File câu hỏi và lời giải chi tiết Chuyên đề 2: Cực trị hàm của hàm số Dạng 1. Bài toán cực trị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối Dạng 2. Số điểm cực trị của hàm hợp Dạng 3. Tìm m để hàm số f(u) thỏa mãn điều kiện cho trước
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Chuyên đề CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng Bài toán cực trị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối Bài toán: Đồ thị hàm số (Áp dụng định nghĩa) y = f ( x) có điểm cực trị f ( x) f ′( x) y = f ( x) = f ( x ) ⇒ y ′ = f ( x) f ( x) = ( 1) y′ = ⇒ f ′( x) = ( ) Số nghiệm của ( 2) ( 1) số giao điểm đồ thị y = f ( x) trục hoành y = Còn số nghiệm ( ) Vậy tổng số nghiệm bội lẻ số cực trị hàm số y = f ( x ) , dựa vào đồ thị suy ( 1) ( ) số cực trị cần tìm Dạng tốn làm tựa theo đề tham khảo 2018, xuất dạng toán hàm hợp, bạn học ý nhé! Câu (Chuyên Vinh – Lần 2) Đồ thị ( C) có hình vẽ bên y = f ( x) + m Tất giá trị tham số m để hàm số có ba điểm cực trị là: A m ≤ −1 m ≥ B m ≤ −3 m ≥ C m = −1 m = D ≤ m ≤ Giải Cách 1: y = f ( x) + m Do hàm số bậc ba y = f ( x) + m Khi đó, hàm số có ba điểm cực trị ⇔ hàm số y = f ( x ) + m có yCD yCT ≥ (hình minh họa) Trang m ≤ −1 ⇔ ( + m ) ( −3 + m ) ≥ ⇔ → m ≥ Đáp án A Cách 2: Ta có y = f ( x) + m ( f ( x) + m) ⇒ y′ = = Để tìm cực trị hàm số f ′( x) = ( 1) ⇔ ( 2) f ( x ) = −m y = f ( x) + m ( f ( x ) + m) f ′ ( x ) ( f ( x) + m) ' ' , ta tìm x thỏa mãn y = y không xác định Dựa vào đồ thị, suy hàm số có điểm cực trị x1 , x2 trái dấu Suy (1) có hai nghiệm x1 , x2 trái dấu Vậy để đồ thị hàm số có cực trị (2) có nghiệm khác x1 , x2 C Số nghiệm (2) số giao điểm đồ thị ( ) đường thẳng y = − m −m ≥ m ≤ −1 ⇔ Do để (2) có nghiệm dựa vào đồ thị ta có điều kiện: −m ≤ −3 m ≥ → Đáp án A Chú ý: y = f ( x) f' x =0 f′ x Nếu x = x0 cực trị hàm số ( ) khơng tồn ( ) Câu (Đề Tham Khảo 2018) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x − x3 − 12 x + m A có điểm cực trị? B C Lời giải D Chọn C y = f ( x ) = 3x − x − 12 x + m Ta có: Trang f ′ ( x ) = 12 x3 − 12 x − 24 x ; f ′( x) = ⇔ x = x = −1 x = TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 f ( x) y = f ( x) có ba điểm cực trị nên hàm số có điểm cực trị m > ⇔ ⇔0 5 < m < 32 m − 32 < y = g ( x) Dựa vào bảng biến thiên, hàm số có có điểm cực trị Vì m số nguyên dương có 26 số m thỏa đề Câu (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số thực Số giá trị nguyên khoảng A B [ −2; 2] y = x − 2mx + 2m − với m tham số m để hàm số cho có điểm cực trị C D Lời giải Chọn B x = ′ f x = ⇔ ( ) f ( x ) = x − 2mx + 2m − f ′ ( x ) = x − 4mx x = m Đặt , , ⇒ m ∈ [ −2;0] + Trường hợp 1: hàm số có cực trị y = f ( x) A ( 0; 2m − 1) Đồ thị hàm số có điểm cực trị m ∈ [ −2;0] ⇒ y A = 2m − < y = f ( x) Do nên đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt y = f ( x) có cực trị ⇒ có giá trị nguyên m thỏa ycbt ⇒ m ∈ ( 0; 2] + Trường hợp 2: hàm số có ba cực trị nên hàm số Khi đồ thị hàm số có điểm cực trị ( ) A ( 0; 2m − 1) , B ( ), m ; −m2 + 2m − C − m ; − m + 2m − y = f ( x) y = f ( x) y = yC ≥ Do a = > nên hàm số có điểm cực trị hàm số có B ⇔ − m + 2m − ≥ ⇔ m = Trang yB = yC < (trong tốn khơng xảy ra) hàm số có điểm cực trị Vậy có giá trị m thỏa ycbt Nếu Câu y = x − x3 − 12 x + m − (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tập hợp giá trị m để hàm số có điểm cực trị là: A (0; 6) B (6;33) C (1;33) Lời giải D (1; 6) Chọn D Xét hàm số f ( x) = x − x − 12 x + m − , lim f ( x ) = +∞ lim f ( x ) = +∞ Có x →+∞ , x →−∞ ( f ′ ( x ) = 12 x − 12 x − 24 x = 12 x x − x − ) x = f ′ ( x) = ⇔ x = −1 x = Bảng biến thiên: y = f ( x) Từ bảng biến thiên, ta có hàm số có điểm cực trị ⇔ đồ thị hàm số y = f ( x) cắt Ox điểm phân biệt ⇔ m − < < m − ⇔ < m < Câu (THPT Kinh Môn - 2018) Cho hàm số y = f ( x) = x − (2 m − 1) x + (2 − m) x + Tìm tất y = f (x) giá trị tham số m để hàm số có điểm cực trị 5 5 m ≤ −t a < −5 ⇔ −4 < −m ≤ ⇔ −4 < −m ≤ ⇔ −5 ≤ m ≤ 5;m ∈ ¢ −5 ≤ m ≤ { −5 ≤ m < m ∈ ¢ } ⇔ m ∈ −5; −4; −3; −2; −1;0;1;2;3 Cách 2: Ta có bảng biến thiên hàm số ( ): y=f x ( ) ( ) ( ) ⇒ h' ( x ) = 2f ' ( x ) f ( x ) + 4f ' ( x ) ⇒ h' ( x ) = 2f ' ( x ) f ( x ) + 2 ' ' h ( x ) = ⇒ 2f ( x ) f ( x ) + 2 = f ' ( x) = x = a;x = b ⇔ ⇔ f ( x ) = −2 x = c ( c〈a ) Xét hàm số h x = f x + 4f x + m Trang 67 Từ YCBT ( ) ( ) ( ) ( ) g x = h x = f x + 4f x + m ( ) có điểm cực trị khi: ( ) m ≤ f a + 4f (a) < −5 h a ≤ −4 + m < ≤ + m ⇔ −5 ≤ m < m ∈ ¢;m ∈ −5;5 m ∈ ¢;m ∈ −5;5 ⇔ m ∈ −5; −4; −3; −2; −1;0;1;2;3 { Câu } (Sở Bình Phước - 2020) Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình vẽ bên Có giá g ( x ) = f ( x + 2020 ) + m trị nguyên tham số thực m để hàm số có điểm cực trị? A B C Lời giải Chọn B ( a < b < c ) ba điểm cực trị hàm số y = f ( x ) Gọi a, b, c f ( a ) = −6; f ( b ) = −2; f ( c ) = Khi đó: h ( x ) = f ( x + 2020 ) Xét hàm với x ∈ ¡ h′ ( x ) = f ′ ( x + 2020 ) ( x + 2020 ) ′ = f ′ ( x + 2020 ) Khi đó: Trang 68 D TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2023 x = a − 2020 h′ ( x ) = ⇔ x = b − 2020 x = c − 2020 Bảng biến thiên hàm Hàm số h ( x) g ( x ) = f ( x + 2020 ) + m2 có điểm cực trị ⇔ Phương trình f ( x + 2020 ) + m = có nghiệm khơng thuộc { a − 2020; b − 2020; c − 2020} m = ± m2 = ⇔ m = −2 ⇔ − < m < − 2 < m2 < < m < g ( x ) = f ( x + 2020 ) + m2 Vậy có giá trị nguyên m m = m = −2 hàm số có điểm cực trị Câu (Chuyên Lào f ′ ( x ) = x2 ( x + 2) Cai ( x + 4) - 2020) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm x + ( m + 3) x + 6m + 18 Có tất giá trị nguyên m để hàm số f ( x ) có điểm cực trị? B B C D Lời giải Chọn C x2 = x = x = −2 ( x + ) = f ′( x) = ⇔ ⇔ x = −4 ( x + ) = x + ( m + 3) x + 6m + 18 = ( *) x + ( m + 3) x + 6m + 18 = Ta có f ( x) ( *) ⇔ Để hàm số có điểm cực trị Phương trình có hai nghiệm phân biệt có nghiệm −4 Trường hợp Phương trình vơ nghiệm, có nghiệm kép ( *) vơ nghiệm ⇔ ∆ = 4m + 24m + 36 − 24m − 72 = 4m − 36 < 2 ⇔ −3 < m < ⇒ m ∈ { −2 ; − ; ; ; 2} m = ⇔ ∆ = 4m − 36 = ⇔ * m = −3 Trường hợp Phương trình ( ) có nghiệm kép * Trường hợp Phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Trong x1 = −4 Trang 69 m < −3 x1 , x2 ⇔ ∆ = 4m − 36 > ⇔ m > Phương trình có hai nghiệm phân biệt S = x1 + x2 = −4 + x2 = −2m − P = x1.x2 = −4.x2 = 6m + 18 Theo định lí Viète ta có x2 = −2m − ⇔ ⇔ −2m − = − m − ⇔ m = 2 x2 = − m − Vậy Câu m ∈ { −3 ; − ; − ; ; ; ; ; 5} thỏa mãn yêu cầu đề (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình vẽ bên h ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + 2m m Tìm tất giá trị tham số để đồ thị hàm số có điểm cực trị A m > B m ≥ C m ≤ Lời giải D m > Chọn B Số cực trị hàm số h ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + 2m số cực trị hàm số y ( x) = f ( x ) + f ( x ) + 2m cộng với số giao điểm (khác điểm cực trị) đồ thị hàm số y ( x) = f ( x ) + f ( x ) + 2m y = Xét hàm số g( x) = f ( x) + f ( x) + 2m g′ ( x) = f ( x) f ′ ( x) + f ′ ( x) = f ′ ( x) f ( x) + 1 x =1 f ′ ( x) = g′ ( x) = ⇔ ⇔ x = f ′ ( x) = x = α α < ( ) BBT Hàm số Trang 70 h( x) có điểm cực trị ⇔ 2m≥ ⇔ m≥ Đáp án B gần kết TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Câu f ( x) (THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa - 2018) Cho hàm số f ′ ( x ) = x ( x − a ) ( 13x − 15) có đạo hàm 5x y= f ÷ x + có điểm cực Tập hợp giá trị a để hàm số trị 5 15 − ; \ 0; 13 A 5 15 5 − ; ÷\ 0; − ; ÷\ { 0} 4 13 B C 4 Lời giải 5x x x ′ x x y′ = f ′ = − a 13 − 15 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ x +4 x +4 x +4 x +4 x + = −ax + x − 4a −15 x + 65 x − 60 ÷ ÷ 2 x2 + ( x + ) ( x + 4) x + 20 − x 25 x x = ±2 x = x = x = y′ = ⇔ −ax + x − 4a = đặt 5 15 − ; ÷\ D 4 13 (1) x = ( nghiệm kép ) g ( x ) = −ax + x − 4a Ycbt thỏa mãn phương trình y′ = có nghiệm bội lẻ ⇔ phương trình ( ) có hai nghiệm g =0 phân biệt khác ±2;0;1; (Nếu ( ) y′ = a ≠ ∆ = 52 − 4a.4a > a ≠ g ( 2) ≠ − < a < g ( −2 ) ≠ a ≠ ± g ( 0) ≠ g ( 3) ≠ a ≠ 4 a ≠ 15 g ≠ ÷ 13 ⇔ ⇔ Điều kiện: Câu (Chuyên Vinh - 2018) Cho hàm số y = f ( x) có nghiệm bội lẻ) − < a < a ≠ 15 a ≠ 13 f ′ ( x ) = ( x − 1) có đạo hàm ( (x − 2x) với ∀x ∈ ¡ ) f x2 − 8x + m Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số có điểm cực trị? A 15 B 17 C 16 D 18 Lời giải Đặt g ( x ) = f ( x2 − 8x + m ) f ′ ( x ) = ( x − 1) (x ( ) (x − x ) ⇒ g ′ ( x ) = ( x − 8) x − 8x + m −1 2 − 8x + m ) ( x − 8x + m − ) Trang 71 x = x − x + m − = ( 1) ⇔ x − 8x + m = ( 2) x2 − x + m − = ( 3) g′ ( x ) = Các phương trình ( ) , ( ) , ( ) (x khơng có nghiệm chung đơi − x + m − 1) ≥ với ∀x ∈ ¡ g x Suy ( ) có điểm cực trị ( ) ( ) có hai nghiệm phân biệt khác 16 − m > m < 16 16 − m + > m < 18 ⇔ ⇔ 16 − 32 + m ≠ m ≠ 16 16 − 32 + m − ≠ m ≠ 18 ⇔ m < 16 m nguyên dương m < 16 nên có 15 giá trị m cần tìm Câu Cho hàm số y = f ( x) xác định ¡ hàm số y = f '( x) có đồ thị hình bên Biết f '( x ) < với x ∈ ( −∞; −3, ) ∪ ( 9; +∞ ) Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số g ( x) = f ( x ) − mx + có hai điểm cực trị A B C Lời giải D Chọn B g '( x) = f '( x) − m Số điểm cực trị hàm số g ( x) số nghiệm đơn (bội lẻ) phương trình f '( x) = m 0 < m ≤ Dựa đồ thị ta có điều kiện 10 ≤ m < 13 Vậy có giá trị nguyên dương m thỏa mãn Câu Trang 72 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′( x) có đồ thị hình vẽ TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2023 Tìm m để hàm số y = f ( x + m) có điểm cực trị A m ∈ ( 3; +∞ ) B m ∈ [ 0;3] m ∈ [ 0;3) C Lời giải D m ∈ ( −∞;0 ) Chọn C Do hàm số y = f ( x + m) hàm chẵn nên hàm số có cực trị hàm số có điểm cực trị dương y = f ( x + m) ⇒ y ′ = xf ′ ( x + m ) x = x = 2 x = x + m = x = −m y′ = ⇔ ⇔ ⇔ x2 + m = x2 = 1− m f ′ ( x + m ) = x + m = x = − m y = f ′( x) Đồ thị hàm số tiếp xúc trục hoành điểm có hồnh độ x = nên nghiệm ( ) f ′ x2 + m pt x = − m (nếu có) khơng làm đổi dấu x qua, điểm cực trị hàm số y = f ( x + m) điểm nghiệm hệ Hệ có nghiệm dương Câu x = x = −m x2 = − m − m ≤ ⇔0≤m (THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa - 2019) Cho hàm số x ∈ R Có giá trị nguyên f ′ ( x ) = ( x − 2) y = f ( x − 10 x + m + ) m dương để hàm số có điểm cực trị? A 18 B 16 C 17 (x − x + 3) với D 15 Lời giải Chọn B x = f ′ ( x ) = ⇔ x = x = x = f ′( x) Ta có , nghiệm kép nên qua giá trị x = khơng bị đổi dấu Trang 73 Đặt g ( x ) = f ( x − 10 x + m + ) g ' ( x ) = f ′ ( u ) ( x − 10 ) với u = x − 10 x + m + x = x − 10 = 2 2 ( x − 10 x + m + − ) = ( x − 10 x + m + − ) = ⇔ g′ ( x) = ⇔ 2 x − 10 x + m + = ( 1) x − 10 x + m + = x − 10 x + m + = x − 10 x + m + = ( ) Nên Hàm số y = f ( x − 10 x + m + ) Hay phương trình ( 1) g′( x ) có điểm cực trị đổi dấu lần phương trình ( 2) phải có hai nghiệm phân biệt khác ∆1' > ' ∆ > ⇔ h ( ) ≠ p ( 5) ≠ h ( x ) = x − 10 x + m + p ( x ) = x − 10 x + m + , (Với ) 17 − m > 19 − m > ⇔ ⇔ m < 17 − 17 + m ≠ −19 + m ≠ Vậy có 16 giá trị nguyên dương m thỏa mãn Câu 10 (Chuyên Bắc Giang - Lần - 2019) Cho hàm số f ′ ( x) = ( x − 2) hàm số A ( x − 1) ( x − ( m + 1) x + m2 − 1) g ( x) = f ( x ) có điểm cực trị? B Chọn C Dựa vào cách vẽ đồ thị hàm số số điểm cực trị dương đồ thị hàm số Để hàm số g ( x) = f ( x ) có đạo hàm , ∀x ∈ ¡ Có giá trị nguyên m để C Lời giải g ( x) = f ( x ) y = f ( x) D , số điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x) g ( x) = f ( x ) cộng thêm có điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x) có cực trị dương x =1 f ′( x) = ⇔ x = 2 x − ( m + 1) x + m2 − = ( *) Ta có Có x = nghiệm bội 2, x = nghiệm đơn Vậy x − ( m + 1) x + m − = nghiệm x ≤ Trường hợp 1: Có nghiệm Trang 74 có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm dương x ≠ , có 2 x = x − ( m + 1) x + m − = ⇔ m − = ⇔ m = ±1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 x = x − ( m + 1) x + m − = ⇔ x − x = ⇔ ( TM ) x = m = Với , có x − ( m + 1) x + m − = ⇔ x = ⇔ x = Với m = −1 , có (Loại) 2 x − ( m + 1) x + m − = Trường hợp 2: có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm dương x ≠ , có nghiệm âm m2 − < m ∈ ( −1;1) 2 − ( m + 1) + m − ≠ m ≠ ± Điều kiện tương đương Vì m ∈ ¢ ⇒ m = Vậy có hai giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 11 ( ) ( ) (Sở GD Quảng Nam - 2019) Cho hai hàm đa thức y = f x , y = g x có đồ thị hai đường ( ) cong hình vẽ Biết đồ thị hàm số y = f x có điểm cực trị A , đồ thị hàm số y = g ( x ) có điểm cực trị B AB = Có giá trị nguyên tham số m y = f ( x) − g ( x) + m thuộc khoảng ( −5;5 ) để hàm số có điểm cực trị? A B C Lời giải D Chọn B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ′( ) Đặt h x = f x − g x , ta có: h′ x = f ′ x − g ′ x ; h x = ⇔ x = x0 ; Trang 75 h ( x ) = ⇔ x = x1 x = x2 ( x1 < x0 < x2 ); h ( x0 ) = f ( x0 ) − g ( x0 ) = − ( ) Bảng biến thiên hàm số y = h x là: ( ) ( ) ( ) Suy bảng biến thiên hàm số y = k x = f x − g x là: ( ) Do đó, hàm số y = k x + m có ba điểm cực trị ( ) ( ) Vì số điểm cực trị hàm số y = k x + m tổng số điểm cực trị hàm số y = k x + m ( ) số nghiệm đơn số nghiệm bội lẻ phương trình k ( x ) + m = , mà hàm số y = k x + m y = f ( x) − g ( x) + m có ba điểm cực trị nên hàm số có năm điểm cực trị phương trình k ( x ) + m = có hai nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) ( ) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = k x , phương trình k ( x ) + m = có hai nghiệm −m ≥ 7 ⇔m≤− 4 đơn (hoặc bội lẻ) m≤− m ∈ ( −5;5 ) nên m ∈ { −4; −3; −2} Vì m ∈ ¢ , Câu 12 (Sở GD Bạc Liêu - 2019) Cho hàm số giá trị tham số y = f ( x ) = x3 − ( 2m − 1) x + ( − m ) x + Tập hợp tất a ;c a b ÷ y = f x ( ) a , b , c , (với m để hàm số có điểm cực trị số nguyên, b phân số 2 tối giản) Giá trị biểu thức M = a + b + c A M = 40 B M = 11 C M = 31 Lời giải Chọn D y = f ( x ) = x3 − ( 2m − 1) x + ( − m ) x + Hàm số có đạo hàm y′ = f ′ ( x) = 3x − ( 2m −1) x + ( − m) Trang 76 D M = 45 - Để hàm số y = f ( x) có điểm cực trị hàm số Tương đương với phương trình f ′( x) = y = f ( x) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 có hai điểm cực trị x1, x2 dương có nghiệm dương phân biệt m < −1∨ m > ∆′ = ( 2m −1) − 3( − m) > m − m − > ( 2m −1) ⇔ m > ⇔ S = >0 ⇔ m > m < 2−m m < P = >0 ⇔ m < ⇔ P > ⇔ S > m < 7 − 73 ⇔− − 3 phân biệt m ∈ { −2; −1; 0} Do m nguyên nên Trang 78 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Trang 79 ... giá trị ngun tham số để đồ thị hàm số có bảy điểm cực trị Câu (Sở Vĩnh Phúc 2019) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = 3x − x − 12 x + m A có điểm cực trị? B C Lời giải D 2 Xét hàm số. .. giá trị tham số m để hàm số có điểm cực trị 5 5