Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập Cực trị của hàm số Toán 12 I Bài tập trắc nghiệm Bài 1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 2x2 +mx + 1 đạt cực đại tại x = 1 A m = 1 B m = 1 D Không tồn tại Lời giải Ta có y''''[.]
Bài tập Cực trị hàm số - Toán 12 I Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 - 2x2 +mx + đạt cực đại x = A.m = -1 B m = D Khơng tồn Lời giải: Ta có y' = 3x2 - 4x + m Hàm số đạt cực trị x = y'(1) = ⇒ 3.12 - 4.1 + m = ⇒ m = Với m = hàm số cho trở thành y = x3 - 2x2 + x + Ta có y' = 3x2 - 4x + 1, y'' = 6x - Vì y''(1) = > nên hàm số đạt cực tiểu x = Do khơng có m thỏa mãn Chọn đáp án D Chú ý Sai lầm gặp phải: giải y'(1) = => m = vội kết luận mà không kiểm tra lại, dẫn đến chọn đáp án B Bài 2: Cho hàm số y = x3 - 2x2 + Điểm M(0; 3) là: A Cực đại hàm số B Điểm cực đại hàm số C Điểm cực đại đồ thị hàm số D Điểm cực tiểu đồ thị hàm số Lời giải: Ta có: y' = 3x2 -4x; y'' = 6x - 4; y''(0) = -4 < Do đó, điểm M(0;3) điểm cực đại đồ thị hàm số Chọn đáp án C Chú ý Phân biệt khái niệm: cực trị, điểm cực trị hàm số, điểm cực trị đồ thị hàm số Bài 3: Tìm điểm cực đại hàm số A x = B x = π Lời giải: với x ∈ (0; π) Ta có: Chọn đáp án C Bài 4: Có mệnh đề phát biểu sau? Hàm số khơng có đạo hàm x = Hàm số không liên tục x = Hàm số khơng có cực trị x = Hàm số đạt cực trị x = A B C D Lời giải: Đồ thị hàm số y = |x| có dạng hình vẽ Từ đồ thị hình ta có hàm số y = |x| liên tục x = khơng có đạo hàm điểm Sử dụng định nghĩa cực trị ta có hàm số y = |x| đạt cực tiểu x = Do mệnh đề Chọn đáp án C Bài 5: Cho hàm số y = -3x4 - 2x3 + Hàm số có A Một cực đại hai cực tiểu B Một cực tiểu hai cực đại C Một cực đại khơng có cực tiểu D Một cực tiểu cực đại Lời giải: Ta có y' = -12x3 - 4x Xét y'=0 => x = Hàm số có cực đại x = Chọn đáp án C Bài 6: Cho hàm số y = x4 - 2(m - 1)x2 + m2 Tìm m để hàm số có điểm cực trị đỉnh tam giác vuông A m = B.m= C m= -1 D m = Lời giải: Bài 7: Cho hàm số f có đạo hàm f'(x) = x(x+1)2(x-2)4 với x ∈ R Số điểm cực trị hàm số f là: A B C D.3 Lời giải: Ta có Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu x = Vậy hàm số có cực trị Bài 8: Điểm cực đại hàm số y = -x3 - 3x2 + là: A x = B x = -2 C x = D Khơng tồn Lời giải: Ta có y' = -3x2 - 6x, y'' = -6x - Xét y''(0) = -6 < 0; y''(-2) = > Do hàm số đạt cực đại x = Bài 9: Điểm cực tiểu hàm số y = x4 + 4x2 + là: A x = C x = D Không tồn Lời giải: Ta có: y' = 4x3 + 8x, y'' = 12x2 + y' = 4x(x2 + 2) = x = y''(0) = > Do hàm số đạt cực tiểu x = Bài 10: Cho hàm số y = x3 - 2x2 - (1) mệnh đề (1) Điểm cực trị hàm số (1) x = x = (2) Điểm cực trị hàm số (1) x = x = (3) Điểm cực trị đồ thị hàm số (1) x = x = (4) Cực trị hàm số (1) x = x = Trong mệnh đề trên, số mệnh đề sai là: A.0 B.1 C.2 D.3 Lời giải: Ta có: y' = 3x2 - 4x, y'' = 6x - 4; y''(0) = -4 < 0; y''( ) = > Do hàm số có hai cực trị x = x = Các mệnh đề (1); (2) (3) sai; mệnh đề (4) II Bài tập tự luận có lời giải Bài 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hình vẽ Điểm cực đại đồ thị hàm số Lời giải: M (0;2) Bài 2: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục R có bảng biến thiên Mệnh đề sau đúng? A Hàm số có hai cực trị B Hàm số có điểm cực tiểu -2 C Hàm số có giá trị cực đại D Hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = -1 x = Lời giải: Dựa vào định nghĩa cực trị bảng biến thiên Chọn đáp án D Bài 3: Tìm a, b, c cho hàm số y = x3 + ax2 + bx + c có giá trị x = đạt cực trị khi x = -1 Lời giải: Sử dụng giả thiết điều kiện cần cực trị ta có y(1) = 0; y'(-1) = 0; y(-1) = Trong , y' = 3x2 + 2ax + b Từ suy ra: Với a = 1; b = -1; c = -1 hàm số cho trở thành y = x3 + x2 - x - Ta có y' = 3x2 + 2x - 1, y'' = 6x + Vì y''=(-1) = -4 < nên hàm số đạt cực đại x = -1 Vậy a = 1; b = -1; c = -1 giá trị cần tìm Bài 4: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? Nếu f'(x0) = x0 điểm cực trị hàm số B Nếu f'(x0) = x0 điểm cực đại hàm số C Nếu f'(x0) = f''(x0) > x0 điểm cực đại hàm số D Nếu f(x) có đạo hàm x0 f’(x) đổi dấu x qua x0 x0 điểm cực trị hàm số Lời giải: Xem lại điều kiện cần đủ để có cực trị hàm số Bài 5: Giá trị m để hàm số y = x3 - 3mx2 + (m2 - 1)x + đạt cực đại x = là: Lời giải: y' = 3x2 - 6mx + m2 - 1; y'' = 6x - 6m Hàm số đạt cực đại x = Bài 6: Với giá trị m, hàm số y = (x - m)3 - 3x đạt cực tiểu điểm có hồnh độ x = 0? Lời giải: Xét y = x3 - 3mx2 + (3m2 - 3)x - m2 Ta có: y' = 32 - 6mx + 3m2 - 3, y'' = 6x - 6m Hàm số đạt cực tiểu điểm có hồnh độ x = Bài 7: Với giá trị m, hàm số y = x3 + 2(m - 1)x2 + (m2 - 4m + 1)x + 2(m2 + 1) có hai điểm cực trị x1,x2 thỏa mãn Lời giải: Ta có y' = 3x2 + 4(m - 1)x + m2 - 4m + Hàm số có hai cực trị => y' = có hai nghiệm phân biệt Δ' > 4(m - 1)2 - 3(m2 - 4m + 1) > m2 + 4m + > Áp dụng Vi-ét cho phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ta có : Đối chiếu điều kiện (*) có m = m = Bài 8: Với giá trị m, đồ thị hàm số y = x3 - mx2 + 3(m2 - 1)x - m + m có điểm cực đại B, điểm cực tiểu C thỏa mãn OC = 3OB, với O gốc tọa độ? Lời giải: Ta có y' = 3x2 - 6mx + 3(m2 - 1) Hàm số có hai cực trị => y' = có hai nghiệm phân biệt Δ' > (3m)2 3.3(m2 - 1) > > với m Ta có điểm cực đại B(m - 1; -2m + 2) cực tiểu C(m + 1; -2m - 2) Bài 9: Với giá trị m, đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + m có hai điểm cực trị B, C thẳng hàng với điểm A(-1;3)? Lời giải: y’= 3x2 - 6mx = 3x(x - 2m) Hàm số có hai điểm cực trị => y’=0 có hai nghiệm phân biệt m ≠ (*) Tọa độ hai điểm cực trị B(0;m) C(2m;-4m3 + m) A, B, C thẳng hàng Bài 10: Cho hàm số y = x3 - 3x2 - 6x + (C) Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (C) là: Lời giải: Cách 1: Ta có y’=3x2-6x-6 ; y”=6x - Do đồ thị hàm số có điểm cực trị Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: Cách 2: Ta có: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình y’(x)= 3x2-6x-6=0 Khi ta có A(x1, y(x1)), BA(x2, y(x2)) hai cực trị đồ thị hàm số C với y'(x1) = y'(x2) = Do ta có: Vậy A, B thuộc đường thẳng y= - 6x+6 III Bài tập vận dụng Bài Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), điểm hàm số sau có giá trị lớn (nhỏ nhất): a) y = -x2 + khoảng (-∞; +∞); Bài Giả sử f(x) đạt cực đại xo Hãy chứng minh khẳng định ý cách xét giới hạn tỉ số hai trường hợp Δx > Δx < a) Sử dụng đồ thị, xem xét hàm số sau có cực trị hay khơng • y = -2x + 1; b) Nêu mối quan hệ tồn cực trị dấu đạo hàm Bài Chứng minh hàm số y = |x| đạo hàm x = Hàm số có đạt cực trị điểm khơng ? Bài Áp dụng quy tắc I, tìm điểm cực trị hàm s f(x) = x(x2 – 3) Bài Áp dụng Quy tắc 1, tìm điểm cực trị hàm số sau: a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10 b) y = x4 + 2x2 - 3; d) y = x3(1 - x)2; Bài Áp dụng Quy tắc 2, tìm điểm cực trị hàm số sau: a) y = x4 - 2x2 + ; b) y = sin2x – x c) y = sinx + cosx ; d) y = x5 - x3 - 2x + Bài Áp dụng Quy tắc I, tìm điểm cực trị hàm số sau a) y=2x3+3x2−36x−10 b) y=x4+2x2−3 d) y=x3(1−x2) Bài Áp dụng quy tắc II, tìm điểm cực trị hàm số sau a) y=x4−2x2+1; b) y=sin2x−x; c) y=sinx+cosx; d) y=x5−x3−2x+1 Bài Chứng minh hàm số khơng có đạo hàm x=0 đạt cực tiểu điểm Bài 10 Giá trị m để hàm số y = x3 - 3mx2 + (m2 - 1)x + đạt cực đại x = là? ... cực tiểu x = Bài 10: Cho hàm số y = x3 - 2x2 - (1) mệnh đề (1) Điểm cực trị hàm số (1) x = x = (2) Điểm cực trị hàm số (1) x = x = (3) Điểm cực trị đồ thị hàm số (1) x = x = (4) Cực trị hàm số. .. niệm: cực trị, điểm cực trị hàm số, điểm cực trị đồ thị hàm số Bài 3: Tìm điểm cực đại hàm số A x = B x = π Lời giải: với x ∈ (0; π) Ta có: Chọn đáp án C Bài 4: Có mệnh đề phát biểu sau? Hàm số. .. đề sau đúng? A Hàm số có hai cực trị B Hàm số có điểm cực tiểu -2 C Hàm số có giá trị cực đại D Hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = -1 x = Lời giải: Dựa vào định nghĩa cực trị bảng biến thiên