CD46 số điểm cực TRỊ của hàm hợp

Chuyên đề ㊻ Ⓐ SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP KHI BIẾT BBT CỦA F’(X) KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM  Đạo hàm hàm số hợp  ù é ù g ( x) = f é ëu ( x ) ûÞ g '( x ) = u '( x ) f ' ëu ( x) û  éu '( x ) = g '( x ) = Û ê ê é ù ê ëf ' ëu ( x ) û=  Lập bảng biến thiên hàm số số   y = f ( x) biết bảng biến thiên hàm y = f '( x ) y = f '( x ) Bước Xác định giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành f '( x) Bước Xét dấu hàm số , ta làm sau f '( x ) ( a; b) Phần đồ thị nằm bên trục hoành khoảng f '( x) > 0, x Ỵ ( a; b) f '( x ) ( a; b) Phần đồ thị nằm bên trục hoành khoảng f '( x) < 0, x Ỵ ( a; b)  Lập bảng biến thiên hàm số g ( x) = f ( x) + u ( x) y = f '( x) Bước Đạo hàm g '( x) = f '( x ) + u '( x ) Cho g '( x) = Û f '( x) =- u '( x ) Bước Xác định giao điểm đồ thị hàm số y =- u '( x )   Ⓑ biết bảng biến thiên y = f '( x ) đồ thị hàm số y = g '( x ) Bước Xét dấu hàm số , ta làm sau f '( x ) - u '( x ) ( a; b) Phần đồ thị nằm bên đồ thị khoảng g '( x ) > 0, x Ỵ ( a; b ) Phần đồ thị g '( x ) < 0, x Ỵ ( a; b ) f '( x ) nằm bên đồ thị BÀI TẬP RÈN LUYỆN - u '( x) khoảng ( a; b ) Câu 1: Cho hàm số y  f  x Đồ thị hàm số A có bảng biến thiên sau y  f  x B có điểm cực trị? C Lời giải D Chọn C Do đồ thị Câu 2: y  f  x y  f  x cắt trục Ox điểm nên đồ thị có điểm cực trị  Cho hàm số f ( x) có f (0)  Biết y  f ( x) hàm số bậc bốn có đồ thị đường cong hình bên Số điểm cực trị hàm số A g ( x)  f  x   x B C D Lời giải Chọn D Xét hàm số h( x )  f  x   x Ta có: h( x)  x f ( x )  x x  h( x)   x  x f ( x )  1     f ( x )  2x  Đặt x4  t,  t  0  x2  t Xét hàm số y t , t  f ( x )  Phương trình y   t3 0 , t  1 f (t )  2 t x trở thành Hàm số y t nghịch biến khoảng  0;   , đồ thị nhận trục hoành làm tiệm cận ngang nhận trục tung làm tiệm cận đứng Đồ thị hàm số y t nằm góc phần tư thứ hình vẽ  Dựa vào đồ thị ta có đồ thị f (t ) cắt đồ thị t a Vậy phương trình f ( x )  f (t )  y t điểm có hồnh độ dương t có nghiệm t  a   x4  a  x   a x2 BBT: Đồ thị h( x) cắt trục hoành điểm có điểm nằm trục hồnh Vậy hàm số Câu 3: Cho f  x g ( x )  h( x ) có điểm cực trị hàm bậc bốn thỏa mãn f  0  Hàm số f  x có bảng biến thiên sau: Hàm số g  x   f  x   3x A có điểm cực trị? B C D Lời giải Chọn A Hàm số f  x hàm bậc ba, đạt cực trị điểm x   x   nên ta có: f   x   a  x  3  x  1  a  x  x  3  x3     f  x    f  x  dx  a   x  3x  C1   Từ BBT, ta có: a f   3    C1   ; f   1   61 61    a        3    29 29  x 29  f   x     x  x   x  x  3 1 2   h  x   f  x   3x Xét hàm số: , ta có: h  x   x f   x    29 x  3 x5   x  1  h  x   +) Nếu x  +) Nếu x  h  x    29 x2  x     x5  29 x2  u  x    x  3  u  x   ; lim u  x     0;    xlim x  x 0 Dễ thấy, đồng biến nên có nghiệm thuộc  0;     h  x  Ta có BBT: có điểm cực trị h  0  f  0   Dựa vào BBT ta thấy đồ thị điểm phân biệt nên hàm số Câu 4: y  h  x có điểm cực trị cắt trục hoành g  x   h  x   f  x   3x Có tất giá trị nguyên m để hàm số tiểu x  A B có điểm cực trị y  x8   m   x5   m2   x  C D Vô số Lời giải Chọn C    y  x   m   x   m   x  x x   m   x   m     4 44 4 4 43    g  x  Ta có: 3 Ta xét trường hợp sau * Nếu m    m  2 Khi m   y  x  x  điểm cực tiểu  y  x  x  20   x  m   Khi không điểm cực tiểu * Nếu m    m  2 Khi ta có y  x 8 x   m   x   m2   x  Số cực trị hàm y  x8   m   x5   m   x  số cực trị hàm  g   x   8x5   m   x   m   x    g   x   40 x  100  m   x   m   g     Nếu x  điểm cực tiểu Khi 4  m     m    2  m   m   1;0;1 Vậy có giá trị nguyên m g x đạt cực Câu 5: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x  (m  1) x  ( m  1) x  đạt cực tiểu x  ? B A C Vô số D Lời giải Chọn B   x3 x   m  1 x   m  1 y '  x  5( m  1) x  4( m  1) x  Ta có: x  y'    (1) 8 x   m  1 x   m  1  * Nếu m  y '  x , suy hàm số đạt cực tiểu x   x  x   x  y'    , x  nghiệm bội chẵn nên 8 x  10 x  * Nếu m  1 khơng phải cực trị g ( x)  x   m  1 x  m  * Nếu m  1 : x  nghiệm bội lẻ Xét Để  x  điểm cực tiểu nên có giá trị m  lim g ( x)  4( m  1)  x 0   m    1  m  Vì m ngun Vậy có hai tham số m nguyên để hàm số đạt cực tiểu x  m  m  Câu 6: y  x8   m   x   m  16  x  Có giá trị nguyên tham số m để hàm số đạt cực tiểu x  A C B Vô số D Lời giải Chọn A y '  x   m   x   m  16  x  x 8 x   m   x   m  16    x3 g  x  Ta có Với g  x   x   m   x   m  16  ● Trường hợp : g     m  4 Với m   y '  x Suy x  điểm cực tiểu hàm số Với m  4  y '  x  x3   Suy x  không điểm cực trị hàm số g     m  4 ● Trường hợp : Để hàm số đạt cực tiểu x  qua giá trị x  dấu y ' phải chuyển từ âm sang dương g     4  m  m  ¢  m   3; 2; 1;0;1; 2;3; 4 Kết hợp hai trường hợp ta 4  m  Do Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn Câu 7: Biết M  0;  , N  2; 2  điểm cực trị đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d Tính giá trị hàm số x  2 A y  2   B y  2   22 C y  2   D y  2   18 Lời giải Chọn D Ta có: y  3ax  2bx  c Vì M  0;  N  2; 2  , điểm cực trị đồ thị hàm số nên:  y     c    1  12a  4b  c   y      y    d    2  8a  4b  2c  d  2 y    2    ; a  b  3   y  x  3x   y  2   18  c    1 2   Từ suy ra: d  Câu 8: Tìm giá trị thực tham số m để hàm số A m  B m  1 y x  mx2  m2  x  3 đạt cực đại x   C m Lời giải  D m 7 Chọn C Ta có   ; y  2x  2m y  x2  2mx  m2  y  x3  mx2  m2  x  3 Hàm số đạt cực đại x  khi:     m 1 L  9  6m m2   m2  6m         m 5 TM   6  2m m   m Vậy m giá trị cần tìm  y  3    y  3  Câu 9: 3 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x  3mx  4m có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích với O gốc tọa độ A m 1 m 2; C m  B m  1 ; m  D m  Lời giải Chọn B y  3x  6mx  x   y  4m   m  0 y   3x  6mx   x  2m  y  Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A  0; 4m3  B  2m;0  ,  m  0 1 S OAB  OA.OB   4m3.2m   4m   m  1 2 Câu 10: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y  x  2mx  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân A m B m  1 C m D m  Lời giải Chọn B Hàm số y  x  2mx  có tập xác định: D  ¡ x  y '  x  4mx ; y '   x3  4mx   x  x  m      x  m   Ta có: Hàm số có cực trị phương trình   có nghiệm phân biệt khác  m   m     A  0;1 ; B   m ;1  m2 ; C  m ;1  m2  Vậy tọa độ điểm là: uuu r uuur AB   m ;  m ; AC  m ; m Ta có uuur uuur A  AB AC    m  m m    m  m   m  m   ABC Vì vng cân      m  1 Vậy với m  1 hàm số có cực trị tạo thành tam giác vuông cân y   m  1 x   m  3 x  Câu 11: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số cực đại? B m  A  m  C m  D  m  Lời giải Chọn A  0;1 Suy hàm số TH1: Nếu m   y  x  nên đồ thị hàm số có điểm cực tiểu khơng có cực đại TH2: Nếu m  Để hàm số cực đại 2  m  3   m  Suy  m  Vậy  m  Câu 12: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x  2mx có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ A m  B m  C  m  D  m  Lời giải Chọn D số có cực trị m   x1   y1    y     x2   m   y2   m   y  m   x3  m Điều kiện để hàm y  x3  4mx ; Các điểm cực trị tạo thành tam giác cân có đáy m , đường cao m Ta S ABC  AC.BD  m m 2 Để tam giác có diện tích nhỏ m m2    m  Câu 13: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x  x  12 x  m cực trị? A B C Lời giải Chọn D y  f  x   3x  x  12 x  m D có điểm Ta có: f   x   12 x  12 x  24 x Do hàm số f  x ; f   x   x  có ba điểm cực trị nên hàm số x  1 x  y  f  x có điểm cực trị m  0m5  m   Vậy có giá trị nguyên thỏa đề m  1; m  2; m  3; m  Câu 14: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f   x    x    x   , x  ¡  Có giá trị  g  x   f x3  5x  m m nguyên dương tham số để hàm số có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn A Ta có BBT hàm  sau g   x   x3  x  f  x3  x  m Ta có y  h x y  h  x   x3  5x  Rõ ràng x  điểm cực trị hàm số  x3  5x  m   x3  x   m   f  x3  x  m    x3  x  m    x  x   m    x  x  m  3  x  x    m   Ta có:  Để hàm số  g  x g  x   có điểm cực trị phương trình có nghiệm g  x  phân biệt khác đổi dấu qua số nghiệm 10 ìï h ( x ) h ( x ) ³ g ( x) = h ( x) = ïí ïï - h ( x ) h ( x) < ỵ Mặt khác g ( x) Từ hàm số có điểm cực trị Câu 31: Cho f  x Hàm số hàm bậc bốn thỏa mãn f  0  Hàm số g  x   f  x  x   x  x3  x  x B A f ' x có đồ thị hình vẽ có điểm cực trị? C D Lời giải Chọn D h  x   f  x  x   x  x3  x  x  f  x  x    x  x    x  x  Gọi  h '  x    x  1 f '  x  x    x  1  x  x    x  1 2 x    h ' x    2  f '  x  x    x  x     * f ' t   t 1  Đặt t  x  x Khi phương trình (*) trở thành  f '  t   t 1 Ta vẽ đồ thị hai hàm số y  f ' t  y  t  hệ trục tọa độ  2  t  f '  t   t 1   t  Dựa vào đồ thị ta thấy 25 2  x  x   1  x     x  2   x  x x2 Khi đó: Bảng biến thiên: Vậy hàm số g  x  h  x có điểm cực trị y  f  x f    y  f ' x Câu 32: Cho hàm số hàm số bậc bốn thỏa mãn Hàm số có bảng biến thiên sau: Hàm số A g  x   f  x2   x2 có điểm cực trị? B C D Lời giải Chọn C h  x   f  x   x  h    Đặt x  h '  x   xf '  x   x    f ' x      Ta có t  f ' x f ' x  Dựa vào bảng biến thiên hàm số ta có phương trình có nghiệm nghiệm dương Gọi x0 nghiệm phương trình f '  x   Suy f '  x    x  x0  x   x0 Khi h  x   f  x2   x2 y  f  x   ax  bx3  cx  dx  e  f '  x   4ax  3bx  2cx  d Ta có lim f '  x     a  x  hàm bậc lim h  x   lim h  x    x  26 x  Lập bảng biến thiên h  x ta có Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số Câu 33: Cho sau: f  x hàm số bậc bốn thỏa mãn g  x  h  x f  0   có điểm cực trị ln Hàm số f   x  có bảng biến thiên 2x g  x  f  x   x  ln 2 Hàm số A có điểm cực trị? C B D Lời giải Chọn D f   x    x3  x  4 Từ bảng biến thiên, ta tìm 2x h  x   f  x   x  h  0  f  0  0 ln Ta có ln Đặt 2 h  x   2 x f   x  2 x 2 x 2 x  2x  f    x2   2 x   , x  h  x     x2  f    x    (*) f  t   u  t  u t  2 t  Đặt t   x , t  Phương trình (*) trở thành: , với   27 Từ đồ thị ta thấy phương trình Từ đó, phương trình (*) Bảng biến thiên f   t   u  t   t  t0   x  t  x   t Từ bảng biến thiên suy hàm số , với t0  1 g  x  h  x có điểm cực trị Câu 34: Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị f ( x) hình vẽ sau f  0  Biết Hỏi hàm số g  x    f x3  x có điểm cực trị B A C Lời giải Chọn B Đặt h x  Ta có     f x  x  h  x   x f  x    h  x    f  x  x2 ,  x   ,  1 3 Đặt t  x  x  t 28 D  1 Từ f  t   t ,  2 ta có: m t   m  t    3 t5 t Xét Lúc ta có hình vẽ đồ thị sau Suy pt  2  1 có nghiệm x  t0  x0  có nghiệm t  t0   pt Bảng biến thiên Vậy hàm số Câu 35: Cho hàm số h  x , g  x  h  x y  g  x y  f  x sau có điểm cực trị có đạo hàm f   x    x  1  x  3  x  2mx  5 với mọi x  ¡ Có g  x  f  x  giá trị nguyên âm tham số m để hàm số có điểm cực trị A C B Lời giải Chọn D 29 D  x  1  f   x    x  1  x  3  x  mx      x  3  x  2mx    1  2  f  x  g  x    f   x  Ta có: Để hàm số y  g  x x0 x0 có điểm cực trị  hàm số y  f  x  điểm cực trị thuộc khoảng  0;    1 vơ nghiệm có nghiệm kép Trường hợp 1: Phương trình  m      m  (*)  1 có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thoả mãn x1  x2  Trường hợp 2: Phương trình m2      2 m   m  5   (**) m   2; 1 Từ (*) (**) suy m   Vì m số nguyên âm nên: Câu 36: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f   x    x  1  x  3  x  2mx  5 với mọi x  ¡ Có g  x  f  x  giá trị nguyên âm tham số m để hàm số có điểm cực trị A B C D Lời giải Chọn C  x  1  f   x    x  1  x  3  x  mx      x  3  x  2mx    1   f  x  g  x    f   x  Ta có: Để hàm số y  g  x x0 x0 có điểm cực trị  hàm số y  f  x  khơng có điểm cực trị thuộc khoảng  0;   Trường hợp 1: Phương trình  1 vơ nghiệm có nghiệm kép  m      m  (*) Trường hợp 2: Phương trình  1 có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thoả mãn x1  x2  30 m2     2m   m  5   (**) m   2; 1 Từ (*) (**) suy m   Vì m số nguyên âm nên: Câu 37: Cho hàm số bậc bốn y  f  x Số điểm cực trị hàm số A , có đồ thị hình vẽ dưới g  x   f  x  3x  B C Lời giải Chọn B 2 Đặt t  x  3x , ta có t   3x  x x  t     x  2 Ta có bảng biến thiên hàm t  x g  x   f  x  3x   g   x    3x  x  f   x  3x  3 x  x   g x     f   x  3x   Phương trình 3x  x  có nghiệm phân biệt 2 y  f  x Từ đồ thị hàm số mà đề cho 31 D 11 f   x  3x  Suy phương trình  x  x  t1     x3  3x  t2   x  x  t3  t   2;    1  t   0;      t   4;    3 t  x Dựa vào bảng biến thiên vẽ ta xác định được:  1 có nghiệm Phương trình   có nghiệm phân biệt Phương trình  3 có nghiệm Phương trình Các nghiệm khác 2 Vậy g  x  có nghiệm đơn phân biệt, tương ứng với điểm cực trị Câu 38: Cho hàm số bậc bốn y  f  x Số điểm cực trị hàm số A , có đồ thị hình vẽ dưới g  x   f  x3  3x  B C Lời giải Chọn C 2 Đặt t  x  3x , ta có t   3x  x x  t    x  Ta có bảng biến thiên hàm g  x t  x 32 D g  x   f  x3  x   g   x    x  x  f   x  x  3 x  x   g x     f   x  x   Phương trình 3x  x  có nghiệm phân biệt y  f  x Từ đồ thị hàm số mà đề cho, f   x3  3x  Suy phương trình  x3  3x2      x  3x  t1   x  x  t2  1  t1   3;      t2   0;3   3 t  x Dựa vào bảng biến thiên vẽ ta xác định được:  1 có nghiệm Trong nghiệm kép Phương trình   có nghiệm phân biệt Phương trình  3 có nghiệm Phương trình Các nghiệm khác g x  Vậy có nghiệm đơn phân biệt nghiệm bội ba 0, tương ứng với điểm cực trị g  x Câu 39: Cho hàm số bậc bốn y  f  x , có đồ thị hình vẽ dưới 33 Số điểm cực trị hàm số A g  x   f  x3  3x  3   x  12 x  16 x3  18 x  48 x  1 B C D Lời giải Chọn A Ta có: g   x    x  3 f   x  x  3   12 x  48 x  48 x  36 x  48   x  3x  3       24  x  1  f  x  x  3     x    x  1  g x    x  x  3    f   x  3x     Từ đồ thị hàm số y  f  x  1 , ta có:  t  1 t 1 f  t    t  t   1 trở thành: Đặt t  x  x  Phương trình Với t  1 ta có: x  3x   1 Phương trình có nghiệm x  x3  3x      x  2 , x  nghiệm kép Với t  ta có: x  x3  3x      x  1 , x  1 nghiệm kép Với t  ta có: g x  Như có nghiệm đơn phân biệt nghiệm bội ba Câu 40: Cho hai hàm số bậc bốn có điểm chung) y  f  x y  g  x 34 có đồ thị hình dưới (hai đồ thị Số điểm cực trị hàm số A h  x  f  x  g2  x  f  x g  x C B D Lời giải Chọn A Ta có: h  x    f  x   g  x    h '  x    f  x   g  x    f   x   g '  x    f  x   g  x    1 h  x      f   x   g '  x     Từ đồ thị ta thấy phương trình  1 x  x1  x1   1;3  có nghiệm phân biệt x  1 ; ; x  , f  x   g  x  đổi dấu qua nghiệm Do nghiệm nghiệm bội lẻ  1 Mà f  x  g  x  1 nhỏ đa thức bậc nên bậc phương trình  1 phương trình bậc Từ suy phương trình  1 phương trình bậc có nghiệm phân biệt nên phương trình   phải Do phương trình  1 có nghiệm phân biệt khơng trùng nghiệm phương trình h  x   h  x  Suy có nghiệm phân biệt đổi dấu qua nghiệm đấy, nên hàm h  x có điểm cực trị Câu 41: Cho hai hàm số y  f  x y  f ' x liên tục ¡ Biết đồ thị hàm số cho x2 g  x  f  x  có điểm cực đại? hình vẽ bên Vậy hàm số 35 A C D B Lời giải Chọn D g  x g  x   f   x  x Nhận thấy hàm liên tục ¡ có đạo hàm y  x Từ đồ thị cho vẽ đường thẳng (như hình vẽ bên), suy ra:  x  1 g   x    f   x   x   x   x  Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số g  x Câu 42: Cho hai hàm số y  f  x có điểm cực đại y  f ' x liên tục ¡ Biết đồ thị hàm số cho hình vẽ bên Vậy hàm số g  x   f  x   x3  15 x  A B Lời giải Chọn C g   x   f   x   3x  15 Ta có: 36 có số điểm cực trị C D g   x    f   x   x  15   f   x    x Đồ thị hàm số f  x A  0;5  B  2;1 cắt đường y   x điểm Trong x  f   x    x2 nghiệm kép x  nghiệm đơn phương trình Vậy hàm số có điểm cực trị Câu 43: Cho hai hàm số y  f  x y  f ' x liên tục ¡ Biết đồ thị hàm số cho hình vẽ bên Vậy hàm số A g  x   f  x  3 B có số điểm cực trị C D Lời giải Chọn B x  x    g   x   xf   x  3  g   x       x   2   f  x  3   x2    Ta có: x    x  1  x  2 Tuy nhiên x   nghiệm kép nên x  2 nghiệm kép Ta có bảng biến thiên: 37 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số Câu 44: Cho hai hàm số y  f  x g  x có điểm cực trị y  f ' x liên tục ¡ Bảng biến thiên hàm số sau  x 1 g  x  f    x   có số điểm cực trị Vậy hàm số A B D C Lời giải Chọn B g x  2  x 1  f    x  1  x    x 1  x   x1  x1   ; 1   1   x   x  x   1;0      x 1  x 1  g x   f        x 1   x   x3  x3   0;    3  x 1  x 1   x4  x4   2;       x 1 x 1 h  x  x  có tập xác định ¡ \  1 Xét hàm số 2 h  x   0  x  1 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên này, ta thấy phương trình phân biệt Vậy hàm g  x  1 ;   ;  3 ;   có hai nghiệm có điểm cực trị y  f  x y  f  x Câu 45: Cho hai hàm số liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Đồ thị hàm số có số điểm cực trị 38 A B Lời giải Chọn A Ta có đồ thị hàm số y  f  x hình vẽ sau: Từ đồ thị vẽ được, ta thấy hàm số y  f  x có điểm cực trị - HẾT - 39 C D ... - Hàm số có số điểm cực trị số cực trị hàm y  f ( x) số giao điểm đồ thị hàm y  f ( x) với đường thẳng y   ( không tính giao điểm điểm cực trị) - Số điểm cực trị hàm y  f ( x) số điểm cực. .. hàm số y  f  x có điểm cực đại, cực tiểu? A điểm cực đại, điểm cực tiểu B điểm cực đại, điểm cực tiểu C điểm cực đại, điểm cực tiểu D cực đại, cực tiểu Lời giải Chọn A x ;x Từ đồ thị hàm số. ..  Hàm số có điểm cực trị có ba nghiệm bội lẻ m  ¢  m   0;1;2 Vì Vậy tổng giá trị nguyên tham số m ㊻ Mức độ Câu 27: Cho hàm số f  x có y  f  x bên Số điểm cực đại hàm số A hàm số