x ' (z) + y' (z) dz AB e z = z 139 Lưu ý (1) Vì tích phân đường loại khơng phụ thuộc vào chiều tính tích phân nên giá trị hai cận tích phân, giá trị nhỏ cận giá trị lớn cận (2) Nếu L đường cong kín dùng ký hiệu f ( x , y)ds = f ( x , y)ds (L đường cong L L phẳng) tương tự f ( x , y, z)ds = f ( x , y, z)ds (L đường cong không gian chiều) L Ví dụ 3.1 Tính I = L xds OA cung đường parabol y = x từ điểm O(0,0) đến điểm OA A(2,4) Bài giải Cung OA nằm đường parabol y = y(x) = x2 (0 x 2) nên đồ thị hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy 2 Ta có y’(x) = 2x I = xds = x + y' ( x ) dx = x + 4x dx = + 4x d( x ) = 20 OA 0 2 2 +1 1 1 17 17 − 2 + x d ( x ) = ( + x ) d(1 + 4x ) = (1 + x ) = 80 80 (1 2) + 12 2 Ví dụ 3.2 Tính tích phân I = ( x − y)ds L cạnh ABC có tọa độ đỉnh L hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy A(1,1), B(3,1) C(1,5) Bài giải Đồ thị ABC hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy Ta có L = AB + BC + CA I = ( x − y)ds = L (x − y)ds + ( x − y)ds + ( x − y)ds AB BC CA - Tính ( x − y)ds : Lấy x làm tham số, cạnh AB có phương trình y = (1 ≤ x ≤ 3) AB 2 f ( x , y) = f x , y( x ) = x − y = x − 2.1 = x − Ta có 2 y' ( x ) = ds = + y' ( x ) dx = + dx = dx 140 x3 14 ( x − y)ds = ( x − 2)dx = − 2x = 1 AB 2 - Tính ( x − y)ds : Lấy x làm tham số, phương trình đường thẳng nối điểm B(3,1) với điểm BC x − xB y − yB x − y −1 C(1,5) = = y = −2x + (1 ≤ x ≤ 3) x C − x B yC − yB 1− −1 2 f ( x , y) = f [ x , y( x )] = x − 2(−2 x + 7) = x + x − 14 Ta có 2 y' ( x ) = −2 ds = + y' ( x ) dx = + (−2) dx = 5dx x3 x2 10 ( x − y)ds = ( x + 4x − 14) 5dx = + − 14x = − 1 BC 2 - Tính ( x − y)ds : Lấy y làm tham số, cạnh CA có phương trình x = (1 ≤ y ≤ 5) CA 2 f ( x , y) = f [ x ( y), y] = x − y = − y = − y Ta có 2 x ' ( y) = ds = + x ' ( y) dy = + dy = dy ( 2 (x − 2y)ds = (1 − 2y)dy = y − y CA ) = −20 Như I = ( x − y)ds = L 14 10 − 46 − 10 − − 20 = 3 Ví dụ 3.3 Tính tích phân I = (2x + y − 2z)ds AB đoạn thẳng nối điểm A(1,–1,2) với AB điểm B(–1,2, –1) hệ tọa độ Descartes vng góc Oxyz Bài giải Phương trình đường thẳng nối điểm A(1,–1,2) với điểm B(–1,2,–1) x − xA y − yA z − zA x − y − (−1) z−2 = = = = x B − x A yB − yA zB − zA − − − (−1) − − 3 Nếu lấy x làm tham số x = x, y = − x + y( x ), z = x + z( x ) (–1 ≤ x ≤ 1) 2 2 1 3 f (x, y( x ), z( x ) ) = 2x + y( x ) − 2z( x ) = 2x − x + − 2 x + = − x − 22 2 2 ( ) ( ) ds = + y ' ( x ) + z ' ( x ) dx = + − + dx = dx 1 22 22 22 x 22 I = (2x + y − 2z)ds = − x − dx = − ( x + ) dx = − + x = − 2 2 −1 2 −1 AB −1 3.1.4 Ý nghĩa vật lý ý nghĩa hình học tích phân đường loại Nếu hàm số dấu tích phân f(x,y) > (đường cong phẳng L) f(x,y,z) > (đường cong không gian L) xác định liên tục với điểm đường cong, khối lượng riêng đường cong điểm (x,y) đường cong phẳng điểm (x,y,z) đường cong khơng gian, khối lượng m đường cong L m = f ( x , y)ds m = f ( x , y, z)ds (ý nghĩa vật lý) Đặc biệt, f(x,y) = L L ds (L đường cong phẳng) f(x,y,z) = ds (L đường cong không gian) độ dài L L đường cong L (ý nghĩa hình học) 141 Ví dụ 3.4 Tính chu vi đường trịn L bán kính R Bài giải Khơng tính tổng qt, coi đường trịn L bán kính R có tâm gốc tọa độ O(0,0) hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy, phương trình đường trịn L hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy x2 + y2 = R2 đồ thị x ( t ) = R cos t Phương trình tham số đường trịn x2 + y2 = R2 (0 ≤ t ≤ 2), theo ý nghĩa y( t ) = R sin t hình học tích phân đường loại chu vi đường trịn L bán kính R C = ds L Đường tròn L đường cong phẳng khép kín nên điểm L chọn điểm bắt đầu đồng thời điểm kết thúc tính tích phân C = ds Để đơn giản, ta chọn điểm (x,y) L = (R,0) điểm bắt đầu đồng thời điểm kết thúc, tương ứng với tham số = = 2 x ' ( t ) = −R sin t Ta có y' ( t ) = R cos t C = ds = L x ' (t )2 + y' ( t )2 = (−R sin t ) + (R cos t ) = R 2 2 2 0 2 2 x' (t ) + y' (t ) dt = Rdt = R dt = Rt = 2R 3.2 Tích phân đường loại hai 3.2.1 Định nghĩa tích phân đường loại hai Bài tốn vật lý dẫn đến khái niệm tích phân đường loại hai → → Cho chất điểm M(x,y) di chuyển theo cung phẳng AB tác dụng lực F = F( x , y) biến thiên liên tục dọc theo cung AB từ A đến B u cầu tính cơng W di chuyển chất điểm → lực F ( x , y ) từ điểm đầu A đến điểm cuối B cung AB → Giả sử véc tơ F ( x , y ) có thành phần P(x,y), Q(x,y) trục tọa độ Ox, Oy Để tính cơng W, ta thực sau: Chia cung AB thành n cung nhỏ tùy ý không dẫm lên điểm A A0, A1, A2, …, An-1, An B Trên cung Ai-1Ai lấy điểm (xi,yi) tùy ý ký hiệu xi, yi thành phần trục tọa độ Ox, Oy véc tơ A i −1 A i Khi đó, cung Ai-1Ai đủ nhỏ coi → → cung thẳng véc tơ A i −1 A i , lực F ( x , y) coi khơng đổi F( x i , y i ) điểm cung Ai-1Ai → Do đó, ký hiệu Wi công lực F( x i , y i ) tác dụng điểm (xi,yi) làm di chuyển chất → điểm M cung Ai-1Ai Wi F( x i , y i ).A i −1 A i = P( x i , y i ).x i + Q( x i , y i ).y i Như vậy, cung Ai-1Ai (1 i n) đủ nhỏ coi cơng W di chuyển chất → điểm lực F ( x , y ) từ điểm đầu A đến điểm cuối B cung AB 142 n n i =1 i =1 W = W1 + W2 + + Wn = w i P( x i , y i ).x i + Q( x i , y i ).y i Tổng n P( x , y ).x i =1 i i i + Q( x i , y i ).y i có độ xác cao, tức giá trị biểu thức gần với giá trị xác công W, n lớn tất xi (1 i n) yi (1 i n) bé Do đó, giá trị công W giới hạn tổng n P( x , y ).x i =1 i i i + Q( x i , y i ).y i n → với max x i → max y i → 1i n 1in Định nghĩa tích phân đường loại hai Cho hàm số P(x,y), Q(x,y) xác định liên tục cung phẳng AB (hay đường cong phẳng L) Chia cung AB thành n cung nhỏ tùy ý không dẫm lên điểm A A0, A1, A2, …, An-1, An B Trên cung Ai-1Ai lấy điểm (xi,yi) tùy ý, gọi hình chiếu véc tơ A i −1 A i lên trục n tọa độ Ox, Oy tương ứng xi, yi Lập tổng I n = P( x i , y i ).x i + Q( x i , y i ).y i , n → i =1 cho max x i → max y i → mà tổng In → I giá trị hữu hạn, không phụ thuộc vào 1in 1i n cách chia cung AB cách lấy điểm (xi,yi) cung Ai-1Ai giá trị hữu hạn I gọi tích phân đường loại hai hàm số P(x,y), Q(x,y) cung AB (hay đường cong L) ký hiệu I= P(x, y)dx + Q(x, y)dy = P(x, y)dx + Q( x, y)dy AB L Khi hàm số P(x,y), Q(x,y) gọi khả tích cung AB (hay đường cong L) Nếu hàm số P(x,y), Q(x,y) đơn trị liên tục với (x,y)L chúng khả tích đường cong L Hồn tồn tương tự, ta định nghĩa tích phân đường loại hai đường cong L không gian chiều, tức hàm số P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) đơn trị liên tục với (x,y,z)L chúng khả tích đường cong L, tức I = P( x , y, z)dx + Q( x , y, z)dy + R ( x , y, z)dz L 3.2.2 Tính chất tích phân đường loại hai Ngay sau đây, ta nêu tích chất tích phân đường loại hai cung phẳng AB hay đường cong phẳng L, cịn tích phân đường loại hai cung AB hay đường cong L khơng gian chiều có tính chất hồn tồn tương tự (1) Tích phân đường loại hai phụ thuộc vào chiều lấy tích phân từ điểm A đến điểm B hay từ điểm B đến điểm A hình chiếu véc tơ A i −1 A i lên trục tọa độ đổi dấu véc tơ đổi chiều, tức P( x , y)dx + Q( x , y)dy = − P( x , y)dx + Q( x , y)dy AB BA Quy ước Nếu đường lấy tích phân đường loại hai đường cong kín L (điểm đầu A trùng với điểm cuối B), ta quy ước chiều dương đường L chiều cho người đường L theo chiều thấy miền giới hạn đường L luôn bên tay trái Ký hiệu tích phân đường loại hai dọc theo đường cong kín L theo chiều dương P( x, y)dx + Q( x, y)dy theo chiều âm L+ P(x, y)dx + Q(x, y)dy L− Các tính chất khác tích phân đường loại hai giống tính chất tích phân xác định (2) P1 ( x , y)dx + Q1 ( x , y)dy + P2 ( x , y)dx + Q ( x , y)dy = L 143 P (x, y)dx + Q ( x, y)dy + P ( x, y)dx + Q 1 L ( x , y)dy L (3) P( x , y)dx + Q( x , y)dy = P( x , y)dx + Q( x , y)dy (hằng số R) L L L = L1 L (4) P( x, y)dx + Q( x, y)dy = P( x, y)dx + Q( x, y)dy + P( x, y)dx + Q( x, y)dy L L = L L1 L2 3.2.3 Cách tính tích phân đường loại hai x = x ( t ) (1) Nếu cung phẳng AB đường cong phẳng L cho dạng tham số ( t y = y( t ) dx = x ' ( t )dt ) P( x, y)dx + Q( x, y)dy = P(x ( t ), y( t ) )x ' ( t ) + Q(x ( t ), y( t ) )y' ( t )dt dy = y' ( t )dt L (21) Nếu cung phẳng AB đường cong phẳng L cho phương trình y = y(x) (a x b b) dy = y’(x)dx P( x, y)dx + Q( x, y)dy = P(x, y( x ) ) + Q(x, y( x ) )y' ( x )dx L a (22) Nếu cung phẳng AB đường cong phẳng L cho phương trình x = x(y) (c y b d) dx = x’(y)dy P( x, y)dx + Q( x, y)dy = P(x ( y), y )x ' ( y) + Q(x ( y), y )dy L a x = x ( t ) (3) Nếu đường cong không gian L cho dạng tham số y = y( t ) ( t ) z = z ( t ) dx = x ' ( t )dt dy = y' ( t )dt P( x , y, z)dx + Q( x , y, z)dy + R ( x , y, z)dz = L dz = z' ( t )dt P(x(t ), y(t ), z(t ))x' (t ) + Q(x(t ), y(t ), z(t ))y' (t ) + R (x(t ), y(t ), z(t ))z' (t )dt x y2 Ví dụ 3.5 Tính I = xdy − ydx đường ellipse L = + = 1 b a L+ Bài giải dx = x ' ( t )dt = (−a sin t )dt x ( t ) = a cos t Phương trình tham số đường L (0 t 2) dy = y' ( t )dt = (b cos t )dt y( t ) = b sin t L đường cong phẳng khép kín nên điểm L chọn điểm bắt đầu đồng thời điểm kết thúc tính tích phân I = xdy − ydx Để đơn giản, ta chọn điểm (x,y) = L+ (a,0) điểm bắt đầu đồng thời điểm kết thúc, tương ứng với tham số = = 2 2 2 0 I = xdy − ydx = (a cos t )(b cos t )dt − (b sin t )(−a sin t )dt = (ab cos2 t + ab sin t )dt = L+ 2 2 ab dt = abt = 2ab Ví dụ 3.6 Tính I = xydx + ( y − x )dy L đường cong từ điểm O(0,0) đến điểm A(1,1) có L phương trình (a) y = x3, (b) x = y2 Bài giải 144 (a) Đồ thị cung OA thuộc đường cong bậc ba y = x3 từ điểm O(0,0) đến điểm A(1,1) hệ tọa độ Descartes Oxy Ta có y = x (0 ≤ x ≤ 1) dy = y' ( x )dx = 3x dx I = xydx + ( y − x )dy = L xydx + ( y − x)dy = xx OA dx + ( x − x )3x dx = x6 x5 x4 1 = + − = − ( x + x − x ) dx = + − 0 0 20 (b) Đồ thị cung OA thuộc đường parabol x = y từ điểm O(0,0) đến điểm A(1,1) hệ tọa độ Descartes Oxy Ta có x = y (0 ≤ y ≤ 1) dx = x ' ( y)dy = ydy I = xydx + ( y − x )dy = L 2 xydx + ( y − x)dy = y y2ydy + ( y − y )dy = OA y5 y3 y 1 17 − ( y − y + y ) dy = + = − + = 0 30 Ví dụ 3.7 Tính I = ( y − z )dx + xyzdy − x dz đường L đường cong khơng gian có L phương trình tham số {x = t, y = t2, z = t3 với t 1} theo chiều tăng tham số t Bài giải dx = x ' ( t )dt = 1dt = dt Ta có dy = y' ( t )dt = 2tdt I = ( y − z )dx + 2xyzdy − x dz = L dz = z' ( t )dt = 3t dt t8 t7 t5 = − ( t ) − ( t ) dt + tt t tdt − t t dt = ( t − t − t ) dt = − − 0 0 0 70 3.2.4 Ý nghĩa vật lý tích phân đường loại hai 2 2 → → → Tích phân đường loại hai cơng lực thay đổi F( x , y) = P( x , y) i + Q( x , y) j (trong mặt → → → → phẳng) F( x , y, z) = P( x , y, z) i + Q( x , y, z) j + R ( x , y, z) k (trong không gian chiều) sản lực di chuyển chất điểm M từ điểm A đến điểm B đường cong AB (trong mặt phẳng không gian chiều) 3.3 Công thức Green 3.3.1 Công thức Green 145 Một số khái niệm (1) Miền liên thông Miền phẳng DR2 gọi miền liên thơng ta nối điểm thuộc D đường liên tục nằm hoàn toàn D (2) Miền đơn liên miền đa liên Miền liên thông gọi miền đơn liên đường cong kín nằm hồn toàn D bao bọc miền nằm hoàn tồn D Miền liên thơng khơng đơn liên gọi miền đa liên (3) Chiều dương biên miền liên thông D (đơn liên/đa liên) chiều cho người biên miền D theo chiều thấy điểm miền D luôn bên tay trái Nếu hàm số P(x,y), Q(x,y) liên tục đạo hàm riêng cấp chúng liên tục miền phẳng D miền liên thơng, bị chặn có biên L gồm hay nhiều đường cong kín rời Q( x, y) P( x, y) dxdy gọi cơng đơi Khi ta có P( x, y)dx + Q( x, y)dy = − x y D L+ thức Green Công thức Green công thức liên hệ tích phân hai lớp tích phân đường loại hai Ví dụ 3.8 Tính ( x arctan x + y )dx + ( x + 2xy + y e − y )dy đường trịn L có phương trình L+ 2 x + y = 2y Bài giải Việc tính trực tiếp tích phân (x arctan x + y )dx + ( x + 2xy + y e − y )dy đường trịn L L+ khơng đơn giản, nhiên sử dụng cơng thức Green việc tính tích phân qua tích phân hai lớp hình trịn D = {x2 + y2 ≤ 2y x2 + (y – 1)2 ≤ 12} miền có biên đường trịn L việc tính tích phân dễ dàng nhiều 146 P( x, y) y = y P( x, y) = x arctan x + y Q( x, y) P( x, y) Đặt − = 1, mặt khác, theo −y x y Q( x, y) = x + 2xy + y e Q( x, y) = + y x Q( x, y) P( x, y) dxdy = dxdy công thức Green ta có P( x, y)dx + Q( x, y)dy = − x y D D L+ ( x arctan x + y )dx + ( x + 2xy + y e − y )dy = dxdy L+ D Theo ý nghĩa hình học tích phân hai lớp miền phẳng D dxdy diện tích D hình trịn D Hình trịn D có bán kính nên diện tích .12 = ( x arctan x + y )dx + ( x + 2xy + y e − y )dy = dxdy = L+ D Hệ công thức Green Q( x, y) P( x, y) P( x, y) Q( x, y) dxdy = − − x y y x − D D L (2) Nếu đường cong kín L biên miền phẳng D diện tích S miền D tính công thức S = xdy − ydx + (1) P(x, y)dx + Q(x, y)dy = − L Chứng minh P( x, y)dx + Q( x, y)dy = − P( x, y)dx + Q( x, y)dy L+ L− (1) Ta có P( x, y)dx + Q( x, y)dy = Q( x, y) − P( x, y) dxdy D x y L+ Q( x, y) P( x, y) P( x, y) Q( x, y) dxdy = P( x, y)dx + Q( x, y)dy = − − − x y y x − D D L P( x, y) y = −1 Q( x, y) P( x, y) P ( x , y ) = − y (2) Ta lấy − = thay vào công thức x y Q( x, y) = x Q( x, y) = x Green ta Q( x , y) P( x , y) + xdy − ydx = D x − y dxdy = D 2dxdy = 2D dxdy = 2S S = + xdy − ydx L L Ví dụ 3.9 Tính I = ( x − y )dx + ( x + y )dy đường trịn L có phương trình x2 + y2 = 3 3 L+ Bài giải Đồ thị đường tròn L hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy 147 2 I = [ x ( t ) + y ( t ) + z ( t )] [ x ' ( t )]2 + [ y' ( t )]2 + [z' ( t )]2 dt = 2 (a cos t ) + (a sin t ) + (bt ) (−a sin t ) + (a cos t ) + b dt = 2 2 2 2 t 0 (a + b t ) a + b dt = a + b 0 (a + b t )dt = a + b a t + b = 2 2 2 2 2 2 4 2 2(a + b ) a + b (c) Giao tuyến L mặt trụ x2 + y2 = với mặt phẳng 2x - 3y + z = nghiệm hệ phương x + y = x + y = trình hay z x = − − y + x z + = y x = cos t x = cos t Phương trình tham số x2 + y2 = (0 ≤ t ≤ 2), thay vào phương y = sin t y = sin t trình z = – 2x + 3y ta z = – 4cost + 6sint, phương trình tham số giao tuyến L x = cos t (0 ≤ t ≤ 2) y = sin t z = − cos t + sin t 2 I= 5[ x ( t ) − y ( t )] + 24x ( t ) y( t ) + [z( t ) − 1] + [ x ' ( t )]2 + [ y' ( t )]2 + [z' ( t )]2 dt = 2 = (20 + 20 cos + cos 2t t + 48 sin t cos t dt = 20 + 20 + 24 sin 2t dt = 0 ) 2 = 2 2 2 2 0 (30 + 10 cos 2t + 24 sin 2t )dt = 30dt + cos 2td(2t ) + 12 sin 2td(2t ) = 2 = (30t + sin 2t − 12 cos 2t ) = 60 x + y + z = a (d) Phương trình giao tuyến L nghiệm hệ phương trình , từ x + y + z = phương trình thứ hai ta có z = –x – y, thay vào phương trình thứ ta 2 x a2 a x + y + (− x − y) = a x + y + xy = x + + y = 2 2 Phương trình tham số đường tròn 2a a x= cos t x ( t ) = cos t (0 ≤ t ≤ 2) a a x a +y= y( t ) = sin t − cos t sin t 2 a 2a a a a z ( t ) = − x ( t ) − y( t ) = − cos t − sin t − cos t = − cos t − sin t 6 Do đó, phương trình tham số giao tuyến L 2 2 2 166 2a 2a sin t x ' ( t ) = − x ( t ) = cos t a a a sin t − cos t (0 ≤ t ≤ 2) y' ( t ) = cos t + y( t ) = a a a cos t − sin t sin t − z ( t ) = − z ' ( t ) = 6 a a sin t cos t 2 I = x ds = x ( t ) [ x ' ( t )]2 + [ y' ( t )]2 + [z' ( t )]2 dt = L 2 2a 0 cos t 2 2 2a a a a a − sin t + cos t + sin t + sin t − cos t dt = 6 2 2 2 a3 sin t 2a dt + cos td(2 t ) = t + = 20 0 0 Cách khác Mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2 có tâm gốc tọa độ bán kính a, cịn mặt phẳng x + y + z = qua gốc tọa độ hệ tọa độ Descartes vng góc Oxyz, giao tuyến L chúng đường trịn lớn mặt cầu có tâm gốc tọa độ bán kính a 2a 3 2 2 a3 cos tdt = 0 a3 ( + cos t ) dt = 0 Ta thấy L không thay đổi hốn vị vịng quanh x, y z nên 1 I = x ds = y ds = z ds x ds = x ds + y ds + z ds = ( x + y + z )ds = 3L L L L L L L 3L a2 = a ds = ds 3L L Theo ý nghĩa hình học tích phân đường loại ds độ dài đường L, L L đường trịn bán kính a, ds chu vi đường trịn bán kính a, tức ds = 2a L L a 2a 2a = 3 a2 ds với L đường trịn bán kính a sau Ta tính I = L x ( t ) = a cos t Phương trình tham số đường trịn bán kính a (0 ≤ t ≤ 2) y( t ) = a sin t I= x ' ( t ) = −a sin t y' ( t ) = a cos t 2 a2 a2 2 I= [ x ' ( t )] + [ y ' ( t )] dt = 0 3.4 (a) y( x ) = a e +e x a x − a 2 y' ( x ) = e − e x a x − a a 1 + y' ( x ) dx = Khối lượng sợi dây f ( x, y)ds = ds = y y( x ) L L a a x e a + e − a a e + e x − x a x 2 a a 2 (− a cos t ) + (a sin t ) dt = a dt = a dx = dx = x a = a = a0 a a 167 2 t0 = 2a x ( t ) = cos t x ' ( t ) = − sin t (b) Khi a = b = phương trình tham số sợi dây y( t ) = sin t y' ( t ) = cos t (0 t z ( t ) = t z ' ( t ) = 2) nên khối lượng sợi dây f (x, y, z)ds = L x + y + z ds = 2 L 2 = 2 x ( t ) + y ( t ) + z ( t ) [ x ' ( t )]2 + [ y' ( t )]2 + [z' ( t )]2 dt = 2 + t 2dt = + t dt = 2 1 t + t + ln t + + t = ) ( 2 + 4 + ln 2 + + 4 = Ở đây, ta sử dụng nguyên hàm t + dt = 1 t t + + ln t + t + với β = 3.5 (a) Đồ thị I= ( x − y) ( x − y) dx + ( x + y) dy = ABC dx + ( x + y) dy + ( x − y) dx + ( x + y) dy = I1 + I AB BC x−0 y−0 = y = x (0 ≤ x ≤ 2) dy = y' dx = 1dx = dx - Phương trình cạnh AB 2−0 2−0 2 x3 I1 = ( x − y) dx + ( x + y) dy = ( x − x ) dx + ( x + x ) dx = 4x dx = AB 0 2 2 2 32 = = 3 x−2 y−2 = y = − x + (2 ≤ x ≤ 4) dy = y' x = −1dx = −dx - Phương trình cạnh BC 4−2 0−2 I2 = ( x − y) dx + ( x + y) dy = ( x + x − 4) dx + ( x − x + 4) (−dx ) = BC 4 1 1 2 2 (2x − 4) dx − 16dx = 2 (4x − 16x)dx = 4 x − x = 4 x − 2x = 2 4 2 64 64 8 64 56 4 − 2.16 − − 2.4 = 4. − − 32 + = 4 − 24 = − 3 3 32 64 32 - Vậy ( x − y) dx + ( x + y) dy = I1 + I = − =− 3 ABC (b) Parabol y = 2x – x có tọa độ đỉnh điểm (1,1); cắt trục hoàng điểm (0,0) điểm (2,0) y = 2x – x2 dy = y’(x)dx = (2 – 2x)dx I = ydx − ( y + x )dy = (2x − x )dx − (2x − x + x )(2 − 2x )dx = L 168 (3x 2 − 2x )dx = ( x − x ) = 0 1 − x x x 1 − (1 − x ) = x y = 1− 1− x = (c) Ta có − x = 1 − ( x − 1) = − x x x − x x + x = x x x + y = 2 x + (2 − x ) = 2x − 4x + x x − x = x 2 x − y = 2 x − (2 − x ) = 4x − x x 1 dx dy = y' ( x )dx = y' ( x ) = − x − dx x x 2 ( x + y )dx + ( x − y )dy = ( x + y )dx + ( x − y )dy + ( x + y )dx + ( x − y )dy = L 2x 2 dx + 0.( −dx ) + (2x − 4x + 4)dx + (4x − 4)(−.dx ) = 2x dx + 2( x − 4x + 4)dx = 2 1 2 x dx + 2 ( x − 2) dx = x +2 ( x − 2) 3 = 1 2 + = 3 x ( t ) = a ( t − sin t ) dx = x ' ( t )dt = a (1 − cos t )dt (d) y( t ) = a (1 − cos t ) dy = y' ( t )dt = a sin tdt I = (2a − y)dx + xdy = L 2 2a − y(t )x' (t )dt + x(t ) y' (t )dt = 2 2 2 0 2 (2a − a + a cos t )a (1 − cos t )dt + a (t − sin t )a sin tdt = a t sin tdt = −a td(cos t ) = 2 2 2 − a t cos t + a cos tdt = −a 2.1 + a sin t = −2a + = −2a x ( t ) = a cos t x y2 (e) Phương trình tham số ellipse + = ( t 2 ) a b y( t ) = b sin t dx = x ' ( t )dt = −a sin tdt I = ( x + y)dx + ( x − y)dy = dy = y' ( t )dt = b cos tdt L 2 (a cos t + b sin t )(−a sin t )dt + (a cos t − b sin t )b cos tdt = 2 2 0 a (a cos t + b sin t )(−a sin t ) + (a cos t − b sin t )b cos t dt = ab cos 2t − 2 2 + b2 sin 2t dt = a + b2 1 a + b2 0 ab cos 2t − sin 2t d(2t) = ab sin 2t + cos 2t = 0 (f) Đồ thị 169 x + y = y x + ( y − 1) = 12 đường trịn có tâm điểm (0,1) bán kính R = 1, x = cos t x = cos t phương trình tham số nửa đường trịn với − t 2 y − = sin t y = + sin t dx = x ' ( t )dt = − sin tdt dy = y' ( t )dt = cos tdt 2 ( x − y )dy − xydx cos2 t − (1 + sin t ) cos tdt − cos t (1 + sin t )(− sin tdt ) I= = = x + y2 cos2 t + (1 + sin t ) OA − 2 (cos2 t − − sin t − sin t ) cos tdt + sin t cos t (1 + sin t )dt = cos2 t + + sin t + sin t − 2 (− sin t − sin t − sin t ) cos t + sin t cos t (1 + sin t ) dt = + sin t − 2 2 − sin t cos t − sin t cos t + sin t cos t + sin t cos t dt = dt = 2(1 + sin t ) 2(1 + sin t ) − − 3.6 (a) 2x + y = y = – 2x dy = y’dx = -2dx (1 ≥ x ≥ 0) ( xy − 1)dx + x ydy = x (2 − 2x ) − − 2x (2 − 2x ) dx = (4x − 6x + 2x − 1)dx = AB 1 ( x − 2x + x − x ) = (b) 4x + y = x = − y2 y dx = x ' dy = − dy (0 ≤ y ≤ 2) y y y2 y − 1 − dy + 1 − ydy = ( xy − 1)dx + x ydy = 1 − AB 2 2 y y y y y y3 y 0 1 − y − 1. − + 1 − ydy = 0 y − − 1 − + 1 − + 16 ydy = 2 170 y2 y4 y y y y y 3y y3 y5 − + + + y − + dy = 0 0 16 + − − + dy = 16 2 y6 y5 y y3 y2 3.2 + − − + = + − − + = 16 2 96 40 64 32 16 12 4 17 + − − + = + −2− +3= 96 40 15 x y2 (c) Phương trình tham số đường ellipse + = đoạn nối điểm A đến điểm B x ( t ) = cos t ( t 2) y( t ) = sin t dx = x ' ( t )dt = − sin tdt ( xy − 1)dx + x ydy = dy = y ' ( t ) dt = cos tdt AB 2 (2 sin t cos t − 1)(− sin t ) + cos 2 t sin t dt = (−2 sin t cos t + sin t + cos3 t sin t )dt = 2 − sin t − cos t − cos t = − + = 3 0 3.7 (a) Đồ thị + Tính trực tiếp Hai đường parabol y = x2, x = y2 giao hai điểm O(0,0) A(1,1) - Dọc theo cung OA đường y = x2 (0 ≤ x ≤ 1) dy = y’dx = 2xdx (2 xy − x )dx + ( x + y )dy = x − x + 2( x + x ) x dx = (2 x + x + x )dx = L1 0 2x 2x x + + = 0 - Dọc theo cung AO đường x = y2 (1 x 0) dx = x’dy = 2ydy (2 xy − x )dx + ( x + y )dy = (2 y − y )2 y + y dy = (4 y − y + y )dy = L2 1 4y 2y 2y 17 = − − + 1 15 171 - Vậy I = (2xy − x )dx + ( x + y )dy = (2xy − x )dx + ( x + y )dy + L L1 (2xy − x )dx + ( x + y )dy = L2 17 − = 15 30 Q( x, y) =1 x P( x, y) = 2xy − x + Sử dụng công thức Green: Ký hiệu Q( x, y) = x + y P( x, y) = 2x y Q P I = P( x, y)dx + Q( x, y)dy = − dxdy = (1 − 2x )dxdy x y + D D L 0 x Chiếu miền D lên trục Ox D = x y x x I = dx (1 − x )dy = (1 − x ) y x 0 x2 x ( ( ) dx = (1 − x ) x − x dx = 0 ) 32 52 x − x − x + x = x − x x − x + x dx = 0 3 30 (b) Đồ thị x ( t ) = cos t = cos t + Tính trực tiếp: Phương trình tham số đường tròn x2 + y2 = 12 (0 ≤ t y( t ) = 1sin t = sin t 2 x ' ( t ) = − sin t ≤ 2) I = (2 cos3 t − sin t )(− sin t ) + (cos3 t + sin t ) cos t dt = y' ( t ) = cos t 2 (−2 cos t sin t + sin t + cos4 t + sin t cos t )dt Biến đổi biểu thức dấu tích phân − cos3 t sin t + sin t + cos4 t + sin t cos t = sin t cos t (− cos2 t + sin2 t ) + (sin2 t ) + (cos2 t ) = 2 sin 2t + cos 2t − cos 2t − cos 2t + cos 2t + − + + = 2 2 sin 2t − − cos 2t + cos 2t − sin 2t − sin 2t cos 2t cos2 2t + = + + = 2 4 2 1 1 + cos 4t 3 − sin 2t − sin 4t + = − sin 2t − sin 4t + cos 4t 2 4 2 3 I = − sin 2t − sin 4t + cos 4t dt = 4 0 2 2 2 2 3 dt − sin 2td(2t ) − sin 4td(4t ) + cos 4td(4t ) = 40 80 32 16 0 172 2 3 3 3 t + cos 2t + cos 4t + sin 4t = 2 + + + = 32 16 4 32 16 4 0 Q( x, y) = 3x 3 x P( x, y) = x − y + Sử dụng công thức Green: Ký hiệu Q( x, y) = x + y P( x, y) = −3y y Q P I = P( x, y)dx + Q( x, y)dy = − dxdy = (3x + 3y )dxdy = x y D D L+ 2 2 3 ( x + y )dxdy với D hình tròn x + y ≤ D x = r cos 0 r J = r x + y = r với Đổi biến sang tọa độ cực y = r sin 0 2 2 2 1 r 2 = 3.2 = 3 I = d r J dr = d r rdr = 3 d r dr = 4 0 0 0 (c) Đồ thị ( ) + Tính trực tiếp 2 2 I1 = ( x + y )dx + ( x − y )dy AB 2 2 I = ( x + y )dx + ( x − y )dy = I1 + I + I với I = ( x + y )dx + ( x − y )dy BC ABCA 2 2 I = ( x + y )dx + ( x − y )dy CA - Phương trình cạnh AB y = (0 ≤ x ≤ 1) dy = y’dx = 0.dx = 1 x3 I1 = x dx + x = x dx = 0 2 1 = - Phương trình cạnh BC y = -x + (1 ≥ x ≥ 0) dy = y’dx = -1dx = -dx I = (2x − 2x + 1)dx + (2x − 1)(−dx ) = 0 0 2 ( x − 1) = − 3 1 - Phương trình cạnh CA x = (1 ≥ y ≥ 0) dx = x’dy = 0.dy = (2x − 4x + 2)dx = 2 (x − 1) dx = 2 (x − 1) d(x − 1) = 2 0 y3 I = y − y dy = − y dy = − 1 Vậy I = I1 + I + I = − + = 3 2 = 1 173 Q( x , y) = 2x x P( x , y) = x + y + Sử dụng công thức Green: Ký hiệu Q( x , y) = x − y P( x , y) = y y 2 Q P I = P( x, y)dx + Q( x, y)dy = − dxdy = (2x − y )dxdy =2 (x − y )dxdy với D x y D D D L+ ABC 0 x Chiếu D lên trục Ox D = 0 y − x ( x − y) I = dx ( x − y)dy = −2 dx ( x − y)d ( x − y) = −2 0 0 1− x 1− x 1 1− x dx = − (3x − 4x + 1)dx = (− x + 2x − x ) = 0 3.8 (a) Đồ thị y P( x, y) = − xy x + Ký hiệu , ABC đường gấp khúc khép kín hàm số P(x,y) Q( x, y) = xy x + y 2 Q(x,y) thỏa mãn điều kiện Định lý Green nên sử dụng Công thức Green Q P I = P( x, y)dx + Q( x, y)dy = − dxdy x y D L+ P( x, y) y = − x − xy Ta có I = ( x + y) dxdy với miền D ABC D Q( x , y) = xy + y x Phương trình đoạn thẳng AB, AC tương ứng y = –x – 1, y = x + (–1 ≤ x ≤ 1) − x Chiếu miền D lên trục Ox D = − x − y x + x +1 x +1 ( x + y) I = dx ( x + y) dy = dx ( x + y) d( x + y) = −1 − x −1 −1 − x −1 −1 1 x +1 dx = − x −1 2 (4x + 6x + 3x + 1)dx = x + 2x + x + x = −1 3 −1 2 a a (b) Biến đổi phương trình đường trịn x + y = ax dạng tắc x − + y = 2 2 2 174 P( x, y) = xy + x + y a a Ký hiệu , đường trịn x − + y = đường cong khép kín 2 2 Q( x, y) = xy + x − y hàm số P(x,y) Q(x,y) thỏa mãn điều kiện Định lý Green nên sử dụng Cơng thức Q P Green I = P( x, y)dx + Q( x, y)dy = − dxdy x y + D L 2 P( x, y) 2 y = x + a a Ta có I = ( y − x )dxdy với D hình trịn x − + y = 2 2 D Q( x, y) = y + x a a x = + r cos 0 r Để tính tích phân I = ( y − x )dxdy ta đổi biến sang tọa cực với 2 , D y = r sin 0 2 a a J = r y − x = r sin − − r cos = − + r (sin − cos ) 2 a a 2 2 a a I = ( y − x )dxdy = d − + r (sin − cos ) rdr = d − r + r (sin − cos ) dr = 2 D 0 0 a 2 2 a r3 a3 a3 − r + (sin − cos ) d = − + (sin − cos )d = 0 16 24 0 0 2 a3 a3 a3 a 3 − − (cos + sin ) = − 2 = − 24 16 16 0 (c) Đồ thị I1 = 2( x + y )dx + (4 y + 3) xdy AB I = 2( x + y )dx + (4 y + 3) xdy = I1 + I với 2 ABC I = 2( x + y )dx + (4 y + 3) xdy BC x−0 y−0 = y = x (0 ≤ x ≤ 1) dy = y’(x)dx = 1dx = dx - Phương trình đoạn thẳng AB 1− 1− ( ) 25 8 I1 = 2( x + x ) + (4x + 3) x dx = 8x + 3x dx = x + x = 0 3 0 x −1 y −1 = y = − x + (1 ≥ x ≥ 0) dy = y’(x)dx = -1dx - Phương trình đoạn thẳng BC −1 −1 2 = -dx ( ) 8 I = x + (− x ) − 4(− x ) + 3x dx = 8x − 3x dx = x − x = − 1 3 1 25 − = - Vậy I = I1 + I = 6 0 175 J = 2( x + y )dx + (4 y + 3) xdy ABCA 2 Cách khác: I = 2( x + y )dx + (4 y + 3) xdy = J − J với 2 OAB J = 2( x + y )dx + (4 y + 3) xdy CA - Tính J2: Phương trình đoạn thẳng CA x = (0 ≤ y ≤ 2) nên biểu thức dấu tích phân J2 2(x2 + y2)dx + (4y + 3)xdy = x = dx = J2 = P( x, y) = 2( x + y ) - Tính J1: Ký hiệu , ABCA đường gấp khúc khép kín hàm Q( x, y) = (4 y + 3) x P(x,y), Q(x,y) thỏa mãn điều kiện Định lý Green nên áp dụng Công thức Green Q P J1 = P( x, y)dx + Q( x, y)dy = − dxdy với D ABC x y ABCA D Q( x, y) = 4y + x Ta có I = (4 y + − y)dxdy = 3 dxdy D D P( x, y) = y y Với miền D = {(x,y)R2|y = x y = -x + (0 ≤ x ≤ 1)} nên chiếu miền D lên trục Ox − x +2 1 0 x −x +2 D= J = 3 dx dy = 3 y x dx = 3 (− x + − x )dx = 3.2 (1 − x )dx = x y − x + x 0 ( ) x2 6 x − = 0 - Vậy I = J1 – J2 = – = x y 3x − y 3x y3 Q( x, y) 3y 3x P ( x , y ) = + = + y − = − + − y x x y x2 x2 y2 x 3.9 (a) Ký hiệu 2 2 Q( x , y) = x + y 3y − x = 3y + x − x P( x , y) = − 3x + − 3y y x y y2 x2 y x y2 Q( x, y) P( x, y) = , đồng thời hàm P(x,y), Q(x,y) thỏa mãn điều kiện định lý x y x y 3x − y 3y − x dx + dy không phụ thuộc Green với điều kiện xy ≠ 0, nên tích phân I = + y x x y L vào đường lấy tích phân mà phụ thuộc vào tọa độ điểm đầu tọa độ điểm cuối đường L x ( t ) = t + cos t (b) Tính I cung AB cho dạng tham số với t theo 2 y ( t ) = + sin t chiều tăng tham số ứng (t = ứng với điểm đầu A t = /2 ứng với điểm cuối B) x (0) = + cos = - Tại t = A(1,1) y(0) = + sin = x ( 2) = ( 2) + cos ( 2) = - Tại t = /2 B(/2,2) y( 2) = + sin ( 2) = 176 Ta thấy điểm A(1,1) điểm B(/2,2) nằm góc vng thứ (x > y > 0) Vì tích phân I khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân nên ta chọn đường từ điểm A đến điểm B cho việc tính tốn đơn giản Để tính tốn đơn giản, ta chọn điểm C(1,2) có hồnh độ hồnh độ điểm A(1,1) tung độ tung độ điểm B(/2,2); sau lấy tích phân từ A đến C (khi hồnh độ x = nên dx = 0), sau lấy tích phân từ C đến B (khi tung độ y = nên dy = 0); tức I = IAC + ICB - Dọc theo AC ta có x = dx = (1 ≤ y ≤ 2) I AC = P( x, y)dx + Q( x, y)dy = AC 3y 13 1 25 = Q(1, y)dy = + 2.1 − dy = 3y + − dy = y + y + = −4 y1 y y 1 1 2 - Dọc theo CB ta có y = dy = (1 ≤ x ≤ /2) I CB = P(x, y)dx + Q(x, y)dy = CB = 2 2 1 P(x,2)dy = 3x 23 + 2.2 − dx = x 2 2 3x x3 8 + − dx = + 4x + = x 1 x ( + 16) 25 − 16 2 25 ( + 16) 25 ( + 16) −4+ − = −4 - Vậy I = I AC + I CB = 16 16 Nhận xét (1) Nếu lấy tích phân từ A đến B dọc theo đường thẳng AB việc tính tốn cồng kềnh hơn; (2) Ta chọn điểm D(/2,1) có hồnh độ hồnh độ điểm B(/2,2) tung độ tung độ điểm A(1,1); nhiên việc viết biểu thức liên quan lại cồng kềnh Q( x , y) − nx − 2nxy + ny mx − y P ( x , y ) = = x + y2 (x + y ) x 3.10 Ký hiệu 2 Q( x , y) = nx + y P( x , y) = − x − 2mxy + y y x + y2 (x + y ) Các hàm số P(x,y), Q(x,y) đạo hàm riêng liên tục tập xác định chúng (mx − y)dx + (nx + y)dy R2\{(0,0)} nên điều kiện cần đủ để tích phân I = khơng phụ thuộc vào 2 x + y AB dạng đường lấy tích phân Q( x , y) P( x , y) − nx − 2nxy + ny − x − 2mxy + y = = x y (x + y ) (x + y ) − nx − 2nxy + ny = − x − 2mxy + y (1 − n ) x + (n − 1) y + 2(m − n ) xy = Để đẳng thức thỏa mãn với (x,y)R2\{(0,0)} m n phải thỏa mãn hệ phương 1 − n = ( x − y)dx + ( x + y)dy trình n − = m = n = I = x + y2 AB m − n = 177 P( x, y) = ( x + a )(y + b) + (n − m)by + amy 3.11 Ký hiệu Q( x, y) = ( x + a ) ( y + b) + 2(n − 1)ax P( x, y) y = 2( x + a )(y + b) + (n − m)b + ma Q( x, y) = 2( x + a )(y + b) + 2(n − 1)a x Q( x, y) P( x , y) Các hàm số P(x,y), Q(x,y), liên tục với (x,y)R2 nên điều kiện cần x y đủ để tích phân I = P( x , y)dx + Q( x , y)dy = với đường cong kín L với giá trị a b L Q( x, y) P( x, y) 2(x + a)(y + b) + (n – m)b + ma = 2(x + a)(y + b) + 2(n – 1)a = x y (n – m)b + ma = 2(n – 1)a (m + – 2n)a + (n – m)b = Để đẳng thức thỏa mãn với giá trị a b tham số m, n phải thỏa mãn đẳng m + − n = m = n = thức n − m = I = ( x + a )( y + b) + 2ay dx + ( x + a ) ( y + b) + 2ax dy = đường cong kín L L với giá trị a b x−y P ( x , y ) = x + y2 3.12 Ký hiệu Q( x , y) = x + y x + y2 ( ) ( ) m , suy điều kiện để biểu thức ( x − y)dx + ( x + y)dy vi phân (x + y ) m m toàn phần cấp hàm số u(x,y) Q( x, y) P( x, y) = x y P( x, y) 2my( x − y) − x − y − 2my( x − y) = − − = m m +1 m +1 x + y2 x + y2 x + y2 Q( x, y) P( x, y) y = Vì 2 x y Q ( x , y ) mx ( x + y ) x + y − mx ( x + y ) = − = 2 m 2 m +1 2 m +1 x x +y x +y x +y ( ) ( ) − x − y − 2my( x − y) 2 (x +y ) m +1 ( ) ( = ( ) ( ) ) x + y − 2mx ( x + y) 2 (x + y2 ) m +1 − x − y − 2my( x − y) = x + y − 2mx( x + y) x + y − mx( x + y) + my( x − y) = (1 − m) x + (1 − m) y = với x y phải có – m = m = P( x, y) y y = 6xe P( x, y) = 6xe Q( x, y) P( x, y) = 3.13 - Ký hiệu đẳng thức y x y Q( x, y) = (3x + y + 1)e Q ( x , y ) = 6xe y x chứng tỏ biểu thức 6xeydx + (3x2 + y + 1)eydy = P(x,y)dx + Q(x,y)dy vi phân toàn phần hàm số u(x,y) y 178 y x - Ta tìm hàm số u(x,y) cơng thức u ( x , y) = P( t , y )dt + Q( x , t )dt chọn x0 = y0 = 0, x0 y0 x P( x,0) = 6xe = 6x ta có u ( x , y ) = 6tdt + (3x + t + 1)e t dt = y 0 Q( x, y) = (3x + y + 1)e y t2 x y + (3x + t + 1)d(e t ) = 3x + (3x + t + 1)e t y y − e t d(3x + t + 1) = 0 y 3x + (3x + y + 1)e y − (3x + + 1)e − e t dt = (3x + y + 1)e y − − e t y = (3x + y + 1)e y − − (e y − 1) = (3x + y)e y - Thử lại hàm số u(x,y) = (3x2 + y)ey u ( x, y) (3x + y)e y = = 6xe y x x Ta có y u ( x, y) = (3x + y)e = e y + (3x + y)e y = (3x + y + 1)e y y y u ( x, y) u ( x, y) du = dx + dy = 6xe y dx + (3x + y + 1)e y dy x y P( x, y) y = 6xy P( x, y) = 2xy Q( x, y) P( x, y) 3.14 Đặt đẳng thức chứng = 2 x y Q( x, y) = 3x y + cos y Q( x, y) = 6xy x tỏ biểu thức 2xy dx + (3x y + cos y)dy = P( x, y)dx + Q( x, y)dy vi phân toàn phần hàm số u(x,y) y x Ta tìm hàm số u(x,y) cơng thức u ( x , y) = P( x , y )dx + Q( x , y)dy chọn x0 = y0 = 0, x0 y0 P( x,0) = 2x.0 = u ( x, y) = 0.dx + (3x y + cos y)dy = ta có 2 Q( x, y) = 3x y + cos y 0 x y y y3 3x + sin y = x y + sin y 0 u ( x, y) ( x y + sin y) = = 2xy x x Thử lại hàm số u(x,y) = x2y3 + siny u ( x, y) = ( x y + sin y) = 3x y + cos y y y u ( x, y) u ( x, y) du = dx + dy = 2xy dx + (3x y + cos y)dy x y 3.15 Mặt cong S biểu diễn phương trình z = z(x, y) = a − x − y hình chiếu S lên mặt phẳng Oxy phần tư hình trịn D = {x2 + y2 a2} 179 x ' z x ( x , y ) = − a − x − y2 2 z ( x , y) = a − x − y + z 'x ( x, y) + z 'y ( x, y) y z ' ( x , y ) = − y a − x − y2 ( ) ( ) = x y a + − = 1+ − a − x − y a − x − y a − x − y2 Hàm số dấu tích phân f ( x, y, z) = f (x, y, z( x, y) ) = ( x + y )z ( x, y) = ( x + y )(a − x − y ) I = ( x + y )z dS = f (x , y, z( x , y) ) + (z 'x ( x , y) ) + (z 'y ( x , y) ) = S (x 2 D + y )(a − x − y ) D a a −x −y 2 dxdy = a ( x + y ) a − x − y dxdy D x = r cos J = r miền Đổi tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) phép đổi biến y = r sin x = r cos 0 r a D' = tọa độ r, ta thay vào phương trình hình trịn x2 + y2 a2 y = r sin 2 r a r a , tọa độ /2 Biểu thức dấu tích phân (x + y ) a − x − y = r a − r I = a r a − r J drd = a r a − r rdrd = a r a − r drd = D' D' D' ( ) 2 a d r a − r dr = a (a − r − a )(a − r ) d(a − r ) = 0 a a (a − r − a )(a − r ) d(a − r ) = a a a (a − r ) d (a − r ) − a (a − r ) d (a − r ) = 0 2 a a a +1 +1 2 a (a − r ) ( a − r ) 2a − a = (1 2) + (3 2) + 15 0 180 ... L = L L1 L2 Hoàn toàn tương tự tích phân đường loại đường cong khơng gian chiều 3.1.3 Cách tính tích phân đường loại Đối với tích phân đường loại đường cong phẳng x = x ( t ) (1) Nếu... AB hay đường cong phẳng L, cịn tích phân đường loại hai cung AB hay đường cong L khơng gian chiều có tính chất hồn tồn tương tự (1) Tích phân đường loại hai phụ thuộc vào chiều lấy tích phân từ... Điều kiện để tích phân đường loại hai khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân 1− x 148 Qua ví dụ trên, ta thấy tích phân đường loại hai khơng phụ thuộc vào điểm đầu điểm cuối của đường cong mà