Chuyên đề 2 cực trị của hàm số đáp án

Chuyên đề CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng Tìm m để hàm số đạt cực trị x = x0 Dạng 1.1 Hàm số bậc Câu 1 x  mx   m   x  đạt cực đại x  C m  D m  Lời giải Tìm giá trị thực tham số m để hàm số y  A m  1 B m  7 Chọn C Ta có y  x  2mx   m2   ; y  x  2m Hàm số y  x  mx   m   x  đạt cực đại x  khi:   y   3     y  3    m  1 L  9  6m  m2   m2  6m          m  TM  6  m  m   m  Vậy m  giá trị cần tìm Câu Tìm m để hàm số y  x  2mx  mx  đạt cực tiểu x  A không tồn m B m  1 C m  D m  1;2 Lời giải m   y  1  3  4m  m     Để x  điểm cực tiểu hàm số    m  m  6  4m   y  1    Thử lại với m  1, ta có y  x  x  x  ; y  3x  x  x  y    3x  x     x   Bảng biến thiên: Quan sát bảng biến thiên ta thấy m  thỏa yêu cầu toán Câu Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x3  3x  mx  đạt cực tiểu x  A m  B m  C  m  D  m  Lời giải Chọn A y  3x  x  m ; y  x   m   y      m0 Hàm số đạt cực tiểu x      y       Câu (THPT Đồn Thượng - Hải Dương 2019) Tìm giá trị thực tham số m để hàm số y  x  mx   m   x  đạt cực đại x  A m  1, m  B m  C m  D m  1 Lời giải Tập xác định Ta có y  x  2mx  m2  4, y  x  2m Để hàm số y  x  mx   m   x  đạt cực đại x  m   m  6m      y  3      m   m    y  3  6  2m  3  m  Dạng 1.2 Hàm số đa thức bậc cao, hàm thức … Câu Xác định tham số m cho hàm số y  x  m x đạt cực trị x  A m  2 B m  C m  6 D m  Lời giải Chọn A m y  f   x    ,  x  0 x m Để hàm số đạt cực trị x  f  1      m  2 Thử lại với m  2 , hàm số y  x  x có cực tiểu x  , m  2 thỏa mãn yêu cầu đề Câu T m tất tham số thực m để hàm số y   m  1 x   m2   x  2019 đạt cực tiểu x  1 A m  B m  2 C m  Lời giải D m  Chọn D Tập xác định: D  Đạo hàm: y   m  1 x3   m2   x m  Hàm số đạt cực tiểu x  1  y  1   4  m  1   m2      m  Với m  , hàm số trở thành y   x  x  2019 Dễ thấy hàm số đạt cực đại x  1 Với m  , hàm số trở thành y  x  x  2019 Dễ thấy hàm số đạt cực tiểu x  1 Vậy m  th hàm số y   m  1 x   m2   x  2019 đạt cực tiểu x  1 Câu Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x8   m   x5   m2   x  đạt cực tiểu x  ? A Vô số B C Lời giải D Chọn D Ta có y  x8   m   x5   m2   x   y  8x7   m   x   m2   x3    y    x x   m   x  m2   x    g  x   x   m   x   m    Xét hàm số g  x   8x   m   x   m2   có g   x   32 x3   m   Ta thấy g   x   có nghiệm nên g  x   có tối đa hai nghiệm + TH1: Nếu g  x   có nghiệm x   m  m  2 Với m  x  nghiệm bội g  x  Khi x  nghiệm bội y  y  đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x  nên x  điểm cực tiểu hàm số Vậy m  thỏa ycbt x  Với m  2 g  x   x  20 x    x   Bảng biến thiên Dựa vào BBT x  không điểm cực tiểu hàm số Vậy m  2 không thỏa ycbt + TH2: g     m  2 Để hàm số đạt cực tiểu x   g  0   m    2  m  Do m nên m 1;0;1 Vậy hai trường hợp ta giá trị nguyên m thỏa ycbt Câu Tất giá trị thực tham số m để hàm số y A m C Không tồn m B m D m x5 mx 4 đạt cực đại x 0 Lời giải Chọn D x5 Đặt f x Ta có: f x mx 4 x mx3 Khi m f x x4 Khi m , xét f x + Trường hợp m 0, x x4 mx3 nên hàm số khơng có cực trị x3 x m 0 ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại x x x m là: + Trường hợp m Câu ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu x Như vậy, để hàm số đạt cực đại x m Có khoảng giá trị nguyên m thuộc m 1 m  x  x  m  đạt cực đại x  ? A 101 B 2016 C 100 Lời giải Chọn B Ta xét: m   y  x   y   3x  y    x  Ta có, bảng xét dấu y  x3  2019;2019  y D 10 Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x  điểm cực tiểu Suy m  (loại)  x1   Ta xét: m   y   m  1 x   m   x  y '     x2   m  m 1  Trường hợp 1: xét m  1, suy x2  x1 Ta có, bảng xét dấu y   m  1 x   m   x3 Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x  điểm cực tiểu Suy m  (loại) Trường hợp 2: 2  m  1, suy x2  x1 Ta có, bảng xét dấu y   m  1 x   m   x3 Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x  điểm cực tiểu Suy 2  m  (loại) Trường hợp 3: m  2 , suy x2  x1 Ta có, bảng xét dấu y   m  1 x   m   x3 để hàm số Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x  điểm cực đại Suy m  2 (nhận) Vậy, tập hợp tất giá trị tham số m thỏa mãn đề m  2 mà m thuộc khoảng  2019;2019  Suy ra, số giá trị nguyên m 2016 Câu 10 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x8   m  3 x5   m2   x  đạt cực tiểu x  ? A B Vô số C Lời giải D Chọn A Ta có y  x8   m  3 x5   m2   x   y  8x7   m  3 x   m2   x3   y   x3 8x4   m  3 x  m2    x    g  x   x   m  3 x   m    Xét hàm số g  x   8x   m  3 x   m2   có g   x   32 x3   m  3 Ta thấy g   x   có nghiệm nên g  x   có tối đa hai nghiệm +) TH1: Nếu g  x   có nghiệm x   m  m  3 Với m  x  nghiệm bội g  x  Khi x  nghiệm bội y  y  đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x  nên x  điểm cực tiểu hàm số Vậy m  thỏa ycbt x  Với m  3 g  x   x  30 x     x  15  Bảng biến thiên Dựa vào BBT x  không điểm cực tiểu hàm số Vậy m  3 không thỏa ycbt +) TH2: g     m  3 Để hàm số đạt cực tiểu x   g  0   m    3  m  Do m nên m2; 1;0;1; 2 Vậy hai trường hợp ta giá trị nguyên m thỏa ycbt Câu 11 ó giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x8   m   x5   m2  16  x  đạt cực tiểu x  A B Vô số C Lời giải Chọn A D Ta có y '  8x7   m  5 x   m2  16  x3  x3 8x4   m   x   m2  16   x3 g  x  Với g  x   8x   m  5 x   m2  16  Trường hợp : g     m  4 Với m   y '  x Suy x  điểm cực tiểu hàm số Với m  4  y '  8x  x3  5 Suy x  không điểm cực trị hàm số Trường hợp : g     m  4 Để hàm số đạt cực tiểu x  th qua giá trị x  dấu y ' phải chuyển từ âm sang dương g     4  m  Kết hợp hai trường hợp ta 4  m  Do m   m  3; 2; 1;0;1; 2;3; 4 Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn Câu 12 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x12  (m  5) x  (m2  25) x  đạt cực đại x  ? A B C Vô số D 10 Lời giải Chọn B Ta có y '  12 x11  7(m  5) x  6(m2  25) x5 TH1: m   y '  12 x11 Khi y '   x  nghiệm bội lẻ, đồng thời dấu y’ đổi từ âm sang dương, nên x  điểm cực tiểu hàm số,do khơng thỏa mãn, m  loại TH2: m  5  y '  x (12 x5  70)   x  nghiệm bội chẵn, y’ khơng đổi dấu qua x  , m  5 loại TH3: m  5  y '  x5 12 x6  7(m  5) x  6(m2  25)   x5 g ( x) Với g ( x)  12 x  7(m  5) x  6(m2  25) , ta thấy x  không nghiệm g  x  Để hàm số đạt cực đại x  th y’ phải đổi dấu từ dương sang âm qua x  , xảy lim g ( x)      x0  6(m2  25)   5  m  lim g ( x)    x 0  Vì m nguyên nên m  4; 3; ;3; 4 , có giá trị m thỏa mãn toán Câu 13 Cho hàm số y  x6    m  x5  16  m2  x  Gọi S tập hợp gia trị m nguyên dương để hàm số cho đạt cực tiểu x  Tổng phần tử S A 10 B C D Lời giải Chọn C Ta có y  x5    m  x  16  m2  x3  x3  x    m  x  16  m2   x3   y    x   m x  16  m  *       * có     m  49m  4    Với m nguyên dương th  5   m  ta xét trường hợp sau:    Trường hợp 1: 16  m    m  : * có hai nghiệm âm phân biệt x1 , x2  x1  x2  , ta có bảng xét dấu y  sau: Lúc x  điểm cực tiểu Trường hợp 2: 16  m   m  : * có hai nghiệm trái dấu x1 , x2  x1   x2  , ta có bảng xét dấu y  sau: Từ suy x  điểm cực đại (khơng thỏa mãn) Trường hợp 3: * có nghiệm nghiệm âm, lúc x  nghiệm bội đạo hàm nên khơng phải điểm cực trị Vậy có ba giá trị nguyên dương m thỏa mãn yêu cầu toán 1, 2, Tổng phần tử S  để m Câu 14 (Mã 102 - 2018) Có giá trị nguyên tham số y  x8  (m  1) x5  (m2  1) x  đạt cực tiểu x  0? A B C Vô số D Lời giải Chọn B Ta có: y '  x  5(m  1) x  4(m2  1) x3   x3 8x4   m  1 x   m2  1 hàm số  x  y'    (1) 8 x   m  1 x   m  1  *Nếu m  y '  x , suy hàm số đạt cực tiểu x  x  x  *Nếu m  1 y '    , x  nghiệm bội chẵn nên không  x  8 x  10 x   phải cực trị *Nếu m  1 : x  nghiệm bội lẻ Xét g ( x)  8x   m  1 x  m2  Để x    điểm cực tiểu lim g ( x)  4(m  1)   m    1  m  Vì m ngun nên có giá 2 x 0 trị m  Vậy có hai tham số m nguyên để hàm số đạt cực tiểu x  m  m  Dạng Tìm m để hàm số có n cực trị Câu Biết hàm số y A ab Chọn C Ta có y y 3x x a B ab x3 a a b x b x2 a2 x b x3 có hai điểm cực trị Mệnh đề sau đúng? a2 C ab Lời giải b2 x a3 b3 b2 Hàm số có hai điểm cực trị y có hai nghiệm phân biệt Câu D ab 18ab ab Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số y  mx  2mx  (m  2) x  khơng có cực trị C m   6;0  D m   6;0 A m  (; 6)  (0; ) B m  6;0  Lời giải Chọn D Ta có y '  3mx  4mx  (m  2) + Nếu m   y '  2  (x  ) Nên hàm số khơng có cực trị Do m  (chọn) (1) + Nếu m  Hàm số khơng có cực trị  y ' không đổi dấu   '   4m2  3m(m  2)   m2  6m   6  m  (do m  ) (2) Kết hợp (1) (2) ta 6  m  Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y   m  1 x   m  3 x  khơng có cực đại? A  m  B m  C m  Lời giải D  m  Chọn D TH1: Nếu m   y  x  Suy hàm số cực đại TH2: Nếu m  Để hàm số khơng có cực đại th 2  m  3   m  Suy  m  Vậy  m  Câu Để đồ thị hàm số y   x   m  3 x  m  có điểm cực đại mà khơng có điểm cực tiểu tất giá trị thực tham số m A m  B m  C m  D m  Lời giải Chọn A y '  4 x3   m  3 x  2 x  x  m  3 x  y'    3 m x   V hàm số cho hàm trùng phương với a  1  nên hàm số có điểm cực đại mà khơng có điểm 3 m   m  cực tiểu  y '  có nghiệm  Câu Cho hàm số y  x  2mx  m Tìm tất giá trị thực m để hàm số có cực trị A m  B m  C m  D m  Lời giải Chọn A Tập xác định D  y '  x3  4mx  x x  m   x  y '   x  x2  m      x  m   Hàm số có cực trị  y '  có nghiệm phân biệt  phương tr nh   có nghiệm phân biệt x   m  Câu Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  m2 x   m2  2019m  x  có cực trị? A 2019 B 2020 C 2018 Lời giải Chọn A Trường hợp 1: m   y  1 nên hàm số khơng có cực trị D 2017  m  (loại) Trường hợp 2: m   m  Hàm số y  m2 x   m2  2019m  x  có cực trị  m2  m2  2019m    m2  2019m    m  2019 Vì m    m  2019 Do m  nên có 2019 giá trị nguyên tham số m thỏa đề Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x   x  x  1  x  2mx  5 Có tất giá trị nguyên m để hàm số có điểm cực trị? A B C Lời giải D Chọn C Hàm số f  x  có điểm cực trị tam thức g  x   x  2mx  vơ nghiệm có hai nghiệm phân biệt nghiệm x  1 , g  x  có nghiệm kép x  1 Tức       g  m     2m     m    g  1     Do tập giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu      m   m   g       b  m  1    1      a  g  g   toán S  2,  1, 0, 1, 2, 3 Câu Cho hàm số y  mx  (2m  1) x  Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số có điểm cực tiểu 1 A Không tồn m B m  C m   D   m  2 Lời giải Với m  , ta có y  x   y '  x Khi hàm số có cực trị cực trị cực tiểu Suy m  thỏa mãn yêu cầu tốn (1) Với m  , ta có y '  4mx3  2(2m  1) x  x(2mx  2m  1) m  Hàm số có cực trị cực tiểu   2mx  2m   vô nghiêm m  m    1     m   m  (2)   2m  0     2m   m  Từ (1) (2) suy hàm số có cực trị cực tiểu m  Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x   x  x  2  x  4  x   m  3 x  6m  18 Có tất giá trị nguyên m để hàm số f  x  có điểm cực trị? B C Lời giải B Chọn C D  x2  x    x  2  x    Ta có f   x       x  4  x       x   m  3 x  6m  18  * x  m  x  m  18     Để hàm số f  x  có điểm cực trị  Phương tr nh  * vơ nghiệm, có nghiệm kép có hai nghiệm phân biệt có nghiệm 4 Trường hợp Phương tr nh  * vô nghiệm    4m2  24m  36  24m  72  4m2  36   3  m   m  2 ;  ; ; ; 2 m   m  3 Trường hợp Phương tr nh  * có nghiệm kép    4m  36    Trường hợp Phương tr nh  * có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Trong x1  4  m  3 m  Phương tr nh có hai nghiệm phân biệt x1 , x2    4m  36     S  x1  x2  4  x2  2m   P  x1.x2  4.x2  6m  18 Theo định lí Viète ta có   x2  2m     2m    m   m  2 x2   m   2  Vậy m  3 ;  ; 1 ; ; ; ; ;  thỏa mãn yêu cầu đề Dạng Tìm m để hàm số bậc có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Câu Với giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  x3  3x  m có hai điểm cực trị A , B thỏa mãn OA  OB ( O gốc tọa độ)? A m  B m  C m  D m  2 Lời giải Chọn D Tập xác định: D  x  y   x  x , y   x  x    x  Do đồ thị hàm số cho ln có hai điểm cực trị có tọa độ A  0; m  B  2; 4  m  Ta có OA  OB  02  m  22    m   m     m   20  8m   m  Câu 2 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x  mx  m  x có hai điểm cực trị A B cho A, B nằm khác phía cách đường thẳng d : y  x  Tính tổng tất phần tử S A B C 6 D Lời giải Chọn D Cách 1: Ta có y '  x  2mx   m2  1   10    x  m 1 m3  3m   m3  3m    y'     A  m  1; B m  1;    3 x  m 1     m  m2  1 Dễ thấy phương tr nh đường thẳng AB : y   x  nên AB song song 3 trùng với d  A, B cách đường thẳng d : y  x  trung điểm I AB nằm d m   m3  3m  m3  3m I  m;  5m   m  18m  27    d   m  3  3    Với m   A, B thỏa điều kiện nằm khác phía so với d 3   A, B thỏa điều kiện nằm khác phía so với d Tổng phần tử S Với m  Câu ó tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  hai điểm cực trị có hồnh độ x , x2 cho x1 x2   x1  x2   A B x  mx   3m  1 x  có 3 D C Lời giải Chọn A Ta có: y '  x  2mx  3m2   x  mx  3m2  ,     g  x   x  mx  3m  ;   13m  Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị y ' có hai nghiệm phân biệt  g  x  có hai nghiệm phân biệt 2  13 m  13 (*)  0   13 m   13   x1  x2  m x1 , x2 nghiệm g  x  nên theo định lý Vi-ét, ta có   x1 x2  3m  m  2 Do x1 x2   x1  x2    3m  2m    3m  2m    m   Đối chiếu với điều kiện (*), ta thấy m  thỏa mãn yêu cầu toán Câu Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y  mx3  (2m  1) x  2mx  m  có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh? A B C D Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hoành phương tr nh mx3  (2m  1) x  2mx  m   (1) có nghiệm phân biệt Ta có (1)  ( x  1) mx  (m  1) x  m  1  Phương tr nh (1) có nghiệm phân biệt pt mx  (m  1) x  m   có nghiệm phân biệt khác 11 m    m  (m  1)  m   (m  1)  4m(m  1)   m    m    3m  6m     m    m  2   3   m  3   3 Do m   m  1 Câu Cho hàm số y  x3   m   x   2m   x  Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh   m  2   m  6  m  2 A  B m  2 C m  6 D   3  m  6   m  Lời giải Chọn D y '  3x   m   x  2m  x  y '  x   m   x  2m      x  2m   2m    m  3 1 Hàm số có cực trị  y (1)  m  2  2m     2m   y   m 27    2m   Ycbt  y(1) y  0     m  6    2m     m  2   m    m      m    4m  36m  81m  54       2 27  3   m    m  2   m  6  Từ 1 ,   ta có ycbt      m  2 Câu ho hàm số y  mx3   m  1 x   m   x  2018 với m tham số Tổng b nh phương tất giá trị m để hàm số có hai điểm cực trị x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  12 A 40 B 22 25 Lời giải C D Chọn A Ta có y '  mx   m  1 x   m   Để hàm số có hai điểm cực trị th phương tr nh mx   m  1 x   m    phải có hai nghiệm phân biệt  m  m    2     m  1  3m  m    2m  4m     m  1   x1  x2   m Theo định lý Vi-ét ta có   x x   m    m 3m   x1    m  1  m  x1  x2    m  Theo ta có hệ phương tr nh x  2x   x    m  1   m   m m m   t / m  3m   m  m        m  m   3m    m     m  t / m  m m m  40 Vậy m12  m2  Câu ho hàm số y   x3  3mx  3m  với m tham số thực Giá trị m thuộc tập hợp sau để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng d : x  y  74  A m  1;1 B m  3;  1 C m   3;5 Lời giải Chọn D y  3x  6mx x  y     x  2m Đồ thị có hai cực trị khi: m  Khi hai điểm cực trị là: A  0; 3m  1 , B  2m ; 4m3  3m  1 Tọa độ trung điểm AB là: I  m ; 2m3  3m  1  I  d A B đối xứng qua d khi:   AB.ud  AB   2m ; 4m3  , ud  8;  1  m0 + AB.ud   16m  4m    m   m  2 Với m  loại Với m  , ta có I  2;9   I  d 13 D m  1;3 Với m  2 , ta có I  2;  11  I  d Do m  thỏa mãn yêu cầu Câu ó giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y  x3  8x   m2  11 x  2m2  có hai điểm cực trị nằm hai phía trục Ox A B C Lời giải D Chọn D Yêu cầu toán  đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt  x3  8x   m2  11 x  2m2   có ba nghiệm phân biệt x3  8x2   m2  11 x  2m2     x    x  x  m2  1  x   2  x  x  m   0(*) Suy phương tr nh (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2   m  2  '  10  m      m    10  m  10 Vậy có giá trị nguyên tham số thỏa mãn đề Câu ho hàm số y  x   2m  1 x   m  1 x  m  Có giá trị số tự nhiên m  20 để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh? A 18 B 19 C 21 D 20 Lời giải + Ta có: y   x  1  x  2mx   m  + Hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh đồ thị y cắt trục hoành ba điểm phân biệt  y   x  1  x  2mx   m   có ba nghiệm phân biệt  x  2mx   m  có hai nghiệm phân biệt khác   1   m    m  m       m  1     3m     m     + Do m  N , m  20 nên  m  20 Vậy có 19 số tự nhiên thỏa mãn toán Câu 10 T m giá trị tham số m để y  x3  3x  mx  đạt cực trị x1 , x2 thỏa mãn x12  x22  A m  3 B m  C m  1 Lời giải D m  Chọn A y'  3x  6x  m Hàm số đạt cực trị x1 , x2 Vậy x1 , x2 nghiệm phương tr nh y '   x1  x2   Theo viet ta có  m  x1.x2  x12  x22  ( x1  x2 )2  2x1 x2 14  4 2m 2m  4   m  3 3 Câu 11 Có giá trị nguyên m để hàm số f  x   x3  x  m  có giá trị cực trị trái dấu? A B C Lời giải D Chọn A Có f '  x   x  12 x x  f ' x    x  x   f    m  x   f    m  Hàm số có giá trị cực trị trái dấu   m  1 m      m  1 m     7  m  Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 12 ho hàm số y  x3   m  1 x   m   x  với m tham số thực T m tất giá trị m để hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu nằm khoảng  2;3 A m   1;  \ 3 B m   3;  C m 1;3 Lời giải D m   1;  Chọn A Ta có y  x   m  1 x   m    x  1 y   x   m  1 x   m       x  m  Để hàm số có điểm cực đại cực tiểu nằm khoảng  2;3 y  có hai nghiệm phân biệt m   1 m   nằm khoảng  2;3   2  m   1  m  Câu 13 ho hàm số y x3 3mx 4m 2 có đồ thị C điểm C 1; Tính tổng giá trị nguyên dương m để C có hai điểm cực trị A, B cho tam giác ABC có diện tích A B C Lời giải D Chọn C x x 2m Đồ thị C có hai điểm cực trị 2m Ta có y ' 3x Khi A 0; 4m2 6mx , B 2m; 4m3 4m2 m y x Phương tr nh đường thẳng AB là: 2m 2 2m 4m 2 m2 d C , AB 4m 4m Diện tích tam giác ABC 15 4m AB 4m2 4m 16m6 2m2 x m 4m y 4m2 S AB.d C , AB m m2 m6 m 4m 6m4 9m2 Do m nguyên dương nên ta m 1, m m2 4m m2 m2 m m 2 , tổng thu Câu 14 Tổng tất giá trị thực tham số m để hàm số: y  3x3   m  1 x  3mx  m  có hai điểm cực trị x1 ; x2 đồng thời y  x1  y  x2   là: B 39 A 21 C 8 Lời giải D 11  13 Chọn A +) Để hàm số có hai cực trị th phương tr nh y  phải có hai nghiệm phân biệt: y  x   m  1 x  3m có hai nghiệm phân biệt     m  1  27m  +) Xét y  x1  y  x2   nên ta có y  3x3   m  1 x  3mx  m  phải tiếp xúc với trục hoành  3x3   m  1 x  3mx  m   phải có nghiệm kép   x  1 3x   2m  5 x  m  5  1 phải có nghiệm kép +) TH1: Phương tr nh 3x   2m  5 x  m   có nghiệm x   m1  13 +) TH2: Phương tr nh 3x   2m  5 x  m   có nghiệm kép khác     2m  5  12   m    4m2  32m  35   m2  m3  8  m1  m2  m3  21 Câu 15 ó giá trị nguyên tham số m để điểm M (2m3 ; m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y  x3  3(2m  1) x  6m(m  1) x  (C ) tam giác có diện tích nhỏ nhất? A B C D không tồn Lời giải Chọn B Ta có y '  x  6(2m  1) x  6m(m  1) x  m y'     m  R , hàm số ln có Đ, T  x  m 1 Tọa độ điểm Đ, T đồ thị A(m;2m3  3m2  1), B(m  1;2m3  3m ) Suy AB  phương tr nh đường thẳng AB : x  y  2m3  3m2  m   Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ khoảng cách từ M tới AB nhỏ 3m2  1 Ta có d ( M , AB)  , dấu "=" m   2 Dạng Tìm m để hàm số trùng phương có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Một số cơng thức tính nhanh “thường gặp“ liên quan cực trị hàm số y  ax  bx  c a  0: tiểu cực trị: ab  cực a  : cực đại cực trị: ab  a  : cực a  : đại, đại, cực tiểu cực tiểu 16 cực  b   b  b4 b b A(0; c), B    ;   , C   ;    AB  AC   , BC   2a 4a   2a 4a  16a 2a 2a  với   b2  4ac  b   Phương tr nh qua điểm cực trị: BC : y   AB, AC : y     xc 4a a   b3  8a b5 S   b3  8a 32a  Phương tr nh đường tròn qua A, B, C : x  y   c  n  x  c.n  0, với n   bán kính b 4a b3  8a đường tròn ngoại tiếp tam giác R  8ab Gọi BAC   , ln có: 8a (1  cos )  b3 (1  cos )   cos  Câu Cho hàm số y  x  x  Diện tích S tam giác có ba đỉnh ba điểm cực trị đồ thị hàm số cho có giá trị A S  B S  C S  D S  Lời giải Tập xác định D  x   y  Ta có y  x3  x     x  1  y  Bảng biến thiên Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A  0;  , B  1;1 , C 1;1 Nhận xét ABC cân A V S  Câu 1 y A  yB xC  xB  1.2  2 Tìm m đề đồ thị hàm số y  x  2mx  có ba điểm cực trị A  0; 1 , B, C thỏa mãn BC  4? A m  Tập xác định: D  B m  D m   C m  4 Lời giải x  y '  x3  4mx    x  m Hàm số cho có ba điểm cực trị  m  Tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số: A  0;1 , B     m ;  m2  , C  m ;  m  BC   4m  16  m  Câu T m tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y  x  2mx  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân 1 A m  B m  C m   D m  1 9 Lời giải Chọn D Hàm số y  x  2mx  có tập xác định: D  17 x  Ta có: y '  x3  4mx ; y '   x3  4mx   x  x  m      x  m   Hàm số có cực trị phương tr nh   có nghiệm phân biệt khác  m   m  Vậy tọa độ điểm là: A  0;1 ; B  m;1  m2 ; C   Ta có AB   m; m2 ; AC    m ; m    m;1  m2  Vì ABC vuông cân A  AB AC    m2  m2 m2    m  m   m  m   m  1 ( m  ) Vậy với m  1 th hàm số có cực trị tạo thành tam giác vng cân Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ A  m  B m  C  m  D m  Lời giải Chọn A Tập xác định D  y  m O m x m2 B H A x  Ta có y  x3  4mx y   x  4mx    x  m  Hàm số có ba điểm cực trị m  Khi đồ thị hàm số có ba điểm cực trị O  0;  , A     m ; m2 , B  m ; m2 1 Do SOAB  OH.AB  m2 m  m2 m    m  2 Câu ho hàm số y  x  2mx  2m2  m4 có đồ thị (C) Biết đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn ABCD h nh thoi với D  0; 3 Số m thuộc khoảng sau đây? 1 9 A m   ;  2 5 9  B m   ;  5  Chọn A Tập xác định: D  1  C m   1;  2  Lời giải x  Ta có y '  x  4mx  y '    x  m Hàm số cho có ba điểm cực trị  m  Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số là:  D m   2;3  C  m ; m4  3m2 18 A  0; 2m2  m4  ; B   m ; m4  3m2 ; Gọi I trung điểm BC  I  0; m4  3m2  Vì A, D  Oy , B C đối xứng qua Oy nên tứ giác ABCD hình thoi  I trung điểm AD   m  3m   2m  m   m  4m   m2   m  1 m  m 0     m  m  m   Câu Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  x   m  1 x  m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông Số phần tử tập hợp S A B C D Lời giải 2 • y  x   m  1 x  m  y '  x   m  1 x  x  x  m  1 • Hàm số có điểm cực trị  y '  có nghiệm phân biệt  x  m   có nghiệm phân biệt khác  m 1   m  1 x   m 1  Khi đó: y '    x  x  m 1  • Giả sử A, B, C ba điểm cực trị đồ thị hàm số    A  m  1;  2m  , B  0; m2  , C  AB      m  1;  m  1 , CB   m  1;  m  1  m  1;  2m   m  1 m0 ABC vuông B  AB.CB     m  1   m  1    m  Câu ho hàm số y  x  2mx  1 Tổng lập phương giá trị tham số m để đồ thị hàm số 1 có ba điểm cực trị đường tròn qua điểm có bán kính R  1 5 A B C  D 1  2 Lời giải  TXĐ: D   y '  x3  4mx  x( x  m)  Để đồ thị hs (1) có điểm cực trị  m   Gọi A(0;1), B( m; m2  1), C( m; m2  1) điểm cực trị đồ thị hs (1), I (0; m2  1) trung điểm BC AB AC.BC AI R Ta có AI  m , AB  AC  m  m Suy AI BC  4R AB AC  m  (l )  m  ( n)   2m    m  2m  m    m  1  (l ) mm   1  ( n) m   19 Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x  2m2 x  m  có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác đều?   A m 0; 3;    B m  0; 3;  C m    3;    D m   3; Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số có điểm cực trị  m  Khi đó, điểm cực trị đồ thị hàm số A  0; m   , B  m ;  m4  m   , C   m ;  m4  m   Tam giác ABC có AB  AC nên tam giác ABC cân A , suy tam giác ABC  AB  BC m   m2  m8  m  m8  m2  4m2   m      Kết hợp điều kiện ta m  3; Câu Tìm m để đồ thị hàm số y  x  2m2 x  có điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân A m  B m  1;1 C m  1;0;1 Lời giải D m  y  x  2m x  + Cách 1: Hàm số có cực trị  ab   2m2   m  y   x  4m x y    x  4m x   x  x2  m2    y1   x1      x2  m   y2   m   x3  m  y3  m  Giả sử A  0;1 , B  m ;  m4  1 , C  m ;  m4  1 điểm cực trị đồ thị hàm số AB   m ;  m4   AB  m2  m8 AC   m ;  m4   AC  m2  m8 Yêu cầu tốn  ABC vng cân A m    AB  AC    m2 1  m6    m  m   AB AC   m  (l )   m  (n)  m  1(n) Vậy m  1;1 + ách 2: (Áp dụng cơng thức tính nhanh cực trị hàm trùng phương) 2m2  m  ab   m      8       m  ( n) Yêu cầu toán   8a  m    m  1(n)  b3  2m2    Vậy m  1;1 20 Câu 10 T m tất giá trị m cho đồ thị hàm số y  x   m  1 x  2m  có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có góc 120 2 A m  1  B m  1  , m  1 3 C m   D m  1 Lời giải Ta có y  x   m  1 x  x x  m    x  y     x  m  Hàm số có ba điểm cực trị y  có ba nghiệm phân biệt  m 1   m  1 Khi  m   m  12   m   m  12  A  0;  2m  1 , B   ;  2m   , C  ;  2m  1 , điểm cực     4     trị đồ thị m   m  1 Ta thấy AB  AC   nên tam giác ABC cân A  16 Từ giả thiết suy A  120   m  1  Gọi H trung điểm BC , ta có H  0;   2m        m  1 BH  AH tan 60  3  m 1  m  1 m 1    m  1  8  m  1  16  Câu 11 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị C  hàm số y  x  2m2 x  m4  có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị với gốc tọa độ O tạo thành tứ giác nội tiếp Tìm số phần tử S A B C D Lời giải Ta có y  x3  4m2 x Hàm số có cực đại cực tiểu  phương tr nh y  có ba nghiệm phân biệt  m    Gọi A 0; m4  , B  m;5 , C  m;5 ba điểm cực trị đồ thị hàm số Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC ta có ba điểm A , I , O thẳng hàng Mặt khác hai điểm B C đối xứng qua AO nên AO đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABOC  AB  OB  AB.OB  Trong AB  m; m4 , OB   m;5  Ta có phương tr nh m  5m   m    Câu 12  ho hàm số y  x  2mx  2m2  m4 có đồ thị  C  Biết đồ thị  C  có ba điểm cực trị A , B , C ABDC h nh thoi D  0; 3 , A thuộc trục tung Khi m thuộc khoảng nào? 9  A m   ;  5   1 B m   1;  2  C m   2;3 21 1 9 D m   ;  2 5 Lời giải x  Ta có y  x x  m  y    ; x  m        Với điều kiện m  đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A 0; m4  2m2 ; B  m; m4  3m2 ; C   m ; m4  3m2 Để ABDC h nh thoi điều kiện BC  AD trung điểm I BC trùng với trung điểm J AD Do tính đối xứng ta ln có BC  AD nên cần I  J với  m  2m   I 0; m4  3m2 , J  0;    m  1 9 ĐK: m  2m   2m  6m  m  4m      m  ;   5 m   Câu 13  Cho hàm số y   x  2mx  có đồ thị  Cm  Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông A m  3 B m  3 C m  1 D m  Lời giải Cách 1: Ta có y  4 x3  4mx  4 x x  m     Để hàm số có ba cực trị th phương tr nh y  có ba nghiệm phân biệt  4 x x  m  có ba nghiệm phân biệt  m  Gọi A  0;  , B  m , m2  , C     m , m2  ba điểm cực trị đồ thị hàm số Vì ABC cân A nên ABC vng A  ABAC  Với AB   m ; m2 , AC  m; m2  m  m4   m m3    m        Cách 2: Áp dụng cơng thức tính nhanh: Ba điểm cực trị đồ thị hàm số y  ax  bx  c tạo thành tam giác vuông 8a  b3   8m3    m  4 Bán kính đường trịn nội tiếp Câu 14 Gọi A , B , C điểm cực trị đồ thị hàm số y x x tam giác ABC A B C D Lời giải x A 0; y x3 4x x x Câu 15 B 1; Ta có ABC vng cân A có S S p 1;3 C 1;3 AB Vậy r AB ; AC 1; 1 AC ; BC 2 1, p AB 2;0 AC BC BC 2 ho hàm số y  x   m   x  m  có đồ thị  Cm  Tìm m để  Cm  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm 17 A m  m  B m  C m  Lời giải 22 D m  17 x  Ta có y  x3   m   x ; y    x   m Để hàm số có ba điểm cực trị  m  Khi điểm cực trị  Cm  A  0; m  5 , B      m; m    m  4 , C   m; m    m  4 2 Do O trọng tâm tam giác ABC nên  m  5   m   m    m  17  Do m  nên m  Câu 16 T m tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x  2mx có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ A m  B  m  C  m  D m  Lời giải x  Hàm số y  x  2mx có TXĐ: D  Ta có y  x3  4mx ; y    x  m   Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị th m  Khi ba điểm cực trị O  0;0  , B  m ;  m2 , C   m;  m2 Ta giác OBC cân O , với I  0; m2  trung điểm BC 1 Theo u cầu tốn, ta có: S ABC  OI BC  m 2 m    m  2 Câu 17 Gọi m0 giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  x  2mx  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích Mệnh đề sau A m0   1;0 B m0   2; 1 C m0   ; 2 D m0   1;0  Lời giải Ta có: y  x  2mx   y  x3  4mx x  y    (1)  x  m Để đồ thị hàm số y  x  2mx  có ba điểm cực trị th y  phải có ba nghiệm phân biệt tức m  x  Khi 1   nên ta gọi A  0; 1 , B  m ; m2  , C m ; m2   x   m Tam giác ABC cân A nên S ABC  AH BC với H trung điểm BC nên H 0; m2       Nên: AH   m  2  m BC  2 m   m Ta có: S ABC  m 2  m theo giả thiết SABC  nên m2 m   m  2 23 