Chuyên đề đạo hàm đại số và giải tích 11

ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 (a; b) = (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0)) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó 2 Đạo hàm bên trái, bên phải Hệ quả Hàm có đạo hàm tại và đồng thời 3 Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn Hàm số có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc Hàm số có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc đồng.

ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Định nghĩa đạo hàm điểm • Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) x0 ∈ (a; b): f ( x) − f ( x0 ) ∆y f '( x0 ) = lim lim x → x0 x − x0 ∆x → ∆ x = (∆x = x – x0, ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0)) • Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 liên tục điểm Đạo hàm bên trái, bên phải f ( x) − f ( x0 ) f ( x) − f ( x0 ) f '( x0+ ) = lim+ f '( x0− ) = lim− x → x0 x → x x − x0 x − x0 + x ⇔ ∃ f ( x ) f '( x0− ) f '( x0+ ) = f '( x0− ) f ( x) 0 Hệ : Hàm có đạo hàm đồng thời Đạo hàm khoảng, đoạn f (x) ( a; b ) • Hàm số có đạo hàm (hay hàm khả vi) có đạo hàm điểm thuộc ( a; b ) • f ( x) [a ; b ] Hàm số có đạo hàm (hay hàm khả vi) có đạo hàm điểm thuộc − f '(b ) f '( a + ) ( a; b ) đồng thời tồn đạo hàm trái đạo hàm phải Mối liên hệ đạo hàm tính liên tục x0 x0 f ( x) f ( x) • Nếu hàm số có đạo hàm liên tục x0 Chú ý: Định lí điều kiện cần, tức hàm liên tục điểm hàm x0 khơng có đạo hàm B – BÀI TẬP x0 < y = f ( x) Câu Giới hạn (nếu tồn tại) sau dùng để định nghĩa đạo hàm hàm số f ( x) − f ( x0 ) f ( x + ∆x ) − f ( x0 ) lim lim x →0 x − x0 ∆x→0 ∆x A B f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x ) − f ( x ) lim lim x → x0 x − x0 ∆x→0 ∆x C D Hướng dẫn giải: Theo định nghĩa đạo hàm hàm số điểm biểu thức đáp án C Chọn C f ( x) f ( x) x0 x0 Câu Cho hàm số liên tục Đạo hàm f ( x0 ) A ? B C f ( x0 + h) − f ( x0 ) h f ( x0 + h) − f ( x0 ) lim h →0 h (nếu tồn giới hạn) f ( x0 + h) − f ( x0 − h) lim h→0 h D (nếu tồn giới hạn) Hướng dẫn giải: Chọn C f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) f ( x0 + h) − f ( x0 ) f ′ ( x0 ) = lim f ′ ( x0 ) = lim ∆x →0 h →0 ∆x h Định nghĩa hay (nếu tồn giới hạn) x f '( x ) y = f ( x) 0 Câu Cho hàm số có đạo hàm Khẳng định sau sai? f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) f ′( x0 ) = lim f ′( x0 ) = lim x → x0 x − x0 ∆x →0 ∆x A B f ( x + x0 ) − f ( x0 ) f ( x0 + h) − f ( x0 ) f ′( x0 ) = lim f ′( x0 ) = lim x → x0 x − x0 h →0 h C D Hướng dẫn giải: Chọn D A Đúng (theo định nghĩa đạo hàm điểm) B Đúng ∆x = x − x0 ⇒ x = ∆x + x0 ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ⇒ f ′( x0 ) = lim x → x0 f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = = x − x0 ∆x + x0 − x0 ∆x C Đúng h = ∆x = x − x0 ⇒ x = h + x0 , ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) Đặt f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + h ) − f ( x0 ) f ( x0 + h ) − f ( x0 ) ⇒ f ′( x0 ) = lim = = x → x0 x − x0 h + x0 − x0 h f ( x ) = x3 Câu Số gia hàm số −19 x0 = ứng với ∆x = 19 bao nhiêu? A B C D Hướng dẫn giải: Chọn C 3 ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = ( x0 + ∆x ) − 23 = x03 + ( ∆x ) + 3x0 ∆x ( x0 + ∆x ) − Ta có x0 = ∆y = 19 ∆x = Với −7 Câu Tỉ số A ∆y ∆x f ( x ) = x ( x − 1) hàm số theo x x + 2∆x + x + ( ∆x ) − B x∆x + ( ∆x ) − 2∆x x + 2∆x − C Hướng dẫn giải: Chọn C ∆y f ( x ) − f ( x0 ) x ( x − 1) − x0 ( x0 − 1) = = ∆x x − x0 x − x0 = ∆x D ( x − x0 ) ( x + x0 ) − ( x − x0 ) = x + x0 − = x + 2∆x − x − x0 f ( x) = Câu Số gia hàm số ( ∆x ) − ∆x A Hướng dẫn giải: Chọn A B x2 ứng với số gia 1 ( ∆x ) − ∆x  ∆x x0 = −1 đối số x 1 ( ∆x ) + ∆x  C D ( ∆x ) + ∆x x0 = −1 ∆x Với số gia đối số x Ta có 2 ( −1 + ∆x ) − = + ( ∆x ) − 2∆x − = ∆x − ∆x ∆y = ( ) 2 2 f ( x ) = x2 − x Câu Cho hàm số lim ∆x → ( ( ∆x ) , đạo hàm hàm số ứng với số gia ) đối số x x0 lim ( ∆x + x − 1) + x ∆x − ∆ x ∆x → A B ( ) lim ( ∆x ) + x∆x + ∆x lim ( ∆x + x + 1) ∆x → ∆x →0 C Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có : ∆y = ( x0 + ∆x ) − ( x0 + ∆x ) − ( x02 − x0 ) D = x02 + x0 ∆x + ( ∆x ) − x0 − ∆x − x02 + x0 = ( ∆x ) + x0 ∆x − ∆x ( ∆x ) + x0 ∆x − ∆x = lim ∆x + x − ∆y f ' ( x0 ) = lim = lim ( ) ∆x →0 ∆x ∆x → ∆x → ∆x Nên ∆x f ' ( x ) = lim ( ∆x + x − 1) ∆x →0 Vậy  x  f ( x) =  x 0  Câu Cho hàm số f ′ ( 0) = (I) x > x = Xét hai mệnh đề sau: (II) Hàm số đạo hàm x = Mệnh đề đúng? A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Cả hai sai Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi ∆x số gia đối số cho ∆x > f ( ∆x + ) − f (0) ∆x f ′ ( ) = lim = lim = lim = +∞ ∆x →0 ∆x → ∆ x ∆x →0 ∆x ∆x ∆ x Ta có Nên hàm số khơng có đạo hàm  x3 − x + x + −  x ≠ f ( x) =  x −1 0 x = x0 =  Câu điểm 1 A B C Hướng dẫn giải: Chọn C lim x →1 D f ( x) − f (1) x3 − x + x + − x = lim = lim = x →1 x →1 x −1 ( x − 1) x3 − x + x + + f '(1) = Vậy Câu 10 x ≥ 2 x +  f ( x) =  x + x − x + x <  x −1  x0 = A B Hướng dẫn giải: Chọn D lim+ f ( x) = lim+ ( x + 3) = Ta có x →1 x →1 lim− f ( x) = lim− x →1 D Cả hai x →1 x3 + x − x + = lim( x + x − 4) = − x → x −1 C D Đáp án khác lim f ( x) ≠ lim− f ( x) ⇒ Dẫn tới x0 = x →1+ x →1 Câu 11 Cho hàm số A Hướng dẫn giải: Chọn B lim x →0 Ta có = lim 3 − − x  f ( x) =  1  B f ( x ) − f ( 0) ( 2− x →0 x−0 )( 4x + − x x ≠ b = A Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có x=0 f ′ ( 0) Khi 32 C 16 ) ) = lim x →0 x ( 4x + − x Câu 12 Cho hàm số f ( x ) = x Khi A Không tồn B Hướng dẫn giải: Chọn A f f ′ ( ) = lim f ( x) = x = x ∆x →0 Ta có nên ∆x ∆x lim = −1 ≠ lim =1 lim − + ∆x → ∆x Do ∆x →0 ∆x nên ∆x →0 Câu 13 Cho hàm số trị b nên hàm số khơng có đạo hàm kết sau đây? D Không tồn 3− − x − 4 = lim − − x = lim x→0 x →0 x 4x 4− x 2+ 4− x ( x =1 hàm số không liên tục f ′ ( 0) b = x →0 ( 2+ 4− x ) kết sau đây? C ( ∆x + ) − f (0) = lim  x2  f ( x) =  x  − + bx −  B ) = lim ∆x ∆x → = 16 D ∆x ∆x ∆x ∆x không tồn x ≤ x > Để hàm số có đạo hàm C b = D x=2 b = −6 giá • f ( 2) = • lim− f ( x ) = lim− x = x →2 x →2  x2  • lim− f ( x ) = lim−  − + bx − ÷ = 2b − x →2 x →2   f ( x) f ( x) x=2 có đạo hàm liên tục ⇔ lim− f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( ) ⇔ 2b − = ⇔ b = x→2 x=2 x→2 f ( x ) = x2 − x + Câu 14 Số gia hàm số ∆x ( ∆x + x − ) A Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có ∆y = f ( ∆x + x ) − f ( x ) ứng với x B ∆x ∆x ( x − 4∆x ) x + ∆x C D x − 4∆x = ( ∆x + x ) − ( ∆x + x ) + − ( x − x + 1) = ∆x + 2∆x.x + x − 4∆x − x + − x + x − = ∆x + 2∆x.x − 4∆x = ∆x ( ∆x + x − ) Câu 15 Xét ba mệnh đề sau: f ( x) x = x0 f ( x) (1) Nếu hàm số có đạo hàm điểm liên tục điểm f ( x) f ( x) x = x0 (2) Nếu hàm số liên tục điểm có đạo hàm điểm f ( x) f ( x) x = x0 (3) Nếu gián đoạn chắn khơng có đạo hàm điểm Trong ba câu trên: A Có hai câu câu sai B Có câu hai câu sai C Cả ba D Cả ba sai Hướng dẫn giải: Chọn A f ( x) f ( x) x = x0 (1) Nếu hàm số có đạo hàm điểm liên tục điểm Đây mệnh đề f ( x) f ( x) x = x0 (2) Nếu hàm số liên tục điểm có đạo hàm điểm Phản ví dụ f ( x) = x Lấy hàm ta có D=¡ f ( x) nên hàm số liên tục ¡ Nhưng ta có  f ( x ) − f ( 0) x −0 x−0 lim+ = lim+ = lim+ =1  x →0 x − x →0 x −  x →0 x−0   lim f ( x ) − f ( ) = lim x − = lim − x − = −1  x →0 − x − x →0 + x − x−0  x →0 − x=0 Nên hàm số khơng có đạo hàm Vậy mệnh đề (2) mệnh đề sai f ( x) f ( x) x = x0 (3) Nếu gián đoạn chắn khơng có đạo hàm điểm f ( x) f ( x) x = x0 Vì (1) mệnh đề nên ta có khơng liên tục có đạo hàm điểm Vậy (3) mệnh đề Câu 16 Xét hai câu sau: x y= x=0 x +1 (1) Hàm số liên tục x y= x=0 x +1 (2) Hàm số có đạo hàm Trong hai câu trên: A Chỉ có (2) B Chỉ có (1) C Cả hai D Cả hai sai Hướng dẫn giải: Chọn B  x x =0 lim ⇒ lim = f ( 0)  x →0 x + x x →0 x + y=  f ( 0) =  x=0 x +1 Ta có : Vậy hàm số liên tục x f ( x ) − f ( 0) x + − x = = x−0 x x ( x + 1) x≠0 Ta có : (với )  x f ( x ) − f ( 0) = lim = lim+ =1  xlim + → 0+ x → x → x−0 x ( x + 1) x +1   x −1  lim f ( x ) − f ( ) = lim = lim− = −1 + −  x →0 x →0 x ( x + 1) x →0 x + x−0  Do : f ( x ) − f ( 0) x→0 x−0 Vì giới hạn hai bên khác nên không tồn giới hạn x y= x=0 x +1 Vậy hàm số khơng có đạo hàm f ( x ) = x2 + x Câu 17 Cho hàm số Xét hai câu sau: < nguyenthuongnd 86@ gmail.com > (1) Hàm số có đạo hàm x=0 (2) Hàm số liên tục Trong hai câu trên: A Chỉ có (1) B Chỉ có (2) Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có lim+ f ( x ) = lim+ x + x = +) x →0 x →0 ( C Cả hai D Cả hai sai ) lim f ( x ) = lim− ( x − x ) = +) x → 0− x →0 f ( 0) = +) ⇒ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( ) x →0 x →0 Mặt khác: f ′ ( 0+ ) = lim+ x →0 +) f ′ ( 0− ) Vậy hàm số liên tục x=0 f ( x ) − f ( 0) x2 + x = lim+ = lim+ ( x + 1) = x →0 x →0 x−0 x f ( x ) − f ( 0) x −x = lim− = lim− = lim− ( x − 1) = −1 x →0 x → x →0 x−0 x +) ⇒ f ′ ( 0+ ) ≠ f ′ ( 0− ) x=0 Vậy hàm số khơng có đạo hàm  x + x x ≥ f ( x) =  a, b ax + b x < x =1 Câu 18 Tìm để hàm số có đạo hàm a = 23 a =  a = 33    b = −1 b = −11 b = −31 A B C Hướng dẫn giải: Chọn D lim+ f ( x) = lim( x + x) = lim f ( x ) = lim(ax + b) = a + b + Ta có: x →1 x →1 x =1 ; x →1− x →1− x =1 ⇔ a +b = Hàm có đạo hàm hàm liên tục f ( x) − f (1) x + x−2 lim = lim+ = lim( x + 2) = x →1+ x → x →1+ x −1 x −1 lim x →1− f ( x) − f (1) ax + b − ax − a = lim− = lim− =a x → x → x −1 x −1 x −1 (Do b = 2−a ) (1) D a =  b = −1 Hàm có đạo hàm a = ⇔ x = b = −1 x  f ( x) =   ax + b  Câu 19 Cho hàm số hàm x =1 x ≤ x >1 Với giá trị sau a, b hàm số có đạo ? a = 1; b = − a= A Hướng dẫn giải: Chọn A Hàm số liên tục B x =1 1 ;b = 2 a+b = nên Ta có C 1 a = ;b = − 2 D a = 1; b = 2 f ( x ) − f ( 1) x −1 x =1 Hàm số có đạo hàm nên giới hạn bên Ta có f ( x ) − f ( 1) ax + b − ( a.1 + b ) a ( x − 1) lim+ = lim+ = lim+ = lim+ a = a x →1 x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 x −1 x2 − f ( x ) − f ( 1) ( x + 1) ( x − 1) = lim ( x + 1) = lim− = lim− 2 = lim− x →1 x →1 x →1− x −1 x − x →1 ( x − 1) a = 1; b = − Vậy Câu20  x ≠  x sin f ( x) =  x  x = 0 x=0 A B Hướng dẫn giải: Chọn A f ( x) − f (0) lim = lim x sin = x →0 x → x x Ta có: C f '(0) = Vậy Câu 21  sin x  f ( x) =  x  x + x2  x > x0 = x ≤ D A Hướng dẫn giải: Chọn A B C D sin x  sin x  lim f ( x ) = lim+ = lim+  sin x ÷ = x →0+ x →0 x → x  x  Ta có lim− f ( x) = lim− x + x = x →0 x →0 lim+ f ( x) − x lim− f ( x) − x x →0 x →0 ( ) nên hàm số liên tục f (0) sin x = lim+ =1 x →0 x2 f (0) x+x = lim− =1 x →0 x x=0 f '(0) = Vậy x2 + x + f ( x) = x Câu 22 A Hướng dẫn giải: Chọn D x0 = −1 B C D đáp án khác x0 = −1 Ta có hàm số liên tục f ( x) − f ( −1) x + x + x + = x +1 x ( x + 1) lim+ x →−1 f ( x ) − f ( −1) x2 + 2x + = lim+ =0 x →−1 x +1 x( x + 1) Nên f ( x ) − f (−1) x2 −1 lim = lim− =2 x →−1− x →−1 x ( x + 1) x +1 lim+ x →−1 Do f ( x) − f ( −1) f ( x) − f ( −1) ≠ lim− x →−1 x +1 x +1 x0 = −1 Vậy hàm số khơng có đạo hàm điểm y = f ( x) Nhận xét: Hàm số có đạo hàm x = x0 phải liên tục điểm  x ≥ x +1 f ( x) =   2 x + ax + b x < Câu 23 Tìm a,b để hàm số a = 0, b = −1 a = 10, b = 11 A B có đạo hàm ¡ a = 20, b = a = 0, b = C D Hướng dẫn giải: Chọn C Ta thấy với đạo hàm Ta có: x≠0 x=0 f ( x) ln có đạo hàm Do hàm số có đạo hàm lim f ( x) = 1; lim− f ( x) = b ⇒ f ( x ) x →0 x → 0+ f '(0 + ) = lim+ x →0 Khi đó: x = ⇔ b =1 f ( x ) − f (0) f ( x) − f (0) = 0; f '(0 − ) = lim− =a x → x x ⇒ f '(0+ ) = f '(0− ) ⇔ a = a = 0, b = Vậy liên tục giá trị cần tìm ¡ hàm có ... Hàm có đạo hàm đồng thời Đạo hàm khoảng, đoạn f (x) ( a; b ) • Hàm số có đạo hàm (hay hàm khả vi) có đạo hàm điểm thuộc ( a; b ) • f ( x) [a ; b ] Hàm số có đạo hàm (hay hàm khả vi) có đạo hàm. .. đạo hàm trái đạo hàm phải Mối liên hệ đạo hàm tính liên tục x0 x0 f ( x) f ( x) • Nếu hàm số có đạo hàm liên tục x0 Chú ý: Định lí điều kiện cần, tức hàm liên tục điểm hàm x0 khơng có đạo hàm. .. hạn x y= x=0 x +1 Vậy hàm số khơng có đạo hàm f ( x ) = x2 + x Câu 17 Cho hàm số Xét hai câu sau: < nguyenthuongnd 86@ gmail.com > (1) Hàm số có đạo hàm x=0 (2) Hàm số liên tục Trong hai