Bài giảng Tích phân bội và Giải tích vectơ nhằm giúp người học có hiểu biết về tích phân hàm nhiều biến và các mối quan hệ giữa vi phân và tích phân của hàm nhiều biến, được coi là kiến thức căn bản trình độ đại học các ngành khoa học kỹ thuật. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết!
Bài giảng TÍCH PHÂN BỘI GIẢI TÍCH VECTƠ Huỳnh Quang Vũ ZZ Bài giảng Tích phân bội Giải tích vectơ Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 12 tháng năm 2022 ii Tóm tắt nội dung Đây tập giảng tích phân Riemann hàm nhiều biến Giải tích vectơ cho sinh viên ngành tốn Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Mơn tiếp nối mơn học Vi tích phân Vi tích phân 2, nhằm giúp người học có hiểu biết tích phân hàm nhiều biến mối quan hệ vi phân tích phân hàm nhiều biến, coi kiến thức trình độ đại học ngành khoa học kỹ thuật Chuẩn đầu tối thiểu trình độ dành cho sinh viên khoa học kỹ thuật [Ste12] Trình độ trung bình hướng tới nâng cao hơn, phù hợp với ngành tốn, có u cầu cao tính xác hàm lượng lí thuyết Đối với sinh viên giỏi giảng hướng tới trình độ phần tương ứng giáo trình giải tích [Rud76], [Lan97] Bài giảng có giới thiệu cơng cụ máy tính Phần tập có lí luận tính toán Bài giảng hướng tới giúp sinh viên ngành toán thấy nhu cầu phát triển tổng quát hóa xác hóa, qua giúp giải vấn đề ứng dụng Mơn học bổ ích cho việc ứng dụng mơ hình tốn học học, xác suất - thống kê, phương trình tốn - lý, giải tích, , phát triển tốn học giải tích, hình học, Dấu ✓ tập để lưu ý người đọc tập đặc biệt có ích quan trọng, nên làm Những phần có đánh dấu * tương đối khó hơn, khơng bắt buộc Có thể giáo trình cịn đọc lại sau mơn học kết thúc, phần * thể rõ ý nghĩa Hướng dẫn sơ khởi để làm số tập cần dùng phần mềm máy tính có https://sites.google.com/view/hqvu/teaching Bản tài liệu này, mã nguồn, có https://sites.google.com/view/hqvu/teaching Tài liệu dùng quyền Public Domain (CC0) http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, áp dụng được, khơng dùng quyền Creative Commons Attribution 4.0 International License http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ Huỳnh Quang Vũ Địa chỉ: Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 227 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, Thành phố Hồ Chí Minh, email: hqvu@hcmus.edu.vn, web: https://sites.google.com/view/hqvu/ Mục lục I Tích phân bội II Tích phân hình hộp Sự khả tích Tích phân tập tổng quát Công thức Fubini Công thức đổi biến Ứng dụng tích phân bội * Thay tích phân Riemann tích phân Lebesgue Giải tích vectơ 10 11 12 13 14 15 15 25 32 48 68 76 79 Tích phân đường Công thức Newton–Leibniz Công thức Green Tích phân mặt Công thức Stokes Công thức Gauss–Ostrogradsky Vài ứng dụng Giải tích vectơ * Cơng thức Stokes tổng quát 81 95 104 116 132 139 147 151 Gợi ý cho số tập 161 Tài liệu tham khảo 163 Chỉ mục 165 MỤC LỤC Phần I Tích phân bội Trong phần nghiên cứu tích phân Riemann khơng gian nhiều chiều Một phần lý thuyết tích phân cho ta lý thuyết diện tích thể tích Ý niệm chiều dài, diện tích, thể tích để đo kích thước vật có từ hàng nghìn năm trước Trong chương trình tốn phổ thơng [SGKPT] chiều dài xuất từ lớp 1, diện tích từ lớp 3, thể tích từ lớp Các khái niệm này, mà ta gọi chung thể tích, Hình học Euclid không định nghĩa mà thừa nhận tồn thỏa tính chất tổng kết từ nhu cầu đo lường sống: (a) thể tích hình số thực khơng âm, (b) thể tích hội hai hình rời tổng thể tích hai hình (“tính cộng”), (c) thể tích khơng thay đổi qua phép dời hình Với xuất tích phân, ta thấy chương trình tốn phổ thơng trung học mơn Vi tích phân 1, có mối quan hệ tích phân diện tích Trong mơn học lần xây dựng khái niệm thể tích cách chặt chẽ theo quan niệm đương đại, từ thu cách chặt chẽ số tính chất cơng thức tính tốn hiệu Cơng cụ khơng phải Hình học Euclid, mà Hình học Giải tích, với tích phân Riemann Trong mơn học nói đến khơng gian Rn , n ∈ Z+ , ta dùng cấu trúc tuyến tính, chuẩn, khoảng cách, tích Euclid, cụ thể x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn chuẩn (tức chiều dài) x ∥ x ∥ = ( x12 + x22 + · · · + xn2 )1/2 , khoảng cách x y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn ∥ x − y ∥ = ( x1 − y1 )2 + ( x2 − y2 )2 + · · · + ( x n − y n )2 1/2 , tích x với y ⟨ x, y⟩ = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn Phát triển nhắm tới tương thích chứa trường hợp số chiều n = 1, n = 2, n = mà ta học trung học phổ thơng, người học gặp khó khăn với trường hợp tổng qt trước tiên xét trường hợp Tích phân hình hộp Tích phân khơng gian nhiều chiều phát triển tương tự tích phân chiều Do ý quen thuộc khơng khó, người đọc xem lại phần tích phân chiều để dễ theo dõi Hình 1.1: Xấp xỉ diện tích tập bên đồ thị diện tích hình chữ nhật Trước hết ta xét cách tiếp cận quen thuộc hình học Cho I hình hộp, cho hàm f : I → R Giả sử hàm f có giá trị khơng âm Ta muốn tìm “thể tích” khối bên đồ thị hàm f bên hình hộp I Ta chia nhỏ hình hộp I hình hộp Ta chờ đợi hình hộp nhỏ đồ thị hàm f thay đổi nhờ ta xấp xỉ thể tích khối thể tích hình hộp với đáy hình hộp chiều cao chiều cao điểm định đồ thị bên hình hộp Ta xấp xỉ thể tích khối tổng thể tích hình hộp, xem Hình 1.1 Hình 1.2 Ta hy vọng ta chia mịn xấp xỉ tốt hơn, qua giới hạn số hình hộp tăng vơ hạn ta giá trị thể tích Tiếp theo cách tiếp cận khác Ta muốn tính “tổng giá trị” hàm f hình hộp I Ta chia nhỏ hình hộp I hình hộp Ta chờ đợi hình hộp nhỏ giá trị hàm f thay đổi nhờ ta xấp xỉ giá trị f giá trị f điểm định hình hộp đó, tổng giá trị hàm xấp xỉ số nhân với thể tích hình hộp Ta xấp xỉ tổng giá trị f tổng giá trị xấp xỉ tất hình hộp Ta hy vọng ta 15 * CÔNG THỨC STOKES TỔNG QUÁT 153 phần tử tập hợp nào? Quan hệ chúng sao? Dạng vi phân bậc Xét không gian Rn Giả sử x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn Lạm dụng kí hiệu ta xi hàm cho tọa độ thứ i x, tức hàm ( x1, x2 , , xn ) → xi Khi ta định nghĩa dạng vi phân dxi đạo hàm hàm xi Tức dxi = dxi ! Vậy dxi hàm Rn Tại điểm x ∈ Rn , giá trị dxi ( x ) ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R, đại diện vectơ (0, 0, , 0, 1, 0, , 0) số nằm tọa độ thứ i Tổng quát hơn, f : Rn → R hàm trơn đạo hàm d f f dạng vi phân Rn Tại điểm x d f ( x ) ánh xạ tuyến tính ∂f ∂f ∂f từ Rn vào R, đại diện vectơ ∂x ( x ), ∂x2 ( x ), , ∂xn ( x ) Từ ta có đẳng thức: d f (x) = ∂f ∂f ∂f ( x )dx1 ( x ) + ( x )dx2 ( x ) + · · · + ( x )dxn ( x ) ∂x1 ∂x2 ∂xn hay ngắn gọn hơn: df = ∂f ∂f ∂f dx2 + · · · + dxn dx1 + ∂x1 ∂x2 ∂xn Trong trường hợp chiều công thức là: d f = f ′ dx Khác với mơ hồ ta thấy công thức lần đầu học vi phân giáo trình tốn giải tích trung học hay năm đầu đại học, thứ cơng thức có nghĩa xác Ta định nghĩa dạng vi phân bậc Rn hàm cho tương ứng điểm với ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R, cho công thức f dx1 + f dx2 + · · · + f n dxn f , , f n hàm trơn Ví dụ Trên R2 , dạng bậc cho công thức Pdx + Qdy P, Q hàm trơn R2 154 Tích dạng vi phân Người ta định nghĩa phép nhân dạng vi phân, thường kí hiệu ∧ (wedge - tích chèn), ta bỏ qua kí hiệu cho đơn giản Phép nhân dạng vi phân có tính phân phối với phép cộng Nó cịn có tính chất đặc biệt, tính phản đối xứng: dxdy = −dydx Một hệ dxdx = Ví dụ Khi n = 2: Ta có dxdy dạng vi phân bậc Tại điểm p ∈ R2 , giá trị dxdy( p) ánh xạ mà tác động vào cặp vectơ u, v ∈ R2 cho det(u, v), diện tích có hướng hình bình hành sinh u v Vì có lẽ khơng q ngạc nhiên ta biết kí hiệu dA dxdy: dA = dxdy Ví dụ Khi n = 3: Ta có dxdydz dạng vi phân bậc Tại điểm p ∈ R3 , giá trị dxdydz( p) ánh xạ mà tác động vào vectơ u, v, w ∈ R3 cho det(u, v, w), diện tích có hướng hình bình hành sinh u, v w Kí hiệu dV dxdydz: dV = dxdydz Tổng quát hơn, p ∈ Rn dx1 dx2 · · · dxn ( p) = det, dạng thể tích dV Rn dV = dx1 dx2 · · · dxn Với ≤ i1 , i2 , , ik ≤ n dxi1 dxi2 · · · dxik dạng bậc k Tổng hai dạng bậc k dạng bậc k Tích hàm trơn với dạng bậc k dạng bậc k Ta định nghĩa dạng vi phân bậc k Rn tổng hữu hạn dạng f dxi1 dxi2 · · · dxik Ví dụ Một dạng bậc R3 có cơng thức Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, P, Q, R hàm trơn R3 Ở chưa bàn tới dạng vi phân nội đường, mặt, hay tổng quát tập "k-chiều" Rn Vì ta chưa có hội giải thích dạng ds, dS, 15 * CÔNG THỨC STOKES TỔNG QUÁT 155 Tích phân dạng vi phân Theo định nghĩa dạng vi phân bậc n Rn tổng hữu hạn dạng f dx1 dx2 · · · dxn Rất đơn giản, ta định nghĩa tích phân dạng f dx1 dx2 · · · dxn tập D Rn tích phân bội hàm f D Định nghĩa dùng cho tập D "n-chiều" Rn Nếu tập D có số chiều k < n (ví dụ đường, mặt Rn ) cần có định nghĩa khác dành riêng cho số chiều k Như ta thấy qua tích phân đường tích phân mặt, định nghĩa dùng tới việc "kéo lui" dạng D dạng k-chiều Rk , lấy tích phân Chi tiết phức tạp, nên ta dừng lại Đạo hàm dạng vi phân Người ta định nghĩa phép đạo hàm dạng Phép tính có tính tuyến tính, nên xác định công thức: d( f dxi1 dxi2 · · · dxik ) = (d f )dxi1 dxi2 · · · dxik ∂f ∂f ∂f dx1 + dx2 + · · · + dxn dxi1 dxi2 · · · dxik = ∂x1 ∂x2 ∂xn Như đạo hàm dạng bậc k dạng bậc (k + 1) Ví dụ Trên R2 xét dạng w = Pdx + Qdy Ta có dw = ∂P ∂P dx + dy dx + ∂x ∂y ∂Q ∂Q dx + dy dy = ∂x ∂y ∂Q ∂P − ∂x ∂y dxdy Ví dụ Trên R3 xét dạng w = Pdx + Qdy + Rdz Ta có ∂P ∂P ∂P ∂Q ∂Q ∂Q dx + dy + dz dx + dx + dy + dz dy + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂R ∂R ∂R + dx + dy + dz dz ∂x ∂y ∂z ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P = − dydz + − dzdx + − dxdy ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y dw = Chú ý thành phần dw thành phần curl( P, Q, R) 156 Ví dụ Trên R3 xét dạng w = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy Ta có ∂P ∂P ∂P ∂Q ∂Q ∂Q dx + dy + dz dydz + dx + dy + dz dzdx + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂R ∂R ∂R dx + dy + dz dxdy + ∂x ∂y ∂z ∂P ∂Q ∂R + + dxdydz = ∂x ∂y ∂z dw = Thành phần dạng dw div( P, Q, R) Tương ứng hàm dạng hàm thực f dạng bậc không f trường ( P, Q, R) dạng bậc Pdx + Qdy + Rdz trường bảo toàn dạng bậc mà đạo hàm dạng bậc không trường curl( P, Q, R) dạng bậc hai ∂P ∂z hàm div( P, Q, R) − ∂R ∂x ∂R ∂y dzdx + dạng bậc ba ∂P ∂x ∂Q ∂z dydz + ∂Q ∂P ∂x − ∂y dxdy ∂Q ∂R ∂y + ∂z dxdydz − + Ví dụ Tính d(d f ) ta được: d(d f ) = d = ∂f ∂f ∂f dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∂2 f − dydz + − ∂y∂z ∂z∂y ∂z∂x ∂x∂z dzdx + ∂2 f ∂2 f − ∂x∂y ∂y∂x Vậy f trơn cấp hai d(d f ) = Đây khơng khác hệ thức curl(∇( f )) = Ví dụ Nếu ta lấy w = Pdx + Qdy + Rdz tính dw = ∂Q ∂Q ∂P ∂R ∂P ∂R ∂y − ∂z dydz + ∂z − ∂x dzdx + ∂x − ∂y dxdy, tương ứng với trường curl( P, Q, R), d(dw) = ∂2 R ∂2 Q ∂2 P ∂2 R ∂2 Q ∂2 P − + − + − ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y dxdydz Nếu trường ( P, Q, R) trơn cấp hai d(dw) = Đây hệ thức div(curl( F )) = Tổng quát, tích hai ánh xạ đạo hàm d nối tiếp không: d2 = dxdy 15 * CÔNG THỨC STOKES TỔNG QUÁT 157 Bổ đề Poincaré tổng quát Ta thấy w = du dw = Điều ngược lại nội dung bổ đề Poincaré tổng quát: Trên miền mở hình Rn , w dạng bậc k dw = tồn dạng u bậc k − cho du = w Công thức Stokes tổng quát Công thức Stokes tổng quát Rn : w= ∂M M dw • Cơng thức Newton–Leibniz ứng với trường hợp w dạng bậc không f M tập 1-chiều R (đoạn thẳng) • Cơng thức Green ứng với trường hợp w dạng bậc Pdx + Qdy M tập 2-chiều R2 • Cơng thức Stokes ứng với trường hợp w dạng bậc Pdx + Qdy + Rdz M tập 2-chiều R3 (mặt) • Cơng thức Gauss–Ostrogradsky ứng với trường hợp w dạng bậc hai Pdydz + Qdzdx + Rdxdy M tập 3-chiều R3 (khối) Bài tập 15.2 (công thức Green) Đây hệ công thức Stokes 15.1 Với giả thiết Ω, ta viết pháp tuyến đơn vị v = (v1 , v2 , , ) Chứng minh công thức sau (xem 10.16 13.11): (a) ∂f Ω ∂xi (b) ∂f g Ω ∂xi (c) dx = dx = ∂Ω f vi dS Giả sử hàm thực f thuộc lớp C1 (Ω) ∂Ω f gvi dS − Ω f ∂xi dx Giả sử f g thuộc lớp C1 (Ω) ∂g ∂f = ∇ f · v, đạo ∂v hàm f theo hướng v Nhắc lại toán tử Laplace ∆ cho ∆ f = Ω ∆ f dx = ∑in=1 ∂f ∂Ω ∂v dS Giả sử f thuộc lớp C2 (Ω) Ta viết ∂2 f ∂xi2 ∂g (d) Ω ∇ f · ∇ g dx = (e) Ω ( f ∆g − g∆ f ) dx = ∂Ω f ∂v dS − ∂g ∂Ω Ω f ∆g dx Giả sử f g thuộc lớp C2 (Ω) ∂f f ∂v − g ∂v dS 158 15.3 (diện tích mặt cầu) * Gọi Sn ( R) mặt cầu n-chiều tâm với bán kính R, biên cầu B′(n+1) ( R) tâm bán kính R Hãy dùng 15.1 để tính diện tích (nói cách khác, thể tích n-chiều) Sn ( R) 15 * CƠNG THỨC STOKES TỔNG QUÁT 159 Hướng dẫn học thêm Để trình bày chặt chẽ nội dung tích phân đường mặt tổng quát hóa cho nhiều chiều cần nghiên cứu hai lãnh vực: đa tạp vi phân (differential manifolds) (tổng quát hóa đường mặt), dạng vi phân (differential forms) (tổng quát hóa trường vectơ) Quyển sách nhỏ Spivak [Spi65] giáo trình kinh điển Quyển sách Munkres [Mun91] xuất sau, có nội dung tương tự có nhiều chi tiết Một tài liệu hay gần tập giảng [Sja06] Một tiếp cận khác vấn đề tích phân tập không gian Euclid trình bày lý thuyết độ đo hình học (Geometric Measure Theory), đọc [Mor00] Như gợi ý, Giải tích vectơ ứng dụng trực tiếp vào vật lý ngành toán học liên quan [Arn89], khảo sát phương trình vật lý tốn, thường phương trình đạo hàm riêng [Eva97] 160 Gợi ý cho số tập 2.16 Giả sử x ∈ [0, 1] số vô tỉ { pn /qn }n∈Z+ dãy số hữu tỉ hội tụ x Nếu dãy {qn }n∈Z+ không tiến vơ có số thực M dãy {qnk }k∈Z+ cho qnk < M với k ∈ Z+ Dãy { pnk /qnk }k∈Z+ gồm hữu hạn giá trị 2.17 Tập hợp số hữu tỉ đếm 4.29 Dùng công thức Fubini hai lần, ý điều kiện áp dụng 4.24 Giả sử phương mặt cắt phương trục tọa độ Trường hợp tổng quát dùng phép xoay dùng 5.32 4.30 (b) Dùng ý 1.13 (4 − x2 − 2y2 )/3 với ( x, y) thuộc hình e-líp x2 + 2y2 ≤ Vì e-líp có diện tích hàm f liên tục, nên hàm f khả tích, đồ thị f tích khơng R3 Tương tự nửa mặt tích khơng, e-líp tích khơng, nên khối e-líp tích 5.16 Nửa mặt e-líp đồ thị hàm z = f ( x, y) = 5.18 Chú ý miền D đối xứng qua trục Oy Có thể có kết mà khơng cần tính trực tiếp tích phân Để giải thích xác dùng phép đổi biến x → − x 5.26 Để xét tính tích dễ dàng xét hình lăng trụ đứng trước (một hình lăng trụ nghiêng biến thành hình lăng trụ đứng cách dùng biến đổi tuyến tính khơng gian mang ⃗v thành vectơ (⃗v ·⃗k)⃗k trục đứng) Dùng 4.9 5.27 Để xét tính tích dễ dàng xét hình chóp cân trước (một hình chóp đáy hình trịn biến thành hình chóp cân cách dùng biến đổi tuyến tính không gian) Dùng 4.9 Dùng công thức đổi biến để tính diện tích mặt cắt theo diện tích mặt đáy 5.37 Đặt A vào tập mở U Mở rộng f thành F tập φ(U ) áp dụng công thức đổi biến cho F 161 162 6.7 Đổi đơn vị giá sang triệu đồng/km2 8.12 Dùng cơng thức Frénét Giả sử với s Dγ(s) ⊂ B(γ(s), k(1s) ), với k (s) = | T ′ (s)| > độ cong đường γ γ(s) Dùng 6.5 Có thể đọc thêm báo R Osserman, Mathematics of the Gateway Arc, Notices of the AMS, vol 57, no 2, 2010, p 225 9.14 Tính liên thơng thảo luận sâu tài liệu Tôpô, chẳng hạn [Vutop] 9.15 Xem kĩ thuật phần chứng minh 8.6 10.11 Dùng công thức Green cho miền không đơn giản 10.17 Dùng tập 10.6 10.19 Dùng tính liên thơng D kĩ thuật tập 1.13 10.21 Tham khảo tập 9.14 Trên tập mở Rn tính liên thơng tính liên thơng đường trùng nhau, xem chẳng hạn [Vutop] 10.24 Dùng kĩ thuật tập 1.13 √ 11.21 Mặt nón cân mặt trịn xoay Diện tích πR R2 + h2 11.22 Dùng tính đối xứng Tương tự 5.18 14.1 Tương tự tập 10.24 Tài liệu tham khảo [Ang97] Đặng Đình Áng, Lý thuyết tích phân, Nhà Xuất Bản Giáo Dục, 1997 65, 78 [Apo69] Tom M Apostol, Calculus, vol 2, John Wiley and Sons, 1969 [Arn89] Vladimir I Arnold, Mathematical methods of classical mechanics, 2nd ed., Springer, 1989 159 [Buc78] Greighton Buck, Advanced calculus, 3rd ed., McGraw-Hill, 1978 [Eva97] Lawrence C Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., AMS, 1997 151, 159 [Fey64] Richard P Feynman, Robert B Leighton, Mathew Sands, The Feynman’s lectures in Physics, vol 2, Addison-Wesley, 1964 149 [Fol01] Gerald B Folland, Advanced Calculus, Pearson, 2001 13 [GT01] David Gilbarg and Neil S Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, 2001 151 [Kap02] Wilfred Kaplan, Advanced calculus, 5th ed., Addison-Wesley, 2002 [Kel29] Oliver Dimon Kellogg, Foundations of potential theory, Springer, 1929 107 [Khu10] Nguyễn Văn Kh, Lê Mậu Hải, Giải tích tốn học, tập 2, Nhà Xuất Bản Đại học Sư phạm Hà Nội, 2010 [Lan97] Serge Lang, Undergraduate analysis, 2nd ed., Springer, 1997, a revision of Analysis I, Addison-Wesley, 1968 ii, 14, 15, 21, 48, 60, 61, 65 [LDP02] Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phượng, Giải tích hàm nhiều biến, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002 163 164 TÀI LIỆU THAM KHẢO [Mor00] Frank Morgan, Geometric measure theory: A beginner’s guide, Academic Press, 2000 159 [MT03] Jerrold E Marsden and Anthony J Tromba, Vector calculus, Freeman, 2003 [Mun91] James Munkres, Analysis on manifolds, Addison-Wesley, 1991 61, 66, 159 [Mun00] James Munkres, Topology a first course, 2nd ed., Prentice-Hall, 2000 127 [PTT02] Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Công Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo trình giải tích - hàm nhiều biến, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2002 [Rud76] Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976 ii, 61, 78 [Rud86] Walter Rudin, Real and complex analysis, 3rd ed., McGraw Hill, 1986 78 [SGKPT] Bộ Giáo dục Đào tạo, Sách giáo khoa môn toán lớp tới lớp 12, Nhà xuất Giáo dục, 2019 5, 41 [Sja06] Reyer Sjamaar, Manifolds and differential forms, 2006, Cornell University 109, 159 [Spi65] Michael Spivak, Calculus on manifolds, Addison-Wesley, 1965 50, 61, 159 [Spi94] Michael Spivak, Calculus, 3rd ed., Publish or Perish, 1994 67 [Ste12] James Stewart, Calculus: Early transcendentals, 7th ed., Brooks/Cole, 2012 ii, 60, 88 [TTQ11] Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Phạm Hoàng Qn, Giáo trình Giải tích 2, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2011 15, 48 [VuSto] Huỳnh Quang Vũ, Dạng vi phân Công thức Stokes, https://sites.google.com/view/hqvu/teaching 60, 151 [Vutop] Huỳnh Quang Vũ, Lecture notes on Topology, https://sites.google.com/view/hqvu/teaching 162 [Zor04] Vladimir A Zorich, Mathematical Analysis II, Springer, 2004 TÀI LIỆU THAM KHẢO 165 Chỉ mục Định lý tích phân đường, cơng thức tích phân phần, 113 95 curl, 132 độ đo Lebesgue, 76 dạng vi phân, 152 độ đo không, 19 div, 110, 139 độ cong, 94 động năng, 97 giá trị qui, 102 đạo hàm theo hướng, 113 giá trị trung bình, 68 định lý hàm ngược, 50 định luật Faraday, 138 khắp nơi, 19 đường đi, 81 hình hộp, đóng, 81 con, đơn, 81 thể tích, định hướng, 88 hình sao, 107 qui, 87 hàm đặc trưng, 26 liên tục, 82 hàm điều hòa, 114, 145 trái định hướng, 88 hàm đo Lebesgue, 77 vết, 81 hàm Gamma, 74 đường qui khúc, 139 hàm mật độ, 68 đường cong, 88 hàm thế, 95 hướng tiếp tuyến, 90 đa tạp trơn, 152 bổ đề Poincaré, 107, 136, 157 công thức đổi biến, 50 công thức Divergence, 139 công thức Fubini, 33 công thức Gauss–Ostrogradsky, 139 hệ săn mồi-con mồi, 114 khối ống, 94 khối đơn giản với biên trơn mảnh, 139 khối lăng trụ, 64 khối nón, 65 khả tích, 11 khả vi liên tục, 48 công thức Green, 104, 110, 113, 145, khả vi khúc, 84 157 công thức Newton–Leibniz, 95 mặt, 116 công thức Pappus, 75 định hướng, 122 công thức Stokes, 133, 151, 157 đơn, 123 166 CHỈ MỤC biên, 124 qui, 124 hướng lên, 124 vết, 117 ma trận Jacobi, 48 miền, 25 miền đơn giản, 36, 38 phép đổi biến, 49 phép chia, khoảng con, mịn hơn, 10 phân hoạch, phương pháp cắt lớp, 32 qui tắc bàn tay phải, 116 tích phân, 11 tích phân đường độc lập với đường đi, 95 loại hai, 85 loại một, 83 tích phân lặp, 32 tích phân Lebesgue, 77 tích phân mặt loại hai, 120 loại một, 119 tích phân phần, 157 tập mức, 102 tọa độ cầu, 56 tọa độ trụ, 55 tổng dưới, 10 tổng Riemann, tổng trên, 10 năng, 97 thông lượng, 110, 120 thể tích, 26 thể tích khơng, 16 toán tử Laplace, 113 trơn, 48 167 đường đi, 82 trường bảo tồn, 95 gradient, 95 vectơ tích có hướng, 116 vectơ gradient, 48 vectơ pháp tuyến ngoài, 109 vi đồng phôi, 49 đảo ngược định hướng, 51, 121 bảo toàn định hướng, 51, 86, 121 xấp xỉ dưới, 10 xấp xỉ trên, 10 ... Bài giảng Tích phân bội Giải tích vectơ Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 12 tháng năm 2022 ii Tóm tắt nội dung Đây tập giảng tích phân Riemann hàm nhiều biến Giải tích vectơ cho sinh viên... Ứng dụng tích phân bội * Thay tích phân Riemann tích phân Lebesgue Giải tích vectơ 10 11 12 13 14 15 15 25 32 48 68 76 79 Tích phân đường ... tất kết tích phân hàm biến có Giải tích 1, chẳng hạn cơng thức Newton– Leibniz để tính tích phân Khi n = ta có tích phân bội hai, thường viết I f ( x, y ) dxdy Khi n = ta có tích phân bội ba,