Giai tích 2: Tích phân bội

Chương 2 TÍCH PHÂN BỘI 1 Tích phân hai lớp 1.1. Định nghĩa và cách tính tích phân hai lớp 2 Tích phân 3 lớp 1.1. Định nghĩa và cách tính tích phân hai lớp File đầu đủ lý thuyết, bài tập và lời giải chi tiết

Chương TÍCH PHÂN BỘI 2.1 Tích phân hai lớp 2.1.1 Định nghĩa cách tính tích phân hai lớp 2.1.1.1 Định nghĩa Bài tốn dẫn đến khái niệm tích phân hai lớp Giả sử có vật thể hình trụ, phía giới hạn mặt cong biểu diễn phương trình z = f(x,y), mặt xung quanh mặt hình trụ có đường sinh song song với trục Oz, cịn phía giới hạn hình phẳng đóng D nằm mặt phẳng tọa độ Oxy gọi đáy của hình trụ Yêu cầu tính thể tích V vật thể hình trụ với giả thiết f(x,y) hàm không âm, xác định liên tục miền đóng D Bài giải Chia D thành n miền nhỏ không dẫm lên (giao hai miền nhỏ rỗng) Gọi diện tích n miền nhỏ S1, S2, …, Sn Lấy miền nhỏ đáy hình trụ mà mặt xung quanh có đường sinh song song với trục Oz phía giới hạn mặt cong biểu diễn phương trình f(x,y) Như vậy, vật thể hình trụ chia thành n hình trụ nhỏ Trong miền nhỏ Si (1  i  n) ta lấy điểm tùy ý Mi(xi,yi) Ta có tích zi.Si = f(xi,yi).Si thể tích hình trụ có diện tích đáy Si chiều cao zi = f(xi,yi) Nếu miền nhỏ Si bé, hàm f(x,y) liên tục D nên giá trị z = f(x,y) xấp xỉ giá trị zi = f(xi,yi) nên coi thể tích hình trụ nhỏ thứ i Vi  f(xi,yi).Si Như vậy, miền nhỏ Si (1  i  n) bé coi thể tích hình trụ n V   f ( x i , y i ).Si i =1 n Tổng  f ( x i , y i ).Si có độ xác cao (tức giá trị biểu thức gần thể tích i =1 thực V hình trụ xét) n lớn tất Si (1  i  n) bé Do đó, thể tích V n hình trụ xét giới hạn (nếu có) tổng  f ( x i , y i ).Si n →  với đường kính i =1 n miền nhỏ Si (1  i  n) bé dần 0, tức V = lim  f ( x i , y i ).Si với d = max d i , di đường d →0 i =1 1in kính miền nhỏ Si (1  i  n) (đường kính miền định nghĩa khoảng cách lớn hai điểm biên miền ấy) Định nghĩa tích phân hai lớp Cho hàm số f(x,y) xác định miền đóng D Chia miền D cách tùy ý thành n miền nhỏ không dẫm lên Gọi diện tích n miền nhỏ S1, S2, …, Sn Trên miền nhỏ Si (1  i  n) ta n lấy điểm tùy ý Mi(xi,yi) lập tổng I n =  f ( x i , y i ).Si In gọi tổng tích phân hàm f(x,y) i =1 miền D n →  cho d = max d i → (trong di đường kính miền nhỏ Si) mà In 1in dần đến giá trị hữu hạn không phụ thuộc vào cách chia miền D cách lấy điểm M i(xi,yi) miền nhỏ Si, giá trị hữu hạn gọi tích phân hai lớp hàm số f(x,y) miền D ký hiệu  f ( x , y)dS , D, f(x,y), dS, x y gọi miền tính tích phân, hàm số dấu D tích phân, vi phân diện tích, biến tính tích phân 88 Như vậy, ta có  f ( x, y)dS = lim I n = lim n → D max di →0 0i  n n  f (x , y ).S giới hạn tồn hữu hạn, i i =1 i i ta nói hàm số f(x,y) khả tích miền đóng D Định lý Nếu hàm số f(x,y) liên tục miền đóng D khả tích Vì tích phân hai lớp tồn khơng phụ thuộc vào cách chia miền D, nên ta chia D lưới đường thẳng song song với trục tọa độ Ox, Oy Khi đó, miền nhỏ Si (1  i  n) nói chung hình chữ nhật, dS = dxdy   f ( x , y)dS =  f ( x , y)dxdy D D Nhận xét Bản chất phép tính tích phân tính giới hạn, nhiên việc tính tích phân cách dùng định nghĩa đơn giản, nhà tốn học dùng định nghĩa để đưa cơng thức tích phân để việc tính tích phân đơn giản Ý nghĩa hình học tích phân hai lớp Nếu hàm số z = f(x,y) > 0, xác định liên tục với (x,y)D giá trị tích phân hai lớp  f (x, y)dxdy thể tích hình trụ có đáy miền D thuộc mặt phẳng tọa độ Oxy, mặt xung quanh D mặt hình trụ có đường sinh song song với trục Oz, cịn mặt hình trụ mặt cong biểu diễn phương trình z = f(x,y) Đặc biệt, f(x,y) = với (x,y)D giá trị tích phân  f ( x , y)dxdy =  1.dxdy =  dxdy D D D diện tích S miền D Các tính chất tích phân hai lớp (1)  f ( x , y) + g ( x , y)dxdy =  f ( x , y)dxdy +  g ( x , y)dxdy D D D (2)  kf ( x , y)dxdy = k  f ( x , y)dxdy (k số) D D D = D  D (3)  f ( x , y)dxdy =  f ( x, y)dxdy +  f ( x, y)dxdy với  D  D =  D D1 D2 (4)  f ( x , y)dxdy   g ( x , y)dxdy f(x,y)  g(x,y) với (x,y)D D (5) D  f (x, y)dxdy   f (x, y) dxdy D D (6) mS   f ( x , y)dxdy  MS với S diện tích D, m = f ( x, y) M = max f ( x, y) ( x , y )D ( x , y )D D (7) Nếu f(x,y) liên tục D, S diện tích D ( x , y) D cho  f ( x , y)dxdy = f ( x , y).S D 2.1.1.2 Cách tính tích phân hai lớp hệ tọa độ Descartes - Miền tính tích phân hình chữ nhật D = {(x,y)R2a  x  b c  x  d} 89 b d d b b a c c a a  f (x, y)dxdy =  dx  f (x, y)dy =  dy  f (x, y)dx (khi tính  f (x, y)dx coi y số, D d tính  f ( x , y)dy coi x số) c b  d      f ( x , y ) dxdy = g ( x ) dx h ( y ) dy D     a  c  0  x  Ví dụ 2.1 Tính tích phân I =  xydxdy với D =  1  y  D Bài giải Đặc biệt, f(x,y) = g(x).h(y) Đồ thị D Ta tính I ba cách 1 2  2   xy  3x 3x dx =  dx = Cách thứ I =  xydxdy =    xydy dx   dx   xydy  =  D 01 0  1    Cách thứ hai 1 2   1   x y  y y2 I =  xydxdy =    xydx dy   dy  xydx  =  dy =  dy = = − =   4 4 D 10 1  0  1 0 Lưu ý: Cách viết đoạn có dấu gạch quy ước! 1    x  y    3 =  −  = = Cách thứ ba I =  xydxdy =   xdx   ydy  = D 0       2  2 - Miền tính tích phân khơng phải hình chữ nhật + Trường hợp Trong hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy đồ thị miền D có dạng Chiếu miền D lên trục Ox D = {(x,y)R2a  x  b, y1(x)  y  y2(x)} b y2 ( x ) a y1 ( x )   f ( x , y)dxdy =  dx D  f (x, y)dy + Trường hợp Trong hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy đồ thị miền D có dạng 90 = Chiếu miền D lên trục Oy D = {(x,y)R2c  y  d, x1(y)  x  x2(y)} d x ( y) c x1 ( y )   f ( x , y)dxdy =  dy D  f ( x, y)dx Ví dụ 2.2 Tính tích phân I =  x ydxdy miền D xác định tam giác ABC với A(0,0), D B(1,0), C(1,1) Bài giải Đồ thị miền D hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy Ta tính I hai cách 0  x  Cách thứ Chiếu miền D lên trục Ox D =  0  y  x  y2  I =  x ydxdy =  dx  x ydy =   x  D 0 0  dx = x = x =  0 10 10  0  y  Cách thứ hai Chiếu miền D lên trục Oy D =  y  x  1 x x 1  x3  1  y y5     I =  x ydxdy =  dy  x ydx =  y dy =  ( y − y )dy =  −  =   30 3  10 D y 0 y + Trường hợp D miền đóng nội tiếp hình chữ nhật {x = a, x = b, y = c, y = d}, điểm tiếp xúc M, Q, P, N đoạn thẳng 1 2 - Nếu cung MNP biểu diễn phương trình y = y1(x), cịn cung MQP biểu diễn phương trình y = y2(x) chiếu miền D lên trục Ox D = {(x,y)R2a  x  b, y1(x)  y  y2(x)} b y2 ( x ) a y1 ( x )   f ( x , y)dxdy =  dx D  f (x, y)dy - Nếu cung QMN biểu diễn phương trình x = x1(y), cịn cung QPN biểu diễn phương trình x = x2(y) chiếu miền D lên trục Oy D = {(x,y)R2c  y  d, x1(y)  x  x2(y)} d x ( y) c x1 ( y )   f ( x , y)dxdy =  dy D  f ( x, y)dx Ví dụ 2.3 Tính tích phân I =  D x2 dxdy miền D giới hạn đường thẳng x = 2, y = x y2 đường hypecbol y = x 91 Bài giải Đồ thị miền D hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy Ta tính I hai cách 1  x  Cách thứ Chiếu miền D lên trục Ox D =  (1 x )  y  x x x 2    x2 x2 x x dx = ( x − x )dx =    dxdy =  dx  dy =   − x −  =    y y y1x 1  D 1x 1  (1 2)  y  Cách thứ hai Chiếu miền D lên trục Oy D = D1D2 với D1 =  (1 y)  x  1  y  D2 =  y  x   I =  D  x3 1 2 y  1 2 x2 x2 x2 x2 x2 dxdy = dxdy + dxdy = dy dx + dy D y D y  1y y 1 y y dx = y2 12 2  dy +  x 1  y  1y  2  dy =  − dy +  − y dy =   12 y y  1  y  y 2 1   y2  17  − +  +  − −  = + =  y y   y  12 Nhận xét (1) Với miền D cho Ví dụ 2.3 việc sử dụng công thức d x2 ( y) c x1 ( y )  f (x, y)dxdy =  dy  f (x, y)dx (trường hợp 2) có khối lượng tính tốn cồng kềnh việc sử dụng D công thức b y2 ( x ) a y1 ( x )  f (x, y)dxdy =  dx  f (x, y)dy (trường hợp 1) D (2) Nếu biết cận tích phân hai lớp, ta suy miền tính tích phân D, đổi thứ tự tính tích phân −2 x2 Ví dụ 2.4 Đổi thứ tự tính tích phân tích phân I =  dx  f ( x , y)dy 92 Bài giải −  x  Từ cận tích phân I =  dx  f ( x, y)dy  D =  nên đồ thị miền D hệ x  y  −2 x2 tọa độ Descartes vng góc Oxy Đường thẳng y = cắt đường parabol y = x2 điểm (–2,4) (2,4) Chiếu miền D lên trục tung Oy miền D mô tả cách khác y  0  y  D=  I =  dy  f (x, y)dx  − y − y  x  y xdxdy Ví dụ 2.5 Tính tích phân  miền đóng D = {(x,y)R2|0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1} 1+ y D Bài giải Đồ thị miền D hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy 1 1 0  x  xdy dy  I =  dx  =  xdx  Chiếu miền D lên trục Ox D =  + y3 + y3 x  y  x x y y 1 0  y  xdx dy  I =  dy  = Chiếu miền D lên trục Oy D =   xdx + y3 + y3 0  x  y 0 Rõ ràng là, tính I =  dy I= + y3 = ( 1 + y3 0 + y3 y 0  xdx =  ) − y dy  xdx đơn giản  x2   1+ y  d(1 + y ) = 1  y dy 1 d( y ) dy = = =  0 + y 3 0 + y  y 1 1 (1 + y ) ( −1 2) +1 = + y3 (−1 2) + = −1 Ví dụ 2.6 Tính tích phân I =  dy  e x dx 2y Bài giải Các nhà toán học chứng minh rằng, biểu thức dấu tích phân tích phân e x2 dx khơng có ngun hàm sơ cấp, tức ngun hàm tích phân  e x dx khơng thể biểu diễn qua hàm số sơ cấp được, mặt lý thuyết tích phân  e x dx tồn nguyên hàm 93 2 0  y  Từ cận tích phân I =  dy  e x dx  D =  nên đồ thị miền D hệ tọa độ 2 y  x  2y Descartes vng góc Oxy 0  x  Bây giờ, ta chiếu miền D lên trục Ox miền D mơ tả cách khác D =  0  y  x x 2 2 x 2 2 1 2 e4 −1  I =  dx  e x dy =   e x y dx =  xe x dx =  e x d( x ) = e x =  20 40 4 0 0 Nhận xét Nếu tính tích phân I =  dy  e x dx theo thứ tự cho (tính theo biến x trước, tính theo 2y x biến y sau) khơng tính được, đổi thứ tự tính tích phân thành I =  dx  e x dy (tính theo biến 0 y trước, tính theo biến x sau) tích phân tính 2.1.2 Phép đổi biến tích phân hai lớp 2.1.2.1 Cơng thức đổi biến tích phân hai lớp Xét tích phân hai lớp  f ( x , y)dxdy , hàm số f(x,y) liên tục miền đóng D Giả sử ta D x = x ( u , v) thực phép đổi biến  thỏa mãn điều kiện sau  y = y( u , v) x = x ( u , v) (1) Phép đổi biến  ánh xạ 1-1 từ miền D lên miền D’ (miền D’ ảnh miền D qua  y = y( u , v) phép đổi biến này); (2) Các hàm x(u,v), y(u,v) hàm số liên tục có đạo hàm riêng cấp x (u , v) ' x (u, v) x (u, v) ' x 'u (u, v)  , x v ( u , v)  , x v ( u , v)  liên tục miền đóng D’ = {(u,v)R2} u v v đấy;  x (u, v) x (u, v)     x 'u (u, v) x 'v (u, v)  u v   miền D’;   (3) Định thức Jacobi J = det '  det '   y(u, v) y(u, v)   y u ( u , v) y v ( u , v)    v   u Khi  f ( x , y)dxdy =  f x ( u , v), y( u , v) J dudv D D' Lưu ý (1) Nếu phép đổi biến ánh xạ 1-1 điểm miền D tương ứng với điểm miền D’ ngược lại, điểm biên miền D tương ứng với điểm biên miền D’ ngược lại (2) Nhà toán học Carl Gustav Jacob Jacobi (người Đức) chứng minh: Giá trị định thức x = x ( u , v) Jacobi phép đổi biến  nghịch đảo giá trị định thức Jacobi phép đổi biến ngược  y = y( u , v) 94  x 'u (u , v) x 'v (u , v)  u = u ( x , y )  '  J = det phép biến đổi trên, tức   y ( u , v) y ' ( u , v)  = v = v( x , y) v  u   u ( x , y) u 'y ( x , y)   det  v ( x , y) v ' ( x , y)  y   ' x ' x  u 'x ( x, y) u 'y ( x, y)  = ngược lại det '  v ( x , y) v ' ( x , y)  J y  x  Ví dụ 2.7 Tính tích phân I =  (3x + xy )dxdy miền D hình bình hành giới hạn D đường thẳng {x + 2y = 2, x + 2y = 4, 3x – y = 0, 3x – y = 3} Bài giải 2  x + y  Đồ thị miền D =  hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy 0  3x − y  Nếu tính tích phân hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy việc chia miền D thành miền nhỏ đường song song với trục tọa độ phức tạp (phải tìm tọa độ điểm giao đường thẳng chứa cạnh hình bình hành, sau chiếu miền D lên trục Ox trục Oy), dẫn đến việc tính tốn cồng kềnh, ta thực đổi biến cho miền D hình bình hành hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy chuyển thành miền D’ hình chữ nhật hệ tọa độ Descartes vng góc  x = u + v  x ( u , v)  2  u  u = x + y  u ( x , y )  7  D' =   Ouv phép đổi biến  0  v   v = 3x − y  v ( x , y )  y = u − v  y( u , v)  7 2  x + y  D= 0  3x − y   x ' (u, v) x 'v (u, v)  u = x + y  từ phép đổi biến  Để tìm định thức Jacobi J = det 'u ta thực '   v = 3x − y  y u ( u , v) y v ( u , v)  hai cách sau   x (u, v) x (u , v)  x= u+ v   u = x + y  7 v  = 7 = −   J = det u - Cách thứ   y ( u , v )  y ( u , v)    v = 3x − y y = u − v −     u  v 7   7  u 'x ( x, y) u 'y ( x, y)  u = x + y 1 = - Cách thứ hai   det ' = −7  J = =− '   −7 v = 3x − y  v x ( x , y) v y ( x , y)  −   Khi I =  (3x + xy )dxdy =  3x (u , v) + x (u , v) y(u , v) J dudv = D  1  D'   du  3 u + v  2   1 + 4 u + v  u − v  − dv =  7  7 95 1 du  (15u + 32uv + 4v )dv = 3  7  v2 v3    du = 15 u v + 32 u + 2   4   4v  1  u3 u2 2    15 u v + 16 uv + du = ( 45 u + 144 u + 36 ) du = 45 + 144 + 36u  = 2     0 343 343  2 1776 (15u + 72u + 36u ) = 343 343 73 2.1.2.2 Tính tích phân hai lớp tọa độ cực Tọa độ cực Hệ tọa độ cực hệ tọa độ hai chiều, điểm M mặt phẳng biểu diễn hai thành phần: Khoảng cách từ điểm tới điểm gốc O (được gọi gốc cực) gọi bán kính r  (r = điểm M trùng với điểm gốc O) góc  tạo hướng gốc cho trước (được gọi trục cực) với đường thẳng chứa OM (gọi đường thẳng OM) theo chiều dương (trục cực quay quanh gốc cực theo chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ, trùng với đường thẳng OM), trục cực thường vẽ theo chiều ngang hướng bên phải Hình sau thể mối quan hệ tọa độ Descartes (x,y) với tọa độ cực (r,) điểm mặt phẳng R2 trường hợp gốc hai hệ tọa độ trùng trục hoành Ox hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy trùng với trục cực hệ tọa độ cực phương hướng x = x (r, ) = r cos Khi đó, phép biến đổi từ tọa độ Descartes (̣x,y) sang tọa độ cực (r,)  ,  y = y(r, ) = r sin  r  hàm số lượng giác cos, sin hàm số tuần hồn có chu kỳ 2 nên với  phép biến 0    2 đổi xác định ánh xạ 1-1 tọa độ Descarter (x,y) tọa độ cực (r,) điểm mặt phẳng R2, riêng điểm gốc tọa độ O(0,0) tương ứng với r =  tùy ý Còn phép biến đổi từ tọa độ  r = r ( x, y) = x + y cực (r,) sang tọa độ Descartes (x,y)  xác định ánh xạ 1-1 tọa   = ( x, y) = arctan ( y x ) độ cực (r,) tọa độ Descartes (x,y) điểm mặt phẳng R2 Nhận xét Hệ tọa độ cực có ích trường hợp mà đó, quan hệ hai điểm mô tả dạng khoảng cách góc Trong hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy, quan hệ biểu diễn dạng cơng thức lượng giác Khi tính tích phân  f ( x , y)dxdy , hàm số mô tả biên miền D hàm số biến  D  ( x + y ) (px + qy ) (trong tham số p  q  phải có tham số có giá trị 2 96 khác 1) nên đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) tọa độ cực (r,) mở rộng, đó, việc tính tích phân này, nói chung đơn giản Đổi biến từ tọa độ Descarter (x,y) sang tọa độ cực (r,) Công thức đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) điểm M(x,y) x = x (r, ) = x + r cos  , (x0,y0) tọa độ (trong hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy) điểm  y = y ( r ,  ) = y + r sin   gốc cực hệ tọa độ cực 2  x = x (r, ) = x + r cos  r = r ( x, y) = ( x − x ) + ( y − y ) Phép biến đổi ngược    ( )  =  ( x , y ) = arctan ( y − y ) ( x − x )  y = y(r, ) = y + r sin  0  x = x (r, ) = x + r cos  Nếu r >    2 phép đổi biến  xác định ánh xạ 1-1  y = y(r, ) = y + r sin  tọa độ Descarter (x,y) tọa độ cực (r,), riêng điểm gốc cực có tọa độ (x0,y0) hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy, tương ứng với r =  tùy ý  x (r, ) x (r, )   ( x + r cos)  ( x + r cos)   cos − r sin  r   r   = = =r0 Ta có J = det  y(r, ) y(r, )   ( y + r sin )  ( y + r sin ) sin  r cos  r   r   trừ điểm gốc cực có tọa độ (x0,y0) hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy   f ( x , y)dxdy =  f ( x + r cos , y + r sin ) J drd =  rf ( x + r cos , y + r sin )drd , miền D’ D D' D' hệ tọa độ cực (r,) ảnh miền D hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy Để đơn giản, khơng tính tổng quát, trình bày sau đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,), ta cho (x0,y0) = (0,0), tức sử dụng công thức đổi biến x = x (r , ) = r cos  (điểm gốc cực hệ tọa độ cực trùng với điểm gốc hệ tọa độ Descartes vuông   y = y(r, ) = r sin  góc Oxy) Có trường hợp khác sau đây, đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) Trường hợp Điểm gốc cực hệ tọa độ cực nằm miền D g ( )       D' =    f(x, y)dxdy =  rf(rcos, rsin)drd =  d  rf(rcos, rsin)dr g1 ()  r  g () D D'  g1 (  ) Trường hợp Điểm gốc cực hệ tọa độ cực nằm biên miền D 97 Các cạnh AB, BC, CD DA hình vng ABCD nằm đường thẳng có phương trình tương ứng x – 2y = 1, 2x + y = 7, x – 2y = –4 2x + y = u = x + y Do miền E = {(x,y)R2|–4 ≤ x – 2y ≤ 1, ≤ 2x + y ≤ 7} gợi ý cho phép đổi biến   v = x − y E’ = {(u,v)R2|–4 ≤ u ≤ 1, ≤ v ≤ 7} Hàm dấu tích phân f(x,y) = (2x + y)( x – 2y)  f(u,v) = uv  u 'x u 'y  1 = Ta có det ' = −5  J = J =  v v'  − −5 y  x   1   I =  (2x + y)(x − y)dxdy =  uv J dudv =  uv dudv =   udu   vdv  = 5  −4 E E' E'    u  v   15  45 135 = −  =−  −4  2       2y 1  y  2.2 (a) I =  dy  f ( x, y)dx  I =  f ( x, y)dxdy với D =  0  x  y D Đồ thị miền D hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy 2  x  0  x  Chiếu miền D lên trục Ox D = D1D2 với D1 =  D =  ( x 2)  y  1  y  3 x  I =  f ( x , y)dxdy =  f ( x , y)dxdy +  f ( x , y)dxdy =  dx  f ( x , y)dy +  dx  f ( x , y)dy D D1 D2 0  x  f ( x , y ) dy  I = f ( x , y ) dxdy với D =  2 D  2x − x  y  2x x −x Đồ thị miền D hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy (b) I =  dx 2x 123 0  y  Chiếu miền D lên trục Oy D = D1D2D3 với D1 =  , ( y 2)  x  − − y 0  y  1  y  D2 =  D =  1 + − y  x  ( y 2)  x   I =  f ( x, y)dxdy =  f ( x, y)dxdy +  f ( x, y)dxdy +  f ( x, y)dxdy = D D1 1− 1− y y2 2 D2 D3 2 y2 1+ 1− y  dy  f (x, y)dx +  dy  f (x, y)dx +  dy  f (x, y)dx  0  y  f ( x , y ) dx = f ( x , y ) dxdy với D =   D  2− y 2 − y  x  + − y Đồ thị miền D hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy 1+ 1− y (c) I =  dy 1  x  Chiếu miền D lên trục Ox D =  2 − x  y  2x − x 2 x −x 2− x  I =  f ( x, y)dxdy =  dx D  f (x, y)dy 0  x  f ( x , y ) dy = f ( x , y ) dxdy với D =   D − − x  y  − x − 1− x Đồ thị miền D hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy 1− x (d) I =  dx −  y  Chiếu miền D lên trục Oy D =  0  x  − y 1− y −1  I =  f ( x, y)dxdy =  dy D (e) I = y  f (x, y)dy 4− y  dy  f (x, y)dx +  dy  f (x, y)dx 0  I =  f ( x, y)dxdy +  f ( x, y)dxdy =  f ( x, y)dxdy với D = D1D2 D1 D2 D 124   y  0  y  D1 =  D =  0  x  − y 0  x  y Đồ thị miền D1, miền D2 miền D hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy (miền D1) (miền D2) (D = D1D2) 0  x  Chiếu miền D lên trục Ox D =  x  y  − x 2  I =  f ( x , y)dxdy =  dx D 4− x  f (x, y)dy x 2.3 (a) Đồ thị miền D = {y = x2, x = y2} hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy Các đường parabol y = x2, x = y2 giao điểm (1,1), (–1,1), (–1,–1), (1,–1) Gọi D1 phần miền D nằm góc vng thứ hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy (x  y  0) Do tính đối xứng miền D nên diện tích S miền D lần diện tích miền D1, tức S =  dxdy = 4 dxdy D D1 0  x  Chiếu miền D1 lên trục Ox D1 =  x  y  x ( )  12   x (1 2)+1 x  x − x dx =   x − x dx =  −  = ( ) + 0    1  1  −  =  S = 4 dxdy = = 3  3 D1 x 1 x   dxdy =  dx  dy =   y x dx =    D 0 x2 (b) Đồ thị miền D = {x = 4y – y2, x + y = 6} hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy Đường parabol x = 4y – y2 đường thẳng giao điểm (3,3) điểm (4,2) 2  y  Chiếu miền D lên trục Oy D =  6 − y  x  y − y y− y2  y3  y2  S =  dxdy =  dy  dx =   y 6− y dy =  − y + 5y − dy = − + − y  =    2 D 6− y 2 (c) Đồ thị miền D = {xy = 1, x + y = 5/2} hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy 3 y− y2 ( 125 ) Đường hypecbol xy = đường thẳng x + y = 5/2 giao điểm (1/2,2) điểm (2,1/2) (1 2)  x  Chiếu miền D lên trục Ox D =  (1 x )  y  (5 2) − x (5 2)− x 1 15 5 5   S =  dxdy =  dx  dy =   − x − dx =  x − x − ln x  = − ln 2 x 2 1 D 12 1x 2 2 (d) Đồ thị miền D = {y2 = 2x, y2 = 3x, x2 = y, x2 = 4y} tứ giác cong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy  y2  y2 x2 x2 S =  dxdy với D = {y2 = 2x, y2 = 3x, x2 = y, x2 = 4y}   = 2, = 3, = 1, = 4 gợi ý x y y x  D 2  x  x 4 = x y −1 1  u = 1  u  y y   cho phép đổi biến    D' =  2 2  v  2  y  v = y = x −1 y   x x  u  x Ta có det  v  x  u   xy −1 y  = v  − x −2 y y  − x y −2 −1 2x y = −1 =  J = ( )( )   1 1  S =  J dudv =  dudv =  dudv =   du   dv  = u v = 3.1 = 3 D'    3 D' D' 2.4 - Đổi thứ tự tính tích phân Tích phân I =  dx Ta có  0  x  tính miền f ( x , y ) dy D =  2 2   8x − x  y  16 − x x −x 16− x  8x − x  y  8x − x  y   ( x − 4) + y   y  16 − x  y  16 − x  x + y  ( ) hai nửa đường trịn 8x − x  y, y  16 − x giao điểm 2,2 đồ thị miền D hệ tọa độ Descartes Oxy 126  0  y  Chiếu miền D lên trục Oy ta D = D1D2 với D1 =   0  x  − 16 − x 4−  2  y  D2 =   I =  f ( x, y)dxdy +  f ( x, y)dxdy =  dy  x  16 − y  D1 D2  16− y 16− y 2  f (x, y)dx +  dy  f (x, y)dx - Tính I với f(x,y) = 3(x +y) 16 − x 16 − x 16 − x  y2   I =  dx  3( x + y)dy = 3 dx  ( x + y)dy = 3  xy + 2   0 8x −x 8x −x 2 ( = 3 x 16 − x − x 8x − x 2  − 4x + 8)dx = 3  x 2 0 2 0 dx = 8x −x  16 − x dx − 4 ( x − 2)dx −  x 8x − x dx  = 0  2 2 = 3(I1 + I2 + I3) với I1 =  x 16 − x dx , I = −4 ( x − 2)dx I = −  x 8x − x dx + I1 =  x 16 − x dx = − 0 ( 1 16 − x d(16 − x ) = − 16 − x  20 2 0 + I = −4 ( x − 2)dx = −4 ( x − 2)d( x − 2) = − 2 0 ( x − 2) 2 2 ) = 64 −8 3 =8 + I = −  x 8x − x dx = −  [( x − 4) + 4] 16 − ( x − 4) dx = 2 = −  ( x − 4) 16 − ( x − 4) dx − 4 16 − ( x − 4) dx = I 31 + I 32 0 2 với I 31 = −  ( x − 4) 16 − ( x − 4) dx I 32 = −4 16 − ( x − 4) dx 0 * I 31 = −  ( x − 4) 16 − ( x − 4) dx =  16 − ( x − 4) 3 2     16 − ( x − 4) d 16 − ( x − 4) =  20 1 =  16 − (2 − 4) 3  − 16 − (0 − 4)   = 3 2  * I 32 = −4 16 − ( x − 4) dx x =  t = −  x = + sin t Đặt x – = 4sint    x =  t = −  dx = cos tdt −  I 32 = −4  − − − − − − 16 − (4 sin t ) cos tdt = −4  cos t.4 cos tdt = −64  cos tdt = − −  −  64  dt + cos 2tdt  = −32 t − + sin 2t −  = ( + cos t ) dt = − 32  − −    − 2   −  −   3 32  = − +8 − 32 −  3  32  64   I = 3(I1 + I + I 31 + I 32 ) = 3 − + + −  +  = 88 + 24 − 32   127 x = r cos  Cách khác: Đổi tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) phép đổi biến   y = r sin   J = r 3(x + y) = 3r(cos + sin) Tìm miền D’: + Từ tích phân cho ta có 8x − x  y  16 − x  8x − x  y  16 − x   8r cos  − r cos2   r sin   16 − r cos2  2 2  8 cos   r 8 cos   r 8r cos  − r cos   r sin      cos   r    2 2 r  16 r  16  r sin   16 − r cos         =  1 = , dễ thấy  =   + Từ đồ thị miền D ta có tan 1 = 3 2 8 cos   r   D' =   I =  dx      3  3(r cos + r sin ) J drd =  d 3 D' + Tính  (cos + sin )r dr = cos  16− x 2 16− x x −x 8x −x  f (x, y)dy =  dx  3(x + y)dy = 3  3(r cos + r sin )rdr ==  d cos  3  (cos + sin )r dr cos  cos  + sin  64 r = (cos + sin )(1 − cos3 ) = cos  3 64 64 (cos + sin )(1 − cos3 ) = (cos + sin  − cos4  − sin  cos3 ) = 3 64 cos  + sin  − 8(cos2 ) − 4(2 sin  cos ) cos2  = 64  + cos 2   + cos 2   − sin 2 cos  + sin  − 8 =  2    64 cos + sin  − 2(1 + cos 2 + cos2 2) − sin 2(1 + cos 2) = 64 (−2 + cos + sin  − cos 2 − cos2 2 − sin 2 − sin 2 cos 2) = 64  + cos 4  − sin 4  =  − + cos  + sin  − cos 2 − sin 2 −   64 (− + cos  + sin  − cos 2 − sin 2 − − cos 4 − sin 4) = 64 (− + cos  + sin  − cos 2 − sin 2 − cos 4 − sin 4) 3 64  I =  (− + cos  + sin  − cos 2 − sin 2 − cos 4 − sin 4)d = 3     3 64  (− + cos  + sin  − cos 2 − sin 2 − cos 4 − sin 4)d = 3 2 sin 4 cos 4   64 − 3 + sin  − cos  − sin 2 + cos 2 − +  = 4 3     sin 2 cos 2   64 − + sin − cos − sin  + cos  − + − 2 4   128 4 4   sin cos        + = − 64 − + sin − cos − sin + cos − 3 3 4        1 3 2  3 = 64 − + − − 2.0 − − +  − 64 −  + − − − + −  4 2 2 4      3 3 3  3   = 64 − +  + + +  = 88 + 24 − 32 64 − +  − 64 −  − −    8 8  4     2.5 Hàm sin(y2) dấu tích phân khơng có ngun hàm sơ cấp, nên khơng thể tính tích phân 1 x I =  dx  sin( y )dy theo thứ tự này, ta thay đổi thứ tự tính tích phân 1 0  x  Từ tích phân I =  dx  sin( y )dy =  sin( y )dxdy  D =  suy đồ thị miền D x  y  x D hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy y 1 y 0  y   I =  dy  sin( y )dx =   x sin( y ) dy = Chiếu miền D lên trục Oy D =    0  x  y 0 1 − cos1 2 y sin( y ) dy = sin( y ) d ( y ) = − cos( y ) = 0  20 2 2.6 (a) Giao điểm đường tròn x2 + y2 = a2 đường thẳng x + y = a (a > 0) nghiệm hệ phương x + y = a (a ,0)   D = ( x , y)  R  x  a , a − x  y  a − x trình  (0, a ) x + y = a Đồ thị miền D trong hệ tọa độ Descartes Oxy 1  Tính   (x + y)dxdy D a −x a −x  y2  I =  ( x + y)dxdy =  dx  ( x + y)dy =   xy +   a −x D a −x 0 a a a ( 1 1 −  (a − x ) d (a − x ) = − a2 − x2 20 (1 2) + Tìm a từ đẳng thức  (x + y)dxdy =  D ) +1 a dx =  x a − x dx = a ( = − a2 − x2 a =  a3 =1  a =1 3 129 a ) = a3     (b) D = (x, y)  R x + y  2ax  (x, y)  R (x − a ) + y  a (a > 0) hình trịn có bán kính a, tâm điểm có tọa độ (a,0) hệ tọa độ Descartes Oxy đồ thị Để dễ tính I =  D dxdy x +y 2   miền D = (x, y)  R x + y  2ax (a > 0), ta đổi tọa độ Descartes x = r cos sang tọa độ cực  , định thức Jacobi  y = r sin   x x     cos − r sin   r     = r  J = r J = det = det  y y  sin  r cos     r        miền D' = (r, )  R  r  2a cos ,−     (a > 0) hệ tọa độ cực 2  Miền D’ xác định sau: Đồ thị miền D’ hệ tọa độ cực (r, ) đồ thị miền D hệ tọa độ Descartes Oxy (điểm gốc hai hệ tọa độ trùng nhau) Từ đồ thị miền x = r cos   D’ dễ dàng suy −    , bán kính r, thay  vào x + y  2ax y = r sin  2  (r cos) + (r sin )  2ar cos  r (r − 2a cos)    r  2a cos Thay |J| = r biểu thức dấu tích phân I 1 f ( x , y) = = f (r cos, r sin ) = = x + y2 (r cos) + (r sin ) r vào I ta I =  D  dxdy =  rdrd =  drd =  d x + y D' r  D' −   dr =  (r a cos   − 2 a cos   )d = 2a  cos d = −        = 2a sin − sin −  = 2a.(1 + 1) = 4a    dxdy Tìm a từ đẳng thức  =  4a =  a = 2 x + y D 2a sin   −   (c) D = (x, y)  R y = x; y = 2x; y = ax (a > 0) có đồ thị hệ tọa độ Descartes Oxy 130 Parabol y2 = x giao với parabol y2 = 2x điểm (0,0); parabol y2 = x giao với đường thẳng y = ax điểm (0,0) điểm (1/a2,1/a); parabol y2 = 2x giao với đường thẳng y = ax điểm (0,0) điểm (2/a2,2/a) Từ đồ thị miền D suy diện tích S miền D S =  dxdy =  dxdy +  dxdy miền D = D1  D với D D1 D2    y2 D = ( x , y )  R  y  ,  x  y2    a    (a > 0)    y y D = ( x , y )  R  y  , x    a a a   y2 1a 2a y a 1a ( ) 2a y y a  S =  dxdy =  dxdy +  dxdy =  dy  dx +  dy  dx =   x y 2 dy +  x y 2 dy =   D D D 1a 1a y2 y2 2  y2   y y2   y y2  1 y3       y − dy + − dy = y dy + − dy = 0    a  0   a   a a 1a 2a 1a 2a 1a 2a  y2 y3  +  −  = a 2 1a 1 1   12 13  +  −  −  −  = 3a 3a   a 2a 3a  2a  a 2a Có thể tính diện tích S miền D sau S =  dxdy =  dxdy −  dxdy miền D = D1 \ D với D D1 D2    D1 = ( x, y)  R  x  a , ax  y  2x     (a > 0)  D = ( x, y)  R  x  , ax  y  x     a2   S =  dxdy =  dxdy −  dxdy = D ( D1 ) D2 ( a2  a2 2x dx a2 x  dy −  dx  dy =  ax ax a )  y x dx −  ax  1a  2 32 a   32 a     x − x  x − ax dx − x − ax dx = x − x − 0 0  3     0 2     − − −  = a   3a 2a  a  3a 1 Tìm a từ đẳng thức S =  =  a =  a = 2 2a a2 a2 1 1 y y a2   y x ax dx =  = (d) Tính tích phân I =   sin(mx )dxdy =  dy  sin(mx )dx (viết theo quy ước) Hàm số sin(mx2) dấu tích phân khơng có ngun hàm sơ cấp, nên khơng thể tính tích phân 1 y I =  dy  sin(mx )dx theo biến x trước, sau tính theo biến y; cần đổi thứ tự tính tích phân tính theo biến y trước, sau tính theo biến x Căn vào cận tích phân I miền lấy tích phân miền D hệ tọa độ Descartes Oxy, giới hạn đường thẳng {y = x, x = 1, y = 0} Ba đường thẳng cắt điểm (0,0); (1,0) (1,1) Đồ thị miền lấy tích phân hệ tọa độ Descartes Oxy 131  D = (x, y)  R    x  1,0  y  x chiếu D lên trục tọa độ Ox, ta đổi thứ tự tính tích phân Miền lấy tích phân D = (x, y)  R  y  1, y  x  chiếu D lên trục tọa độ Oy 1 x 0 I =  dy  sin(mx )dx =  dx  sin(mx )dy y Tính tích phân I với m ≠ 0, sau đổi thứ tự lấy tích phân: x 1 x I =  dx  sin(mx )dy =   y sin(mx )  dx =  x sin(mx )dx =  0  0 0 1 1 − cos m sin(mx )d(mx ) = − cos(mx ) =  2m 2m 2m 1 Tìm m ≠ từ đẳng thức   sin(mx )dxdy = 0 y  − cos m =  cos m − =  cos m =  m = 2k với kZ\{0} 2m 2.7 (a) Đồ thị khối tứ diện OABC hệ tọa độ Descartes vng góc Oxyz dxdydz với V = {(x,y,z)R3| x = 0, y = b, z = 0, x + y + z = 1} ( + x + y + z ) V Dễ thấy mặt mặt miền V (tứ diện OABC) tương ứng z1(x,y) = z2(x,y) = – x – y + Tính tích phân I =  Chiếu V lên mặt phẳng Oxy (z = 0) ta miền phẳng D OAB, cạnh AB nằm đường thẳng có phương trình x + y =  I =  dxdy D 1− x − y  dz (1 + x + y + z) 1− x − y 1− x 0  x  dz  I =  dx  dy  Chiếu miền phẳng D lên trục Ox D =  (1 + x + y + z) 0  y  − x 0 1− x − y Khi tính tích phân  dz x y số (1 + x + y + z) 132 1− x − y   dz = (1 + x + y + z) 1− x − y  d(1 + x + y + z) 1 =− (1 + x + y + z) (1 + x + y + z) 1− x − y =  1 1 1 1 −  − =  −  2 2  (1 + x + y + − x − y) 4 (1 + x + y − 0)   (1 + x + y) 1− x 1− x 1−x  1 1 dy   I =  dx   − dy = dx − dy   2     (1 + x + y) 4  (1 + x + y)  0 1− x dy  (1 + x + y) Khi tính tích phân x số 1− x 1− x 1− x d (1 + x + y) 1− x  1  1 y   I =  dx   − dy = − − dx =   (1 + x + y) 0  0  + x + y 40    1   1 1− x  x   x2  = − + − dx = − + dx = − x + ln + x  =      1+ x   4 1+ x  2 4 0 1  ln −  − + ln  = 8 16  + Tính diện tích S tam giác ABC = z 'x = −1 Tam giác ABC nằm mặt phẳng x + y + z =  z = – x – y   ' z y = −1 1− x ( ) + (z ) dxdy =  dx   S =  + z ' x ' y D 1− x 0 ( )= 1− x + (−1) + (−1) dy =  dx  dy =  y 2 1  x2   1  (1 − x )dx = 3 x −  = 31 −  = 0  2  * Tính diện tích S tam giác ABC công thức biết: ABC tam giác có cạnh theo cơng thức Heron với S = p(p − a )(p − b)(p − c) a = b = c = 2, 3  2  =     + Tính thể tích V khối tứ diện OABC: Theo ý nghĩa hình học tích phân lớp a+b+c 3 2 p= =  p−a = p−b = p−c = − 2= S= 2 2 V  (z 1− x 1− x − y 1− x 0 0 V =  dxdydz =  dx  dy  dz =  dx 1− x − y )dy =  dx  (1 − x − y)dy =  (1 − x − y) = −  dx  (1 − x − y)d (1 − x − y) = −   0   1− x 1 1− x 0 1− x   dx =  ( x − 1) dx = 20  1 ( x − 1) ( x − 1) d( x − 1) = =  20 * Tính thể tích V khối tứ diện OABC công thức biết: Thể tích V khối tứ diện 1 1 1 OABC có chiều cao |OC| = 1, diện tích S  đáy OAB S = 1.1 =  V = OC S = = 2 3 (b) Hình hộp chữ nhật {(x,y,z)R |0  x  a,  y  b,  z  c} (MQ = a, MN = b, MA = c) hệ tọa độ Descartes vng góc = 133 + Tính tích phân I =  ( x + y + z )dxdydz với V = {(x,y,z)R3|0  x  a,  y  b,  z  c} V a b c 0  I =  ( x + y + z )dxdydz =  dx  dy  ( x + y + z )dz V c Khi tính tích phân  ( x + y + z )dz x y số c  z3  c3   ( x + y + z )dz = ( x + y )z +  = c( x + y ) + 0  c 2  c3   I =  dx  c( x + y ) +  dy 3 0  b  c3  Khi tính tích phân  c( x + y ) +  dy x số 3  a b b    c3  c3  y3  c3  b3 bc + b c   c( x + y ) +  dy =  cx +  y + c  =  cx + b + c = bcx + 3 3 3 3 3  0  b a   x bc + b 3c  bc + b 3c  a bc + b 3c abc (a + b + c )      I =   bcx + x  = bc + a= dx =  bc + 3 3   0 0 + Tính thể tích hình hộp chữ nhật: Theo ý nghĩa hình học tích phân lớp a b c  a  b  c  a b c V =  dxdydz =  dx  dy  dz =   dx   dy   dz  = x y z = abc V 0     * Tính thể tích hình hộp chữ nhật cơng thức biết: V = abc a ( )( )( ) 2 1  1 (c) Ta có x + y + z  x   x −  + y + z    nên miền V hình cầu có bán kính 2  2 R = tâm điểm (1 ,0,0) Hình cầu có đồ thị hệ tọa độ Descartes vng góc Oxyz Mặt hình cầu nửa mặt cầu có phương trình z1 (x, y) = − x − x − y (z < 0), mặt hình cầu nửa mặt cầu có phương trình z (x, y) = x − x − y (z > 0) Chiếu miền V lên mặt phẳng Oxy (z = 0) ta miền D hình trịn x + y  x  2 1  1  x −  + y    có đồ thị 2  2 134  I =  ( x + y + z )dxdydz =  dxdy 2 z2 ( x ,y)  (x V D + y + z )dz =  dxdy x −x − y2  (x z1 ( x , y ) D + y + z )dz = − x −x − y2 x −x − y2     z 2 2 2 D  (x + y )z +  2 dxdy = D (x + 2x + 2y ) x − x − y dxdy − x −x − y    Để tiếp tục tính tích phân ta đổi tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) phép đổi biến x − = r cos x = + r cos 0  r   , J = r D' =  r  xác định sau:   y = r sin   y = r sin  0    2 x = + r cos Đối với biến r, ta thay  vào x + y  x  (1 + r cos) + (r sin )  +  y = r sin  r cos    r  , biến  điểm cực hệ tọa độ cực có tọa độ (1/2,0) tọa 2 1  1 độ tâm hình trịn  x −  + y    hệ tọa độ Descartes vào đồ thị miền D 2  2    2 2 12 2 1  1  1   I =  dr   + r cos + 2 + r cos  + 2(r sin )  + r cos −  + r cos  − (r sin ) J d = 0  2   2   2 12 2 12 1 dr  (1 + 2r + 3r cos) − 4r rd =  r − 4r dr  (1 + 2r + 3r cos)d =  30 30  12  r − 4r (1 + 2r ) + 3r sin   30 2 2  r (1 + 2r ) − 4r dr =  (1 + 2r ) − 4r d(r )  3 12 dr = 12 14 r = → u =   I =  (1 + 2u ) − 4u du Đổi biến u = r   r = → u = u = → v = Đổi biến v = − 4u   , u = → v = u = (1 − v ) v(3 − v ) ( + u ) − u =  du = − vdv 0 0  v(3 − v )  vdv   2    v5   3 I=  −  =  v ( v − 3)dt =  ( v − 3v )dv =  − v  = = 31 12 12    12  12 15 + Tính thể tích hình cầu: Theo ý nghĩa hình học tích phân lớp V =  dxdydz =  dxdy V D x −x − y2 z2 ( x ,y)  dz =  dxdy z1 ( x , y ) D −   2dz2 = D  z − x −x −y x −x − y2 x −x − y2 dxdy = x − x − y dxdy    D Để tính tích phân ta đổi tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) phép đổi biến x − = r cos x = + r cos 0  r   , J = r D' =  r  xác định sau:   y = r sin   y = r sin  0    2 x = + r cos Đối với biến r, ta thay  vào x + y  x  (1 + r cos) + (r sin )  +  y = r sin  135 r cos    r  , cịn biến  điểm cực hệ tọa độ cực có tọa độ (1/2,0) tọa 2 1  1 độ tâm hình trịn  x −  + y    hệ tọa độ Descartes vào đồ thị miền D 2  2    2  V = 2 D 2 2 1 2  −r  4  +1 12 12 +1 ( )   1 2  1  −   d    − r  d − r  =   4    04 2 12 1 1  + r cos  −  + r cos   − (r cos) J drd =  d  − r rdr = 2  0  1  = −2 −  =  8 Nhận xét Việc tính tích phân I =  ( x + y + z )dxdydz   f ( x, y, z)dxdydz cách 2 V V khơng đơn giản, nên để tính tích phân thuận lợi hơn, ta đổi tọa độ Descartes (x,y,z) sang tọa độ cầu (r,,) phép đổi biến x − (1 2) = r sin  cos  x = (1 2) + r sin  cos  0  r       y = r sin  sin  J = r2sin V' = 0      y = r sin  sin  z = r cos  0    2 z = r cos     2  f ( x, y, z) = x + y + z  f ((1 2) + r sin  cos , r sin  sin , r cos ) = = ((1 2) + r sin  cos) + (r sin sin ) + (r cos) = (1 4) + r sin  cos + r 1   I =  f ( x, y, z)dxdydz =   + r sin  cos + r  J drdd =  V V'   2  r2 1 2 4  + r sin  cos + r r sin drdd =  sin d  d   + r sin  cos + r dr =  4   V'  0 0 12  12 2  2  r3 r4 r5      sin  d  + sin  cos  + d  = sin  d   + sin  cos d = 0 0  12    0 60 64  0 2         0 sin  60 + 64 sin  sin   d = 30 0 sin d = − 30 cos = 15 + Tính diện tích mặt cầu Ta có x + y + z  x  z(x, y) =  x − x − y , z( x, y) = x − x − y phương trình nửa mặt cầu phía mặt phẳng Oxy (z  0) z(x, y) = − x − x − y phương trình nửa mặt cầu phía mặt phẳng Oxy (z ≤ 0) Do tính đối xứng hình cầu qua mặt phẳng Oxy (z = 0) nên diện tích S mặt cầu lần diện tích nửa mặt cầu z( x, y) = x − x − y , tức S = 2 + (z 'x ( x, y) ) + (z 'y ( x, y) ) dxdy với D D 2 1  1 hình trịn  x −  + y     x + y  x 2  2 136 ( ) ( )   x − x − y2 1 − 2x ' = z x ( x , y ) = x x − x − y2  Ta có   x − x − y2  ' − 2y z ( x , y ) = =  y y x − x − y2  2 1  + z 'x ( x, y) + z 'y ( x, y) = x − x − y2 ( ) ( ) 1 dxdy dxdy dxdy =  =    g( x, y)dxdy 2 x − x − y2 x − x − y2 D  2  D D D 1   −x −  − y 2 2  Để tính tích phân  g ( x , y)dxdy thuận lợi, ta đổi tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,)  S = 2 D 1   0  r  x − = r cos  x = + r cos  phép đổi biến  , J = r D' =   2        y = r sin  y = r sin  1 Ta có g( x, y) =  g(r cos, r sin ) = = 2 2 ( ) − ( r cos  ) − ( r sin  ) 1 1    −x −  − y 2     (1 4) − r (1 4) − r D' ( ) ( 2 − 0  S =  1 2   (1 4) − r  12 0 rdr (1 4) − r ( ) = − +1  (1 4) − r 2 d (1 4) − r  = − 2 ( − 2) +  ) ( − 2 J drd =  d  ) 12 = − .( −1) =  * Tính diện tích mặt cầu cơng thức biết: Diện tích S mặt cầu bán kính R = 2 1 S = 4R  = 4   =  2 + Tính thể tích hình cầu: Theo ý nghĩa hình học tích phân lớp      V =  dxdydz =  J drdd =  r sin drdd =   sin d   d   r dr  =   V V' V' 0     r3   2  = 2.2 =  − cos    3  24   ( )( ) * Tính thể tích hình cầu cơng thức biết: Thể tích V hình cầu bán kính R = 41  V = R 3 =    = 32 137 ... cận tích phân hai lớp, ta suy miền tính tích phân D, đổi thứ tự tính tích phân −2 x2 Ví dụ 2.4 Đổi thứ tự tính tích phân tích phân I =  dx  f ( x , y)dy 92 Bài giải −  x  Từ cận tích phân. .. hạn gọi tích phân ba lớp hàm số f(x,y,z) miền V ký hiệu  f ( x, y, z)dV ; V, f(x,y,z), dV, x, y z V gọi miền lấy tích phân, hàm số dấu tích phân, vi phân thể tích, biến tính tích phân 105... Xác định thứ tự tính tích phân theo ngun tắc: Tích phân lớp có hai cận số tính sau Bước Lần lượt tính tích phân lớp từ phải sang trái 2.2 Đổi thứ tự tính tích phân tích phân lớp sau 2y 0 (a)