§2 Cực trị của hàm số I Khái niệm cực đại, cực tiểu 1 Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên miền D (D ⊂ R) và x0 ∈ D a) Nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ⊂[.]
§2.Cực trị hàm số I Khái niệm cực đại, cực tiểu Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục miền D (D ⊂ R) x0 ∈ D a) Nếu tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho (a; b) ⊂ D 𝑓 𝑥 < 𝑓 𝑥0 với x ∈ 𝑎; 𝑏 \ 𝑥0 ta nói hàm số f (x) đạt cực đại x0 Khi x0 gọi điểm cực đại, 𝑓 𝑥0 gọi giá trị cực đại hàm số f (x) b) Nếu tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho (a; b) ⊂ D 𝑓 𝑥 > 𝑓 𝑥0 với x ∈ 𝑎; 𝑏 \ 𝑥0 ta nói hàm số f (x) đạt cực tiểu x0 Khi x0 gọi điểm cực tiểu, 𝑓 𝑥0 gọi giá trị cực tiểu hàm số f (x) - Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số - Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị hàm số - Điểm 𝑀(𝑥0; 𝑓(𝑥0 )) gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số I Khái niệm cực đại, cực tiểu Chú ý Điểm cực đại đồ thị hàm số Điểmtiểu) cực đại𝑓của đồ hàm số f (x) nói chung khơng phải giá trị lớn Giá trị cực đại (cực 𝑥 thị hàm số (nhỏ nhất) hàm số f (x) tập D 𝑓 𝑥0 giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f (x) khoảng (a; b) chứa điểm x0 Điểm cực tiểusố đồ thị Hàm f (x) đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập D hàm số Nếu hàm số f (x) đạt cực trị có đạo hàm x0 𝑓 ′ 𝑥0 = Điểm cực tiểu đồ thị hàm số Hàm 𝑓(𝑥) = −𝑥 − 𝑥 + Quan sát đồ thị (C) hoàn thiện bảng biến thiên hàm số A x -∞ 𝑓′(𝑥) (C) + +∞ ⎻ f (x) -∞ 𝑓′(𝑥) đổi dấu từ “+” sang “ ⎻ ” 𝑥 qua điểm 𝑥0 (theo chiều tăng) ⟹ 𝑥0 điểm cực đại hàm số f (x) -∞ b) Hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + 3𝑥 Quan đồ“thị 𝑓′(𝑥) đổi dấu từ “+”sát sang ⎻ ”(C) khivà𝑥 qua điểm 𝑥0 (theo hoàn chiềuthiện tăng)bảng ⟹ 𝑥biến điểm hàm số cực đại hàmthiên số f (x) 𝑓′(𝑥) đổi dấu từ “⎻” sang “ + ” 𝑥 qua điểm 𝑥0 (theo chiều tăng) ⟹ 𝑥0 điểm cực tiểu hàm số f (x) x -∞ 𝑓′(𝑥) + ⎻ 𝐶Đ + +∞ f (x) -∞ +∞ I Khái niệm cực đại, cực tiểu II Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý (SGK/14) Giả sử hàm số y = f (x) liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a; b) (a; b)\ 𝑥0 Khi x 𝑥0 a 𝑓′(𝑥) f (x) + b - fCĐ x 𝑓′(𝑥) f (x) 𝑥0 a - b + fCT 𝑥0 điểm cực đại hàm số 𝑥0 điểm cực tiểu hàm số Vậy điều kiện đủ để hàm số f (x) đạt cực trị 𝑥0 𝑓′(𝑥) đổi dấu x qua điểm 𝑥0 * Chú ý: Tại điểm 𝑥0 đạo hàm hàm số khơng xác định (f (x) khơng có đạo hàm) I Khái niệm cực đại, cực tiểu II Điều kiện đủ để hàm số có cực trị III Quy tắc tìm cực trị *) Quy tắc 1 Tìm tập xác định Tính 𝑓 ′ 𝑥 Tìm điểm 𝑓 ′ 𝑥 = không xác định Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị III Quy tắc tìm cực trị *) Quy tắc 1 Tìm tập xác định Tính 𝑓 ′ 𝑥 Tìm điểm 𝑓 ′ 𝑥 = không xác định Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị * Ví dụ Tìm cực trị hàm số sau: a) 𝑦 = 𝑥 + 3𝑥 − b) 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 − a) 𝑦 = 𝑥 + 3𝑥 − +) TXĐ: D = R +) 𝑦′ = 3𝑥 + 6𝑥 = 3𝑥(𝑥 + 2) 𝑥=0 +) 𝑦′ = 0⟺ 3𝑥 𝑥 + = 0⟺ ቈ 𝑥 = −2 +) Bảng biến thiên: x -∞ 𝑓′(𝑥) -2 + 0 ⎻ +∞ + +∞ f (x) -∞ -4 Vậy, hàm số đạt cực đại x = -2 𝑦𝐶Đ = 𝑦 −2 = 0; hàm số đạt cực tiểu 𝑥 = 𝑦𝐶𝑇 = 𝑦 = −4 b) 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 − +) TXĐ: D = R +) 𝑦′ = 4𝑥 − 4𝑥 = 4𝑥(𝑥 − 1) 𝑥=0 4𝑥 = +) 𝑦′ = 0⟺4𝑥(𝑥 − 1) = 0⟺ ቈ ⟺ቈ 𝑥 = ±1 𝑥 −1 +) Bảng biến thiên: x -∞ 𝑓′(𝑥) -1 ⎻ +∞ f (x) + ⎻ + +∞ -3 -4 +∞ -4 Vậy, hàm số đạt cực đại x = 𝑦𝐶Đ = 𝑦 = −3; hàm số đạt cực tiểu 𝑥 = 𝑥 = −1; 𝑦𝐶𝑇 = 𝑦 ±1 = −4 Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) hình bên Khẳng định sau sai? A 𝐵 −2; 𝐷 ; hai điểm cực đại đồ thị (C) B 𝐵 −2; , 𝐶 1; − ,𝐷 ;2 điểm cực trị đồ thị (C) C 𝑥 = −2 𝑥 = hai điểm cực đại; 𝑥 = điểm cực tiểu hàm số f (x) D f (x) đạt cực đại điểm 𝑥 = đạt cực tiểu hai điểm 𝑥 = −2, 𝑥 = Câu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm x0 Khẳng định sau sai? A Nếu f (x) đạt cực trị x0 𝑓 ′ 𝑥0 = B Nếu 𝑓 ′ 𝑥0 ≠ x0 khơng điểm cực trị f (x) C Nếu 𝑓 ′ 𝑥0 = x0 điểm cực trị f (x) D Nếu f (x) đạt cực trị x0 tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm 𝑀(𝑥0 ; 𝑓(𝑥0)) song song với trục hoành Câu Hàm số 𝑦 = A 2𝑥+3 𝑥+1 có điểm cực trị? B C D Câu Cho hàm số y = f (x) liên tục R có bảng biến thiên sau Khẳng định sau đúng? A Hàm số có cực trị B Hàm số có giá trị cực tiểu C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ -1 D Hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = Câu Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 + có điểm cực đại A (1;-1) B (-1;-1) C (-1;3) D (1;3) Câu Hàm số 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 + có giá trị cực tiểu giá trị cực đại A 𝑦𝐶𝑇 = 2, 𝑦𝐶Đ = B 𝑦𝐶𝑇 = −3, 𝑦𝐶Đ = C 𝑦𝐶𝑇 = −3, 𝑦𝐶Đ = D 𝑦𝐶𝑇 = −2, 𝑦𝐶Đ = ... − 2? ??? − a)