Toán 12 bài 2 cực trị của hàm số

Bài 2 Cực trị của hàm số Hoạt động 1 trang 13 Toán lớp 12 Giải tích Dựa vào đồ thị (H 7, H 8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) a) y = x2 + 1 trong khoảng ( ∞;[.]

Bài Cực trị hàm số Hoạt động trang 13 Tốn lớp 12 Giải tích: Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), điểm hàm số sau có giá trị lớn (nhỏ nhất): a) y = -x2 + khoảng (-∞; +∞); b) y  x  x  3 khoảng 1 3 3   ;   ;4  2 2 2  Xét dấu đạo hàm hàm số cho điền vào bảng Lời giải: Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy: a) Tại x = hàm số có giá trị lớn Xét dấu đạo hàm: b) Tại x = hàm số có giá trị lớn Tại x = hàm số có giá trị nhỏ Xét dấu đạo hàm: Hoạt động trang 14 Tốn lớp 12 Giải tích: Giả sử f(x) đạt cực đại x0 Hãy chứng minh khẳng định ý cách xét giới hạn tỉ f  x  x   f  x  số Δx → hai trường hợp Δx > Δx < x Lời giải: + Với Δx > 0, ta có: lim x 0 + Với Δx < 0, ta có: lim x 0 f  x  x   f  x    f   x 0  x f  x  x   f  x    f   x 0  x f  x  x   f  x    f  x0  x 0 x Do đó: lim Vậy f’(x0) = Hoạt động trang 14 Toán lớp 12 Giải tích: a) Sử dụng đồ thị, xét xem hàm số sau có cực trị hay khơng • y = -2x + 1; • y x  x  3 (H.8) b) Nêu mối quan hệ tồn cực trị dấu đạo hàm Lời giải: a, Hàm số y = -2x + khơng có cực trị (vì đồ thị hàm số đường thẳng) Quan sát Hình 8, ta thấy hàm số y  x  x  3 đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = b, Nếu hàm số có cực trị dấu đạo hàm bên trái bên phải điểm cực trị khác Hoạt động trang 16 Toán lớp 12 Giải tích: Chứng minh hàm số y = |x| khơng có đạo hàm x = Hàm số có đạt cực trị điểm khơng ? Lời giải:  x x  Ta có: y  |x |    x x  1 x  Khi đó: y   1 x  Lại có: lim y  1; lim y  1 hay lim y  lim y x 0 x 0 x 0 x 0 Vậy không tồn đạo hàm hàm số x = Nhưng dựa vào đồ thị hàm số y = |x| Ta có hàm số đạt cực trị x = Hoạt động trang 16 Tốn lớp 12 Giải tích: Áp dụng quy tắc I, tìm điểm cực trị hàm số f(x) = x(x2 – 3) Lời giải: TXĐ: D = Ta có: f(x) = x(x2 – 3) = x3 – 3x Khi đó: f’(x) = (x3 – 3x)' = 3x2 – x  Cho f’(x) =  3x2 – =  x2 – =    x  1 Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, ta thấy: Hàm số đạt cực đại x = -1 giá trị cực đại Hàm số đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu -2 Bài tập Bài trang 18 Tốn lớp 12 Giải tích: Áp dụng Quy tắc I, tìm điểm cực trị hàm số sau: a) y = 2x3 + 3x2 – 36x – 10; b) y = x4 + 2x2 – 3; c) y  x  ; x d) y = x3 (1 – x2); e) y  x  x  Lời giải: a) TXĐ: D = Ta có: y' = 6x2 + 6x – 36 x  y' =  6x2 + 6x – 36 =    x  3 Bảng biến thiên: Kết luận: Hàm số đạt cực đại x = -3 ; yCĐ = 71 Hàm số đạt cực tiểu x = 2; yCT = -54 b) TXĐ: D = Ta có: y' = 4x3 + 4x = 4x(x2 + 1) y' =  4x(x2 + 1) =  x = (do x2 + > với x) Bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt cực tiểu x = 0; yCT = -3 hàm số khơng có điểm cực đại c) TXĐ: D = \ {0} x2 y' =     x   x = ±1 x Ta có: y   Bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt cực đại x = -1; yCĐ = -2; hàm số đạt cực tiểu x = 1; yCT = d) TXĐ: D = Ta có: y' = (x3)’.(1 – x)2 + x3.[(1 – x)2]’ = 3x2.(1 – x)2 + x3.2(1 – x).(1 – x)’ = 3x2(1 – x)2 – 2x3(1 – x) = x2.(1 – x)(3 – 5x) y' = ⇔ x = 0; x = x = Bảng biến thiên: 108 Vậy hàm số đạt cực đại x  , giá trị cực đại yCĐ = 3125 hàm số đạt cực tiểu x = 1, giá trị cực tiểu yCT = (Lưu ý: x = khơng phải cực trị điểm đạo hàm đạo hàm khơng đổi dấu qua x = 0.) e) Tập xác định: D = Ta có: y  2x  x2  x  Có y' =  2x    x  Bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt cực tiểu x = , giá trị cực tiếu yCT = 2 Bài trang 18 Toán lớp 12 Giải tích: Áp dụng Quy tắc II, tìm điểm cực trị hàm số sau: a) y = x4 - 2x2 + 1; b) y = sin2x – x; c) y = sinx + cosx; d) y = x5 - x3 - 2x + Lời giải: a) TXĐ: D = Ta có: y' = 4x3 - 4x Có y' =  4x(x2 – 1) =  x = x = ±1 Lại có: y" = 12x2 - y"(0) = -4 < nên x = điểm cực đại hàm số y"(1) = > nên x = điểm cực tiểu hàm số y"(-1) = > nên x = -1 điểm cực tiểu hàm số b) TXĐ: D = Ta có: y' = 2cos2x – 1; Có y' =  2cos2x – =  cos 2x =  2x =   x=    k2  k    k  k    Lại có: y" = -4.sin2x     y   k   4sin   k2  6  3   4sin   4  2  với k  Do đó: x =   k  k   điểm cực đại hàm số       Lại có: y    k   4sin    k2       3    4sin     4.     với k   3    Do đó: x =   k  k   điểm cực tiểu hàm số c) TXĐ: D = Ta có: y’ = cos x – sin x Có y' =  cos x – sin x =    cos  x    4  x     k  k  x   k  k      Lại có: y'' = – sin x – cos x   2cos  x   4  Ta có:     y   k    cos   k   4 4  4   k le   cos k     k chan Do đó: hàm số đại cực đại điểm x  điểm x     2k  1   k  d) TXĐ: D = Ta có: y' = 5x4 – 3x2 – Có y' =  5x4 – 3x2 – =  x  1 tm    2  x   ktm    x  1 Lại có: y" = 20x3 – 6x    k2  k   đạt cực tiểu Do y"(– 1) = – 20 + = –14 < Nên x = – điểm cực đại hàm số Do y"(1) = 20 – = 14 > Nên x = điểm cực tiểu hàm số Bài trang 18 Toán lớp 12 Giải tích: Chứng minh hàm số y  | x | khơng có đạo hàm x = đạt cực tiểu điểm Lời giải: Hàm số y  | x | có tập xác định D = liên tục + Chứng minh hàm số y  f  x   | x | khơng có đạo hàm x = f  x   f 0 f x  lim : x 0 x 0 x0 x Xét giới hạn lim lim f x x 1  lim  lim   x 0 x 0 x x x lim f x x  lim  lim   x 0 x x x0 x x 0 x 0 f  x   f 0 x 0 x0 Suy không tồn giới hạn lim Hay hàm số khơng có đạo hàm x = + Chứng minh hàm số đạt cực tiểu x = (Dựa theo định nghĩa) Ta có : f(x) > = f(0) với x thuộc (-1; 1) x ≠ Do hàm số y = f(x) đạt cực tiểu x = Bài trang 18 Tốn lớp 12 Giải tích: Chứng minh với giá trị tham số m, hàm số y = x3 – mx2 – 2x + ln ln có điểm cực đại điểm cực tiểu Lời giải: TXĐ: D = Ta có: y' = 3x2 – 2mx –  m x  y' =  3x2 – 2mx – =    m x   m2  m2  Lại có: y'' = 6x – 2m  m  m2   m  m2  Do y    2m  2 m2   m    3   Nên x  m  m2  điểm cực đại hàm số  m  m2   m  m2  Do y   2m  m2   m     3   m  m2  Nên x  điểm cực tiểu hàm số Vậy hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu với m Bài trang 18 Toán lớp 12 Giải tích: Tìm a b để cực trị hàm số y= a x  2ax  9x  b số dương x0 =  điểm cực đại Lời giải: TXĐ: D = Ta có: y' = 5a2x2 + 4ax – Suy y'' = 10a2x + 4a - Nếu a = y' = – < với số thực x Do hàm số khơng có cực trị (loại) - Nếu a ≠ y' =  5a2x2 + 4ax – =  (ax)2 + ax – =  x  ax   a   9   ax   x  9   5a 1 Có f     10a  4a  14a a a 9  9  f     10a  4a  14a 5a  5a  điểm cực đại a  5   Khi  a  a   14a  9 Suy x  điểm cực tiểu 5a   80 b Khi đó: yCĐ = f    a 27    9  36 b yCT = f     5a  Các cực trị hàm số dương nên + TH1: x   80  27  b  36 b   36  b   TH2: x  9 điểm cực đại 5a  9 5 81   Khi đó:  5a  a  25 14a  Suy x  điểm cực tiểu a  9  Khi đó: yCĐ = f     b  5a    400 b yCT = f     a  243 Các cực trị hàm số dương nên 4  b  400  b  400 243  243  b  9 81   a  a  25 Vậy   giá trị cần tìm  b  36  b  400   243 Bài trang 18 Toán lớp 12 Giải tích: Xác định giá trị tham số m để hàm x  mx  số m để hàm số y  đạt giá trị cực đại x = xm Lời giải: \ m TXĐ: D = x  mx  x  x  m   1 Ta có: y   x xm xm xm Suy y    x  m Có y' =   0 x  m     x  m   x  m    x  m  Ta có bảng biến thiên: Dựa vào BBT thấy hàm số đạt cực đại x = – m – Để hàm số đạt cực đại x = nên – m – =  m = – Vậy m = – ... m2  Nên x  điểm cực tiểu hàm số Vậy hàm số ln có điểm cực đại điểm cực tiểu với m Bài trang 18 Toán lớp 12 Giải tích: Tìm a b để cực trị hàm số y= a x  2ax  9x  b số dương x0 =  điểm cực. .. cực đại Hàm số đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu -2 Bài tập Bài trang 18 Tốn lớp 12 Giải tích: Áp dụng Quy tắc I, tìm điểm cực trị hàm số sau: a) y = 2x3 + 3x2 – 36x – 10; b) y = x4 + 2x2 – 3;... 3x2.(1 – x )2 + x3 .2( 1 – x).(1 – x)’ = 3x2(1 – x )2 – 2x3(1 – x) = x2.(1 – x)(3 – 5x) y'' = ⇔ x = 0; x = x = Bảng biến thiên: 108 Vậy hàm số đạt cực đại x  , giá trị cực đại yCĐ = 3 125 hàm số