BÀI 2 cực TRỊ của hàm số

BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Khái niệm cực trị hàm số Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định K  K  ¡  x0  K a) x0 gọi điểm cực đại hàm số f tồn khoảng  a; b   K chứa điểm x0 cho f  x   f  x0  , x   a; b  \  x0  Khi f  x0  gọi giá trị cực đại hàm số f b) x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng  a; b   K chứa điểm x0 cho f  x   f  x0  , x   a; b  \  x0  Khi f  x0  gọi giá trị cực tiểu hàm số f Chú ý: 1) Điểm cực đại (cực tiểu) x0 gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (cực tiểu) f  x0  hàm số gọi chung cực trị Hàm số đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập hợp K 2) Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) f  x0  giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f tập K; f  x0  giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng  a; b  chứa x0 3) Nếu x0 điểm cực trị hàm số f điểm  x0 ; f  x0   gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm điểm x0 f   x0   Chú ý: Trang 35 1) Điều ngược lại khơng Đạo hàm f  điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0 2) Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí a) Nếu f   x  đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 (theo chiều tăng) hàm số đạt cực tiểu điểm x0 b) Nếu f   x  đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 (theo chiều tăng) hàm số đạt cực đại điểm x0 Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng  a; b  chứa điểm x0 , f   x0   f có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f   x0   hàm số f đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f   x0   hàm số f đạt cực tiểu điểm x0 Nếu f   x0   ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên bảng xét dấu đạo hàm B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP BÀI TẬP Dạng 1: Cho hàm số f ( x) f '( x) Tìm điểm cực trị, giá trị cực trị Phương pháp Cách 1: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu Bước Tìm f   x  Bước Tìm điểm xi  i  1, 2,  đạo hàm khơng hàm số liên tục khơng có đạo hàm Trang 36 Bước Xét dấu f   x  Nếu f   x  đổi dấu x qua điểm xi hàm số đạt cực trị điểm xi Cách 2: Dùng định lý Bước 1: Tìm f   x  Bước 2: Tìm nghiệm xi  i  1, 2,  phương trình f   x   Bước 3: Tính f   xi   Nếu f   xi   hàm số f đạt cực đại điểm xi  Nếu f   xi   hàm số f đạt cực tiểu điểm xi Nếu f   xi   ta lập bảng biến thiên để xác định điểm cực trị * Tìm (điểm) cực trị thông qua đạo hàm f   x  : Ta đếm số nghiệm bội lẻ phương trình đạo hàm Bài tập Bài tập 1: Giá trị cực đại hàm số f  x   x  x  số đây? A B C  D  Hướng dẫn giải Chọn C Hàm số cho xác định ¡ Ta có: f   x    2x x2  2 x  x Từ đó: f   x    x   x   2 x 1  4x Bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt cực đại điểm x  , giá trị cực đại hàm số  3 f      3   Bài tập 2: Các điểm cực đại hàm số f  x   x  2sin x có dạng (với k  ¢ ) A x     k 2 B x    k 2 Trang 37 C x     k 2 D x    k 2 Hướng dẫn giải Chọn A Hàm số cho xác định ¡ Ta có: f   x    cosx Khi f   x    cosx    x    k 2 ,  k  ¢  f   x   2sin x       Vì f    k 2   2sin   k 2  2sin  nên x   k 2 điểm cực tiểu 3 3  3            Vì f     k 2   2sin   k 2  2sin   2sin  nên x    k 2 điểm cực đại 3      3 Bài tập 3: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm f (x)  (x  1)(x  3x  2)(x  2x) Số điểm cực trị hàm số y  f (x) A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: f (x)  (x  2)(x  1)3 x(x  1)(x  2) f (x)  có nghiệm bội lẻ nên có điểm cực trị Bài tập 4: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm f (x)  x (x  1)(x  4) Tìm số điểm cực trị hàm số y  f (x ) A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Ta có:  f (x )   2x.f (x )  2x (x  1)(x  4) Phương trình  f (x )   có nghiệm bội lẻ x  0, x  1 nên số điểm cực trị hàm số y  f (x ) Chú ý: Đạo hàm hàm số hợp f  u  x     f   u  x   u   x  hay f x  fu ux   Bài tập 5: Cho hàm số y  f (x) liên tục ¡ , có f (x)  3x   , x  x2 Mệnh đề đúng? A Hàm số có điểm cực trị ¡ B Hàm số có điểm cực trị (0; ) Trang 38 C Hàm số khơng có điểm cực trị (0; ) D Hàm số có hai điểm cực trị ¡ Hướng dẫn giải Chọn C 3 7 Với x  ta có: f (x)  3x    x  x    3     x 2 x 2 Vậy hàm số khơng có cực trị (0; ) Bài tập 6: Cho hàm số y  f (x) liên tục ¡ , có đạo hàm f (x)  (x  x  2)(x  6x  11x  6) g (x) với g (x) hàm đa thức có đồ thị hình vẽ ( g (x) đồng biến (; 1) (2; ) Số điểm cực trị hàm số y  f (x) A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Dựa vào đồ thị, phương trình g (x)  có nghiệm bội lẻ x  0, x  1, x  nghiệm bội chẵn x  1 Tóm lại, phương trình y '  có x  1, x  0, x  x  nghiệm bội lẻ, nên hàm số có điểm cực trị Dạng Tìm (điểm) cực trị thơng qua bảng xét dấu, bảng biến thiên đạo hàm Bài tập 1: Cho hàm số y  f (x) liên tục ¡ có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ Số điểm cực tiểu hàm số y  f (x) A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương lần nên có điểm cực tiểu Bài tập 2: Cho hàm số y  f (x) liên tục ¡ có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y  f (x) A B C D Trang 39 Hướng dẫn giải Chọn C Đạo hàm đổi dấu hai lần nên có hai điểm cực trị Bài tập 3: Cho hàm số y  f (x) liên tục ¡ có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y  f (x) A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Chắc chắn hàm số có điểm cực trị x  1, x  2, x  Xét điểm x  , đạo hàm đổi dấu, hàm số khơng có đạo hàm điểm x  , theo đề bài, hàm số liên tục ¡ nên f (0) xác định Vậy hàm số có tổng cộng điểm cực trị Bài tập 4: Cho hàm số y  f (x) liên tục ¡ \  1 có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y  f (x) A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Hàm số có điểm cực trị x  2, x  2, x  (hàm số khơng đạt cực trị điểm x  hàm số không xác định điểm x  ) Bài tập 5: Cho hàm số y  f (x) có bảng biến thiên f (x) hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y  f (x) A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Trang 40 Dễ thấy phương trình f (x)  có ba nghiệm bội lẻ nên hàm số có điểm cực trị Dạng Tìm (điểm) cực trị thơng qua đồ thị f , f , f  Bài tập 1: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm đến cấp hai ¡ có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ (đồ thị y  f (x) có điểm chung với trục hồnh hình vẽ) Số điểm cực trị tối đa hàm số A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Ta có bảng biến thiên hàm số y  f (x) sau Nhận thấy trục hoành cắt đồ thị hàm số y  f (x) tối đa điểm nên f (x)  có tối đa nghiệm phân biệt Vậy hàm số y  f (x) có tối đa điểm cực trị Bài tập 2: Cho hàm số y  f (x) hàm đa thức Trên hình vẽ đồ thị hàm số y  f (x) (; a] (và hàm số y  f (x) nghịch biến  ; 1 ), đồ thị hàm số y  f (x)  a; b (và f (x )  ), đồ thị hàm số y  f (x)  b;   (và hàm số y  f (x) đồng biến  b;   , f (x1 )  ) Hỏi hàm số y  f (x) có tối đa điểm cực trị? Trang 41 A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Bảng xét dấu bên lập từ suy luận sau: * Hàm số y  f (x) nghịch biến  ; 1 nên f (x)  0, x   ; 1 đồng biến  1; a  nên f (x)  0, x   1; a  * Hàm số y  f (x) có f (x)  0, x   a; x  f (x)  0, x   x ; b  f (x)  0, x   x ; b  * Hàm số y  f (x) có f (x)  0, x   b; x1  mà f (b)   f (x)