Giáo án đại số 12 bài 2 cực trị của hàm số

BÀI CỰC TRN CỦA HÀM SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững định nghĩa cực trị hàm số, khái niệm điểm cực trị, giá trị cực trị hàm số; điểm cực trị đồ thị hàm số + Hiểu vận dụng định lí điều kiện cần điều kiện đủ để hàm số có cực trị + Trình bày vận dụng cách tìm cực trị hàm số + Nhận biết điểm cực trị đồ thị hàm số  Kĩ + Thành thạo tìm điểm cực trị, giá trị cực trị hàm số biết + Biết cách khai thác bảng biến thiên, bảng xét dấu, đồ thị để tìm cực trị TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm cực trị hàm số Định nghĩa Chú ý: 1) Điểm cực đại (cực tiểu) x0 gọi chung Giả sử hàm số f xác định K  K    điểm cực trị Giá trị cực đại (cực tiểu) f  x0  x0  K hàm số gọi chung cực trị Hàm số đạt a) x0 gọi điểm cực đại hàm số f cực đại cực tiểu nhiều điểm tập hợp K tồn khoảng  a; b   K chứa điểm x0 2) Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) f  x0  cho f  x   f  x0  , x   a; b  \  x0  giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số Khi f  x0  gọi giá trị cực đại hàm số f f tập K; f  x0  giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng  a; b  chứa x0 b) x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f 3) Nếu x0 điểm cực trị hàm số f tồn khoảng  a; b   K chứa điểm x0 điểm  x0 ; f  x0   gọi điểm cực trị đồ thị cho f  x   f  x0  , x   a; b  \  x0  hàm số f Khi f  x0  gọi giá trị cực tiểu hàm số f Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Ví dụ 1: Hàm số y  f  x   x xác định  Vì Định lí f    f  x   0, x  nên hàm số đạt cực Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm điểm x0 f   x0   tiểu điểm x  dù hàm số khơng có đạo hàm điểm x = 0, vì:  x, x  1, x   y   y x   x, x  1, x  Chú ý: 1) Điều ngược lại khơng Đạo hàm f  điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0 TOANMATH.com Ví dụ 2: Ta xét hàm số f  x   x3 , ta có: f   x   x  0, x  Hàm số đồng biến  nên khơng có cực trị dù f     Trang 2) Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí a) Nếu f   x  đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 (theo chiều tăng) hàm số đạt cực tiểu điểm x0 b) Nếu f   x  đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 (theo chiều tăng) hàm số đạt cực đại điểm x0 Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng  a; b  chứa điểm x0 , f   x0   f có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f   x0   hàm số f đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f   x0   hàm số f đạt cực tiểu điểm x0 Nếu f   x0   ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên bảng xét dấu đạo hàm TOANMATH.com Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Các tập nhận biết, tìm điểm cực trị, đếm số điểm cực trị Bài tốn 1: Tìm điểm cực trị hàm số cụ thể Phương pháp giải Cách 1: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu Ví dụ 1: Hàm số f  x   x3  x  x  đạt cực tiểu điểm Bước Tìm f   x  A x  1 B x  C x  D x  3 Bước Tìm điểm xi  i  1, 2,  đạo Hướng dẫn giải hàm không hàm số liên tục khơng có đạo hàm Bước Xét dấu f   x  Nếu f   x  đổi dấu x qua điểm xi hàm số đạt cực trị điểm xi Cách 1: Hàm số cho xác định  Ta có f   x   x  x   x  1 Từ f   x     x  Bảng xét dấu f   x  Vậy hàm số đạt cực điểm điểm x  Chọn B Cách 2: Dùng định lý Cách 2: Bước 1: Tìm f   x  Hàm số cho xác định  Bước 2: Tìm nghiệm xi  i  1, 2,  phương trình f   x   Bước 3: Tính f   xi   Nếu f   xi   hàm số f đạt cực đại điểm xi  Ta có: f   x   x  x   x  1 Từ đó: f   x     x  Ta có: f   x   x  Khi đó: f   1  12  0; f   3  12  Vậy hàm số đạt cực tiểu điểm x  Nếu f   xi   hàm số f đạt cực tiểu điểm xi  Nếu f   xi   ta lập bảng biến thiên TOANMATH.com Trang để xác định điểm cực trị Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Số điểm cực đại hàm số f  x    x  x  A B C D C D Hướng dẫn giải Hàm số cho xác định  Ta có: f   x   4 x3  16 x  x   f    7  Từ đó: f   x     x  2  f  2   x   f     Bảng biến thiên: Vậy hàm số có hai điểm cực đại Chọn C Ví dụ 2: Số cực trị hàm số f  x   A x 1 x 1 B Hướng dẫn giải Hàm số cho xác định  \ 1 Ta có: f   x   2  x  1  0, x   \ 1 Vậy hàm số khơng có cực trị Chọn D Ví dụ 3: Giá trị cực tiểu hàm số f  x   B y   A x  5  x2  2x  x2  x  1 C x   D y  Hướng dẫn giải Hàm số cho xác định  Ta có: f   x   3 x  16 x  x  x  1 TOANMATH.com Trang  x Từ đó: f   x       x  5 Bảng xét dấu đạo hàm: Vậy hàm số đạt cực tiểu điểm x  5, yCT  f  5    Chọn B Ví dụ 4: Số cực trị hàm số f  x   x  x  A B C D Hướng dẫn giải Hàm số cho xác định  x2 1 Ta có: f   x   x  3x    x    x 1   x  1   x  1 Từ đó: f   x      x  3x    x   x  2  ( f   x  không xác định điểm x  x  2 ) Bảng biến thiên: Vậy hàm số có hai cực trị f  1  f 1  Chọn A Ví dụ 5: Giá trị cực đại hàm số f  x   x  x  số đây? A B C  D  Hướng dẫn giải Hàm số cho xác định  TOANMATH.com Trang Ta có: f   x    2x x2  2 x  Từ đó: f   x    x   x   x x 1  4x Bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt cực đại điểm x  , giá trị cực đại hàm số  3 f       Chọn C Ví dụ 6: Các điểm cực đại hàm số f  x   x  2sin x có dạng (với k   ) A x   C x      k 2 B x   k 2 D x     k 2  k 2 Hướng dẫn giải Hàm số cho xác định  Ta có: f   x    cosx Khi f   x    cosx    x    k 2 ,  k    f   x   2sin x       Vì f    k 2   2sin   k 2   2sin  nên x   k 2 điểm cực tiểu 3 3  3            Vì f     k 2   2sin    k 2   2sin     2sin  nên x    k 2 điểm cực đại 3      3 Chọn A Bài tốn Tìm cực trị hàm số biết đồ thị Phương pháp giải +) Nếu đề cho đồ thị hàm f ( x) , xem lại lý thuyết +) Nếu đề cho đồ thị đạo hàm, để ý điều sau để lập bảng xét dấu đạo hàm: Đồ thị f '( x) nằm phía trục hoành: f '( x)  Đồ thị f '( x) nằm phía trục hồnh: f '( x)  Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang Ví dụ 1: Hàm số y  ax  bx  c (a, b, c  ) có đồ thị hình vẽ Số điểm cực tiểu hàm số f A B C D Hướng dẫn giải Hàm số cho có hai điểm cực tiểu Chọn C Ví dụ 2: Hàm số y  f (x) có đồ thị hình vẽ Số điểm cực trị hàm số f khoảng (3; 4) A B C D Hướng dẫn giải Hàm số cho có bốn điểm cực trị Chọn D Ví dụ 3: Hàm số y  f (x) xác định  có đồ thị hàm số y  f '(x) hình vẽ Số điểm cực trị hàm số f khoảng (a; b) A B C D Hướng dẫn giải Cách 1: Trong khoảng (a; b) , đồ thị f '(x) cắt (không tiếp xúc) trục hồnh điểm nên có điểm cực trị (a; b) Chọn A Cách 2: Nhìn vào hình vẽ đây, f '(x) đổi dấu tổng cộng lần khoảng (a; b) nên có điểm cực trị (a; b) TOANMATH.com Trang Chọn A Ví dụ 4: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm đến cấp hai  có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ (đồ thị y  f (x) có điểm chung với trục hồnh hình vẽ) Số điểm cực trị tối đa hàm số A B C D Hướng dẫn giải Ta có bảng biến thiên hàm số y  f (x) sau Nhận thấy trục hoành cắt đồ thị hàm số y  f (x) tối đa điểm nên f (x)  có tối đa nghiệm phân biệt Vậy hàm số y  f (x) có tối đa điểm cực trị Chọn D Bài tốn Tìm (điểm) cực trị thơng qua bảng biến thiên Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y  f (x) có bảng biến thiên hình vẽ TOANMATH.com Trang Mệnh đề sau sai? A Hàm số có hai điểm cực trị B Hàm số có hai cực trị C Cực đại – D Cực tiểu – Hướng dẫn giải Chọn C Ví dụ 2: Cho hàm số y  f (x) có bảng biến thiên hình vẽ Mệnh đề sai? A Hàm số có ba cực trị B Hàm số có cực tiểu C f (2)  f (2) D f (1)  f (2) Hướng dẫn giải Chọn A Bài tốn Tìm (điểm) cực trị thơng qua đạo hàm Phương pháp giải Đếm số nghiệm bội lẻ phương trình đạo hàm Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm f (x)  (x  1)(x  3x  2)(x  2x) Số điểm cực trị hàm số y  f (x) A B C D Hướng dẫn giải Ta có: f (x)  (x  2)(x  1)3 x(x  1)(x  2) f (x)  có nghiệm bội lẻ nên có điểm cực trị Chọn D Ví dụ 2: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm f (x)  x (x  1)(x  4) Tìm số điểm cực trị hàm số y  f (x ) A B C D Hướng dẫn giải Ta có:  f (x )   2x.f (x )  2x (x  1)(x  4) Phương trình  f (x )   có nghiệm bội lẻ x  0, x  1 nên số điểm cực trị hàm số y  f (x ) Chọn C TOANMATH.com Trang 10 Chú ý: Nhắc lại:  Đạo hàm hàm số hợp f  u  x    f   u  x   u   x  hay f x  fu u x   Ví dụ 3: Cho hàm số y  f (x) liên tục  , có f (x)  3x   , x  x2 Mệnh đề đúng? A Hàm số có điểm cực trị  B Hàm số có điểm cực trị (0; ) C Hàm số khơng có điểm cực trị (0; ) D Hàm số có hai điểm cực trị  Hướng dẫn giải Với x  ta có: f (x)  3x  3 3   x  x    33     x 2 x 2 Vậy hàm số khơng có cực trị (0; ) Chọn C Ví dụ 4: Cho hàm số y  f (x) liên tục  , có đạo hàm f (x)  (x  x  2)(x  6x  11x  6) g (x) với g (x) hàm đa thức có đồ thị hình vẽ ( g (x) đồng biến (; 1) (2; ) Số điểm cực trị hàm số y  f (x) A B C D Hướng dẫn giải Dựa vào đồ thị, phương trình g (x)  có nghiệm bội lẻ x  0, x  1, x  nghiệm bội chẵn x  1 Tóm lại, phương trình y '  có x  1, x  0, x  x  nghiệm bội lẻ, nên hàm số có điểm cực trị Chọn D Bài tốn Tìm (điểm) cực trị thơng qua bảng xét dấu, bảng biến thiên đạo hàm Ví dụ 1: Cho hàm số y  f (x) liên tục  có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ Số điểm cực tiểu hàm số y  f (x) A B C D Hướng dẫn giải Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương lần nên có điểm cực tiểu TOANMATH.com Trang 11 Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số y  f (x) liên tục  có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y  f (x) A B C D Hướng dẫn giải Đạo hàm đổi dấu hai lần nên có hai điểm cực trị Chọn C Ví dụ 3: Cho hàm số y  f (x) liên tục  có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y  f (x) A B C D Hướng dẫn giải Chắc chắn hàm số có điểm cực trị x  1, x  2, x  Xét điểm x  , đạo hàm đổi dấu, hàm số khơng có đạo hàm điểm x  , theo đề bài, hàm số liên tục  nên f (0) xác định Vậy hàm số có tổng cộng điểm cực trị Chọn D Ví dụ 4: Cho hàm số y  f (x) liên tục  \ 1 có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y  f (x) A B C D Hướng dẫn giải Hàm số có điểm cực trị x  2, x  2, x  (hàm số khơng đạt cực trị điểm x  hàm số không xác định điểm x  ) Chọn B Ví dụ 5: Cho hàm số y  f (x) có bảng biến thiên f (x) hình vẽ TOANMATH.com Trang 12 Số điểm cực trị hàm số y  f (x) A B C D Hướng dẫn giải Dễ thấy phương trình f (x)  có ba nghiệm bội lẻ nên hàm số có điểm cực trị Chọn C Bài tốn Tìm (điểm) cực trị thông qua đồ thị f , f , f  Ví dụ 1: Cho hàm số y  f (x) hàm đa thức Trên hình vẽ đồ thị hàm số y  f (x) (; a ] (và hàm số y  f (x) nghịch biến  ; 1 ), đồ thị hàm số y  f (x)  a; b  (và f (x )  ), đồ thị hàm số y  f (x) b;   (và hàm số y  f (x) đồng biến b;   , f (x1 )  ) Hỏi hàm số y  f (x) có tối đa điểm cực trị? Hướng dẫn giải Bảng xét dấu bên lập từ suy luận sau: * Hàm số y  f (x) nghịch biến  ; 1 nên f (x)  0, x   ; 1 đồng biến  1; a  nên f (x)  0, x   1; a  * Hàm số y  f (x) có f (x)  0, x   a; x  f (x)  0, x   x ; b  f (x)  0, x   x ; b  * Hàm số y  f (x) có f (x)  0, x   b; x1  mà f (b)   f (x)