Bài giảng Tích phân bội và Giải tích vectơ

Bài giảng TÍCH PHÂN BỘI GIẢI TÍCH VECTƠ Huỳnh Quang Vũ ZZ Bài giảng Tích phân bội Giải tích vectơ Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 12 tháng năm 2022 ii Tóm tắt nội dung Đây tập giảng tích phân Riemann hàm nhiều biến Giải tích vectơ cho sinh viên ngành tốn Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Mơn tiếp nối mơn học Vi tích phân Vi tích phân 2, nhằm giúp người học có hiểu biết tích phân hàm nhiều biến mối quan hệ vi phân tích phân hàm nhiều biến, coi kiến thức trình độ đại học ngành khoa học kỹ thuật Chuẩn đầu tối thiểu trình độ dành cho sinh viên khoa học kỹ thuật [Ste12] Trình độ trung bình hướng tới nâng cao hơn, phù hợp với ngành tốn, có u cầu cao tính xác hàm lượng lí thuyết Đối với sinh viên giỏi giảng hướng tới trình độ phần tương ứng giáo trình giải tích [Rud76], [Lan97] Bài giảng có giới thiệu cơng cụ máy tính Phần tập có lí luận tính toán Bài giảng hướng tới giúp sinh viên ngành toán thấy nhu cầu phát triển tổng quát hóa xác hóa, qua giúp giải vấn đề ứng dụng Mơn học bổ ích cho việc ứng dụng mơ hình tốn học học, xác suất - thống kê, phương trình tốn - lý, giải tích, , phát triển tốn học giải tích, hình học, Dấu ✓ tập để lưu ý người đọc tập đặc biệt có ích quan trọng, nên làm Những phần có đánh dấu * tương đối khó hơn, khơng bắt buộc Có thể giáo trình cịn đọc lại sau mơn học kết thúc, phần * thể rõ ý nghĩa Hướng dẫn sơ khởi để làm số tập cần dùng phần mềm máy tính có https://sites.google.com/view/hqvu/teaching Bản tài liệu này, mã nguồn, có https://sites.google.com/view/hqvu/teaching Tài liệu dùng quyền Public Domain (CC0) http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, áp dụng được, khơng dùng quyền Creative Commons Attribution 4.0 International License http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ Huỳnh Quang Vũ Địa chỉ: Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 227 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, Thành phố Hồ Chí Minh, email: hqvu@hcmus.edu.vn, web: https://sites.google.com/view/hqvu/ Mục lục I Tích phân bội Tích phân hình hộp Sự khả tích Tích phân tập tổng quát Công thức Fubini Công thức đổi biến Ứng dụng tích phân bội * Thay tích phân Riemann tích phân Lebesgue II Giải tích vectơ 10 11 12 13 14 15 15 25 32 48 68 76 79 Tích phân đường Công thức Newton–Leibniz Công thức Green Tích phân mặt Công thức Stokes Công thức Gauss–Ostrogradsky Vài ứng dụng Giải tích vectơ * Cơng thức Stokes tổng quát 81 95 104 116 132 139 147 151 Gợi ý cho số tập 161 Tài liệu tham khảo 163 Chỉ mục 165 MỤC LỤC Phần I Tích phân bội Trong phần nghiên cứu tích phân Riemann khơng gian nhiều chiều Một phần lý thuyết tích phân cho ta lý thuyết diện tích thể tích Ý niệm chiều dài, diện tích, thể tích để đo kích thước vật có từ hàng nghìn năm trước Trong chương trình tốn phổ thơng [SGKPT] chiều dài xuất từ lớp 1, diện tích từ lớp 3, thể tích từ lớp Các khái niệm này, mà ta gọi chung thể tích, Hình học Euclid không định nghĩa mà thừa nhận tồn thỏa tính chất tổng kết từ nhu cầu đo lường sống: (a) thể tích hình số thực khơng âm, (b) thể tích hội hai hình rời tổng thể tích hai hình (“tính cộng”), (c) thể tích khơng thay đổi qua phép dời hình Với xuất tích phân, ta thấy chương trình tốn phổ thơng trung học mơn Vi tích phân 1, có mối quan hệ tích phân diện tích Trong mơn học lần xây dựng khái niệm thể tích cách chặt chẽ theo quan niệm đương đại, từ thu cách chặt chẽ số tính chất cơng thức tính tốn hiệu Cơng cụ khơng phải Hình học Euclid, mà Hình học Giải tích, với tích phân Riemann Trong mơn học nói đến khơng gian R n , n ∈ Z + , ta dùng cấu trúc tuyến tính, chuẩn, khoảng cách, tích Euclid, cụ thể x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ R n chuẩn (tức chiều dài) x ∥ x ∥ = ( x12 + x22 + · · · + xn2 )1/2 , khoảng cách x y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ R n 1/2  ∥ x − y ∥ = ( x1 − y1 )2 + ( x2 − y2 )2 + · · · + ( x n − y n )2 , tích x với y ⟨ x, y⟩ = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn Phát triển nhắm tới tương thích chứa trường hợp số chiều n = 1, n = 2, n = mà ta học trung học phổ thông, người học gặp khó khăn với trường hợp tổng quát trước tiên xét trường hợp Tích phân hình hộp Tích phân không gian nhiều chiều phát triển tương tự tích phân chiều Do ý quen thuộc khơng khó, người đọc xem lại phần tích phân chiều để dễ theo dõi Hình 1.1: Xấp xỉ diện tích tập bên đồ thị diện tích hình chữ nhật Trước hết ta xét cách tiếp cận quen thuộc hình học Cho I hình hộp, cho hàm f : I → R Giả sử hàm f có giá trị khơng âm Ta muốn tìm “thể tích” khối bên đồ thị hàm f bên hình hộp I Ta chia nhỏ hình hộp I hình hộp Ta chờ đợi hình hộp nhỏ đồ thị hàm f thay đổi nhờ ta xấp xỉ thể tích khối thể tích hình hộp với đáy hình hộp chiều cao chiều cao điểm định đồ thị bên hình hộp Ta xấp xỉ thể tích khối tổng thể tích hình hộp, xem Hình 1.1 Hình 1.2 Ta hy vọng ta chia mịn xấp xỉ tốt hơn, qua giới hạn số hình hộp tăng vơ hạn ta giá trị thể tích Tiếp theo cách tiếp cận khác Ta muốn tính “tổng giá trị” hàm f hình hộp I Ta chia nhỏ hình hộp I hình hộp Ta chờ đợi hình hộp nhỏ giá trị hàm f thay đổi nhờ ta xấp xỉ giá trị f giá trị f điểm định hình hộp đó, tổng giá trị hàm xấp xỉ số nhân với thể tích hình hộp Ta xấp xỉ tổng giá trị f tổng giá trị xấp xỉ tất hình hộp Ta hy vọng ta CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN 57 a, b > Viết lại công thức dạng  x − x0 a 2 +  y − y0 b 2 ≤ 1, ta thấy làm phép đổi biến x − x0 a y − y0 v= b u= Phép đổi biến đưa hình bầu dục hình trịn u2 + v2 ≤ Đây chẳng qua phép tịnh tiến tâm hình bầu dục gốc tọa độ hợp với phép co dãn (vị tự) trục tọa độ biến hình bầu dục thành hình trịn Ta tính dxdy, từ dudv = ab |D| = ZZ D dxdy = ZZ u2 + v2 ≤1 · ab dudv = ab ZZ u2 + v2 ≤1 dudv = abπ RR x−2y Ví dụ Tính R 3x−y dA R hình bình hành bao đường thẳng x − 2y = 0, x − 2y = 4, 3x − y = 1, 3x − y = Đặt u = x − 2y v = 3x − y Miền bao đường thẳng u = 0, u = 4, v = 1, v = hình chữ nhật D = [0, 4] × [1, 8] mặt phẳng (u, v) y v R D x u Vì ∂(u, v) = det ∂( x, y) ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂y ∂v ∂y ! −2 = det −1 ! = ̸= nên ánh xạ ( x, y) 7→ (u, v) phép đổi biến từ phần D sang phần R Biên D R không ảnh hưởng đến tích phân chúng có diện tích khơng ta lấy tích phân hàm liên tục (xem 3.8) Chú ý 1 ∂( x, y) = ∂(u,v) = ∂(u, v) ∂( x,y) 58 Công thức đổi biến cho: ZZ R u ∂( x, y) dudv D v ∂ ( u, v )  ZZ Z Z u u dudv = dv du = ln = Dv 5 v x − 2y dxdy = 3x − y ZZ 5.4 Ví dụ (thể tích hình bình hành) Trước hết xét trường hợp hai chiều, ta tính diện tích hình bình hành sinh hai vectơ a = ( a1 , a2 ) b = (b1 , b2 ), xem hình 5.5 b α  b· a | a|  a | a| a Hình 5.5: Diện tích hình bình hành sinh hai vectơ  “Chiều cao” hình bình hành chiều dài vectơ b − b · a | a|  a | a| (là b trừ cho vectơ chiếu vng góc b lên Nhân vơ hướng vectơ √ a) 2 | a| |b| −( a·b)2 Lý luận diện với ta chiều dài | a| tích hình bình hành q chiều dài cạnh đáy nhân chiều cao, ta thu diện tích | a |2 | b |2 − ( a · b )2 Ta cho diện tích hình bình hành hai lần diện tích tam giác sinh a b, | a| |b| sin α = q | a| |b| (1 − cos2 α) = q 2 | a| |b| − | a| |b| cos2 α = q | a |2 | b |2 − ( a · b )2 Bây ta tính q | a| |b| − ( a · b )2 = q q ( a21 + a22 )(b12 + b22 ) − ( a1 b1 + a2 b2 )2 ( a1 b2 − a2 b1 )2 = | a1 b2 − a2 b1 | ! a1 b1 | = |det( a, b)| = | det a2 b2 = (5.6) CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN 59 Vậy diện tích hình bình hành sinh hai vectơ a b |det( a, b)| Người đọc kỹ tính thắc mắc lý luận có dùng điều chưa thiết lập lý thuyết Đây phản đối xác đáng, lý luận chưa phải chứng minh mà minh họa cho công thức đổi biến Xem thêm tập 5.33 5.35 Dưới ta rút cơng thức tính thể tích hình bình hành từ cơng thức đổi biến tích phân Tổng quát xét phép đổi biến tuyến tính cho T (ei ) = vi , ≤ i ≤ n tác động lên hình hộp (0, 1)n Vì T tuyến tính nên T ((0, 1)n ) = { T n ∑ α i ei i =1 ! n = ∑ α i T ( ei ) = i =1 n ∑ αi vi | ≤ i ≤ n, < αi < 1} = X i =1 hình bình hành (mở) sinh vectơ vi Áp dụng công thức đổi biến 5.2 cho hàm 1, phép đổi biến T, ý T tuyến tính nên T ′ = T, ta |X| = Z X 1= Z (0,1)n ◦ T | det T ′ | = | det T | Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính T ma trận tọa độ vectơ vi , thể tích hình bình hành sinh n vectơ v1 , , R n | det(v1 , , )| Ta vừa cách giải thích ý nghĩa hình học định thức: giá trị tuyệt đối định thức ma trận thể tích hình bình hành sinh vectơ cột ma trận Bản thân dấu định thức giải thích, ta gác việc lại Trong trường hợp riêng ba chiều, thể tích hình bình hành sinh ba vectơ a = ( a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ), c = (c1 , c2 , c3 ) trị tuyệt đối định thức ma trận   a1 b1 c1    a2 b2 c2  a3 b3 c3 Định thức ma trận ( a2 b3 − a3 b2 )c1 + ( a3 b1 − a1 b3 )c2 + ( a1 b2 − a2 b1 )c3 = ( a × b) · c a × b tích có hướng a với b, cho a × b = ( a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ) Một chứng minh trực tiếp cho ý nghĩa thể tích định thức mà khơng 60 dùng cơng thức đổi biến có [Lan97, tr 584] [VuSto, Mục 1.2.6] Giải thích cơng thức đổi biến Dưới đưa giải thích, chưa phải chứng minh, giúp ta hiểu rõ công thức (xem thêm [Ste12]) Để cho đơn giản, xét trường hợp A hình chữ nhật Ánh xạ φ mang miền A mặt phẳng (u, v) sang miền φ( A) mặt phẳng ( x, y), xem hình 5.7 Xét phép chia A thành hình chữ nhật Ta xem tác động φ lên hình chữ nhật đại diện [u0 , u0 + ∆u] × [v0 , v0 + ∆v], có diện tích ∆u∆v Hàm trơn φ mang cạnh hình chữ nhật thành đoạn cong mặt phẳng ( x, y), ta “hình chữ nhật cong” mặt phẳng ( x, y) với đỉnh điểm φ(u0 , v0 ) v φ( A) y A φ ∆v φ ( u0 , v0 ) (u0 , v0 ) ∆u u x Hình 5.7: Minh họa cơng thức đổi biến Bây ta tính diện tích hình chữ nhật cong cách xấp xỉ tuyến tính Đoạn cong từ φ(u0 , v0 ) tới φ(u0 + ∆u, v0 ) xấp xỉ tuyến tính đoạn thẳng tiếp tuyến φ(u0 , v0 ) Vì vectơ tiếp xúc ∂φ ∂φ ∂u ( u0 , v0 ) nên đoạn tiếp tuyến cho vectơ ∂u ( u0 , v0 ) ∆u Xem hình 5.8 ∂φ Tương tự, đoạn cong φ(u0 , v0 + ∆v) xấp xỉ vectơ tiếp xúc ∂v (u0 , v0 )∆v Vậy hình chữ nhật cong xấp xỉ hình bình hành sinh hai vectơ ∂φ tiếp xúc Diện tích hình bình hành sinh hai vectơ ∂u (u0 , v0 )∆u ∂φ ∂v (u0 , v0 )∆v  ∂φ   ∂φ ∂φ (u0 , v0 ), (u0 , v0 ) |∆u∆v (u0 , v0 )∆u, (u0 , v0 )∆v | = |det |det ∂u ∂v ∂u ∂v = |det J φ (u0 , v0 )|∆u∆v  ∂φ CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN r ′ (u)∆u 61 r (u + ∆u) r (u) Hình 5.8: Xấp xỉ tuyến tính đường cong, với đường r (u) = φ(u, v) (với v cố ∂φ định): r (u + ∆u) − r (u) ≈ r ′ (u)∆u = ∂u (u, v)∆u Điều giải thích xuất dấu trị tuyệt đối Chúng ta không đưa chứng minh công thức đổi biến chứng minh có khó dài vượt khỏi phạm vi môn học Các sách [Lan97], [Rud76], [Spi65], [Mun91] có chứng minh cơng thức giả thiết khác Ngày công thức đổi biến thường chứng minh dạng tổng quát thơng qua tích phân Lebesgue Bài tập Trong số tập để tính tích phân biến dùng máy tính tính xấp xỉ 5.9 Tính: (a) Tính thể tích khối bao mặt z = − x2 − y2 mặt phẳng xOy (b) Tính thể tích khối bao mặt z = − x2 − y2 , y ≤ x, góc phần tám thứ (tức x, y, z ≥ 0) (c) Tính tích phân RR p D x2 + y2 dA D miền bao hai đường cong x2 + y2 = and x2 + y2 = ( x + y) dA D miền bao hai đường = and x2 + y2 = góc phần tư thứ (d) Tính tích phân cong x2 + y2 RR D (e) Tính tích phân RR (f) Tính tích phân RR bao RR x2 dA D miền bao e-líp 3x2 + 4y2 = ( x2 + y2 )3/2 dA D miền góc phần tư thứ √ bao đường tròn x2 + y2 = 9, đường thẳng y = y = 3x đường trịn (g) Tính tích phân (h) Tính tích phân D y2 dA D miền góc phần tư thứ D x2 2 x + y = 1, x2 + y2 = 4, đường thẳng y = y = x D RRR x2 + y2 + z2 ≤ E   cos ( x2 + y2 + z2 )3/2 dV E cầu đơn vị 62 (i) Tính thể tích khối bao phía mặt cầu x2 + y2 + z2 = bao phía mặt paraboloid z = x2 + y2 (j) Tìm thể tích khối bị chặn mặt cầu x2 + y2 + z2 = bị chặn mặt nón z2 = 3x2 + 3y2 , z ≥ (k) Tìm thể tích khối bị chặn mặt cầu x2 + y2 + z2 = mặt trụ x2 + y2 = 2y (l) Tính thể tích miền phía mặt cầu x2 + y2 + z2 = phía mặt √ phẳng z = 1/ (m) Tính thể tích khối bên mặt z = − x2 − y2 bên mặt x2 + y2 + z2 = (n) Tính thể tích khối bao mặt z = − x2 − y2 , z = 3x2 + 3y2 − 16 (o) Tính thể tích khối bao mặt z = − 2y, z = x2 + y2 (p) Tính tích phân x2 − y2 z = RRR x2 E x dV E khối bao hai mặt z = − + 3y2 5.10 Tính thể tích khối miêu tả điều kiện x2 + y2 ≤ z2 ≤ 3( x2 + y2 ), ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4, z ≥ 5.11 Tính: (a) Tính diện tích miền bao đường cong hình bơng hoa r = + cos(11θ ) (đây đường mặt phẳng xy cho phương trình tham số x = r cos θ, y = r sin θ với r trên) sin(t)*(3*cos(11*t)+4) -2 -4 -6 -8 -6 -4 -2 cos(t)*(3*cos(11*t)+4) Hình 5.12: Đường r = + cos(11θ ) (b) Tính diện tích miền bao đường cong hình trái tim r = + cos θ CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN 63 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 1.0 0.5 1.5 2.0 0.0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1.0 −1.2 Hình 5.13: Đường r = + cos θ (c) Đường cong mặt phẳng xy cho phương trình r = √ θ, ≤ θ ≤ 2π với tia Ox bao miền D hình vỏ ốc vẽ hình 5.14 Hãy tính RR 2 tích phân D e x +y dxdy 1.5 sqrt(t)*sin(t) 0.5 -0.5 D -1 -1.5 -2 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 sqrt(t)*cos(t) Hình 5.14: Đường r = √ θ 5.15 Tính: ( x2 + 2xy) dA R hình bình hành bao đường thẳng y = 2x + 3, y = 2x + 1, y = − x, y = − x (a) Tính tích phân RR R ( x + y)2 dA R hình bình hành bao đường thẳng y = − x, y = − x + 1, y = 2x, y = 2x − (b) Tính tích phân RR R (c) Tính diện tích miền phẳng bao đường cong y2 = x, y2 = 2x, y = 1/x, y = 2/x (d) Tính diện tích miền phẳng bao đường cong y2 = x, 3y2 = x, y = x2 , y = 2x2 5.16 Xét khối bầu dục E bao mặt có phương trình x2 + 2y2 + 3z2 = Hãy tính thể tích E cách đổi biến để đưa thể tích cầu Tìm cơng thức thể tích khối bầu dục tổng quát ... Bài giảng Tích phân bội Giải tích vectơ Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 12 tháng năm 2022 ii Tóm tắt nội dung Đây tập giảng tích phân Riemann hàm nhiều biến Giải tích vectơ cho sinh... Ứng dụng tích phân bội * Thay tích phân Riemann tích phân Lebesgue II Giải tích vectơ 10 11 12 13 14 15 15 25 32 48 68 76 79 Tích phân đường ... LỤC Phần I Tích phân bội Trong phần nghiên cứu tích phân Riemann không gian nhiều chiều Một phần lý thuyết tích phân cho ta lý thuyết diện tích thể tích Ý niệm chiều dài, diện tích, thể tích để